Post on 12-Jul-2015
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
MATEMÁTICA IV
Realizado por:Br. Atencio Alexander
C.I. 19.138.125
Maracaibo, Diciembre de 2.013
{ } ∫∞
−==0
)()()( dttyetyLsY st
La transformada de Laplace
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa
de su futuro.Se podría condensar un
intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la
naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si
este intelecto fuera lo suficientemente vasto para
someter los datos al análisis, podría condensar en una
simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más
ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían
frente sus ojos."
Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo.
La transformada de Laplace
5
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:
donde s es una variable compleja Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.
dtetfsFtfL st−∞
∫==0
)()()}({
.iws += σ
La transformada de Laplace
Definición. Si la transformada de Laplace de una función F(t) es f(s), es decir, si L |F(t)| = f(s), entonces F(t) se llama una transformada inversa de Laplace de f(s) y se expresa por F(t) = L-1 |f(s)| , donde L-1 se llama el operador transformada inversa de Laplace. Como la transformada de Laplace de una función nula N(t) es cero, es claro que si L |f(t)| = f(s) entonces L |F(t) + N(t)| = f(s). De esto se deduce que puede haber dos funciones diferentes con la misma transformada de Laplace.
La transformada inversa de Laplace
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente
Característ icas de La transformada Laplace
1. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes, f1(x) y f2(x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente; entonces:
).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL +=+
La transformada de Laplace es un operador lineal.
Propiedades
2. Desplazamiento temporal
( )
)(
)(
)(
)()()(
)()(
0
0
00
0
0
000
0
sFe
tt
dfee
dtttfe
dtttuttfesX
dttfesF
st
sst
t
st
st
st
−
∞−−
∞−
∞−
∞−
=
−=
=
−=
−−=
=
∫
∫
∫
∫
λ
λλλ
<>−
=−=0
000 ,0
),()()()(
tt
ttttfttutftg
)()}()({
)()}({0
0 sFettutfL
sFtfLst−=−
=
)(
)()()(
)()(
0
)(
0
0
asF
dttfedttfeesX
dttfesF
tasatst
st
+=
==
=
∫∫
∫∞
+−∞
−−
∞−
{ } { }22 )(
11
asteL
stL at
−=→=
3. Desplazamiento en frecuencias
Ejemplo:
)()}({
)()}({
asFtfeL
sFtfLat +=
=−
6. Transformada de Laplace de las derivadas de una funciónLa transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:
donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:
)0()()}('{ fssFtfL −=
)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL −−=
Ejercicio: Determina la transformada de Laplace de la función
usando la transformada de Laplace de
)cos()( attf =
)(tf ′′
[ ][ ]
[ ]
22
222
22
2
2
2
)(
)()()(
01)()(
)0()0()()( :que Puesto
0(0)fy 1f(0)con )()(
)cos()(
)()(
)cos()(
:Tenemos
as
ssF
ssFssFatfLa
ssFstfaL
fsfsFstfL
tfatf
atatf
atasentf
attf
+=⇒
⇒−=−=−⇒⇒−⋅−=−⇒
⇒′−−=′′=′=−=′′⇒
⇒−=′′−=′
=
La transformada de Laplace sirven para transferir ecuaciones diferencial hacia un dominio donde estas resultan ser operaciones simples..
Sirve para resolver fácilmente un ecuación diferencial.
En electrónica es fundamental ya que todos los elementos que se utilizan en electricidad, responde conforme este tipo de ecuaciones, para resolver cualquier tipo de circuito eléctrico en C.A. Tienes que plantear ecuaciones diferenciales.
Aplicación