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Programmierung und Angewandte Mathematik
C++ /Scilab Programmierung und Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu wissenschaftlichen Rechnens
SS 2012
F Ek llFomuso Ekellem
Inhalt
Folgen Reihen Verfahren zur Konvergenz Bestimmung
Programmierung und Angewandte Mathematik2
Fomuso Ekellem
Folgen
Definition:Eine Folge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen. Man sagt
h i d Li Z hlauch , eine geordnete Liste von Zahlen.
bezeichnet)(amitwirdund
ert werdenidentifizi ,...)a,a,(amit kann a , an RN
:a 321n
Bemerkung:Aufgabe dieses Abschnittes ist es die verschiedensten Eigenschaften von Folgen zu beschreiben und für die wichtigsten hinreichende und notwendige Kriterien
bezeichnet )(amit wirdund Nnn
beschreiben und für die wichtigsten hinreichende und notwendige Kriterien anzugeben. Ziel ist es die einzelnen Eigenschaften an Beispielen erkennen und mathematisch beschreiben.
Beispiele:p a) an=1/2n , b) bn=n/2 , c) cn= n Die Folge (an)= liefert kontinuierlich immer kleiner werdende Folgenglieder
,...
81,
41,
211,
0n 0n
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Fomuso Ekellem
Folgen
Beispiele: Die Folge (bn)= liefert kontinuierlich immer nicht kleiner werdende Folgenglieder ...0,1,1,2,2, Die Folge (cn)= liefert kontinuierlich immer größer werdende Folgenglieder
Definition:Eine Folge (an) heißt monoton fallend, wenn für alle n gilt: an+1 anEine Folge (a ) heißt streng monoton fallend wenn für alle n gilt a a
.1,2,3,4,..
Eine Folge (an) heißt streng monoton fallend, wenn für alle n gilt: an+1 anEine Folge (an) heißt monoton steigend, wenn für alle n gilt: an+1 anEine Folge (an) heißt streng monoton steigend, wenn für alle n gilt: an+1 an
Zur Beschreibung vieler weiterer Eigenschaften wird der Begriff der Teilfolge benötigt:
Definition:S i (b ) i i d F l N i NSei (bn) eine streng monoton steigende Folge von N in N.Die Folge (a bn
) ist eine Auswahl von Folgengliedern von (an) und wird als Teilfolge von (an) bezeichnet
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Fomuso Ekellem
Folgen
Beispiel:Die Folge (an)=1/n ist nicht nur monoton fallend sondern sogar streng monoton f ll d Si f ll ll di i l i ifallend. Sie fällt allerdings niemals ins negative.
Definition:Eine Folge (an) heißt nach unten beschränkt, falls gilt:Eine Folge (a ) heißt nach oben beschränkt falls gilt:
Nn alle für xa mit Rx n Nn alle für xa mit Rx Eine Folge (an) heißt nach oben beschränkt, falls gilt:
Eine Folge heißt beschränkt wenn sie nach unten und oben beschränkt ist Beispiel:
Die Folge aus dem obigen Beispiel ist nicht nur nach unten beschränkt sondern
Nn alle für xa mit Rx n
g g püberhaupt beschränkt.
Beispiel:Die Folge (an)=sin( ) liefert hintereinander die Werte (1,0,-1,0,...)2
πnDiese Werte wiederholen sich alle immer wieder. Diese Folge ist periodisch mit der Periode 4.
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Fomuso Ekellem
Folgen
Definition:Eine Folge (an) heißt periodisch wenn gilt:D k h iß P i d ( )
Nn alle für aa mit Nk nkn
Das k heißt Periode von (an) Definition:
Eine Folge (an) heißt konvergent gegen die reelle Zahl a, wenn gilt: nn alle für a-a mit Nn 0
Bezeichnung: Eine Folge heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert
nn alle für a-a mit Nn 0 naa lim nn
Beispiel:
)n(n alle für n1a-a mit )n( ein ist Gesucht
vorgegeben fest aber beliebig 0 Sei 0. gegen tkonvergier n1a
n
n
0a gegen tkonvergier a und gefunden )n( ein jedesfür ist Damit2)n(n
1a-a2)n( Mit
n
n
n
1
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Folgen
Beispiel:Die Folge (an) = n konvergiert nicht, sie divergiert also. Angenommen doch, dann
b i i k i gäbe es ein a mit an konvergiert gegen a.Es ist (an) aber unbeschränkt und damit wächst die Entfernung zu a ab einem gewissen Index k streng monoton an und kann deswegen nicht beliebig klein sein.
Beispiele: Beispiele: Die Folge (an) = konvergiert gegen 0
aber auf etwas sonderbare Weise. Ein Teil der Folge nähert sich von oben der 0 an, der andere Teil allerdings von unten
,...)61 ,
51- ,
41 ,
31- ,
21 (-1,
n11- n
Die Folge (an) = konvergiert nicht Beide Folgen haben aber die gleiche Eigenschaft dass ein Teil der Folge immer oberhalb der andere
immer unterhalb einer Grenze liegt.
Definition:
8,...) 1, 7, 2, 6, (3, 4n1- n
Definition:Eine Folge (an) heißt um a alternierend, wenn es Teilfolgen (bn) und (cn) gibt mit:
nn cab :gilt Nn
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Folgen
Beispiel: Betrachten wir nun die Folge (an)=
n1-11- n
n
Teilfolgenbeiden die wir Betrachten
,...87,
76- ,
65 ,
54- ,
43 ,
32- ,
21 0, :lautender Folgenglie Die
1.gegen andere die 1-gegen eine Die !Teilfolgen beideen konvergier so
,...87 ,
65 ,
43 ,
21 und ,...
76- ,
54- ,
32- 0,
g
nn allefür a-amit Nn0 )Definition(nach :gilt analog),ion Argumentat dieist 1- (bei 1gegen z.B. ,konvergent sie Wäre
.konvergentnicht weildivergent, Folge dieseist Trotzdem
n
1111
:n ungeradesfür gilt es rd,gewählt wi nnun groß wieEgal1.für recht erst auch aber heißt 0
)(
n
n
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n1-21-
n11-1-
n1-1-1-
n1-11-1-a n
n
Folgen
Trotz der Divergenz dieser Folge möchte man die besonderen Eigenschaften dieser 2 „Grenzwerte“ auszeichnen
Definition:Eine Folge (an) besitzt in a einen Häufungspunkt, wenn es eine Teilfolge von (an) gibt die gegen a konvergiert.Di F l d l t t B i i l h t d it 2 Hä f kt Die Folge aus dem letzten Beispiel hat damit 2 Häufungspunkte.
Jede periodische Folge besitzt soviel Häufungspunkte wir ihre minimale Periode lautet.
Damit ist folgendes gemeint: Eine periodische Folge der Periode k besitzt aber auch Damit ist folgendes gemeint: Eine periodische Folge der Periode k, besitzt aber auch die Periode 2k oder 3k usw.. Die kleinste derartige Periode gibt die maximale Anzahl der Häufungspunkte an.
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Folgen
Satz 1:Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis:
knallefür1a-amitNk)1(
nn allefür a-amit Nn 0 konvergentist a nn
n
:giltdann)a, ,Max(amund)a, ,Min(amalsoSei!anzugeben Maximumein und Minimumein möglich esist n von ZahleAnzahl endliche eineFür
Anzahl.endlicher von a,...,a gengliederAnfangsfol die sindDamit knallefür 1aamit Nk )1(
k12k11
k1
n
n allefür das und 2ma2-m:giltdann )a,...,Max(amund)a,...,Min(a m also Sei
2n1
k12k11
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Folgen
Satz 2: (ohne Beweis)Eine monotone Folge ist entweder unbeschränkt oder konvergent
Bemerkung:Aus dem Beweis von Satz 1 ergibt sich, dass die Unbeschränktheit eine Eigenschaft jeder Restfolge (ab einen Index) ist.Jeder Folgenanfang egal wie viele Glieder ist beschränkt!Jeder Folgenanfang, egal wie viele Glieder, ist beschränkt!
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Fomuso Ekellem
Folgen
Definition:Eine Folge die gegen 0 konvergiert heißt Nullfolge.
Satz 3: Eine Folge (an) konvergiert gegen a (an-a) ist Nullfolge Eine beliebige Linearkombination endlich vieler Nullfolgen ist eine Nullfolge
S (R h l f k F l ) Satz 4: (Rechenregeln für konvergente Folgen)
ba)b(alimbblimundaalimb)
aalimaalim a) nnnn
a/b)/b(alim0bblimundaalimd)
ab)(blima)b(alimbblim und aalim c)
ba)b(alimbblimund aalim b)
nnnnnnnnn
nnnnnnn
ban allefür ba und bblim und aa lim e)
a/b)/b(alim0bblimund aalim d)
nnnnnn
nnnnnnn
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Folgen
Das Problem bei der Konvergenzdefinition ist, dass die Konvergenz einer Folge nur gezeigt werden kann wenn der Grenzwert auch bekannt ist.
Satz 5: (Cauchy-Konvergenzkriterium)(an) konvergiert
B k
nmn, alle für a-a mit Nn 0 mn
Bemerkung:Satz 5 erlaubt die Konvergenz einer Folge zu zeigen ohne den Grenzwert zu kennen.
Beispiel:
132²
132²
132²
n²32²
132²
n²32²
1-n²0
Grenzwert der gesucht , 3-2nn²
1-n² Folge die Gegeben
n²3
n²2n
n²n²
n²3-2nn²3-2nn²3-2nn²3-2nn²3-2nn²
0010
n1
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Folgen
Beispiel:Grenzwert der gesucht ,
54e(-1) Folge die Gegeben n
nn
0111eist Nullfolge eine Rest der das zeigen zu also wir Versuchen
0 gegen nur dann wenn (-1) Faktor ndenalterniere dem wegen tkonvergier Folge Diese54
n
n
0
e5
e4
1
e5
e4
1
e54
154
e
n
n
nn
n
n
nn
00
Beispiel: (Fibonacci-Folge)Die Fibonacci ist eine klassische rekursiv definierte Folge. Nach Festsetzung der ersten beiden Folgeglieder zu 0 und 1 (a =0 und a =1) ergeben sich alle weiteren zur
ersten beiden Folgeglieder zu 0 und 1 (a0=0 und a1=1) ergeben sich alle weiteren zur Summe der jeweils beiden vorherigen Glieder, also
2n alle für aaa 2-n1-nn
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Fomuso Ekellem
Folgen
Beispiel: (Fibonacci-Folge)Die Zahlen die sich aus diesem Bildungsgesetz ergeben sind
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...Diese Folge ist ab n=2 streng monoton steigend und unbeschränkt, konvergiert also nicht.Betrachtet wir die Quotientenfolge der Fibonacci-Zahlen, alsoBetrachtet wir die Quotientenfolge der Fibonacci Zahlen, also
; 1 6 ; 61 ; 1 5 ; 2 ; 1
:1)n (ab Zahlen die sich ergeben es a
abn
1nn
Dies ist eine Folge die, wenn sie konvergiert, abwechselnd von oben und unten sich dem Grenzwert b annähert (alternierend).Die inverse Quotientenfolge cn=1/bn=an/an+1 konvergiert wenn dann auch
... ; 1,6 ; 61, ; 1,5 ; 2 ; 1
Q g n n n n+1 galternierend gegen einen Grenzwert c=1/b.
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Folgen
Beispiel: (Fibonacci-Folge)Interessant in diesem Zusammenhang ist die Darstellung der Quotientenfolgengliederb l K b hbn als Kettenbruch
111
111321b
1111
23b 73
Di B h d G i i i h i i l d i B ü 11
11
11
11
Die Berechnung des Grenzwertes ist gewiss nicht trivial und weist Bezüge zur Matrizenrechnung auf:
1 1a a Matrix hesymmetrisc die wir Betrachten
n1nn
122322
12
01
12
a a
a a
allgemein und a a
1 11 2
0 11 1
0 11 1
0 11 1
a a
dernFolgenglie 3 ersten den aus gebildet 0 11 1
a aa a
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Fomuso Ekellem
1-nn011201 a aa a
ga a1 10 10 10 1a a
Folgen
Beispiel: (Fibonacci-Folge)
E i d d G d Q i f l i h d Ei d Es ist nun so das der Grenzwert der Quotientenfolge sich aus den Eigenwerten der Matrizenpotenzen (n gegen unendlich) ergibt
Die Grenzwerte b und c ergeben sich zuDie Grenzwerte b und c ergeben sich zu
Mi Hilf di b id G lä i h j d F l li d d Fib i F l
2
514-
5125151
51251
2b1c damit und
251b
Mit Hilfe dieser beiden Grenzwerte lässt sich jedes Folgenglied der Fibonacci-Folge direkt ausrechnen
nn1-515
nnnn
n 21-5-
215
51
21-5
215
215-
215
cb(-c)-ba
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Folgen
(n) arithmetische Folge ( ) geometrische Folgenq (1/n) harmonische Folge
q
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Reihen
Eine unendliche Reihe ist nichts anderes als eine Folge von Zahlen Definition: n
Sei (an) eine Folge. Die durch definierte Zahlenfolge heißt unendliche Reihe.
Die Folge (an) heißt Folge der Glieder der unendlichen Reihe.
1i
in as
Ist die Folge (sn) konvergent gegen s so schreibt man auch
Eine unendliche Reihe heißt divergent wenn sie nicht konvergiert.
sas lim1i
inn
Eine unendliche Reihe heißt divergent wenn sie nicht konvergiert. Bemerkung und Beispiel:
Gegeben die unendliche Reihe 1q mit qsn
0i
in
Für diese Art unendlicher Reihen (geometrische Reihen) sind die Summen, also die Grenzwerte, bekannt und über Formeln berechenbar.
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Fomuso Ekellem
Reihen
Bemerkung und Beispiel: Es gelten die folgenden Formeln:
11 1nn
q-qq-1q-1qqq
q11q
q1q-1q
1n1m1m1nmi
ni
ni
i
i1nn
0i
i
0
Für q=1 ist die Reihe divergent, für q=-1 auch aber hier besitzt die Reihe 2 Häufungspunkte (0 und 1). Für |q|>1 ist die Reihe ebenfalls divergent.
q1q1q1qqq
0i0i1mi
Bemerkung:Um die Konvergenz einer Reihe festzustellen sind die ersten Glieder einer Reihe völlig egal.Eine Reihe konvergiert ab k gdw sie auch ab 1 konvergiertEine Reihe konvergiert ab k gdw. sie auch ab 1 konvergiert(unter der Bedingung dass die Reihenglieder für die entsprechenden Indizes auch definiert sind)
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Reihen
Für Reihen gibt es die unterschiedlichsten Konvergenzkriterien Satz 6: (Cauchy)
Eine unendliche Reihe (sn) ist konvergent
S t 7
nmn, alle für as-s mit Nn 0n
1miimn
Satz 7:Ist die unendliche Reihe (sn) konvergent Die Folge der Reihenglieder (an) ist eine Nullfolge
Bemerkung: Bemerkung:Das ist wieder mal ein Beispiel für ein notwendiges Kriterium:Ist nämlich die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge kann die unendliche Reihe nicht konvergieren!
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Reihen
Beispiele
1i alle für 21
i²10 gilt es denn ,konvergent ist
i²1
i
B h )K b h k d 2 (
23
21-1
121-
21
21-1-1
211
i²11
i²10
2i²gg
i²
0ii
1i0i2i
i2i1i
i1i
Ein beliebter Grenzfall ist die sogenannte harmonische Reihe
Behauptung )Konvergenz beschränkt und monoton :2 (Satz
divergent ist Reihe Diese 51
41
31
211
i1
...
989-9A ; 648A ; 72A ; 8A A9 keine enthält n|NnA
99 und 10 zwischen Zahlen derartigen alle enthält A 10n10 und 9 keine enthält n|NnAmit sich ergibt dann enthalten, 9 keine z.B die ein Zahlen auf Reihe diese man Schränkt
5432i
1-n1-nnn321i
2i1-i
i
1i
80
109-1
181098
1098
1098
A MinA
n1
n10
für parat alles wir haben Jetzt
;;;|
0i
i
0ii
i
1i1-i
1-i
1i i
i
1i AnAn
n321i
i
i
1
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steigend) monoton streng und t(beschränk 2 Satz nach Konvergenz 10
Reihen
Bislang haben wir uns bei Konvergenzaussagen über (sn) in den Beispielen immer auch direkt auf diese Folge bezogen.E ib K i i di A b K d F l ( ) Ei h f b Es gibt Kriterien die Aussagen über Konvergenz der Folge (sn) aus Eigenschaften bzw. Berechnungen über die Folge der Reihenglieder (an) gewinnen.
Definition:
Ist konvergent dann heißt absolut konvergent. Bemerkung:
Absolute Konvergenz ist eine Verschärfung der Konvergenz. Das heißt aus absoluter
1iia
1iia
g g gKonvergenz folgt Konvergenz aber nicht umgekehrt.
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Reihen
Satz 8: (Wurzelkriterium)
il b i d k d k i di ih b l1
Gilt ab einem Index k dann konvergiert die Reihe absolut (Quotientenkriterium)
Gilt ab einem Index k dann konvergiert die Reihe absolut
1qakk
1iia
1qa
an
1n
1iia
Beispiele:
F l f ll d dh l d b ld d k d d b
ist. vorgegeben fest aber beliebig x wobei k!x
0k
k
kriteriumQuotienten nach Konvergenzkx
1kx1)!(k
xa
nun gilt kn Indizes alle FürFolge fallende monoton streng eine derReihenglie die bilden wird xk wo Index dem ab
n
1n
1n
1 Qgk1k
k!xa n
n
0x 1ee gilt Es ?konvergent x welche für ist e x1n x
n
1i
xi
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Reihen
Satz 9: (Cauchy-Produkt)
n
Seien und absolut konvergente Reihen. Setze
Dann konvergiert die Reihe absolut und es gilt:
1iia
1iib
1i
i-nin bac
1iic
1n
n1n
n1n
n
1ii-ni
1nn babac
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n-te Zahl Test: Geometrische Reihe P-Reihe Test Nicht-Negative Zahl oder absolut AlternierendeSehen Sie nächste Seite.... (Englisch)
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