Polinomios

Álgebra Superior

ContenidoOperaciones con polinomios

Definición de polinomioProducto de polinomiosDivisión de polinomioTeorema del residuo División sintéticaRegla de HornerMáximo común divisor

Raíces de polinomiosEcuaciones algebraicasTeorema de identidadTeorema fundamental del álgebraRaíces imaginariasRelación entre raíces y coeficientes

Obtención de raíces múltiples Factorización de un polinomio raíces múltiples

Descomposición de un polinomio en factores linealesFunciones racionales Fracciones parciales

Definición de polinomioUn polinomio es una expresión de la forma

a0xn + a1xn–1 + … + an

Donde a0, a1, …, an son números reales o complejos y x es una variable.

La expresión anterior también se llama función racional de x.

Si a0 0, el polinomio es de grado n y a0xn es el término principal.

Dos polinomios son iguales si son idénticos término a término, es decir

a0xn + a1xn–1 + … + an = b0xn + b1xn–1 + … + bn

Si a0 = b0, a1 = b1, …, an = bn, .

Multiplicación de polinomiosSean los polinomios x2 – x + 1 y x2 + x + 1, el producto se calcula de la siguiente manera:

(x2 – x + 1) (x2 + x + 1)

x4 – x3 + x2)

x3 – x2 + x x2 – x + 1

x4 + x2 + 1

Método de coeficientes separadosEl producto anterior puede evaluarse sin escribir las potencias de x.

1 – 1 + 1 1 + 1 + 1

1 – 1 + 1

1 – 1 + 1 1 – 1 + 1

1 + 0 + 1 + 0 + 1

El producto es

x4 + 0 + x2 + 0 + 1 = x4 + x2 + 1

Ejemplo5x4 – 2x3 – x + 1 y x4 + x2 + 3x + 5,

5 – 2 0 – 1 1 1 0 1 3 5

5 – 2 0 –1 1

5 –2 0 –1 1

15 –6 0 –3 3

25 –10 0 –5 5

5 – 2 5 12 20 –11 – 2 – 2 5

El polinomio es

5x8 – 2x7 + 5x6 + 12x5 + 20x4 – 11x3 – 2x2 – 2x + 5

División de polinomiosSean dos polinomios

f (x) = a0xn + a1xn–1 + … + an

g(x) = b0xm + b1xm–1 + … + bm

Con n>= m. Si hacemos c0 = a0/b0, podemos formar un polinomio f1 de grado n1<n como

f (x) – c0xn–m g(x) = f1(x) = (a1– a0b1/b0)xm–1 + … + (a0– a0bm/b0)

Si no es nulo podemos aplicar este proceso con c1 tal que:

f1(x) – c1xn1–m g(x) = f2(x)

Los grados de los restos parciales f1, f2, … forman una sucesión decrciente hasta encontrar uno cn nk<m.

División de polinomios (cont.)f (x) – c0xn–m g(x) = f1(x)

f1(x) – c1xn1–m g(x) = f2(x)

…

fk(x) – ckxnk–m g(x) = fk+1(x)

Poniendo:

c0xn–m + c1xn1–m +…+ ckxnk–m = q(x) y fk+1(x) = r(x)

Obtenemos:

f (x) = g(x) q(x) + r(x)

EjemploDividir x8 + x7 + 3x4 – 1 por x4 – 3x3 + 4x + 1

Teorema del residuoEl residuo obtenido de la división de f (x) por (x – c), es igual al valor numérico del polinomio f (x) para x = c.

Demostración. Como el divisor es de primer grado, el residuo debe ser una constante r. Entonces

f (x) = (x – c)q(x) + r

Evaluando en x = c.

f (c) = (c – c)q(x) + r = r

AplicacionesDemostrar que f (x) = x3 + x2 – 5x + 3 es divisible entre x + 3.

f (3) = (3)3 + (3)2 – 5(3) + 3 = 27 + 9 + 15 + 3 = 0

Por lo tanto el residuo vale 0.

Demostrar que xn – cn es divisible entre x – c.

Debido a que f (c) = cn – cn = 0, es divisible entre x – c.

En que condiciones xn + cn es divisible entre x + c.

(– c)n + cn = cn + cn = 2cn si n es par

(– c)n + cn = –cn + cn = 0 si n es impar

Regla de Ruffini (división sintética)El cociente de un polinomio entre un factor (x – c) se puede

determinar fácilmente.

f (x) = (x – c) q(x) + r

Donde

q(x) = b0xn–1 + b1xn–2 + … + bn–1

Efectuando la multiplicación se obtiene:

(x – c) q(x) + r = b0xn + (b1 – cb0) xn–1 + (b2 – cb1) xn–2 + …

(bn–1 – cbn-2) x + r – cbn

Esto debe ser igual a

a0xn + a1xn–1 + … + an

Regla de Ruffini (cont.)Igualando coeficientes

a0 = b0 , (b1 – cb0) = a1, (b2 – cb1) = a2, …, r – cbn = an

Despejando las bes

b0 = a0 , b1 = a1 + cb0, b2= a2 + cb1, …, r = an + cbn–1

Esto suele ordenarse de la siguiente manera

c) a0 a1 a2 … an an

cb0 cb1… cbn–2 cbn–1

a0 = b0 b1 b2 … bn–1 r

EjemploDividir 3x6 – 7x5 + 5x4 – x2 – 6x – 8 por x + 2

Casos especialesSi se desea dividir entre un factor de la forma ax+b, se aplica la regla de Ruffini evaluando en x = b/a, el cociente se obtiene al dividir los valores entre a.

Ejemplo: x4 + x3 – x2 +1 entre 3x + 2

1 1 -1 0 1 -0.667

-0.667 -0.222 0.8148 -0.543

1 0.3333 -1.222 0.8148 0.457

0.3333 0.1111 -0.407 0.2716

Cociente: x3/3 + x2/9 – 0.407x +0.2716

Regla de HornerSe puede escribir cualquier polinomio como un desarrollo de potencias de (x – c)

xm = [c + (x – c)]m = cm + mcm–1 (x – c) + m(m – 1) cm–1 (x – c)2/2 + …

f (x) = A0 + (x – c) f1 (x); f1 (x) = A1 + A2(x – c) +…+ An(x – c)n–1

f1 (x) = A1 + (x – c) f2 (x); f2 (x) = A2 + A2(x – c) +…+ An(x – c)n–2

A0 es el residuo de la división de f entre (x – c).

A1 es el residuo de la división de f1 entre (x – c).

Etcétera

Ejemplo de regla de HornerDesarrolle 4x5 – 6x4 + 3x3 + x2 – x – 1 en potencias de x – 1.

4 –6 3 1 –1 –1

4 –2 1 2 1 0

4 2 3 5 6

4 6 9 14

4 10 19

4 14

4

4x5 – 6x4 + 3x3 + x2 – x – 1

= 0 + 6(x – 1)+14(x – 1)2+ 19(x – 1)3+ 14(x – 1)4+ 4(x – 1)5

Máximo común divisorSean dos polinomios f y f1. Al dividir f por f1. obtenemos un cociente q1 y un residuo f2.

f = f1q1 + f2

El proceso podemos extenderlo hasta encontrar un residuo nulo.

f = f1q1 + f2

f1 = f2q1 + f3

…

fr–2 = fr–1qr–1 + fr

fr–1 = frqr

fr es el divisor común de f y f1.

Máximo común divisor (cont.)De hecho cualquier múltiplo de fr es también divisor de f y f1.

El algoritmo anterior es el algoritmo de Euclides par apolinomios.

EjemploEncontrar el mcd de x6 + 2x5 + x3 + 3x2 + 3x + 2 y x4 + 4x3 + 4x2 – x – 2

1 2 0 1 3 3 2 1 4 4 -1 -2

1 4 4 -1 -2 1 -2 4

-2 -4 2 5 3

-2 -8 -8 2 4

0 4 10 3 -1 2

4 16 16 -4 -8

0 -6 -13 3 10

f2 = – 6x3 – 13x3 + 3x + 10

1 4 4 -1 -26 24 24 -6 -12 -6 -13 3 106 13 -3 -10 -1 -11

11 27 4 -1266 162 24 -7266 143 -33 -110

19 57 381 3 2

-6 -13 3 10 1 3 2-6 -18 -12 -6 5

5 15 105 15 100 0 0

x 6

x 6

/ 19

Mcd = x2 + 3x + 2

f2

f1

f2

f2

Encontrar el mcd de x5 – x4 – 2x3 + 2x2 + x – 1 y

5x4 – 4x3 – 6x2 + 4x + 1

Raíces de polinomiosSea f (x) un polinomio con coeficientes reales o complejos. Definimos una ecuación algebraica como

f (x) = 0

Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz.

De acuerdo con el grado del polinomio la ecuación se llama: lineal, cuadrática, cúbica, etc.

Si c es una raíz de f (x), entonces

f (x) = (x – c) f 1(x)

Donde f 1(x) es un poliniomio de grado n – 1.

Raíces de polinomiosSi c1 es otra raíz de f (x), entonces

(c1 – c) f 1(c1) = 0

De donde f 1(c1) = 0 y f 1(c1) es divisible por (x – c1).

f 1(x) = (x – c1) f 2(x)

Donde f 2(x) es un polinomio de grado n – 2.

Podemos concluir que f (x) será divisible por

(x – c) (x – c1) …(x – cm–1)

Un polinomio de grado n no puede tener más de n raíces distintas.

Ejemplo Resolver la ecuación siguiente sabiendo que -1 y 3 son raíces.

x4 – 5x2 – 10x – 6 = 0

–1 1 0 –5 –10 –6

–1 1 4 6

3 1 –1 –4 –6 0

3 6 6

1 2 2 0

La ecuación reducida es x2 + 2x + 2 = 0

Las otras raíces son: –1 + i y –1 – i

El polinomio puede escribirse como

x4 – 5x2 – 10x – 6 = (x – 3)(x + 1) (x +1+i) (x+1–i)

Resuelva 20x3 – 30x2 + 12x – 1 = 0

Si 1/2 es una raíz.

Resuelva 2x4 – x3 – 17x2 + 15x + 9 = 0

Si 1 + √2 y 1 – √2 son raíces.

Resuelva x3 – 2(1 + i)x2 – (1 – 2i)x + 2(1 + 2i) = 0

Si 1 + 2i es raíz.

Teorema fundamental del álgebraTeorema fundamental. Toda ecuación algebraica con coeficientes complejos arbitrarios tiene por lo menos una raíz real o imaginaria.

Sea f (x) un polinomio de grado n, por el TFA existe a1 tal que f (1) = 0. Por tanto

f (x) = (x – ) f 1(x)

El argumento se repite para f 1(x) de tal manera que podemos escribir:

f (x) = a0(x – ) (x – )…(x – n)

Los alfas no son necesariamente distintos, la factorización puede ser:

f (x) = a0(x – a) (x – b)…(x – l)

Al hecho de que se repitan las raíces se le llama multiplicidad.

Si = 1, se dice que es raíz simple.

Si = 2, se dice que es raíz doble.

Si = 3, se dice que es raíz triple.

Etc .

Multiplicidad de una raízSi desarrollamos el polinomio f (x) en potencias de (x – a) donde a es una raíz, obtenemos la siguiente serie de Taylor:

nn

axn

af

axafaxafafxf

··3·2·1...

21''

1' 2

Si es divisible entre (x – a) se requiere que

f (a) = 0; f ‘(a) = 0; ….f (–1)(a) = 0; pero f (a) 0

ejemploLa ecuación

f (x) = xn – nx + n – 1 = 0

Tiene una raíz en x = 1, encuentre su multiplicidad

f ‘(x) = nxn – 1 – n

f ‘’(x) = n(n – 2)xn – 2

f ‘(1) = 0 pero f ‘‘(1) 0 la multimplicidad es 2.

Raíces complejasSi una ecuación con coeficientes reales tiene una raíz compleja a + ib de multiplicidad , tiene también la conjugada a – bi con la misma multiplicidad.

Si el número de raíces imaginarias es 2s y el de reales es r, entonces

2s + r = n

Si n es impar, entonces r es impar y por tanto al menos una raíz es real.

Si n es par, todas las raíces pueden ser complejas.

Todo polinomio puede ser factorizado en factores lineales y cuadráticos.

EjemploFactorice: x4 + x2 + 1 = 0

Sea y = x2, 2

312

411 iy

235.0

43

41

22/14/34/1

22/14/34/1

22/32/1

ii

iix

(x – 0.5 – i√3/2)(x – 0.5 + i√3/2)(x + 0.5 – i√3/2) (x + 0.5 + i√3/2) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)

Relación entre raíces y coeficientes

Desarrollando el producto

(x + b1) (x + b2)(x + b3) … (x + bn)

Obtenemos para n = 2, 3, 4:

(x + b1) (x + b2) = x2 + (b1 + b2)x + b1b2

(x + b1) (x + b2) (x + b3) = x3 + (b1+ b2 + b3)x2 + (b1 b2 + b1b3 + b2 b3)x + b1b2b3

(x + b1) (x + b2) (x + b3) (x + b4) =x4 + (b1+ b2+ b3 + b4)x3 + (b1 b2 + b1b3 + b1b4 + b2 b3+ b2 b4+ b3 b4)x2 + (b1 b2b3 + b1b2b4 + b1b3 b4

+ b2 b3 b4)x + b1b2b3b4

Relación entre raíces y coeficientes (cont.)Sea

s1 la suma de b1, b2, b3, bn;

s2 la suma de b1, b2, b3, bn tomadas en productos por pares

…

si la suma de b1, b2, b3, bn tomadas en productos de a i,

…

sn el producto de b1, b2, b3, bn,

Entonces

(x + b1) (x + b2)(x + b3) … (x + bn) = xn + s1xn–1 + s2x–2 + … + sn

Relación entre raíces y coef. (cont.)Se puede mostrar que para un polinomio

a0xn + a1xn–1 + … + an

con raíces 1, 2, …,n. Se cumple que:

1 = – a1/a0

12 = a2/a0

…

1 2 3 … i = (–1)iai/a0

…

1 2 3 … n = (–1)nan/a0

Donde 1 es la suma de raíces, 12 es la suma de parejas de productos de raíces, etc.

ejemploResolver la ecuación 3x3 – 16x2 +23x – 6 = 0 si el producto de dos raíces es 1.

Sean a, b y c las raíces, entonces

a + b + c = –(–16)/3

ab + ac + bc = 23/3

abc = –(– 6)/3 = 2

Además ab = 1. entonces c = 2 y nos queda resolver

a + b = 10/3

ab = 1 = 2

a2 – 10/3a + 1 = 0 x = 2, 3, 1/3

x3 + 2x2 +3x +2 = 0 si a = b + c

2x3 – x2 – 18x +9 = 0 si a + b = 0

3x3 + 2x2 – 19x +6 = 0 si a + b = –1

Acotación De raícesSi interesan solo las raíces reales de polinomios con coeficientes reales es importante hallar un número real que sea menor a todas las raíces y otro número que sea mayor a todas ellas.

Estos números son la cota inferior y superior de las raíces reales del polinomio.

Para hallar la cota superior buscamos un número que haga positivo a a0x + a1, y aplicamos la regla de Ruffini para evaluar el polinomio, si resulta negativo alguno de los términos, probamos con un número más grande.

Para encontrar la cota inferior sustituimos x por –x y repetimos el proceso anterior.

Ejemplos2x5 – 7x4 – 5x3 + 6x2 + 3x – 10 = 0

Para hacer positivo a 2x – 7, comenzamos con c = 4

4| 2 -7 -5 6 3 -10

2 1 -1 probar con un valor mayor que 4

5| 2 -7 -5 6 3 -10

2 3 10 56 283 1405

5 es la cota superior de las raíces positivas.

x5 – 7x4 – 100x3 – 1000x2 + 10x – 50 = 0

x – 7, debemos comenzar con x = 7

7| 1 -7 -100 -1000 10 -50

1 0 -100 hay que probar un valor mayor

10| 1 -7 -100 -1000 10 -50

1 3 -70 hay que probar un valor mayor

20| 1 -7 -100 -1000 10 -50

1 13 160 2200 positivos los demás

2x6 + 20x5 + 30x3 + 50x2 + 1 = 0

x -x

2x6 – 20x5 – 30x3 + 50x2 + 1 = 0

2x – 20 =0 debemos comenzar con x = 10

10| 2 -20 0 -30 50 0 1

2 0 0 -30 hay que probar un valor mayor

11| 1 -20 0 -30 50 0 1

2 2 22 212 Todos posiitivos

11 es la cota superior del polinomio transformado, -11 es la cota inferior del polinomio original.

ActividadHallar las cotas de las raíces de

x4 – 7x3 + 10x2 – 30 = 0

x5 + 8x4 – 14x3 – 53x2 + 56x – 18 = 0

Raíces enterasSea la ecuación con coeficientes enteros

f (x) = a0xn + a1xn–1 + … + an = 0

Si c es un entero que es raíz de esta ecuación, entonces

c(a0cn–1 + … + an–1) = –an

Es decir, la raíz divide al término independiente.

Además, f (x) = (x – c) f 1(x) y los coeficientes de f 1(x) son enteros. Si x = a, f (a) = (a – c) f 1(a) y por tanto f (a) es divisible por c – a.

Con esto en mente se pueden excluir algunos enteros que dividen a an en la búsqueda de la raíz.

EjemploAveriguar si la ecuación siguiente tiene o no raíces enteras.

x6 + 3x5 – 36x4 – 45x3 + 93x2 +132x + 140 = 0

Divisores positivos de 140: 1, 2, 4, 5, 7

Divisores negativos de 140: 1, 2, 45, 7

Probamos 1 y 1 con Ruffini

1 | 1 3 36 45 93 132 140

1 4 32 77 16 148 288 = f (1)

-1 | 1 3 36 45 93 132 140

1 2 38 7 100 32 108 = f (1)

4 + 1 = 5 no divide a 108, –4 – 1 = –5 no divide a 288, excluimos a 4 y –4.

Probamos 2 y 2

2 | 1 3 36 45 93 132 140

2 | 1 5 26 97 101 70 0 = f (2)

1 7 12 121 -343 756 = f1(2)

2 | 1 5 97 101 70

2 | 1 3 32 33 35 0 = f (2)

1 1 34 35 105 = f2(2)

Probamos luego con 5

5 | 1 3 32 33 35

5 | 1 8 8 7 0 = f (5)

1 13 73 372 = f3(5)

-5 no divide a 7 queda probar 7 y -7

7 | 1 8 8 7

1 15 113 784

-7| 1 8 8 7

1 1 1 0 = f (7)

Resolvemos x2 + x +1 = 0, x = -0.5 + 1.5i y x = -0.5 + 1.5i

Además de x = 2, -2, 5, -7

Investigar si la siguiente ecuación tiene raíces enteras

x5 + x4 – 20x3 – 44x2 – 21x – 45 = 0

Las posibles raíces enteras son 1, -1, 3, -3, 5, -5, 15, -15, 9 y -9

probamos con 9

9| 1 1 – 20 – 44 – 21 – 45

9 90 630 5274

1 10 70 586 5253 …. Valores muy grandes

5| 1 1 – 20 – 44 – 21 – 45

5 30 50 30 45

1 6 10 6 9 0 5 es una raíz

5| 1 6 10 6 9

5 55 325 1655

1 11 65 331 1664 NO es raíz doble

Probamos con 3

3| 1 6 10 6 9

3 27 111 351

1 9 37 117 360

Probamos -3

-3| 1 6 10 6 9

-3 -9 -3 -9

-3| 1 3 1 3 0 es Raíz, probamos si es doble

-3 0 -3

1 0 1 0 es doble

Las otras raíces son –i, +i.

Investigar si la siguiente ecuación tiene raíces enteras

x4 – x3 – x2 + 19x – 42 = 0

Las posibles raíces enteras son 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 7, -7, 14, -14, 21, -21

probamos con 1

1| 1 -1 -1 19 – 42 2| 1 1 1 21

1 0 -1 18 2 6 14

1 0 -1 18 24 1 3 7 35

-1| 1 -1 –1 19 – 42 -2| 1 1 1 21

-1 2 -1 -18 -2 2 -6

1 -2 1 18 60 1 -1 3 15

2| 1 -1 -1 19 -42 3| 1 1 1 21

2 2 2 42 3 12 39

1 1 1 21 0 1 4 13 60

Probando con -3

-3 | 1 1 1 21

-3 6 -21

1 -2 7 0 es raíz.

Las otras dos raíces se encuentra resolviendo: x2 – 2x + 7 = 0

La solución es: x = 1 + 2.45i y x = 1 – 2.45i

Raíces racionalesSi un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz racional de la forma c/d (donde c y d son primos entre si) si

1. El numerador c es un factor de an.

2. El denominador d es un factor de a0.

Demostración. Como f (c/d) = 0

0... 11

1

10

nnn

n

n

n

adca

dca

dca

Multiplicando por dn y luego sumando –andn.

nn

nn

nn dadadcacac

11

21

10 ...

Como c y d no tiene factores en común, c debe dividir a an. De forma similar se demuestra la otra parte.

EjemploMostrar que f (x) = x3 – 4x – 2 = 0 no tiene raíces racionales.

El numerador c debe ser factor de 2 y de 1, y el denominador d debe ser factor de 1.

Las raíces deben ser de la forma 1/ 1 o 2/ 1 o sea 1 o 2

Por Rufinni encontramos

f (1) = -5

f (-1) = 1

f (2) = -2

f (-2) = -2

Por lo tanto no tiene raíces racionales.

EjemploHallar las raíces de f (x) = 3x4 + 14x3 + 14x – 8x – 8 = 0

El numerador c debe ser: 1, 2, 4, 8

El denominador d debe ser: 1, 3

Las raíces deben ser: 1, 2, 4, 8, 1/3 o 2/3, 4/3, 8/3

Por Rufinni encontramos

f (1) = 15, f (-1) = 3, f (2) = 192, f (-2) = 0.

Probamos con las racionales para 3x3 + 8x2 – 2x -4

f (1/3) = -8.56, f (-1/3) = -4.26, f (2/3) = - 2.37, f (-2/3) = 0

Las otras raíces se obtienen de: x2 + 2x – 2 = 0, x= 0.732, -2.732

ResolverHallar las raíces de f (x) = x4 + 3x3 – 30x2 – 6x – 56 = 0

Regla de signos de DescartesSea f (x) un polinomio con coeficientes reales y un término constante diferente de cero.

1. El número de raíces reales positivas de f (x) es igual al número de variaciones en signo en f (x) o es menor a ese número en un entero par.

2. El número de raíces reales negativas de f (x) es igual al número de variaciones en signo en f (-x) o es menor a ese número en un entero par.

EjemploSea f (x) = 2x5 – 7x4 + 3x2 + 6x – 5

Sea f (– x) = –2x5 – 7x4 + 3x2 – 6x – 5

# de soluciones reales positivas: 3 3 1 1

# de soluciones reales negativas: 2 0 2 0

# de soluciones complejas: 0 2 2 4

ActividadUsando la regla de Descartes determine el número posible de soluciones reales positivas, reales negativas y complejas de la ecuación.

2x4 – x3 + x2 – 3x + 4 = 0

Funciones racionales

Una función racional es aquella que es igual al cociente de dos polinomios.

El dominio de la función son todos los números reales excepto aquellos que hacen cero al denominador h(x).

xhxgxf

Ejemplos

2

1

x

xf El dominio es toda x excepto x = 2

9

52

x

xxf

48

2

3

xxxf

El dominio es toda x excepto x = 3

El dominio es toda x real.

Asíntotas verticales

2

1

x

xf

La recta x = a es una asíntota vertical para la gráfica de una función f si

f (x) o f (x) –

Cuando x se aproxima a a ya sea por la derecha o por la izquierda.

Tiene una asíntota vertical en x = 2.

Asíntotas horizontales

2

1

x

xf

La recta x = a es una asíntota Horizontal para la gráfica de una función f si

f (x) c cuando x o x –.

Tiene una asíntota horizontal en f (x) 0 cuando x o x –

y

x

y = c

y = f (x)

y

x

y = c

y = f (x)

y

x

y = cy = f (x)

y

x

y = cy = f (x)

f (x) c cuando x

f (x) c cuando x –

Teorema sobre asíntotas horizontalesSea

mm

mmnn

nn

bxbxbxbaxaxaxaxf

11

10

11

10

...

...

1) Si n < m, entonces el eje x es la asíntota horizontal para la gráfica de f.

2) Si n = m, entonces la recta y = a0/b0 es la asíntota horizontal para la gráfica de f.

3) Si n > m, entonces f no tiene asíntota horizontal.

Ejemplo

613

2 xx

xxf

Como el grado del numerador es menor que el del denominador, tiene una asíntota horizontal.

Para verificarlo, dividimos numerador y denominador entre la mayor potencia del denominador (2) y hacemos que x .

2

2

2

2

2

611

13

6

13

xx

xx

xxx

xx

xf

Al tomar el limite cuando x se obtiene f (x) = 0

Guía para trazar la gráfica de una función racional

Suponga que f (x) = g(x) /h(x), donde g(x) y h(x) son polinomios que no tienen factor común.

1. Encontrar los puntos de intersección con el eje x.

2. Encontrar las raíces del denominador. Para cada raíz trace una asíntota vertical.

3. Encontrar f (0) y localizarlo en la gráfica.

4. Aplicar el teorema sobre asíntotas horizontales. Si hay asíntota horizontal y = c, trace la línea punteada.

5. Si hay una asíntota horizontal y = c, determine si cruza la gráfica. Las intersecciones son solución de f (x) = c.

6. Trace la gráfica.

Ejemplo

5243

xxxf

1. Cero de numerador: x = –4/3

y

x

2. Cero de denominador: x = 5/2

y

x

Ejemplo

5243

xxxf

3. f (0) = –4/5

y

x

4. Asíntota horizontal en: y = 3/2

y

x

Ejemplo

5243

xxxf

5. f (x) = 3/2

6. Trazar gráfica

y

x23

5243

xx

6x + 4 = 6x – 15, no existe solución, no hay cruce.

x = 5/2

y = 3/2

Gráfica con Geogebra

Trazar gráfica 212

2

2

2

xxx

xxxxf

1. Intersección con eje x: x = 0

2. Ceros de denominador: x = –1, 2

3. Intersección con eje y: mismo punto de paso 1.

4. Asíntota horizontal en y = 1/1 = 1

5. Cruce con la asíntota horizontal.

2

121

22

2

xxxxx

xx = -2

y

x

x = 2

(-2, 1)

(0, 0)

212

2

2

2

xxx

xxxxf

x = -1

y = 1

f (x) > 0 para x<-1

f (x) < 0 para -1<x<2

f (x) > 0 para x>2

Trazar gráfica

124

4

xxxf

1. Intersección con eje x: x = 0

2. Ceros de denominador: no hay

3. Intersección con eje y: mismo punto de paso 1.

4. Asíntota horizontal en y = 2/1 = 2

5. Cruce con la asíntota horizontal.

22,21

444

4

xxx

xNo tiene solución real, no hay cruce.

y

x(0, 0)

24

4

xxxf

y = 2

f (x) > 0 para toda x

Imagen con Geogebra

Asíntotas oblicuas

Si el grado del numerador es mayor que el del denominador en uno, se tiene una asíntota oblicua.

xhxrbax

xhxgxf

Cuando x crece el término r(x)/h(x) se hace 0 y la función crece como ax + b.

Si la diferencia en el grado del numerador y denominador es más grande la asíntota se ajustará a la curva del cociente.

4292

xxxf

Tiene una asíntota en x = 2.

El cociente es igual a:

42

5121

xxxf

Conforme x crece (o decrece) se aproxima a la recta ½ x + 1.

Note que para x>2 la función está por debajo de la recta y para x<2 se encuentra por arriba.

y

x

x = 2

½ x + 1

Fracciones parcialesLa descomposición en fracciones parciales de una función racional es una expansión de la forma:

rFFFxgxf ...21

En donde cada Fk es de la forma

nmcbxax

BAxoqpx

A

2

En donde los polinomios cuadráticos no tienen raíces reales.

Procedimiento1. Si el grado de f (x) no es menor que el de g(x), dividir ambos polinomios.

2. Factorizar g(x) en factores de la forma (px + q) y (ax2 +bx + c) y agrupar los factores comunes de la forma (px + q)m y (ax2 +bx + c)n.

3. Para factores de la forma (px + q)m con m>=1, descomponer en

mm

qpxA

qpxA

qpxA

...2

21

4. Para factores de la forma (ax2 +bx + c)n descomponer en:

nnn

cbxaxBxA

cbxaxBxA

cbxaxBxA

222

222

11 ...

5. Encontrar los valores de Ak y Bk.

Ejemplo

xxxxx

329134

23

2

La factorización del denominador da: x(x + 3)(x – 1)

13329134

23

2

xC

xB

xA

xxxxx

AxCBAxCBA

xCxxBxxxAxx

332

311391342

2

Igualando coeficientes de x2, x y término independiente queda el siguiente sistema de ecuaciones:.

9313324

ACBA

CBA Resolviendo se obtiene A = 3, B = -1 y C = 2.

12

313

329134

23

2

xxxxxxxx

Otro métodoEn lugar de igualar coeficientes sustituimos x = 0, 1, y -3 en:

31139134 2 xCxxBxxxAxx

Con x = 0 se obtiene: - 9 = -3A, A = 3

Con x = 1 se obtiene: 4+13–9 = 4C, C = 2

Con x = -3 se obtiene: 36 – 39 –9 = -12B, B = -1

Ejemplo 2

2

33610

xxxx

De acuerdo con la regla

AxCBAxBA

CxxBxxAxx

936

3336102

22

Igualando coeficientes de x2, x y término independiente queda el siguiente sistema de ecuaciones:.

3691036

1

ACBA

BAResolviendo se obtiene A = -4, B = 5 y C = 1.

22

2

3333610

xC

xB

xA

xxxx

22

2

31

354

33610

xxxxxxx

Otro métodoEn lugar de igualar coeficientes sustituimos x = 0 y 3 en:

Con x = 0 se obtiene: - 36 = 9A, A = -4

Con x = 3 se obtiene: 9 + 30 –36 = 3C, C = 1

El valor de B se puede encontrar con las ecuaciones anteriores.

CxxBxxAxx 333610 22

Ejemplo

48229154

23

23

xxxxxx

Son del mismo grado, es necesario dividir

482212

48229154

23

2

23

23

xxxxx

xxxxxx

Factorizando el denominador:

2x3 – x2 + 8x – 4= x2(2x – 1) + 4(2x – 1) = (x2 + 4)(2x – 1)

12448221

223

2

xC

xBAx

xxxxx

x2 – x – 21 = (2A + C)x2 + (–A + 2B)x – B + 4C

Igualando coeficientes de x2, x y término independiente queda el siguiente sistema de ecuaciones:.

21412

12

CBBACA Resolviendo se obtiene A = 3, B

= 1 y C = -5

125

4132

48229154

223

23

xxx

xxxxxx

Ejemplo

22

23

13735

xxxx

El factor cuadrático está repetido

5x3 – 3x2 + 7x – 3 = Ax3 + Bx2 + (A + C)x + B + D

A = 5, B = -3, C = 2 y D = 0

22222

23

1113735

xDCx

xBAx

xxxx

22222

23

12

135

13735

xx

xx

xxxx