Post on 01-Nov-2020
1
POLÍGONOS.
POLÍGONO: é unha superficie plana
pechada limitada por rectas
que se cortan formando vértices.
PERÍMETRO: é a suma dos seus lados.
- O polígono pode ser cóncavo se ten
algún ángulo interior maior de 180º.
- O polígono pode ser convicto se todos
os seus ángulos interiores son
menores de 180º.
TRIÁNGULOS
É unha figura plana limitada por tres rectas que se cortan dous a dous
formando tres lados e tres ángulos.
Os ángulos noméanse con letras maiúsculas A,B,C.
Os lados noméanse coa letra correspondente ao ángulo oposto pero en
minúscula.
Os ángulos A= B= C=
Segundo os seus lados:
Segundo os seus ángulos:
convicto cóncavo
A
B C
A
B C
A
B C a
b c c b
a
c b
a
Equilátero
a=b=c
Isósceles a=b=c
Escaleno a=b=c
un ángulo obtuso
A A A
B B B C C C a a a
b b b c c c
Acutángulo 3 ángulos agudos
Rectángulo un ángulo de 90º
Obtusángulo
A. exterior A. interior
diagonal
lado vertice
2
Propiedades dos triángulos
-A suma dos ángulos dun triángulo é
de 180º. Â+B+C=180º
-Un triángulo non pode ter máis dun
ángulo recto ou dun ángulo obtuso.
-Nun triángulo rectángulo os seus
dous ángulos agudos son ángulos
complementarios. (1º)
-O ángulo exterior dun triángulo é igual
á suma dos dous ángulos interiores adxacentes. (2º)
-A maior ángulo, maior lado oposto.
-A suma de dous lados é maior sempre que a
do outro lado. A resta de dous lados é
menor sempre que a do outro lado.
-Se nun triángulo ABC trazamos arcos con entro en A, B e
radio b e a respectivamente unindo posteriormente os
resultados o vértice C, teremos un triángulo a base do cal é o perímetro
do triángulo anterior e os ángulos da cal cumpre (3º).
Puntos notables dun triángulo.
Circuncentro: Cc.
É o punto onde a unes as mediatrices dun
triángulo e é o centro dunha
circunferencia circunscrita ao triángulo.
Incentro: Ic.
É o punto onde se unen as bisectrices dos
ángulos dun triángulo e é o centro da
circunferencia inscrita ao triángulo.
45º 75º
60º
A
B C
A+B=135º
2º)
A
B C A' B'
/2
/2
3º)
B C
A
a
b c Cc.
A
B C
1º)
A
B
A. complementario
C
A
B
Ic.
3
Baricentro: Ba.
É o punto onde se unen as medianas do triángulo.
Mediana: recta que vai dende o vértice ata a
metade do lado oposto.
Ortocentro: Oc.
É o punto onde se xuntan as alturas
dun triángulo. Unindo os pés das alturas fórmase
o triángulo Órtico.
Con centro no ortocentro pódese trazar a
circunferencia Órtica que está inscrita no triángulo Órtico.
Altura: é a recta que vai perpendicularmente
dende o vértice ata o lado oposto.
Cando o triángulo é obtusángulo o ortocentro é exterior.
Cando o triángulo é acutángulo o ortocentro é interior.
Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro coincide
co vértice recto do triángulo.
Recta de Euler:
É aquela recta que pasa polo Ortocentro,
Circuncentro e o Baricentro.
Exercicio nº 1
Debuxar un triángulo coñecendo os tres lados,
a= 30 mm, b=20mm, c=15mm.
Exercicio nº 2
Debuxar un triángulo coñecendo dous lados e
o lado comprendido. a=30mm, b=40mm e C=30º.
A
B C
0c.
Pa
Pb Pc
B C
A
Mc Mb
Ba
Ma
Oc Ba
Cc
B C
A
A
B C a
b c
A
a
b
c
C B
30º
R40
4
R60
30º
C A
B
b
c
a
Exercicio nº 3
Construción dun triángulo isóscele de lado
desigual 20 mm e lados iguais 40 mm.
Exercicio nº 4
Constución dun triángulo isóscele dos lados
de 40 mm e ángulo  30º.
Exercicio nº 5
Construción dun triángulo coñecendo un lado
e os ángulos adxacentes. a=40mm, B=60º, C=45º.
Exercicio nº 6
Construción dun triángulo coñecendo un lado
a=40mm, b=50mm e B=75º
Exercicio nº 7
Construción dun triángulo rectángulo
coñecendo os dous catetos b=50mm e c=30mm.
Exercicio nº 8
Construción dun triángulo rectángulo coñecendo
a hipotenusa a=60mm e o ángulo C= 30º
A
B C
R40 R40
a
b c
A B
C R40 b
c
a
30º
A
a B
b
C
c
60º 45º
A
B C
R40
a
b
75º
50
30
B
A
C
a
b
c
5
50
60º
o
b
B
A
a
C
c
Exercicio nº 9
Construír un triángulo rectángulo
coñecendo un cateto de 50 mm e
o ángulo oposto de 60º.
Exercicio nº 10
Construír un triángulo coñecendo dous
lados e o ángulo oposto a un deles.
a=30mm, b=45mm, Â=30º.
Exercicio nº 11
Construír un triángulo equilátero sabendo
que a súa altura é de 35 mm.
Exercicio nº 13
Construír un triángulo Isósceles dada a
altura de 35 mm e os seus
dous lados iguais de 38 mm.
a B C
O
A
A'
b
b'
R45
30 A
B C
h 35
30º
R38
35
A
B C a
b
c
6
20 28.93
C
A B B'
C'
37º30'
Exercicio nº 14
Construír un triángulo Isósceles dada
a base de 20 mm e a súa altura
de 35 mm.
Exercicio nº 15
Construír un triángulo Isósceles dado o ángulo Â=37º30' e o seu lado
oposto a=20mm.Trazar de dúas formas.
1º procedemento 2º procedemento
Exercicio nº 16
Trazar un triángulo coñecendo a=40mm,
b=30mm, e a altura ha=20mm.
Exercicio nº 17
Debuxar o triángulo de lado BC= 35 mm, e dúas medianas mb= 30 mm e a
mc= 40 mm
35
20
A
B C
A
B C
0
20
R30
40 C
A
a B
b c
40
Ba=26.67
B C R20
R30
R26.67 R40 A
Ba
7
Ma=40
40 45º
A'
B C
A
O
A
B C
A'
Cc.
R25
R25
40
10
Exercicio nº 18
Representar un triángulo de lado a=40mm,
Â= 45º e mediana da,
Ma= 40 mm.
Exercicio nº 19
Trazar o triángulo de lado a= 40 mm,
b=25mm e co circuncentro Cc
situado a 1 cm do lado a.
Exercicio nº 20
- Achar o triángulo rectángulo de
perímetro P=70mm e o ángulo B= 60º.
Recorda que en calquera
triángulo os ángulos que
forman un triángulo de base o
perímetro e os outros dous lados
chegan ata o vértice oposto do
triángulo orixinal os da figura.
Pasos:
-Polo extremo do segmento
perímetro trasládanse os
ángulos 45º/2 e 60º/2 que
córtanse en C.
- Por C perpendicular ao segmento perímetro dá A. Por C 60º/2 e dá B
-Tamén se pode trazar a mediatriz de A/2C e dá A.
- Tamén se traza a mediatriz de CB/2 e dá B
A
B C A' B'
/2
/2
30º
60º 90º
30º
45º
C
B A A/2 B/2
B/2
70
8
Exercicio nº 21
Achar o triángulo Isósceles de perímetro P=70mm
e ángulo oposto á base Â=30º
Sábese que a suma dos
ángulos dun triángulo é de 180º.
Asi que se temos un ángulo de
30º os outros dous teñen que ser
de 75º.
Pasos:
-Trazamos o segmento perímetro.
-Trázase os ángulos de 37º 30' en cada extremo do devandito segmento que
córtanse no punto A.
- Trázase ángulos de 37º 30' polo vértice A. Dándonos o ángulo de 30º e o
triángulo buscado.
- Tamén se pode achar as mediatrices para dar os vértices B e C xa que son
triángulos isósceles os creados polo perímetro A,B/2,B e A,C,C/2.
Pódese achar con outro procedemento: Crear un triángulo Isósceles auxiliar e
buscando o seu perímetro.
CONSTRUCIÓNS "TIPO" DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Exercicio nº 22
Construción dun triángulo rectángulo coñecendo a
hipotenusa a=65mm e a diferenza de catetos b-c=15mm
Razoamento:
Se temos un triángulo rectángulo calquera e
buscamos o segmento b-c. Pódese crear un
triángulo rectángulo isóscele os ángulos da cal serían 45º cada un.
Para construír o noso triángulo rectángulo buscado, só fai falta aplicar
este coñecemento.
37º30'
30º
75º 75º 37º30' 37º30'
70
A
B C B/2 C/2
b-c
45º
45º
b
c
a
A
B
C c
9
Pasos:
-Nunha recta pon o segmento b-c =CX.
-Por X trázase un ángulo de 45º.
-Por C trázase un arco con distancia
hipotenusa a= 65 mm.
-Ditos trazados córtanse no vértice B.
-Dende B trázase unha perpendicular á
recta inicial e dá o vértice A.
-o triángulo buscado é o triángulo ABC.
Exercicio nº 23
Construír un triángulo rectángulo coñecendo a hipotenusa a=55mm e a suma
dos seus catetos b+c=70mm.
Razoamento:
Se temos un triángulo rectángulo calquera e buscamos
o seu segmento b+c, veremos que se forma un pequeno
triángulo rectángulo isóscele cun dos vértices e o
extremo do segmento suma.
Pasos:
-Dado o segmento b+c=XC.
-Por X trázase un ángulo de 45º.
-Por C trázase un arco de radio hipotenusa.
-Estes córtanse en B.
-Dende B trázase unha recta perpendicular a
“b+c” e dá o vértice A.
-Trázase máis forte o triángulo ABC.
R65
15
C X
b
A
c
a
B
45º
X A'
B'
B
A C
R55
45º
b+c
a
a'
45º
45º
b+c
c b
a c
B
A C
10
Exercicio nº 24
Construción dun triángulo rectángulo coñecendo un cateto b=25mm e a
suma da hipotenusa e o outro cateto a+c=90mm.
Razoamento:
Se nun triángulo rectángulo buscamos o segmento a+c
podemos crear untriángulo isóscele e como a mediatriz
do lado desigual pasa sempre polo vértice desigual.
Se trazamos a mediatriz do lado desigual XC pasará
polo vértice B.
Pasos:
-Dado a+c=XA.
-Por A trazar unha perpendicular de 25 mm.
-Únese XC. Trázase a Mediatriz de XC.
que corta ao segmento a+c en B.
-Márcase máis
o triángulo ABC.
Exercicio nº 25
Construción dun triángulo rectángulo coñecendo un cateto c=30mm e a
diferenza da hipotenusa e o outro cateto a-b=15mm.
Razoamento:
Se nun triángulo rectángulo calquera buscamos o segmento a-b,
podemos determinar un triángulo isóscele os vértices do cal serían
BCX. A mediatriz do lado desigual dun triángulo isóscele pasa sempre polo vértice oposto.
Pasos:
-Sobre unha recta poñer a-b=AX.
-Trazar unha perpendicular por A de 30 mm
e dános o punto B.
-Unimos BX e trazamos a mediatriz que
corta á recta r en C. Unir os vértices ABC.
a+c
a
a
c
b
X A
C
B
X B
a+c
a
a
c
b
A
C
a
b
a c
a-b
X A C
B
15
30
b
c a
r A
B
C X
11
Exercicio nº 26
Construción dun triángulo isóscele, coñecendo o ángulo Â=30º e o segmento
a+ha=5cm.
Pasos:
-Trazar un triángulo isóscele auxiliar de 30º formado
por A ' B 'C'. Buscamos o segmento auxiliar
a'+ha' que nos dará o punto X' na prolongación
da altura auxiliar.
- Unimos C X e B'X'.
- Dende A' transportamos o noso a+ha de 5 cm e daranos o punto X.
- Trazamos polo punto X paralelas a C 'X' e B'X' que corta ás
rectas de prolongación dos lados do triángulo auxiliar en C e B.
- Unimos ABC e temos o triángulo buscado.
Exercicio nº 27
Construción dun triángulo coñecida a altura ha=3cm. a mediana ma=4'5cm. e
sabendo que o lado a=2b
-Trázase unha recta r onde se coloca perpendicularmente a ha=3cm.
Esta recta dános o vértice do triángulo buscado A.
-Con centro en A e radio ma=4'5 trázase un arco que
corta á recta no punto Ma (punto medio do lado a )
-Trazamos a mediatriz de ma para buscar o vértice B
xa que a=2b, aínda que non se sabe canto vale b,
o lado ma será o lado desigual dun triángulo isóscele.
-Trázase o simétrico de CMa e daranos B.
30º
50
A'=A B'
C' C
B
X' X
A
ha
c
ma
Ma
b
b
A
ha ma
Ma
b
b C B
R45
30
12
Exercicio nº 28
Construír un triángulo coñecido un ángulo Â=45º e as medianas ma=5'5cm e
mb=4cm.
Podemos ver que temos de datos a mediana do lado b e o ángulo  que é o seu oposto,
trazando o arco capaz conseguimos unha parte do triángulo buscado, só nos faltaría un vértice
que conseguiremos coa prolongación da mediana da ou a metade do lado b.
-Dividimos a mediana mb ( extremos Mb e B) en tres partes iguais e localizamos o
baricentro do triángulo buscado.
-Trazamos o arco capaz do segmento mb e o ángulo de 45º.
-Dividimos a mediana ma en tres partes iguais.
-Con centro no Baricentro e radio dúas partes de ma trazamos
un arco que corta ao arco capaz no punto A.
-Con centro en Mb e radio MbA trazamos un arco que
corta á prolongación AMb en C.
-Unimos e dános o triángulo buscado.
Exercicio nº 29
Construír un triángulo coñecendo un lado c=5cm. un ángulo adxacente Â=30ºe
o segmento Wb=3cm.
-Recórdase a nomenclatura do triángulo.
-Trázase o lado c e o ángulo Â.
-Con centro en B e radio Wb trazamos un arco que
corta ao  en X.
-Temos a metade do ángulo B, polo que
soamente temos que transportar outra metade de B que cortará o lado anterior en C.
40
36.67
55
45º
ma
mb
A
Mb B
C
Ba
=
=
c
C
A B
a X
b Wb
30º
13
Exercicio nº 30
Debuxar o triángulo de lado a=30mm, e as medianas mb=50mm, mc=35mm.
-Dividir mc e mb en tres partes iguais.
-Poñer o lado a.
-Polo extremo B trázase un arco con radio dúas partes de mb.
-Polo extremo de C trázase un arco con radio dúas partes de mc.
Os devanditos
Arcos córtanse no baricentro.
-Prolóngase mc engadindo a parte que lle falta.
dános Mc (punto medio do lado c).
-Unimos BMc e prolongamos.
-Prolóngase mb engadindo a parte que lle falta.
Dános Mb (punto medio do lado b).
-Unimos CMb e prolongamos. As
devanditas prolongacións córtanse en A.
Exercicio nº 31.
Constrúe un triángulo coñecendo o lado a=35mm, a altura ha=25mm e o Â=60º
-Trázase o arco capaz do lado a e o ángulo A.
-Prolóngase o lado a para trazar unha
perpendicular ou trasladar a altura hai.
-Trázase unha paralela coa distancia
da altura que corta ao arco capaz en
dous puntos, hai dúas solucións a 'BC e ABC.
33.33 16.67
a=5
0
23.33 35
11.67 a B C
R23.33
R35 R50
A
R33.33
Ba
Mc Mb
c b
A
B C
A'
a
c b ha
O
60º
14
Exercicio nº 32
Construír un triángulo coñecendo o lado c=40mm; mc=45mm e hc=35mm
-Trázase o lado c.
-Búscase a mediatriz de c e dános Mc
-Trázase unha paralela coa altura hc.
-Con centro en Mc e radio mc curta á
paralela en dous puntos.
-Hai dúas solucións.
Exercicio nº 33
Debuxar un triángulo ABC dado ángulos Â=75º o ángulo B=75º e a
lonxitude da mediana a partir de c de 45 mm. (é dicir mc=45mm).
-Trázase un triángulo auxiliar a ' B 'C' que
teña un ángulo de 45º e outro de 75º.
-Búscase o seu segmento auxiliar mc'.
-Transpórtase noso mc sobre a mediana
auxiliar e trázase unha paralela ao
lado auxiliar c' daranos o triángulo xa ben
prolongando os lados de auxiliar se
fose máis grande, ou no propio auxiliar
se fose máis pequeno.
R45 A B
C C'
hc
mc
Mc c
b a
45
C
A'
A
Mc'
Mc
B
B'
75º 45º
15
Exercicio nº34
Construír un triángulo coñecendo o ángulo Â=30º ángulo C=45º
e a bisectriz Wc=45mm
-Trázase un triángulo auxiliar
A ' B 'C' cos ángulos de 3º e 45º.
-Búscase a bisectriz do auxiliar
e transpórtase sobre ela a nosa wc=45mm.
-Trázase unha paralela ao lado c' e daranos o noso triángulo ABC.
Exercicio nº 35
Debuxar un triángulo ABC dados os ángulos Â=75º,
o ángulo B=45º e a altura hc=35mm.
- Trázase case igual que os anteriores cun
triángulo auxiliar.
Exercicio nº36 PARA 2º BACH.
Construír un triángulo ABC do que se coñece o lado AB=55mm,
a altura sobre este lado hc=44mm, e a altura ha=40mm sobre
o lado BC. Explicación razoada.
Se coñecemos o segmento ha e o lado continuo neste caso o lado c,
podemos determinar sempre a dirección do lado da , co arco capaz de
90º, xa que o segmento altura e a porción do segmento lado do
triángulo forman un ángulo de 90º
-Trázase o lado AB, trázase o arco capaz de 90º,
o centro da cal será o punto medio do devandito
segmento.
-Con centro en A e radio ha trázase un arco que
corta ao arco capaz. Únese o vértice B, o punto
de corte anterior e prolóngase.
-Trázase unha perpendicular coa
altura hc, trázase unha paralela que
corta á prolongación en C.
-Unimos ABC e temos o triángulo buscado.
A' A
B
B'
C
Wc=45
A B
ha a
c
C
b
C
A'
A B
B'
hc=35
44
55
R40
A B
C
hc
ha
16
Exercicio nº 37
Construír un triángulo do que se coñece o lado AB=c e o seu baricentro G.
Explicación razoada.
O baricentro é o centro de gravidade dun triángulo e
segméntoos que o forman son as medianas que van
dende o vértice ata a metade do lado oposto.
O baricentro corresponde a 1/3 da súa correspondente mediana, por iso:
-Trázase a mediatriz do lado c para buscar o punto medio fáiselle pasar
polo baricentro prolongandose.
-Transpórtase dúas partes do segmento McBa dándonos o vértice C.
-Únense ABC e temos o triángulo buscado.
-Pódese trazar doutra forma como é utilizando as medianas ma e mb.
Exercicio nº 38
Debuxar o triángulo ABC sendo AB+BC=a+c, AC=b e coñecendo o ángulo
B de 60º. o segmento a+b=60mm., b=40
Razoamento:
-Se nun triángulo aliñamos dous lados, o c e o a, pódese ver
na figura que forma un triángulo isóscele (raiado), onde terá
dous ángulos iguais e a mediatriz do lado desigual pasarà
polo vértice oposto.
-O ángulo B sería B= R+T. xa que B é o suplementario de S
e o ángulo exterior dun triángulo é a suma dos outros dous
ángulos interiores do triángulo. B= 2 R (xa que R=T).
De aquí dedúcese R=B/2.
-A bisectriz do ángulo B, é sempre paralela ao lado desigual do
triángulo isóscele anterior.
A c
Ba
B
A c
Ba
B Mc
C
A
B C
c
c
b
a
S R
T
X
T
R
X c
c
B
S
a
A
b
C
17
Pasos:
- Trázase o segmento a+c.Por o punto X ponse
un ángulo de 30º.
- Con centro en C e radio b, trázase un arco que
corta ao lado do ángulo en A (pode cortar en dous
sitios e entón habería dúas solucións).
- Trázase a Mediatriz do segmento XA que nos
dará o vértice B.
Exercicio nº 39
Debuxar un triángulo de lado a=6cm., e as alturas ha=4cm e hc=4'4cm.
-Sobre unha recta “r” búscase un punto calquera P. trázase unha
perpendicular con lonxitude hc. e dános o vértice C.
-Dende o vértice C trázase un arco co lado
“a “ que corta á recta “r” no vértice B.
-Por C trázase unha recta perpendicular ao
lado a de lonxitude ha e dános X.
-Dende X trázase unha paralela ao lado a
que corta á recta r no vértice A.
-Unimos ABC e temos a solución.
Tambén pódese facer como o exercicio 36 co arco capaz
Exercicio nº 40
Construción dun triángulo os datos do cal son: a altura hc=45mm, ángulo
C=60º e Ángulo B=45º.
-Trázase un triángulo auxiliar a ' B 'C cos
ángulos de 45º e o de 60º.
-Búscase a altura auxiliar hc'.
-Con centro en C e radio hc=45
trázase un arco que corta á altura auxiliar.
Dende este último punto trázase unha
paralela á recta auxiliar a 'B', esta paralela
hc
r
ha
P
C
A B
a
c
b X
hc'
R45
hc
C B' B
A'
A
60º
45º
18
curta nos puntos A,B. Unimos ABC.
Exercicio nº 41
Construír o triángulo os datos do cal son: O ángulo C=60º, hb=5cm e ma=4cm.
- Trázase unha recta e búscase un punto
calquera P e nela trasládase a altura hb.
- Trázase unha paralela á recta.
- Por outro punto calquera da recta C
trasládase o ángulo se 60º que corta á
recta paralela en B
-Xa temos o lado a trázase a mediatriz
para obter o punto Ma.
-Con centro Ma e radio ma trázase un
arco que corta á recta en A.
-Unimos ABC.
Exercicio nº 42
Construír un triángulo rectángulo coñecendo as medianas correspondentes á
hipotenusa de 40 mm e ao cateto de 55 mm.
-Trázase o arco capaz de 90º baixo o
segmento da mediana de b mb.
-Divídese polo teorema de Tales ma e mb.
-Nun extremo do segmento mb estará o
punto B e no outro Mb. O baricentro está a 1/3 de Mb.
-Con centro en Ba e radio 2/3 de ma trázase
un arco que corta ao arco capaz de 90º
dándonos o vértice A.
-Con centro en Ba e radio 1/3 de ma
trázase un arco que corta á prolongación
de ma en Ma.
-Con centro en MB e radio MbA trázase un
arco que corta á prolongación MbA en C.
C P
hb
B
b
a
Ma
40
A
c
B Mb Ba
A
C
mb
ma
55
40
26.67
19
-Únese AMa e propóñase que concorre no vértice C.
Exercicio nº 43.
Debuxar o triángulo de lados proporcionais a 4,5, e 6 e de radio da
circunferencia circunscrita de 60 mm.
-Este exercicio é en realidade unha homotecia
de centro Cc con triángulos semellantes
(recorda que as figuras semellantes son
aquelasque teñen os ángulos iguais e os
lados proporcionais).
- Como non coñecemos os ángulos,
trázase un triángulo auxiliar que teña
os lados proporcionais a 4, 5, e 6 A ' B 'C'
así poderemos obter os ángulos do triángulo
buscado. Se busca o circuncentro de A´B´C´.
- Co centro no Cc trácese a circunferencia
circunscrita de radio 60 mm.
- Como é unha homotecia únense CcC' e prolóngase.
-Únese CcA' e prolóngase. Únese CcB' e prolóngase.
-Estas prolongacións curta á circunferencia de 60 mm en AB triángulo buscado
Exercicio nº 44
Nun triángulo ABC, Â=75º, ángulo B=60º e radio =30mm
(radio da circunferencia inscrita), debuxar o triángulo
-Trázase un triángulo auxiliar que teña por
ángulos 77º e 60º., búscase o seu incentro
e a súa circunferencia inscrita.
-Con centro no incentro e radio 30 trázase a
nosa circunferencia inscrita. Dende o Ic trázanse
rendas tanxentes para buscar os puntos
de tanxencia sobre a nosa circunferencia inscrita.
-Polos puntos de tanxencias trázanse rectas
perpendiculares p paralelas ao triángulo auxiliar
A
A' B'
B
C
C'
Cc
R50 R60
R40
R60
R30
60º 75º
Ic
C'
C
A
A' B'
B
20
que se cortan dous a dous formando os vértices ABC.
Exercicio nº 45
Debuxar o triángulo isóscele, o lado desigual do cal é a metade dos lados
iguais, inscrito na circunferencia de radio 4 cm.
-Trázase un triángulo auxiliar da cal o lado desigual
a=c/2, é dicir por exemplo a=20, c e b=40mm.
-O triángulo que temos que buscar está inscrito
nunha circunferencia, polo que a circunferencia e o
punto que temos que achar é o circuncentro e a
súa circunferencia..
- Áchase o circuncentro Cc auxiliar e a súa circunferencia
(aínda que non sirva para nada).
-Con centro en Cc, e radio 4 cm trázase a circunferencia
circunscrita, prolóngase a mediatriz da que pasa polo vértice e se
trazan paralelas aos lados, dándonos ABC.
Exercicio nº 46
Debuxar o triángulo XYZ que ten un vértice no punto X, a súa circunferencia
inscrita é C, e o ángulo no vértice Y vale 75º. Distancia XO=60mm, Radio de
C= 20 mm. O: Centro de C.
Formulación:
Se vemos os datos que nos dá o problema podemos ver que hai un
triángulo rectángulo que se pode obter. O noso triángulo acharémolo
despois trazando recta perpendicular a 75º e recta tanxente á circunferencia.
Pasos:
-Sobre unha recta r búscase un punto T calquera e trázase a
súa perpendicular con distancia 20 mm. Dános Ic.
-Con centro en Ic “O” e radio 60 mm arco que corta á recta r en X.
-Trázase a circunferencia inscrita de radio 20mm.
-Noutro punto calquera da recta r trázase un ángulo de 75º.
-Trázase dende O unha recta perpendicular á
recta de ángulo 75º esta curta á circunferencia
noutra T1. Tanxente por T1 e dános Y.
R40
A
A'
B' C'
B C
Cc
75º
20
60
X
Ic
T Y
75º T Y X
Z
O
T1
21
- Trázase outra recta por X tanxente á circunferencia e achamos o vértice Z (a mellor
forma para trazar é o exercicio de recta tanxente a unha circunferencia por un punto
exterior a ela).
Exercicio nº 47
Construción dun triángulo coñecendo a mediana ,la bisectora e a altura do
mesmo vértice. ma=25mm,wa=20mm e ha=18mm.
razoamento sobre as rectas notables bisectriz e mediatriz.
Sexa E un ángulo inscrito nunha circunferencia de centro O.
Este ángulo central,mide o dobre do correspondendo inscrito 2E.
O arco abranguido por estes dous ángulos é o FNG.
Se trazamos a bisectriz do ángulo E, daranos dúas metades é dicir
dous E/2. A bisectriz corta ao arco FNG no seu punto medio M
(posto que a medida dun inscrito depende do arco abranguido)
Na figura do triángulo se se acha a mediatriz de FG esta divide ao
arco da devandita corda en M punto medio do arco. Hai que recordar
que a mediatriz é perpendicular ao lado FG.
Se fundimos as dúas figuras anteriores, podemos ver que a mediatriz
dun lado e a bisectriz do ángulo oposto dun triángulo se cortan no
punto medio do arco da circunferencia circunscrita ao triángulo.
Pasos:
-Sobre unha recta r trázase unha recta perpendicular
que será ha e daranos o vértice A.
-Con centro en A e radio ma trázase un arco que corta á
recta en Ma (punto medio do lado a).
-Por este punto Ma trázase unha recta perpendicular
(que sería a mediatri do lado a).
-Con centro en A e radio wa trázase un arco que corta á
recta r en x, esta wa prolóngase ata que corte á mediatriz
en M (punto que pertence á circunferencia circunscrita.
E
F
N
O
2E
G
F
N
2E
O
G
E
E/2 E/2
F
N G
E
Cc
N
F
G
E
R25
Ma
Cc
A
B C
ha
wa
M
22
-Únese AM (corda da circunferencia circunscrita) áchase a mediatriz, que corta á
perpendicular por Ma en Cc.
-Con centro en Cc e radio CcA, circunferencia circunscrita que dá os puntos B e C.
Exercicio nº 48
Construción dun triángulo coñecendo as tres medianas. ma=45mm, mb=30mm e
mc=25mm.
Razoamento
-Para saber que pasa coas medianas dun triángulo trazamos
un triángulo calquera e buscamos as súas medianas. Estas
medianas dividen cada lado en partes iguais.
-Hai que recordar que dende o baricentro ao vértice hai 2/3,
e dende o baricentro ao punto medio hai 1/3.
-Se dende o vértice B se pode trazar unha paralela
a mc e se leva 2/3 mc. dános o punto X. Pódese trazar
un triángulo con lados 2/3 das mediatrices BXBa.
Pasos:
- Segundo o anterior visto, trázase o segmento 2/3 ma e buscamos o seu punto medio
M.
- Búscase o vértice C sabendo que M é o punto medio do lado a. Unindo BM e
prolongando o dobre.
- Prolóngase XM e trázase 2/3 de ma a partir de M. dándonos o vértice A.
- Prolóngase BaB e con centro en Ba trasládase 1/3 mb dàndonos M de b.
- Unimos ABC e temos o triángulo.
Ba
B C
A
M
X
ma
mb mc
2/3ma
2/3mc
2/3mb
M
Ba
B
X
M
C
A
45 30 25 30 20 16.67
23
Exercicio nº 49 (2º bach.)
Construír un triángulo dado lado a=30mm, Â=45º e mb=28mm.
Razoamento:
Para crear este triángulo primeiro hai que saber que pasa co lugar
xeométrico dos puntos medios das cordas dunha circunferencia, que parten
dun punto dela.
Isto é, temos un punto P calquera dunha circunferencia, por este
punto facemos pasar infinitas cordas da devandita circunferencia, se
trazamos os puntos medios das devanditas cordas, estas describen unha circunferencia
(estas describen un lugar xeométrico) o centro da cal esta na corda que é o diámetro.
Se temos unha circunferencia e nesta dúas cordas concorrentes,
sendo unha delas o diámetro. unimos os extremos (UT) e daríanos
un triángulo rectángulo onde U é o ángulo de 90º.
Se trazamos polo centro O da circunferencia unha recta paralela a
UT, daríanos outro triángulo rectángulo POM, onde M sería o
punto medio da corda PU.
Tamén podemos facelo ao revés: o extremo do diámetro T sería o
centro dunha circunferencia onde U sería o punto medio doutra
circunferencia de corda o dobre de PU e de diámetro o dobre de PT.
Pasos.
-Temos a mediana mb que ten un extremo do segmento B nunha
circunferencia circunscrita e o outro extremo é Mb que é o punto
medio do segmento AC=b que é corda da circunferencia circunscrita.
-Temos o segmento a e o seu ángulo oposto polo que case
inmediatamente hai que facer o arco capaz, onde o centro sería
o circuncentro do triángulo buscado.
- Se unimos Cc co vértice C, este segmento sería o diámetro da
circunferencia formada polos puntos medios das cordas da
circunferencia anterior.
-Trázase a mediatriz de CcC dános X. Con centro en X e radio XCc
trazamos a circunferencia de puntos medios.
- Con centro en B e radio mb trázase un arco que corta á circunferencia de puntos
medios en Mb.
-Únese MbC e prolóngase ata cortar ao arco capaz en A. Unimos ABC.
M M M
M M
M M M M
P o
P o
M
U
T
P o T
M
U
B
Cc
a C
A
Mb
X
R28
45º