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II - 3Les poutres
Philippe.Bouillard@ulb.ac.beversion 29 septembre 2006
Les poutres II - 3 - 2
Aperu Dfinition dune poutre
Aspects gomtriques Forces internes + conventions de signe
= sollicitations Principaux cas de sollicitation
[Frey, 1990, Vol. 1, Chap. 8-9] [Massonet, 1992, Chap. 5]
Les poutres II - 3 - 3
La poutre : gomtrie
C
daprs [Frey, 1990, Vol. 1]
Les poutres II - 3 - 4
La poutre : gomtrie engendr par une figure plane A de sorte que
le centre C parcoure une ligne donne (axe ou fibre moyenne)
A reste constamment normal cette ligne les dimensions de A restent petites devant la
longueur la section A varie de manire lente et
progressive si laxe est droit, la poutre est dite prismatique
Les poutres II - 3 - 5
Forces internes - sollicitations 3D
fibre moyenne
coupe de section A
y
z
x
choix du systme daxes
x
z
y
autre choix (Frey, Eurocodes)
effort normal N
efforts tranchants Ty
Tz
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Forces internes - sollicitations 3D
fibre moyenne
coupe de section A
Mx
momentde torsion
Mz
Mymomentsde flexion
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Forces internes - sollicitations 2D
fibre moyenne
coupe de section A
effort normal N
effort tranchantTy
Mzmoment flchissant
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Conventions de signe N traction N > 0
compression N < 0
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Conventions de signe M M > 0 si les fibres tendues sont vers le bas
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Conventions de signe T T > 0 lorsque la partie droite descend
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Commentaire les conventions de signe de M, N, T sont
celles le plus couramment adoptes le choix du systme daxes fait couler
beaucoup dencre pas seulement dans les avis pdagogiques il existe plusieurs conventions valables choix du systme usuel lULB diffrent de celui de F. Frey (et des Eurocodes)
cette convention nest pas cruciale limportant rside dans la comprhension du
comportement structural
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Les sollicitations 2D Effort normal
Effort tranchant
Moment flchissant= A xyy dAT
= A xdAN
= A xz ydAM
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Les sollicitations 3D Effort normal
Efforts tranchants
Moments flchissants
Moment de torsion
= A xyy dAT
= A xdAN
= A xzz dAT
= A xz ydAM = A xy zdAM
( ) = A xyxzx dAzyM
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Relation M-Tquilibre de translation vertical
( ))x(q
dxdT
0dTTdxxqT
=
=+++
q
quilibre de rotation (point C)
( )T
dxdM
0dMM2
dxdxxqTdxM
=
=+
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Dtermination des diagrammes M-N-T rgles lmentaires
charge axiale nulle N constant charge axiale uniforme N varie linairement charge transversale nulle T cst, M linaire charge transversale uniforme
T linaire, M quadratique T = 0 M est extrmal
Les poutres II - 3 - 16
Dtermination des diagrammes M-N-T construction rapide avec un minimum de
calculs calculer les ractions de liaisons esquisser les diagrammes
en tenant compte des rgles dterminer les valeurs
Les poutres II - 3 - 17
Exemple 1 : poutre bi-appuye
LaQBy =LbQAy =
0=xA
daprs [Frey, 1990, Vol. 1]
+
1) dterminer les ractions(par quations dquilibre)
2) dterminer le diagramme T (suivre les forces par la droite,valeurs par quilibre gauche ou droite)
3) dterminer le diagramme M (suivre les rgles + dforme+ quilibre)
+-
T
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Exemple 2 : Cantilever
1) dterminer les ractions
2) dterminer le diagramme T
3) dterminer le diagramme M
qLAy =
2
2LqM A =
-
+T
daprs [Frey, 1990, Vol. 1]
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Exemple 3 : potence
- +
+T T = 0
daprs [Frey, 1990, Vol. 1]
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Dforme des poutres planes due M dforme ou ligne lastique quelques rgles simples
point dinflexion M = 0 les angles sont conservs aux nuds rigides respecter les conditions cinmatiques la porte dune poutre ne varie pas
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Exemple 4 : tenir compte de la dforme
-
++
daprs [Frey, 1990, Vol. 1]
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Exemple 5 : le portique
extrait de [Frey, 1990, Vol. 1]
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Cas de sollicitations : Traction (compression) pure : N
F F
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Cas de sollicitations : Flexion pure : Mz
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Cas de sollicitations : Flexion simple (effet du cisaillement) : Mz + Ty
Tdx
dM=
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Cas de sollicitations : Flexion compose : N + Mz
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Cas de sollicitations : Flexion oblique (gauche) : Mz + My
[Frey, 2000, Vol. 2]
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Cas de sollicitations : Torsion : Mx
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Cas de sollicitations : rsum
torsioncomposeflexionobliqueflexionsimpleflexionpureflexion
simpletractionnomMMMTTN zyxzy
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