Post on 14-Mar-2021
i
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE
SKRIPSI
Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun Oleh:
Hilaria Heparantiza
NIM: 083114002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2012
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
THE SOLUTION OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEM
USING LAPLACE TRANSFORMATION
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the SARJANA SAINS Degree
In Mathematics
By:
Hilaria Heparantiza
Student Number: 083114002
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2012
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
Kupersembahkan skripsi ini kepada:
Tuhan Yesus Kristus
Bapak dan Mama Tercinta atas Cinta, Kasih Sayang, Doa Serta
Dukungan secara Moril dan Materiil
Kakakku Angela Hadryana
Adikku Yeserika Lindani
Serta Segenap Keluarga
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………....
Satu-satunya cara untuk melakukan pekerjaan besar adalah dengan mencintai apa yang Anda lakukan, walaupun sebenarnya anda membencinya.
Hidup ini seperti piano. Berwarna putih dan hitam. Namun, ketika Tuhan yang
memainkannya, semuanya menjadi indah.
Sungguh, Allah itu keselamatanku; aku percaya dengan tidak gemetar, Sebab TUHAN ALLAH itu kekuatanku dan mazmurku,
Ia telah menjadi keselamatanku Yes (12:2)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif atau dife-
rensial dari satu atau lebih fungsi. Dalam menyelesaikan persamaan diferensial
biasanya terdapat syarat bantu yang disebut syarat awal. Persamaan diferensial
dengan syarat awalnya disebut masalah nilai awal. Salah satu metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal adalah metode transformasi
Laplace. Transformasi Laplace juga dapat digunakan digunakan untuk mencari
penyelesaian dari suatu sistem persamaan diferensial dengan koefisien konstan.
Metode penyelesaian dengan menggunakan transformasi Laplace adalah dengan
mengubah persamaan diferensial dengan parameter t ke dalam persamaan aljabar
dengan parameter s. Kemudian sistem tersebut diselesaikan dengan menggunakan
eliminasi gauss dan menggunakan invers transformasi Laplace untuk menda-
patkan penyelesaian khusus dari sistem persamaan diferensial tersebut.
Kata Kunci: Persamaan diferensial, masalah nilai awal, transformasi Laplace, in-
vers transformasi Laplace
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
The differential equation is an equation that contains the derivative or differential
of one or more functions. In solving differential equation, usually there is an aux-
iliary condition, called initial conditions. Differential equations with initial
conditions are called initial value problem. One of the method that can be used to
solve initial value problem in differential equation is Laplace transform method.
Laplace transformation also can be used for solving systems of differential
equations with constant coefficients. Using this method, the differential equations
of the parameter t is change into algebraic equation of the parameter s. Then, the
system is solved using Gauss elimination and inverse Laplace transform to obtain
a special solution of the system of differential equations.
Keyword: differential equation, initial value problem, Laplace transform, inverse
Laplace transform.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, Sang Pe-
nerang dan Juru Selamat, yang senantiasa mencurahkan kasih dan karunia-Nya
kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
Selama penulisan skripsi ini penulis membutuhkan pertolongan dari berbagai
pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampai-
kan ucapan terima kasih kepada:
1. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan selaku
Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati dan dengan penuh
kesabaran membimbing penulis selama penyusunan skripsi.
2. P. H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.
3. M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji dan dosen
pembimbing akademik.
4. Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., M.Si., selaku dosen penguji.
5. C.H. Eny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., yang pernah menjadi dosen
pembimbing akademik bagi penulis.
6. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika FST-USD yang telah
memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.
7. Karyawan sekretariat FST-USD khususnya kepada Bapak Tukija dan Ibu
Linda, serta karyawan perpustakaan USD dan Mas Susilo selaku laboran atas
pelayanan yang baik selama penulis kuliah.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
8. Kedua orang tuaku, Bapak Herman dan Mama Yulianti serta kakakku Angela
Hadryana dan adikku Yeserika Lindani yang senantiasa memberikan
dukungan, kasih sayang, dan doa bagi penulis.
9. Dennis Tri Hassapta atas kasih sayang, perhatian dan dukungan yang selalu
diberikan kepada penulis.
10. Teman-teman Matematika angkatan 2008: Yudit, Nopi, Amel, Marcel, Feny,
Etus, Moyo, Widi, serta kakak dan adik angkatan.
11. Teman-teman kos Aulia: Yudit, Nopi, Ao, Sende, Elvira, Wiwik, dan Tesa.
12. Sahabat seperjuangan: Yudit, Nopi, Amel, Pipot dan Marcel.
13. Teman-teman kos Nuvi: Kak Thea, Pipot dan Lita.
14. Teman-teman KKN XLII kelompok 35 Banaran atas semua pengalaman yang
sudah dilalui bersama.
15. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam skripsi ini, untuk itu saran
serta kritik yang membangun sangat diharapkan dalam peningkatan kualitas
skripsi ini, dan akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi
semua pihak.
Yogyakarta, 31 Januari 2012
Penulis,
Hilaria Heparantiza
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv
PERYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................................. v
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... vi
LEMBAR PERYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .................................. vii
ABSTRAK ............................................................................................................ viii
ABSTRACT .......................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR .......................................................................................... x
DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................... 1
A. Latar Belakang .......................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 3
C. Pembatasan Masalah ................................................................................. 3
D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 3
E. Manfaat Penulisan ..................................................................................... 3
F. Metode Penulisan ...................................................................................... 4
G. Sistematika Penulisan ............................................................................... 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
BAB II MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN
DIFERENSIAL ....................................................................................... 6
A. Sistem Persamaan Linear .......................................................................... 6
B. Limit, Fungsi Kontinu dan Fungsi Transenden ........................................ 12
C. Deret Geometrik ........................................................................................ 21
D. Persamaan Diferensial dan Penyelesaiannya ............................................ 25
E. Sistem Persamaan Diferensial ................................................................... 30
F. Integral Tentu, Integral Tak Wajar dan Integral Parsial ........................... 33
BAB III TRANSFORMASI LAPLACE .............................................................. 44
A. Transformasi Laplace ................................................................................ 44
B. Sifat-sifat Transformasi Laplace ............................................................... 54
C. Fungsi Khusus Transformasi Laplace ....................................................... 63
D. Invers Transformasi Laplace dan Konvolusinya ...................................... 70
BAB IV PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINEAR DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE ............................. 80
A. Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear dengan
Transformasi Laplace ................................................................................ 81
B. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama
dengan Transformasi Laplace ................................................................... 97
C. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Kedua
dengan transformasi Laplace .................................................................... 109
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
D. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde ke-n
dengan Transformasi Laplace ................................................................... 118
BAB V PENUTUP ............................................................................................... 124
A. Kesimpulan ............................................................................................... 124
B. Saran ......................................................................................................... 125
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 126
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 3.4.1 Tabel Transformasi Laplace ............................................................ 73
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Sistem merupakan sekumpulan elemen yang saling berkaitan dan saling
mempengaruhi dalam melakukan kegiatan bersama untuk mencapai suatu
tujuan. Sebuah sistem dikatakan linear jika hubungan antara suatu variabel
terhadap variabel lainnya dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan linear.
Persamaan dalam sebuah sistem dapat berupa persamaan diferensial.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif
atau diferensial dari satu atau lebih fungsi. Persamaan ini digunakan dalam
berbagai macam bidang. Tidak hanya dalam bidang matematika tetapi juga
dalam bidang ekonomi, fisika, biologi, astronomi, dan yang lainnya.
Persamaan diferensial diklasifikasikan dalam berbagai jenis. Sebuah
persamaan dikatakan persamaan diferensial biasa jika fungsi yang belum di-
ketahui dalam persamaan diferensial bergantung hanya pada satu variabel be-
bas. Sebuah persamaan dikatakan persamaan diferensial parsial jika fungsi
yang belum diketahui bergantung pada dua atau lebih variabel bebas.
Persamaan diferensial juga dapat dibedakan menurut orde atau tingkat. Orde
persamaan diferensial adalah tingkat derivatif tertinggi yang muncul dalam
persamaan diferensial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Sebuah persamaan diferensial dikatakan linear jika dalam persamaaan
diferensial tersebut fungsi yang belum diketahui derivatif-derivatifnya secara
aljabar berderajat satu dan tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi
yang belum diketahui dengan derivatif-derivatifnya. Selain itu, tidak ada
fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui beserta derivatif-
derivatifnya dan yang lainnya. Jika salah satu syarat tidak dipenuhi maka
persamaan tersebut dikatakan tidak linear.
Apabila koefisien-koefisien pada persamaan diferensial linear adalah
konstanta real maka persamaan disebut persamaan diferensial linear dengan
koefisien konstan. Dalam menyelesaikan persamaan diferensial terkadang
terdapat syarat bantu yang mengikutinya. Jika syarat bantu pada persamaan
diferensial yang diketahui berhubungan dengan sebuah nilai tertentu, syarat
itu disebut syarat awal. Persamaan diferensial dengan syarat awalnya disebut
masalah nilai awal.
Salah satu cara penyelesaian masalah nilai awal pada sistem persamaan
diferensial adalah dengan menggunakan metode transformasi Laplace. Metode
ini mentransformasikan masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial
ke dalam masalah aljabar dengan melibatkan suatu variabel. Setelah
ditransformasikan, dari persamaan tersebut ditentukan invers transformasi
Laplacenya untuk mencari penyelesaian dari masalah nilai awal tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa yang dimaksud dengan transformasi Laplace dan bagaimana
sifatnya?
2. Bagaimana cara menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan
diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace?
3. Bagaimana cara menyelesaikan masalah nilai awal pada sistem
persamaan diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace?
C. PEMBATASAN MASALAH
Dalam penulisan karya ilmiah ini, penulis hanya akan membatasi pada
sistem persamaan diferensial hanya sistem persamaan diferensial dengan dua
variabel.
D. TUJUAN PENULISAN
Tujuan dari penulisan ini adalah untuk memahami sifat-sifat dari
transformasi Laplace dan mencari penyelesaian masalah nilai awal pada
sistem persamaan diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace.
E. MANFAAT PENULISAN
Manfaat penulisan ini adalah memberikan pemahaman dalam
menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan diferensial dengan
menggunakan metode transformasi Laplace.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
F. METODE PENULISAN
Metode penulisan yang digunakan adalah metode studi pustaka, yaitu
dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik tansformasi
Laplace dan persamaan diferensial.
G. SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I: PENDAHULUAN
Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang masalah,
perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan,
manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan
BAB II: MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN
DIFERENSIAL
Dalam bab II akan dibahas tentang sistem persamaan linear, limit,
fungsi kontinu dan fungsi transenden, deret geometrik, persamaan
diferensial dan penyelesaiannya, sistem persamaan diferensial serta
integral tak wajar dan integral parsial.
BAB III: TRANSFORMASI LAPLACE
Dalam bab ini akan dibahas tentang transformasi Laplace, sifat-
sifat transformasi Laplace, fungsi khusus transformasi Laplace
serta invers transformasi Laplace dan konvolusinya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB IV: PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINEAR DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE
Dalam bab ini akan dibahas tentang penyelesaian persamaan
diferensial linear dengan transformasi Laplace, penyelesaian sistem
persamaan diferensial linear orde pertama dengan transformasi
Laplace, penyelesaian sistem persamaan diferensial linear orde
kedua dengan transformasi Laplace dan penyelesaian sistem
persamaan diferensial linear orde ke-n dengan transformasi
Laplace.
BAB V: PENUTUP
Bab V berisi kesimpulan dan saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dalam bab ini akan dibahas mengenai materi-materi yang akan digunakan
dalam pembahasan bab-bab selanjutnya. Materi-materi tersebut antara lain adalah
sistem persamaan linear, limit, fungsi kontinu dan fungsi transenden, deret geometrik,
persamaan diferensial dan penyelesaiannya, sistem persamaan diferensial serta
integral tentu, integral tak wajar dan integral parsial.
A. Sistem Persamaan Linear
Persamaan linear dengan n variabel nyyy ,...,, 21 dapat dinyatakan dalam
bentuk
byayaya nn ...2211
di mana naaa ,...,, 21 dan b merupakan konstanta real. Suatu sistem dengan m
persamaan linear dan n variabel yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai
mnmnmm
nn
nn
byayaya
byayaya
byayaya
...
...
...
2211
22222121
11212111
(2.1.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
di mana nyyy ,...,, 21 adalah variabel yang tidak diketahui. Bilangan aij
merupakan koefisien persamaan ke-i dari variabel ke-j dan bi menyatakan
konstanta di ruas kanan untuk persamaan ke-i. Koefisien tersebut dapat dituliskan
dalam bentuk matriks, yaitu
mnmm
n
n
aaa
aa
aa
21
22221
11211
a
a
yang disebut matriks koefisien. Jika suatu koefisien variabel tidak muncul,
maka pada matriks koefisien akan dituliskan sebagai bilangan nol.
Konstanta di ruas kanan dapat dituliskan dalam bentuk, yaitu
mb
b
b
2
1
yang disebut matriks konstanta. Matriks yang terdiri dari matriks koefisien
dengan menambahkan matriks konstanta pada kolom terakhir disebut dengan
matriks lengkap. Dengan demikian matriks lengkap untuk sistem persamaan
linear pada persamaan (2.1.1) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aa
aa
2
1
21
22221
11211
a
a
Definisi 2.1.1
Urutan sejumlah bilangan nsss , , , 21 merupakan penyelesaian dari sistem
persamaan (2.1.1) jika nn sysysy , , , 2211 merupakan penyelesaian dari
setiap persamaan di dalam sistem tersebut.
Contoh 2.1.1
Sistem persamaan
493
134
321
321
yyy
yyy (2.1.2)
memiliki penyelesaian 2 ,1 21 yy dan 13 y karena nilai-nilai tersebut
memenuhi kedua persamaan (2.1.2).
Definisi 2.1.2
Sebuah matriks disebut matriks eselon baris jika memenuhi syarat-syarat
berikut ini:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
1. Jika sebuah baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan taknol
pertama pada baris tersebut adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama.
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari angka nol, maka baris
tersebut dikelompokkan di baris paling bawah matriks.
3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka
1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan
dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.
Contoh 2.1.2
Berikut adalah contoh matriks yang sudah dalam bentuk eselon baris
5
2
4
100
610
341
,
000
010
011
,
1
0
0
0
1
6
000
100
210
Definisi 2.1.3
Operasi Baris Elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi:
1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut.
2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.
3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan
baris lain.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Salah satu metode yang digunakan untuk meyelesaikan sistem persamaan
linear adalah metode eliminasi Gauss. Metode ini menghasilkan matriks sampai
pada bentuk eselon baris. Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss ini
adalah:
1. Menentukan matriks lengkap dari suatu sistem persamaan linear.
2. Mencari kolom paling kiri yang memuat unsur tak nol.
3. Jika elemen pertama kolom yang diperoleh pada langkah pertama sama
dengan nol maka baris pertama dari matriks ditukar dengan unsur pada kolom
tersebut yang taknol.
4. Setelah elemen pertama dari kolom diperoleh pada langkah pertama tak sama
dengan nol, maka elemen di bawahnya diubah menjadi nol dengan operasi
baris elementer.
Contoh 2.1.3
Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan eleminasi
Gauss
.0563
1342
92
321
321
321
yyy
yyy
yyy
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Penyelesaian:
Matriks lengkap dari sistem persamaan linear di atas adalah
0
1
9
5-63
3-42
211
Kemudian matriks tersebut di ubah kedalam bentuk eselon baris menjadi
3
217-
9
100
2710
211
Sistem yang bersesuaian dengan matriks adalah
3
2
17
2
7
92
3
32
321
y
yy
yyy
atau
321 29 yyy (2.1.3)
322
7
2
17yy (2.1.4)
.33 y (2.1.5)
Dengan mensubstitusikan nilai y3 ke persamaan (2.1.4) diperoleh 22 y dan
dengan mensubstitusikan y2 ke persamaan (2.1.3) diperoleh .11 y Jadi
diperoleh y1 = 1, y2 = 2 dan y3 = 3.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
B. Limit, Fungsi Kontinu dan Fungsi Transenden
1. Limit
Definisi 2.2.1
Pengertian yang tepat tentang limit mengatakan bahwa Ltfct
lim
berarti bahwa untuk tiap 0 yang diberikan, terdapat 0 yang
berpadanan sedemikian sehingga Lxf asalkan bahwa
cx0 yakni
Lxfcx0
Contoh 2.2.1
Buktikan bahwa .573lim4
tt
Penyelesaian:
Andaikan bilangan positif sebarang sedemikian sehingga
57340 tt
Kemudian pandang ketaksamaan pada ruas kanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
34
43
43
123573
t
t
t
tt
Andaikan diberikan .0 Jika dipilih ,3
maka 40 t
mengimplikasikan
34343123573 tttt
Jadi, terbukti bahwa .573lim4
tt
Definisi 2.2.2
Misalkan f didefinisikan pada c, untuk suatu bilangan c, dikatakan
bahwa
Ltft
lim
jika untuk setiap ,0 terdapat bilangan M sedemikian sehingga
LtfMt
Contoh 2.2.2
Hitunglah nilai limit dari 435
232lim
3
23
tt
tt
t
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Penyelesaian:
Untuk menghitung nilai limit, pembilang dan penyebut dibagi dengan
pangkat tertinggi yang muncul yaitu t3, sehingga diperoleh
5
2
1lim4
1lim35lim
1lim2
1lim32lim
435
232
lim4
35
232
lim
32
3
32
3
333
3
33
2
3
3
tt
tt
tt
tt
tt
t
t
t
tt
t
t
t
ttt
ttt
tt
2. Fungsi Kontinu
Definisi 2.2.3
Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c, f
kontinu di c jika
cftfcx
lim
Definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu jika syarat-syarat berikut
dipenuhi:
i). tfct
lim ada,
ii). Fungsi f terdefinisi di c, yaitu cf ada,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
iii). cftfct
lim .
Jika salah satu dari ketiga syarat tidak dipenuhi, maka f tak kontinu di c.
Contoh 2.2.3
Fungsi f yang didefinisikan
1
12
t
ttf
tidak kontinu untuk 1t , karena 121lim1
1lim
1
2
1ft
t
t
tt
maka f
tidak kontinu di 1t .
Definisi 2.2.4
Fungsi f kontinu kanan di a jika aftfat
lim dan kontinu kiri b jika
bftfbt
lim .
Definisi 2.2.5
Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka ba, jika fungsi f
kontinu di setiap titik pada ba, . Fungsi f dikatakan kontinu pada selang
tertutup ba, jika fungsi f kontinu pada selang terbuka ba, , kontinu
kanan di a dan kontinu kiri di b.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Pada Gambar 2.2.1, fungsi f kontinu pada (a,b) kecuali di titik-titik t1, t2, t3.
Fungsi f tak kontinu di t1 karena tftt 1
lim
tidak ada, tidak kontinu di t2
karena nilai tftt 2
lim
tidak sama dengan nilai fungsi di t2, dan f tak kontinu
di t3 karena fungsi di t3 tidak ada.
Gambar 2.2.1
Contoh 2.2.4
Akan diperlihatkan bahwa fungsi tf yang didefinisikan dengan
29 ttf
untuk setiap 3 ,3t kontinu pada selang tertutup 3 ,3 .
Fungsi 29 ttf kontinu pada selang terbuka 3,3 . Fungsi f kontinu
kanan di 3t yaitu 0lim3
tdan kontinu kiri di 3t yaitu 0lim
3
t. Ini
berarti fungsi f kontinu pada selang tertutup 3,3 .
t1 t2 t3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Definisi 2.2.6
Fungsi tf dikatakan kontinu bagian demi bagian pada interval tertutup
ba, jika f kontinu pada setiap titik dalam ba, kecuali untuk sejumlah
berhingga titik-titik di mana tf mempunyai ketakontinuan lompat. Fungsi
tf dikatakan kontinu bagian demi bagian pada ,0 jika f kontinu ba-
gian demi bagian pada N,0 untuk setiap . 0N
Contoh 2.2.5
Perlihatkan bahwa sebuah fungsi f yang dinyatakan dengan
tf
2t , 10 t
t2 , 21 t
t3 , 32 t
kontinu bagian demi bagian pada interval .3,0
Penyelesaian:
Gambar 2.2.2
tf
t
0 1 2 3
1
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Gambar 2.2.2 tersebut memperlihatkan tf kontinu pada interval 1,0 ,
2,1 dan 3,2 . Pada titik yang tidak kontinu yaitu untuk 2t , fungsi f
mempunyai ketakkontinuan lompat karena
0lim2
tft
dan 1lim2
tft
.
Jadi fungsi f kontinu bagian demi bagian pada interval 3,0 .
Contoh 2.2.6
Perlihatkan bahwa fungsi sebuah fungsi f yang dinyatakan dengan
342 tttf
tidak kontinu bagian demi bagian.
Penyelesaian:
Gambar 2.2.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Grafik tersebut di atas memperlihatkan bahwa f(t) kontinu pada interval
1, dan ,3 tetapi f(t) tidak kontinu pada interval 3 ,1 . Untuk
0lim1
tft
tetapi untuk tft 2lim
tidak terdefinisi. Ini berarti bahwa fungsi
tersebut tidak kontinu bagian demi bagian.
3. Fungsi Transenden
Fungsi transenden merupakan fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai
sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi
y = x. Fungsi-fungsi transenden antara lain yaitu:
i). Fungsi Logaritma Natural
Contoh: ln y
ii). Fungsi Eksponensial
Contoh: ,3, 5 yy ee dan yeln .
iii). Fungsi Trigonometri
Contoh: sin y, cos y, dan tan y.
iv). Fungsi Siklometri
Contoh: arc sin y dan arc cos y.
v). Fungsi Hiperbolik
Contoh: sinh y, cosh y dan tanh y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Definisi 2.2.7
Sebuah fungsi f dikatakan berorde eksponensial jika terdapat konstanta α
dan konstanta positif 0t dan M sedemikian rupa sehingga
Mtfe t untuk setiap 0tt
di mana tf terdefinisi.
Contoh 2.2.7
Jika diketahui bttf sin maka
.sinbtetfe tt
Untuk setiap 0
.0sinlim
bte t
t
Ini berarti untuk setiap 0 ada 0M dan 00 t sehingga
Mbtetfe tt sinuntuk .0tt Jadi bttf sin berorde
eksponensial, dengan konstanta α sama dengan semua bilangan positif.
Contoh 2.2.8
Tentukan apakah 2tetf berorde eksponensial atau tidak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Penyelesaian:
Diketahui bahwa 2tetf maka
2ttt eetfe .
Untuk setiap 0
tt
t
tt
teee limlim
2
.
Ini berarti bahwa fungsi 2te tidak berorde eksponensial karena
2te membesar
lebih cepat daripada te untuk berapapun nilai α.
C. Deret Geometrik
Definisi 2.3.1
Deret tak berhingga
1n
na konvergen dan mempunyai jumlah S jika
barisan jumlah-jumlah parsial nS konvergen menuju S atau SSnn
lim . Jika
nS divergen, maka deret tersebut divergen. Deret divergen tidak mempunyai
jumlah.
Contoh 2.3.1
Diberikan deret tak berhingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
122 1
12
n nn
n
Selidikilah apakah deret tak hingga di atas divergen atau konvergen.
Penyelesaian:
Diketahui bahwa
22 1
12
nn
nan .
Kemudian an ditulis dalam bentuk pecahan parsial berikut
221
11
nnan .
Maka pecahan parsial deret yang diberikan dapat ditulis menjadi
2
22
122
122
1
11
1
11...
9
1
4
1
4
11
1
11
1
12
n
nn
nnnn
nS
nn
n
Oleh karena itu,
.1
1
11limlim
2
nSS
nn
n
Jadi deret tak hingga yang diberikan konvergen dan jumlahnya adalah 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Definisi 2.3.2
Deret berbentuk
...... 132
1
1
n
k
n ararararaar
di mana 0a disebut deret geometrik.
Contoh 2.3.2
Deret 81
4
27
4
9
4
3
4 adalah deret geometrik dengan
3
4a dan
3
1r .
Teorema 2.3.1
Deret geometrik konvergen ke r
aS
1 jika ,1r dan divergen jika .1r
Jumlahan parsial n suku pertama adalah
.1
1
r
raS
n
n
Bukti:
Deret jumlahan parsial suku pertama adalah:
n
n
n
n
ararararararrS
arararararaS
...
...
5432
1432
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
maka
.1
...... 3212
n
n
nn
nn
araSr
ararararararararSS
Jadi,
.
1
1
11
1
r
r
r
a
r
raS
nn
n
Jika ,1r maka .0lim
n
nr Sehingga diperoleh
.1
1lim
1lim
1
1limlim
r
a
r
ar
r
a
r
raSS
n
nn
n
nn
n
Dengan kata lain, deret geometri konvergen jika .1r Jika 1r maka
,lim
n
nr sehingga
.
1
1limlim
r
raSS
n
nn
n
Deret divergen jika 1r . Jadi terbukti bahwa deret geometri konvergen jika
1r dan divergen jika .1r
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
D. Persamaan Diferensial dan Penyelesaiannya
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif atau
diferensial dari satu atau lebih fungsi. Persamaan diferensial diklasifikasikan
menjadi dua jenis, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial
parsial. Jika fungsi yang belum diketahui dalam persamaan diferensial hanya
bergantung pada satu variabel bebas saja, maka persamaan tersebut dikatakan
persamaan diferensial biasa. Jika fungsi yang belum diketahui bergantung pada
dua atau lebih variabel bebas, maka persamaan tersebut dikatakan persamaan
diferensial parsial.
Definisi 2.4.1
Orde suatu persamaan diferensial adalah tingkat derivatif tertinggi yang muncul
dalam persamaan.
Bentuk umum dari persamaan diferensial biasa tingkat ke-n adalah
0,...,,,,2
2
n
n
dt
yd
dt
yd
dt
dyytF
Bila dt
dyy ,
2
2
dt
ydy , ...,
n
nn
dt
ydy maka persamaan di atas dapat ditulis
menjadi
0,...,,,, ''' nyyyytF
di mana F adalah suatu fungsi real dengan argumen-argumen nyyyyt ,...,,,, '''
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Contoh 2.4.1
3''' 33 xyyy merupakan persamaan diferensial orde kedua karena pada
persamaan ini tingkat derivatif tertinggi yang muncul adalah dua dan
xxeyxyxy 3324
adalah persamaan diferensial orde keempat.
Definisi 2.4.2
Sebuah persamaan diferensial biasa orde ke-n dikatakan linear, di mana y adalah
variabel tak bebas dan t adalah variabel bebas dapat ditulis dalam bentuk
)(... 11
1
10 tbytadt
dyta
dt
ydta
dt
ydta nnn
n
n
n
(2.4.1)
di mana naaa ,...,, 10 dan b adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval yang
memuat y dan 00 ta pada interval itu. Fungsi tak disebut fungsi-fungsi
koefisien.
Definisi di atas menyatakan bahwa persamaan diferensial adalah linear jika
syarat-syarat berikut dipenuhi:
i). Fungsi yang belum diketahui dan derivatif-derivatifnya secara aljabar
berderajat satu.
ii). Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui
dengan satu atau lebih derivatif-derivatifnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
iii). Tidak ada fungsi transendental dari y dan derivatif-derivatifnya misalnya
ysin dan ye .
Jika salah satu syarat tersebut tidak dipenuhi maka persamaan diferensial
tersebut tidak linear atau nonlinear. Persamaan diferensial yang tidak linear di-
sebut persamaan diferensial non linear.
Contoh 2.4.2:
tyyy sin35 ''3 dan 065 ''' yyy berturut-turut adalah contoh-contoh
persamaan diferensial linear, sedangkan 06'5'' yyyy adalah contoh
persamaan diferensial non linear.
Definisi 2.4.3
Jika 0tb untuk setiap t, maka persamaan (2.4.1) menjadi
0... 11
1
10
ytadt
dyta
dt
ydta
dt
ydta nnn
n
n
n
dan disebut persamaan diferensial linear homogen. Jika 0tb untuk setiap t,
maka persamaan (2.4.1) disebut persamaan diferensial tak homogen.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Contoh 2.4.3
Persamaan 03 yy adalah persamaan diferensial homogen orde pertama,
sedangkan teyyy 32 adalah persamaan diferensial tak homogen orde
kedua. Persamaan ini tak homogen karena 0tb pada ruas kanan.
Definisi 2.4.4
Jika syarat bantu pada persamaan diferensial yang diketahui berhubungan dengan
sebuah nilai t, syarat itu disebut syarat awal. Persamaan diferensial dengan syarat
awalnya disebut Masalah Nilai Awal (MNA).
Definisi 2.4.5
Masalah nilai awal dari persamaan diferensial orde ke-n dengan n syarat
awal dapat ditulis dalam bentuk
n
n ctyctyctycty
0
1
302010 ,...,,,
yang harus dipenuhi oleh penyelesaian persamaan diferensial dan derivatif-
derivatifnya pada titik awal 0t .
Contoh 2.4.4
20 ,32 ytydt
dy adalah contoh masalah nilai awal pada persamaan
diferensial di mana titik awalnya adalah 0t .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
71 ,01 ,0sin5 xxttyty adalah contoh masalah nilai awal
pada persamaan diferensial di mana titik awalnya adalah .1t
Definisi 2.4.6
Masalah Nilai Awal untuk persamaan diferensial linear homogen orde ke-n
dengan koefisien konstan terdiri dari penyelesaian persamaan diferensial
0... 11
1
10
yadt
dya
dt
yda
dt
yda nnn
n
n
n
di mana naaa ,...,, 10 adalah konstanta dan 00 a dengan syarat awalnya adalah
n
n ctyctyctycty
0
1
302010 ,...,,,
di mana nccc ,...,, 21 adalah konstanta.
Contoh 2.4.5
062
2
ydt
dy
dt
yd dengan syarat 60 y dan 20 y adalah contoh masalah
nilai awal untuk persamaan diferensial linear homogen orde kedua.
Definisi 2.4.7
Masalah Nilai Awal untuk persamaan diferensial linear tak homogen orde
ke-n dengan koefisien konstan terdiri dari penyelesaian persamaan diferensial
tbyadt
dya
dt
yda
dt
yda nnn
n
n
n
11
1
10 ...
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
di mana naaa ,...,, 10 adalah konstanta dan 00 a dengan syarat awalnya adalah
n
n ctyctyctycty
0
1
302010 ,...,,,
di mana nccc ,...,, 21 adalah konstanta.
Contoh 2.4.6
tyy sin5 dengan syarat awalnya 00 y dan 10 y adalah contoh
masalah nilai awal untuk persamaan diferensial linear tak homogen karena
ttb sin .
E. Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial linear adalah persamaan yang melibatkan n
persamaan dengan m fungsi yang tidak diketahui. Sistem persamaan diferensial
linear dapat juga disebut dengan sistem linear. Bentuk umum sistem persamaan
diferensial linear orde pertama dengan dua persamaan dalam fungsi x dan y yang
tidak diketahui adalah
tFytbxtbdt
dytb
dt
dxtb
tFytaxtadt
dyta
dt
dxta
24321
14321
(2.5.1)
Penyelesaian di atas dinyatakan dalam pasangan terurut dari fungsi real
gf , demikian sehingga tfx , tgy memenuhi kedua persamaan dari
sistem (2.5.1) pada interval bta .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Contoh 2.5.1
Sebuah sistem persamaan yang didefinisikan dengan
teyxdt
dy
dt
dx
txdt
dy
dt
dx
432
232 2
adalah sistem persamaan diferensial linear orde pertama dengan koefisien
konstan.
Sistem linear dari dua persamaan diferensial orde kedua dari dua fungsi
yang tidak diketahui x dan y ditulis dalam bentuk
tFytbxtbdt
dytb
dt
dxtb
dt
ydtb
dt
xdtb
tFytaxtadt
dyta
dt
dxta
dt
ydta
dt
xdta
265432
2
22
2
1
165432
2
22
2
1
(2.5.2)
Penyelesaian di atas dinyatakan dalam pasangan terurut dari fungsi real
gf , demikian sehingga tfx , tgy memenuhi kedua persamaan dari
sistem (2.5.2) pada interval bta .
Contoh 2.5.2
Sebuah sistem persamaan yang didefinisikan dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
04323
123732
2
2
2
2
2
2
2
2
yxdt
yd
dt
xd
tydt
dy
dt
dx
dt
yd
dt
xd
adalah sistem persamaan diferensial linear orde kedua dengan koefisien konstan.
Secara umum sistem persamaan diferensial linear dengan n persamaan
diferensial orde pertama dan n fungsi yang tidak diketahui ditulis dalam bentuk
.
,
,
2211
22222121
2
11212111
1
tFytaytaytadt
dy
tFytaytaytadt
dy
tFytaytaytadt
dy
nnnnnn
n
nn
nn
(2.5.3)
Persamaan diferensial orde ke-n adalah
)(... 11
1
10 tFytadt
dyta
dt
ydta
dt
ydta nnn
n
n
n
dengan satu fungsi yang tak diketahui y. Didefinisikan
yy 1 , dt
dyy 2 ,
2
2
3dt
ydy , ...,
2
2
1
n
n
ndt
ydy ,
1
1
n
n
ndt
ydy . (2.5.4)
Dari persamaan (2.5.4)
dt
dy
dt
dy 1 , dt
dy
dt
yd 2
2
2
, ..., dt
dy
dt
yd n
n
n
1
1
1
, dt
dy
dt
yd n
n
n
. (2.5.5)
Dengan menggunakan persamaan (2.5.4) dan (2.5.5) maka persamaan
(2.5.3) dapat dituliskan menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
,1211
1
3
2
2
1
tFytaytaytadt
dy
ydt
dy
ydt
dy
ydt
dy
nnn
n
n
n
(2.5.6)
yang merupakan kasus khusus dari sistem linear pada persamaan (2.5.3) dengan
n persamaan dan n fungsi yang tak diketahui. Jadi suatu persamaan diferensial
linear orde ke-n dari persamaan (2.5.1) dalam satu fungsi yang tidak diketahui
berhubungan erat dengan sistem linear dari n persamaan diferensial orde pertama
dalan n fungsi yang tidak diketahui.
F. Integral Tentu, Integral Tak Wajar dan Integral Parsial
1. Integral Tentu
Definisi 2.6.1
Jika f adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup ba , .
Misalkan P adalah partisi dari ba , dengan titik-titik partisi ntttt , , , , 210
dan itP max . Integral tentu f dari a ke b adalah
i
n
i
i
b
ap
ttfdttf
1
0 lim (2.6.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
jika limitnya ada. Jika limitnya ada, maka f dikatakan terintegral pada
interval ba , .
Teorema 2.6.1
Jika f kontinu pada seluruh selang ba , , maka f terintegralkan pada
ba , .
Bukti:
Menurut Definisi 2.6.1, untuk membutikan Teorema 2.6.1 akan ditunjukan
bahwa untuk sebarang 0 , terdapat sedemikian sehingga
ab
tftf
2
(2.6.2)
dengan t dan t adalah titik-titik dari ba , sedemikian sehingga
tt . Pertimbangkan sebarang partisi ntttt , , , , 210 sedemikian
sehingga semua subinterval mempunyai panjang kurang dari . Pada
subinterval tertutup ii tt ,1 , misalkan im dan iM masing-masing
mengatakan batas bawah terbesar dan batas atas terkecil dari nilai f. Maka
dapat dibentuk
. 1122011
1122011
nnn
nnn
ttMttMttMS
ttmttmttms
(2.6.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Pada interval nn tt ,1 , pilih titik t sedemikian sehingga tf dekat ke iM
dan t sedemikian sehingga tf dekat ke im . Dengan demikian
persamaan (2.6.2) menjadi
abmM ii
2
(2.6.4)
Dari persamaan (2.6.3) dapat diperoleh
11220111 nnnn ttmMttmMttmMsS
112220111
112220111
nnnn
nnnn
ttmMttmMttmM
ttmMttmMttmMsS
Dari persamaan (2.6.4)
11201
222
nn tt
abtt
abtt
absS
maka
.
2211201
nn tttttt
absS
Jadi, terbukti f terintegral pada interval ba , .
Teorema 2.6.2
Jika f kontinu bagian demi bagian pada interval tertutup ba , maka f
terintegral pada ba , .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Bukti:
Karena f kontinu bagian demi bagian, maka f kontinu pada ba , kecuali
pada titik-titik
.21 bttta n
Berdasarkan Teorema 2.6.1, f terintegral pada selang 21 , tt sedemikian
sehingga dttf
t
t
2
1
ada. Begitupun juga untuk dttf
t
t
3
2
, dttf
t
t
4
3
, ,
dttft
n
t
t
1
ada. Karena f terintegral pada setiap selang 1, ii tt di mana
ni , ,2 ,1 dan
dttf dttf dttf dttfn
n-
n t
t
t
t
t
t
t
t
1
3
2
2
11
maka dttfnt
t
1
ada. Jadi terbukti bahwa f terintegral pada ba , .
2. Integral Tak Wajar
Dalam mendefinisikan integral tentu
b
a
dttf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
fungsi f dimisalkan terdefinisi pada interval tertutup ba, . Namun bila
integral tersebut mempunyai batas tak berhingga maka integral tersebut
adalah integral tak wajar. Contoh untuk integral tak wajar tersebut adalah
dte t
0
Definisi 2.6.2
Jika f kontinu untuk setiap at , maka
dttfdttf
b
ab
a
lim
Bilamana limitnya ada dan nilainya berhingga, integral tak wajar tersebut
konvergen. Jika tidak, integral tak wajar tesebut divergen.
Contoh 2.6.1
Hitunglah dte t
0
, jika ada
Penyelesaian:
RR
R
R
t
R
t
e
dtedte
0
00
lim
lim
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
1
10
1limlim
1lim
R
R
R
R
R
e
e
Jadi
10
dte t
Contoh 2.6.2
Hitunglah
0 1t
dt, jika ada.
Penyelesaian:
R
R t
dt
t
dt
00 1lim
1
12lim
1
21
1lim
1lim
0
21
0
21
R
t
dtt
R
R
R
R
R
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Karena 12lim
RR
adalah tak berhingga maka
0 1t
dtdivergen.
Teorema 2.6.2
Jika g dan h adalah fungsi real sedemikian sehingga thtg 0 pada
. ta Misalkan dttha
ada dan g terintegral pada setiap subinterval
tertutup berhingga dari ta maka dttga
ada.
Bukti:
Misalkan untuk aA
A
a
dttgAG
dan
. A
a
dtthAH
Karena thtg 0 maka AHAG dan kedua fungsi tersebut
meningkat. Oleh karena itu, AH cenderung ke limit L untuk A . Ini
berarti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
.LAHAG
Karena AG meningkat dan terbatas ke atas L, maka AG juga konvergen
ke suatu limit untuk A . Ini berarti dttga
ada.
Teorema 2.6.3
Misalkan fungsi real g terintegral pada setiap subinterval berhingga dari
ta dan dttg 0
ada maka dttg 0
ada.
Bukti:
Perhatikan bahwa
tgtgtgtg .
Maka
. dttgdttgtgdttg
b
a
b
a
b
a
(2.6.4)
Menurut hipotesis, integral kedua pada ruas kanan ada untuk ,b tetapi
karena tgtg maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
tgtgtgtgtg 2
sehingga
tgtgtg 20
Oleh karena itu
dttgdttgtg
b
a
b
a
2 0
Karena dttg
b
a
2 ada untuk ,b maka integral pertama pada ruas
kanan persamaan (2.6.4) juga ada untuk .b Jadi terbukti bahwa
b
a
dttg ada untuk .b
3. Integral Parsial
Misalkan utu dan vtv maka rumus diferensial hasil kali dua
fungsi adalah
tvtutvtutvtudt
d
atau
tvtutvtudt
dtvtu .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Dengan mengintegralkan dua ruas pada persamaan di atas diperoleh
dttvtutvtudttvtu
Karena dttvdv dan dttudu , persamaan di atas dapat ditulis dalam
bentuk
dutvtvtudtu v
Integral di atas adalah integral parsial tak tentu, rumus integral parsial
tentunya adalah
dutvtvtudvtu
b
a
b
a
b
a
Contoh 2.6.3
Tentukanlah
1
0
dtet t.
Penyelesaian:
Misalkan tu dan dtedv t . Maka u mejadi dtdu dan tev .
Dengan demikian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
1
11
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
21
10
e
ee
ete
ete
etedtet
tt
tt
ttt
Jadi 1
1
0
21 edtet t.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
TRANSFORMASI LAPLACE
Pada bab ini akan dibahas suatu metode yang digunakan untuk
menyelesaikan persamaan diferensial dan sistem persamaan diferensial dengan
menggunakan transformasi Laplace. Sebelum dijelaskan bagaimana memperoleh
penyelesaian sistem persamaan diferensial dengan transformasi Laplace, maka
akan dibahas terlebih dahulu tentang transformasi Laplace dan sifat-sifatnya.
A. Transformasi Laplace
Transformasi Laplace adalah salah satu metode untuk menyelesaikan
persamaan diferensial linear baik homogen maupun tak homogen dengan koe-
fisien konstan. Transformasi Laplace sangat berguna dalam menyelesaikan
masalah nilai awal pada persamaan diferensial.
Andaikan f adalah fungsi yang bernilai real dari variabel t maka akan
ditransformasikan oleh Laplace ke dalam fungsi F dari variabel s yang berni-
lai real. Ketika diterapkan ke dalam masalah nilai awal pada persamaan dife-
rensial dalam fungsi yang tidak diketahui dari t, masalah nilai awal tersebut
ditransformasikan ke dalam masalah aljabar dengan melibatkan variabel s.
Definisi 3.1.1:
Bila f(t) adalah fungsi yang terdefinisi pada interval [0,+∞). Maka
transformasi Laplace dari f(t) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
dttfetfsF st
0
L (3.1.1)
untuk setiap nilai s di mana integral tak wajar tersebut ada.
Contoh 3.1.1
Tentukan transformasi Laplace dari 1tf untuk t > 0.
Penyelesaian:
Fungsi f didefinisikan dengan
1tf , untuk t > 0
Maka
ss
e
s
e
dte
dte
sR
R
Rst
R
R
st
R
st
1lim
lim
1lim
11
0
0
0
L
0 untuk1
1lim
> ss
ss
e sR
R
Jadi
s
11 L 0s
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Contoh 3.1.2
Jika atetf untuk t > 0, tentukan ateL .
Penyelesaian:
Fungsi f didefinisikan dengan
atetf , untuk t > 0
Maka,
sasa
e
sa
e
dte
dtee
dteee
Rsa
R
Rtsa
R
R
tsa
R
at
R
st
R
atstat
1lim
lim
lim
lim
0
0
0
0
L
asas
sa
sa
e Rsa
R
untuk 1
1
1lim
Jadi
as
eat
1L as
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Contoh 3.1.3
Jika bttf sin untuk t > 0, tentukan .sinbtL
Penyelesaian:
Fungsi f didefinisikan dengan bttf sin , untuk t > 0
Maka
dtbte
btsF
st sin
sin
0
L
Selanjutnya akan digunakan integral parsial kedua untuk
menyederhanakannya. Misalkan btu sin dan dtedv st . Sehingga u
menjadi dtbtbdu cos dan ste
sv
1. Dengan demikian
0untuk cos lim
cos lim0
cos 1
limsin1
lim
sin limsin
0
0
00
0
sdtbtes
b
dtbtes
b
dtbtbes
btes
dtbtebt
R
st
R
R
st
R
R
st
R
R
st
R
R
st
RL
Karena masih memuat integral, akan digunakan integral parsial kedua.
Misalkan btu cos dan dtedv st . Sehingga dtbtbdu sin dan
stes
v 1
. Dengan demikian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
sin
sin 1
lim1
0
sin 1
limcos1
lim
cos limsin
0
2
2
2
0
00
0
dtbtes
b
s
b
dtbtbess
b
ss
b
dtbtbess
bbte
ss
b
dtbtes
bbt
st
st
R
R
st
R
R
R
st
R
R
st
RL
Menurut Definisi 3.1.1, sin 0
dtbte st dapat ditulis menjadi .sinbtL
sehingga
0 untuk
1
sin
1 sin
sinsin
sinsin
22
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
sbs
b
s
b
s
b
bt
s
b
s
bbt
s
bbt
s
bbt
bts
b
s
bbt
L
L
LL
LL
Jadi,
0 22
sbs
btfL
Teorema 3.1.1
Misalkan f adalah fungsi real yang mempunyai sifat yakni
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
1. f kontinu bagian demi bagian dalam setiap interval tertutup bta
0b dan
2. f berorde eksponensial, yaitu ada α, 0M dan 00 t sehingga
Mtfe t untuk .0tt
Maka transformasi Laplace
dttfe st
0
dari f ada untuk s > α.
Bukti:
Diketahui bahwa
0
0
00 t
st
t
stst dttfedttfedttfe .
Karena f kontinu bagian demi bagian dalam setiap interval tertutup maka
integral pertama pada sisi kanan ada. Menurut hipotesis kedua,
MeMeetfe tststst
untuk .0tt
Dengan menggunakan definisi integral tak wajar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
suntuk
lim
limlim
0
0
000
ts
tsRs
R
R
t
ts
R
R
t
ts
Rt
ts
es
M
ees
M
s
MedtMedtMe
Jadi
0t
ts dtMe ada untuk .s
Menurut hipotesis pertama, tfe st terintegral pada setiap subinterval
tertutup berhingga dari .0 tt Dengan Teorema 2.6.1, pilih
tfetg st dan tsMeth maka
dttfet
st
0
ada untuk s
atau
dttfet
st
0
ada untuk .s
Menurut Teorema 2.6.2
dttfet
st
0
juga ada untuk .s
Jadi, terbukti bahwa transformasi Laplace dari f ada untuk .s
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Contoh 3.1.4
Tunjukan bahwa jika diketahui
tf t, 20 t
3, 2t
maka transformasi Laplace dari f ada untuk .1s
Penyelesaian:
Akan ditunjukkan bahwa:
1. f kontinu bagian demi bagian pada interval ,0 .
2. f berorde eksponensial, yaitu untuk 1 terdapat 0M dan 0tt se-
demikian sehingga Mtfe t untuk 0tt .
Gambar 3.1.1
t
2
3
2
tf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Fungsi f kontinu pada masing-masing subinterval 2,0 dan ,2 . Pada titik
yang tidak kontinu yaitu 2t , fungsi f mempunyai ketakkontinuan lompat
karena
2lim2
tft
dan 3lim2
tft
.
Sehingga f kontinu bagian demi bagian pada interval ,0 . Kemudian fung-
si f yang didefinisikan 3tf untuk 2t
. 3tt etfe
Untuk 1
.03lim3lim
t
t
t
tee
Ini berarti untuk 1 terdapat 0M dan 00 t sehingga
Metfe tt 3untuk .2t Fungsi tf memenuhi kedua hipotesis
pada Teorema 3.1.1 sehingga transformasi Laplace dari f ada untuk 1s .
Contoh 3.1.5
Perlihatkan fungsi f tidak mempunyai transformasi Laplace jika diketahui
342 tttf .
Penyelesaian:
Menurut Definisi 3.1.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
dtttett st 34340
22
L
Fungsi 342 tte st tidak terdefinisi pada interval 3,1 . Dengan demikian,
dttte st 340
2
tidak ada. Jadi fungsi 342 tttf mempunyai
transformasi Laplace.
Contoh 3.1.6
Selidiki apakah tfL mempunyai transformasi Laplace jika diketahui
2tetf .
Penyelesaian:
Jika 0s , maka
0
22
dteee tsttL tidak ada. Misalkan integral tersebut ada
untuk 0s , maka
s
stt
s
sttstttstt dtedtedtedteee2
2
000
22
L (3.1.2)
Integral
s
stt dte
2
0
positif, karena integrannya positif untuk semua t dan s
yang real. Untuk st 2 atau sst diperoleh ststt ee
. Oleh karena itu
integral kedua pada ruas kanan persamaan (3.1.2) memenuhi ketaksamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
s
st
s
stt dtedte22
Untuk 0s
s
st
s
stt
s
sttt dtedtedtee22
2
0
2
L
Jadi, 2tetf tidak mempunyai transformasi Laplace.
B. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace mempunyai sifat-sifat yang sangat berguna dalam
penyelesaian sistem persamaan diferensial. Pada bagian ini, akan dijelaskan
sifat-sifat dari transformasi Laplace tersebut.
Teorema 3.2.1
Misalkan 1f dan 2f adalah fungsi-fungsi yang transformasi Laplacenya ada
dan misalkan 1c dan 2c adalah konstanta maka
tfctfctfctfc 22112211 LLL (3.2.1)
Bukti:
Dari Definisi 3.1.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
tfctfc
dttfecdttfec
tfcetfce
dttfctfcetfctfc
stst
stst
st
2211
0 0
2211
0 0
2211
0
22112211
LL
L
Jadi, terbukti bahwa .22112211 tfctfctfctfc LLL
Teorema 3.2.2
Bila f adalah fungsi real yang kontinu untuk 0t dan berorde eksponensial
te dan misalkan f kontinu bagian demi bagian dalam setiap interval
tertutup ,0 bt maka f L ada untuk s dan
.0ftfstf LL (3.2.2)
Bukti:
Diketahui bahwa:
1. f adalah fungsi real yang kontinu untuk 0t dan berorde eksponensial te
2. f kontinu bagian demi bagian dalam setiap interval tertutup .0 bt
Dari Definisi 3.1.1 yaitu
0
dttfetf stL
maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
0
' dttfetf stL atau
R
st
Rdttfetf
0
' limL
Misalkan nttt ,...,, 21 adalah titik-titik di dalam interval Rt 0 di mana f
tidak kontinu di titik-titik nttt ,...,, 21 maka
. ... 2
1
1
00
R
t
st
t
t
st
t
st
R
st
n
dttfedttfedttfedttfe
Masing-masing suku pada ruas kanan diselesaikan dengan integral parsial
menjadi
.
... 2
1
2
1
1
1
0
0
0
R
t
stR
t
st
t
t
stt
t
st
t
sttst
R
st
n
ndttfestfe
dttfestfedttfestfedttfe
Karena f kontinu untuk 0t maka
R
stsR
R
st dttfesRfefdttfe00
0
Karena f berorde eksponensial te , maka ada 0M dan 00 t di mana
Mtfe t untuk .0tt Dengan demikian
RsRsRsR MeMeeRfe untuk .0tR
Jika s maka
0lim
Rfe sR
R
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
dan
. lim0
tfsdttfes
R
st
RL
Jadi, terbukti bahwa
0 lim0
ftfsdttfe
R
st
R
L atau 0ftfstf LL
dan tf L ada untuk .s
Teorema 3.2.3
Bila f adalah fungsi real yang turunan ke- 1n 1nf kontinu untuk 0t
dan misalkan 1,...,, nfff berorde eksponensial .te Kemudian misalkan
nf kontinu bagian demi bagian dalam setiap interval tertutup bt 0 .
Maka nL f ada untuk s dan
.0...000 1321 nnnnnn ffsfsfstfsf LL (3.2.3)
Bukti:
Diketahui bahwa:
1. f adalah fungsi real yang turunan ke- 1n 1nf kontinu untuk .0t
2. 1,...,, nfff berorde eksponensial .te
3. nf kontinu bagian demi bagian dalam setiap interval tertutup bt 0 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Dari Definisi 3.1.1 yaitu
0
dttfetf stL
maka
0
dttfetf nstnL atau
R
nst
R
n dttfetf0
limL
Misalkan nttt ,...,, 21 adalah titik-titik di dalam interval Rt 0 di mana f
tidak kontinu di titik-titik nttt ,...,, 21 maka
. ... 2
1
1
00
R
t
nst
t
t
nst
t
nst
R
nst
n
dttfedttfedttfedttfe
Masing-masing pada ruas kanan diselesaikan dengan integral parsial menjadi
. ...
111
1
0
1
0
1
0
2
1
2
1
1
1
R
t
nstR
t
nst
t
t
nst
t
t
nst
t
nsttnst
R
nst
n
ndttfetfedttfe
tfedttfetfedttfe
Karena f kontinu untuk 0t maka
R
nstnsRn
R
nst dttfesRfefdttfe0
111
0
0
Karena 1,...,, nfff berorde eksponensial .te Jadi ada 0M dan 00 t di
mana Mtfe nt 1 untuk .0tt Dengan demikian
RstsRnsR MeMeetfe 1 untuk .0tR
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Jika s maka
0lim 1
Rfe nsR
R
dan
. lim 1
0
1 tfsdttfes n
R
nst
R
L
Jadi
0 lim 11
0
nn
R
nst
Rftfsdttfe L
atau
011 nnn ftfstf LL
dan tf nL ada untuk .s
Untuk membuktikan persamaan (3.2.3), akan digunakan induksi matematis.
Untuk 1n maka
.0ftfstf LL
Anggap persamaan (3.2.3) benar untuk kn maka
.0...000 1321 kkkkkk ffsfsfstfsf LL
Akan dibuktikan persamaan (3.2.3) berlaku untuk 1 kn yakni
.00...000
00...000
0
1211
1321
1
fsffsfsfstfs
fffsfsfstfss
ffsf
kkkkk
kkkkk
kk
L
L
LL
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Jika untuk 1n dan kn benar maka untuk 1 kn juga benar. Ini
berarti bahwa Teorema 3.2.3 berlaku untuk semua bilangan asli positif dari n.
Jadi, terbukti bahwa
0...000 1''3'21 nnnnnn ffsfsfstfsf LL
dan nL f ada untuk .s
Teorema 3.2.4
Bila f sedemikan rupa sehingga fL ada untuk .s Maka untuk setiap
konstanta a berlaku
asFtfeat L (3.2.4)
untuk ,as di mana .tfsF L
Bukti:
Dari Definisi 3.1.1
. 0
dttfesF st
Substitusikan s dengan as sehingga diperoleh
tfe
dttfee
dttfeasF
at
atst
tas
L
0
0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Jadi
tfeasF atL as
Teorema 3.2.5
Misalkan f adalah sebuah fungsi yang memenuhi hipotesis dari Teorema 3.1.3
di mana F adalah transformasi Laplace yakni
dttfesF st
0
Maka
.1 sFds
dtft
n
nnn L (3.2.5)
Bukti:
Untuk membuktikan persamaan (3.2.5), akan digunakan induksi matematis.
Diketahui Definisi 3.1.1 yaitu
dttfesF st 0
Diferensialkan kedua ruas persamaan di atas terhadap s sedemikian rupa
sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
0
0
0
dttfet
dttfet
dttfeds
dsF
ds
d
st
st
st
Jadi tftsF L atau sFtft L . Dengan demikian untuk
,1n persamaan (3.2.5) bernilai benar. Anggap Teorema 3.2.5 benar untuk
kn sedemikian rupa sehingga
sFds
dtft
k
kkk 1L
Akan dibuktikan persamaan (3.2.5) berlaku untuk 1 kn yakni
tftttft kk 1 LL
Misalkan ttftg maka
sFds
d
sFds
d
ttfds
d
sGds
d
tgttft
k
kk
k
kk
k
kk
k
kk
kk
1
11
1
1
1
1
1
L
LL
Jika untuk 1n dan kn benar maka untuk 1 kn juga benar. Ini
berarti bahwa Teorema 3.2.5 berlaku untuk semua bilangan asli positif dari n.
Jadi, terbukti bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
.1 sFds
dtft
n
nnn L
C. Fungsi Khusus Transformasi Laplace
Untuk masing-masing bilangan real ,0a fungsi tangga satuan au di-
definisikan untuk t yang tak negatif dengan
tua 0, at
1, at
Jika ,0a secara umum menjadi
tu0 0, 0t
1, 0t
tetapi karena au didefinisikan untuk t yang tak negatif maka
10 tu untuk .0t
Fungsi au didefinisikan memenuhi hipotesis pada Teorema 3.1.1 sehingga
tuaL ada. Dengan Definisi 3.1.1,
s
e
es
dte
dtedtedttuetu
at
R
a
st
R
R
a
st
R
a
st
a
st
a
st
a
1lim lim0
1 0 00
L
Sifat lain yang berguna dari fungsi tangga satuan dalam hubungannya
dengan transformasi Laplace adalah fungsi translasi. Fungsi tersebut didefini-
sikan dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
0, at
,atf at
Karena fungsi tangga satuan didefinisikan dengan
tua 0, at 0
1, at
maka
atftua 0, at 0
,atf at
Teorema 3.3.1
Bila f adalah fungsi yang memenuhi hipotesis dari Teorema 3.1.1 dengan
transformasi Laplace F sedemikian sehingga
0
dttfesF st
dan fungsi translasi didefinisikan dengan
atftua 0, at 0
,atf at
Maka
tfeatftu as
a LL (3.3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Bukti:
0
00
0
0
dtatfe
dtatfedte
dtatftueatftu
st
st
a
st
a
st
aL
Misalkan ,at sehingga
tfe
dfee
dfedtatfe
sa
ssa
asst
L
0
00
Jadi, terbukti bahwa
.tfeatftu as
a LL
Contoh 3.3.1
Tentukan transformasi Laplace dari
tg 0, 50 t
,3t 5t
Penyelesaian:
Diketahui bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
tg 0, 50 t
,3t 5t
Nyatakan 3t untuk 5t dalam bentuk .5t Jadi 253 tt sehingga
tg 0, 50 t
,25 t 5t
Maka fungsi translasinya adalah
55 tftu 0, 50 t
,25 t 5t
di mana 2 ttf dan .5a Kemudian, tentukan transformasi Laplace da-
ri .tf Menurut Teorema 3.2.1
ss
ttt
21
1222
2
LLLLL
Dengan Teorema 3.3.1
sse
tetftu
s
s
21
25
2
5
5
5 LL
Jadi
ssetftu s 21
52
5
5L .0s
Definisi 3.3.1
Fungsi tf dikatakan periodik dengan periode P jika
tfPtf
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
untuk setiap t di mana f terdefinisi.
Teorema 3.3.2
Misalkan f adalah fungsi periodik dengan periode P yang transformasi Lapla-
cenya ada, maka
Ps
P
st
e
dttfe
tf
1
0L
Bukti:
Dari Definisi 3.1.1
dttfetf st 0
L
Integral pada ruas kanan dapat diubah ke dalam bentuk deret tak berhingga
dari integral
......
13
2
2
0
Pn
nP
st
P
P
st
P
P
st
P
st dttfedttfedttfedttfe (3.3.2)
Untuk setiap ,...,2 ,1 ,0n misalkan nPut dalam integral yang sesuai
.
1
Pn
nP
st dttfe
maka untuk setiap ,...,2 ,1 ,0n
. 0
P
nPus dunPufe
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Menurut hipotesis, f adalah periodik dari periode P. Jadi
nPufPufPufuf ...2 untuk semua u di mana f
terdefinisi. Demikian pula untuk ,nPssunPus eee di mana faktor nPse
adalah variabel tak bebas dari integrasi u. Jadi untuk setiap ,...,2 ,1 ,0n
integral
P
nPus dunPufe0
menjadi
. 0
P
sunPs duufee
Oleh karena itu, deret tak berhingga persamaan (3.3.2) menjadi
P
sunPsPsPs
P
sunPs
P
suPs
P
suPs
P
su
duufeeee
duufeeduufeeduufeeduufe
0
2
00
2
00
......1
......
......1 2 nPsPsPs eee adalah deret geometrik di mana 1a dan
rasio .1 Pser Maka
Ps
nPsPsPs
eeee
1
1......1 2
Sehingga
.1
1
......
0
00
2
00
P
su
Ps
P
sunPs
P
suPs
P
suPs
P
su
duufee
duufeeduufeeduufeeduufe
Jadi terbukti terbukti bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
P
st
Psdttfe
etf
0
.1
1L
Contoh 3.3.2
Tentukan transformasi Laplace dari f bila f didefinisikan pada 40 t
dengan
tf 1, 20 t
-1, 42 t
dan tftf 4 untuk .4t
Penyelesaian:
Fungsi f adalah fungsi periodik dengan periode 4P sehingga
s
s
ss
s
ss
s
sss
s
stst
s
s
st
es
e
ees
e
eees
eeese
dtedtee
e
dttfe
tf
2
2
22
22
42
4
242
4
4
2
2
0
4
4
4
0
1
1
]1 1
1
211
1
11
1
1
1 11
1
1
L
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Jadi
s
s
es
etf
2
2
1
1
L .0s
D. Invers Transformasi Laplace dan Konvolusinya
Pada bagian ini akan dibahas mengenai invers dari transformasi Laplace
dan konvolusi transformasi Laplace.
1. Invers Transformasi Laplace
Telah diketahui sebelummya bahwa transformasi Laplace adalah
transformasi yang memetakan fungsi tf ke dalam fungsi sF Tetapi
jika diketahui ,sF maka sF dapat diinverskan untuk mencari .tf
Inilah yang dinamakan invers transformasi Laplace. Invers transformasi
Laplace dinyatakan dengan
sFtf 1 L (3.4.1)
yang berarti bahwa ada tf sedemikian sehingga
sFtf L .
Contoh 3.4.1
Tentukan tf jika diketahui
s
sF1
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Penyelesaian:
Dari Contoh 3.1.1, diketahui bahwa jika 1tf maka
.1
1
s
tf
LL
Dengan demikian
1
1
ssF 1-1- LL
Jadi
1 sFtf -1L .
Invers dari sF akan dicari dengan menggunakan beberapa
metode salah satunya adalah metode pecahan parsial. Misalkan diketahui
sQ
sP di mana sP dan sQ adalah polinomial, dengan derajat P
kurang dari Q dan mempunyai ekspansi pecahan parsial yang bentuk
faktor-faktornya kuadrat dan linear dari .sQ Ada tiga kasus yang perlu
dipertimbangkan yaitu:
1. Faktor linear tak berulang
Jika sQ dapat difaktorkan ke dalam sebuah perkalian dari faktor
linear yang berbeda
nrsrsrssQ ... 21
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
di mana ir adalah semua bilang real yang berbeda, maka ekspansi
pecahan parsial mempunyai bentuk
,...2
2
1
1
n
n
rs
A
rs
A
rs
A
sQ
sP
di mana iA adalah bilangan real.
2. Faktor linear berulang
Misalkan rs adalah faktor dari sQ dan misalkan mrs adalah
derajat tertinggi dari rs yang membagi .sQ Maka bagian
ekspansi pecahan parsial dari sQ
sP yang sesuai dengan bentuk
mrs adalah
...,...2
2
2
1
1
m
n
m
rs
A
rs
A
rs
A
sQ
sP
di mana iA adalah bilangan real.
3. Faktor Kuadrat
Misalkan 22 s adalah faktor kuadrat dari sQ yang tidak
bisa direduksi ke faktor-faktor linear dengan koefisien-koefisien real.
Misalkan m adalah pangkat tertinggi dari 22 s yang
membagi .sQ Maka bagian dari ekspansi pecahan parsial dari
sQ
sP yang sesuai untuk 22
s adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
...,...222
22
22
22
11
m
mm
s
DsC
s
DsC
s
DsC
sQ
sP
Berikut diberikan Tabel 3.4.1 yang berisi beberapa fungsi tf yang
sesuai dengan transformasi Laplace sF yang dapat diselesaikan dengan
metode yang diberikan sebelumnya.
Tabel 3.4.1: Tabel Transformasi Laplace
sFtf -1L sFtf L
1 s
1, 0s
ate as
1, as
,...2,1, nt n 1
! ns
n, 0s
,...2,1, nte nat
1
!
n
as
n as
btsin 22 bs
b
0s
btcos 22 bs
s
0s
bteat sin 22bas
b
as
bteat cos 22bas
as
as
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Contoh 3.4.1
Tentukan invers transformasi Laplace dari fungsi
31
292
2
ss
sssF .
Penyelesaian:
Fungsi F(s) dapat dipisahkan menjadi
31131
2922
2
s
C
s
B
s
A
ss
ss, (3.4.2)
di mana A, B dan C adalah konstanta sehingga
31
133 1
31
292
2
2
2
ss
sCsBssA
ss
ss
Kemudian
22 133 129 sCsBssAss
atau
293322 22 ssCBAsCBAsCA .
Maka diperoleh sistem persamaan
233
922
1
CBA
CBA
CA
Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss diperoleh 2A , 3B
dan .1C Persamaan (3.4.2) menjadi
.
3
1
1
3
1
2
31
2922
2
sssss
ss
maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
.
3
1
1
3
1
2
31
292
1
2
21
sssss
ssLL
Menurut Teorema 3.2.1
.
3
1
1
3
1
2
31
29 1
2
11
2
21
sssss
ssLLLL
atau
.
3
1
1
13
1
12
31
29 1
2
11
2
21
sssss
ssLLLL
Dengan Tabel 3.4.1, diperoleh
tes
1
11L ,
ttes
2
1
1
1L dan te
s
31
3
1
L
Jadi
.32
31
29 3
2
21 ttt etee
ss
ss
L
2. Konvolusi
Definisi 3.4.1
Misalkan f dan g adalah fungsi yang kontinu bagian demi bagian dalam
setiap interval tertutup bt 0 dan berorde eksponensial. Fungsi yang
dinotasikan dengan gf dan didefinisikan sebagai
t
dvvtgvftgtf0
, (3.4.3)
dikatakan konvolusi dari fungsi f dan g.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Teorema 3.4.1
Misalkan f(t) dan g(t) kontinu bagian demi bagian pada interval [0,).
Maka
.tftgtgtf (3.4.4)
Bukti:
Dari Definisi 3.4.1
t
dvvtgvftgtf0
Misalkan vtu maka
tftgduutfug
duugutfdvvtgvftgtf
t
tt
0
00
Jadi terbukti bahwa
.tftgtgtf
Teorema 3.4.2
Misalkan fungsi f dan g kontinu bagian demi bagian pada setiap interval
tertutup berhingga bt 0 dan berorde eksponensial .ate Maka
gfgf LLL (3.4.5)
untuk .s
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Bukti:
Dari Definisi 3.1.1 dan Definisi 3.4.1, gf L adalah fungsi yang
didefinisikan dengan
. 00
dtdvvtgvfegf
t
st
L (3.4.6)
Untuk menyederhanakan integral pada persamaan (3.4.6) digunakan
fungsi tangga satuan. Karena
tuv 0, vt 0
1, vt
Maka persamaan (3.4.6) menjadi
dtdvvtgvftuegf v
st 0 0
L
Kemudian
dvdtvtgtuevfgf v
st 0 0
L
Menurut Teorema 3.3.1, gedtvtgtue st
v
st L
0
maka
dvgevfgf sv 0
LL
atau
dvevfggf sv 0
LL .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
Menurut Definisi 3.1.1, fdvevf sv L
0
maka
. fggf LLL
Karena fggf maka
. gffggf LLLL
Jadi, terbukti bahwa
. gfgf LLL
Akibat 3.4.3
Jika Ff L dan Gg L maka
.1 tftgtgtfsGsF L
Bukti:
Jika Ff L dan Gg L maka persamaan (3.4.5) dapat ditulis dalam
bentuk
. sGsFtgtf L
Oleh karena itu
. s tgtfGsF -1L (3.4.7)
dan dengan Teorema (3.4.1) maka
. s tftgtgtfGsF -1L (3.4.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Jadi terbukti bahwa
.1 tftgtgtfsGsF L
Contoh 3.4.2
Tentukan
.1
12
1
ssL
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa 1
12 ss
adalah hasil perkalian antara sF dan sG
di mana s
sF1
dan 1
12
s
sG .
Dengan Tabel 3.4.1, 11 sFtf L dan tsGtg sin1 L .
Maka berdasarkan Akibat 3.4.3
.cos1 sin1
1
1
00
1
2
1
tdvvtdvvtgvf
tgtfsGsFss
tt
LL
Jadi
t
sscos1
1
12
1
L .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR DENGAN
TRANSFORMASI LAPLACE
Metode operator adalah metode yang biasa digunakan untuk menyelesaikan
masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial. Selain metode operator, ada
metode lain yang dapat menyelesaikan masalah nilai awal pada sistem. Metode terse-
but adalah metode transformasi Laplace. Transformasi Laplace hanya dapat
digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang linear. Kelebihan
menggunakan metode ini adalah dapat menyelesaikan masalah nilai awal pada sistem
persamaan diferensial dan persamaan diferensial secara langsung tanpa harus mencari
persamaan umumnya terlebih dahulu. Tetapi, dalam menyelesaikan masalah nilai
awal metode transformasi Laplace ini hanya dapat menyelesaikan untuk titik awal
00 t .
Pada bagian ini akan dijelaskan bagaimana cara menyelesaikan persamaan
diferensial linear dan sistem persamaan diferensial linear dengan menggunakan
transformasi Laplace.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
A. Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Dengan Transformasi Laplace
Masalah nilai awal pada persamaan diferensial linear dituliskan dalam ben-
tuk
)(... 11
1
10 tbyadt
dya
dt
yda
dt
yda nnn
n
n
n
(4.1.1)
dengan syarat awalnya
1
1
10 )0(,...,)0(,)0(
n
n cycycy . (4.1.2)
Asumsikan masalah nilai awal di atas mempunyai penyelesaian ty dan
n
n
dt
yd,
1
1
n
n
dt
yd, ...,
dt
dy memenuhi syarat pada Teorema 3.2.3. Kemudian berikan
transformasi Laplace pada kedua ruas persamaan (4.1.1) sedemikian sehingga
)(... 11
1
10 tbyadt
dya
dt
yda
dt
yda nnn
n
n
n
LL
(4.1.3)
Menurut Teorema 3.2.1, persamaan (4.1.3) menjadi
)(... 11
1
10 tbyadt
dya
dt
yda
dt
yda nnn
n
n
n
LLLLL
(4.1.4)
Aplikasikan Teorema 3.2.3 pada suku-suku di ruas kiri persamaan (4.1.4) dan
syarat-syarat awal persamaan (4.1.2),
.,...,,1
1
dt
dy
dt
yd
dt
ydn
n
n
n
LLL
Maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
11
2
0
1
121
...
0...00
n
nnn
nnnn
n
n
ccscstys
yysystysdt
yd
L
LL
0
21
3
0
21
2321
1
1
0
.
.
.
...
0...00
ctys
ytysdt
dy
ccscstys
yysystysdt
yd
n
nnn
nnnn
n
n
L
LL
L
LL
Persamaan (4.1.4) menjadi
11
2
0
1
0 ...
n
nnn ccscstysa L
tbtyactysa
ccscstysa
nn
n
nnn
LLL
L
01
21
3
0
21
1
...
...
Misalkan tyL dinotasikan sebagai sY dan tbL dinotasikan sebagai
sB maka
sBsYacassYaca
csacsasYsacacsacsasYsa
sBsYacssYa
ccscssYsaccscssYsa
nnnn
nnn
n
nnn
nn
n
nnn
n
nnn
01121
1
3
10
2
1
1
1101
2
00
1
00
01
21
3
0
21
111
2
0
1
0
...
......
.........
atau
sYasasasa nn
nn
1
1
10 ... (4.1.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
sBacasac
asasac
asasac
nn
n
nn
n
nn
01102
2
32
01
1
21
00
...
...1
...1
Karena b adalah fungsi yang diketahui dari t, maka B adalah fungsi terhadap s
yang diasumsikan ada dan dapat diselesaikan. Setelah sY diperoleh, tentukan
y(t) dengan menginverskan sY .
Berikut diberikan langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah nilai awal
pada persamaan diferensial linear dengan transformasi Laplace:
1. Berikan transformasi Laplace kedua ruas dari persamaan diferensial linear
dan aplikasikan Teorema 3.2.3 serta gunakan syarat awal (4.1.2).
2. Selesaikan persamaan aljabar (4.1.5) untuk memperoleh Y(s)
3. Setelah memperoleh Y(s), gunakan tabel transformasi Laplace untuk
menentukan penyelesaian sYty -1L dari masalah nilai awal yang
diberikan.
Contoh 4.1.1
Selesaikan masalah nilai awal
teydt
yd t sin2
2
2 (4.1.6)
dengan syarat awal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
00
00
y
y
Penyelesaian:
Transformasi Laplace pada kedua ruas persamaan (4.1.6) adalah
teydt
yd t sin2
2
2
LLL (4.1.7)
Menurut Teorema 3.2.3 dan Tabel 3.4.1, persamaan (4.1.7) menjadi
12
100
2
2
styysytys LL
Kemudian dengan syarat awal, persamaan di atas disederhanakan menjadi
12
12
2
stytys LL
atau
12
11
2
2
stys L
Karena sYty L maka
12
11
2
2
ssYs
Sehingga diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
121
122
ss
sY
Kemudian ditentukan invers transformasi Laplace dari Y(s), yakni
121
122
11
sssY LL
Untuk menyelesaikan persamaan di atas dapat menggunakan pecahan parsial atau
konvolusi.
1. Menggunakan pecahan parsial
Diketahui bahwa
121
122
ss
sY
Fungsi Y(s) dapat dipisahkan menjadi
.
121121
12222
s
DCs
s
BAs
ss (4.1.8)
di mana A, B, C, dan D adalah konstanta.
Dengan demikian
1112 22 sDCssBAs
atau
15454 23 DBsCBAsDBAsCA
Maka diperoleh sistem persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
15
045
04
0
DB
CBA
DBA
CA
Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss diperoleh 8
1A ,
8
1B
,8
1C dan
8
3D . Persamaan (4.1.8) menjadi
12
8
3
8
1
1
8
1
8
1
121
12222
s
s
s
s
ss
atau
.
12
1
8
3
128
1
1
1
8
1
18
1
121
1222222
ss
s
ss
s
ss
Maka
.
12
1
8
3
128
1
1
1
8
1
18
1
121
1
22
2222
ss
s
ss
s
ss
1-1-
1-1-1-
LL
LLL
(4.1.9)
Untuk menentukan
12
1
8
3
128
122
ss
s 1-1- LL (4.1.10)
Persamaan 12
2s
s dapat ditulis dalam bentuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
12
2
12
2
12222
ss
s
s
s
maka
.
12
2
12
2
122
1
2
1
2
1
ss
s
s
sLLL
Persamaan (4.1.10) menjadi
12
1
8
3
12
2
12
2
8
122
1
2
1
sss
s 1-LLL
12
1
8
3
12
2
8
1
12
2
8
122
1
2
1
sss
s 1-LLL
12
1
8
2
12
2
8
122
ss
s 1-1- LL
Dengan demikian persamaan (4.1.9) menjadi
.
12
1
8
1
12
2
8
1
1
1
8
1
18
1
121
1
22
2222
ss
s
ss
s
ss
1-1-
1-1-1-
LL
LLL
Dengan Tabel 3.4.1, diperoleh
,cos12
ts
s
1-L ,sin1
12
ts
1-L
tes
s t cos12
2 2
2
1-L dan
.sin
12
1 2
2te
s
t
1-L
Jadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
.sin8
1cos
8
1sin
8
1cos
8
1 22 tetettty tt
2. Menggunakan konvolusi
Karena 121
122 ss
adalah hasil perkalian antara sF dan sG di mana
1
12
s
sF dan 12
12
s
sG . Menurut Tabel 3.4.1, tsF sin1 L dan
tesG t sin21 L . Maka berdasarkan Akibat 3.4.3
. sinsin
121
1
0
2
0
1
22
1
dvvtvedvvtfvgtftg
tgtfsGsFss
t
v
t
LL
Integral di atas dapat ditulis menjadi
t
v
t
v
t
v dvvetdvvvetdvvtve0
22
0
2
0
2 sincos cossinsin sinsin
Karena vtvtvt sincoscossinsin maka
vdvtvevdvtve
dvvtvtvedvvtve
t
v
t
v
t
v
t
v
sincossincossinsin
sincoscossinsin sinsin
0
2
0
2
0
2
0
2
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
dvvetvdvvetdvvtve
t
v
t
v
t
v
0
22
0
2
0
2 sincoscossinsin sinsin
Karena 2
2sincossin
vvv dan vv 2cos1
2
1sin 2 maka
. 2cos2
cos
2
cos 2sin
2
sin
2
2cos1cos
2
2sinsin sinsin
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
dvvet
dvet
dvvet
dvv
etdvv
etdvvtve
atau
321
0
2
2
cos
2
cos
2
sin sinsin I
tI
tI
tdvvtve
t
v
di mana
t
v
t
v
t
v
dvveI
dveI
dvveI
0
2
3
0
2
2
0
2
1
2cos
2sin
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
dvveveve
dvveveve
dvveve
dvevvedvveI
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
1
2sin2sin2
12cos
2
1
2sin2
122sin
2
12cos
2
1
2cos2cos2
1
22cos2
12cos
2
1 2sin
Karena dvveI
t
v 2sin0
2
1
maka
tete
eteete
vevedvve
vevedvve
dvvevevedvve
tt
tt
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
2sin4
1
4
12cos
4
1
0sin4
12sin
4
10cos
4
12cos
4
1
2sin4
12cos
4
1 2sin
2sin2
12cos
2
1 2sin2
2sin2sin2
12cos
2
1 2sin
22
0202
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
Jadi .2sin4
1
4
12cos
4
1 22
1 teteI tt
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 202
0
2
0
2
2
tt
t
v
t
v eeeedveI
Jadi .2
1
2
1 2
2 teI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
dvveveve
dvveveve
dvveve
dvevvedvveI
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
3
2cos2cos2
12sin
2
1
2cos2
122cos
2
12sin
2
1
2sin2sin2
1
22sin2
12sin
2
1 2cos
Karena
t
v dvveI0
2
3 2cos maka
4
12cos
4
12sin
4
1
0cos4
12cos
4
10sin
4
12sin
4
1
2cos4
12sin
4
1 2cos
2cos2
12sin
2
1 2cos2
2cos2cos2
12sin
2
1 2cos
22
0202
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
tete
eteete
vevedvve
vevedvve
dvvevevedvve
tt
tt
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
t
v
Jadi .4
12cos
4
12sin
4
1 22
3 teteI tt
Dengan demikian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
8
cos
4
cos
4
cos
8
sin
2coscos2sinsin8
2sincos2cossin8
8
cos2coscos
82sincos
8
4
cos
4
cos
8
sin2sinsin
82cossin
8
4
12cos
4
12sin
4
1
2
cos
2
1
2
1
2
cos2sin
4
1
4
12cos
4
1
2
sin sinsin
2
22
22
222
22
222
0
2
tttet
tttte
tttte
ttt
ett
e
ttettt
ett
e
tetet
et
tetet
dvvtve
t
tt
tt
ttt
tt
ttt
t
v
Karena
t
t
tttttt
cos
cos
2cos2sinsin2coscos
dan
t
t
tttttt
sin
sin
2sin2sincos2cossin
maka
8
cos
4
cos
4
cos
8
sin
8
cossin
8
8
cos
4
cos
4
cos
8
sincos
8sin
8 sinsin
222
222
0
2
tttettet
e
tttett
et
edvvtve
ttt
tttt
v
Jadi
.sin8
1cos
8
1sin
8
1cos
8
1 22 tetettty tt
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear dengan Transformasi Laplace
Menggunakan MATLAB
Persamaan diferensial linear umum orde kedua dengan koefisien konstan
adalah
tbcydt
dyb
dt
yda
2
2
(4.1.11)
Menurut Teorema 3.2.3 transformasi Laplace untuk persamaan (4.1.11) adalah
tbtycytysbysytysa LLLL 0002 (4.1.12)
Karena sYty L dan sBtb L maka persamaan di atas menjadi
sBscYyssYbysysYsa 0002.
Maka
cbsas
ayybassBsY
2
' 00 (4.1.13)
Transformasi Laplace dari sY dapat langsung diselesaikan dengan
menggunakan MATLAB. Perintah untuk menghitung transformasi Laplace
dalam MATLAB yaitu
>> G=laplace(b)
dan perintah untuk menghitung invers transformasi Laplace dalam MATLAB
yaitu
>> y=ilaplace(Y)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
di mana b adalah suatu fungsi yang diketahui. Sebelum melakukan perhitungan
untuk mencari sY , pertama tentukan s dan t sebagai variabel dan dilakukan
dengan perintah
>> syms t s
Kemudian input koefisen-koefisen ba , dan c dan syarat awalnya yaitu 0y dan
0y . Berikut adalah algoritma penyelesaian masalah nilai awal pada persamaan
diferensial orde kedua:
Algoritma
INPUT koefisien a, b, c, dan g(t); syarat awal y1(0) dan y2(0)
OUTPUT penyelesaian Y
Langkah 1 hitung G=laplace g(t)
Langkah 2 hitung Y=(G+((a*(s+b))*(y1))-(a*y2))/(a*(s^2)+b*s+c)
Langkah 3 hitung y = ilaplace (Y)
OUTPUT Y
Langkah 4 plot y
Program MATLAB:
clear clc disp('------------------------------------------------------') disp(' Algoritma Penyelesaian Masalah Nilai Awal ')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
disp(' Pada Persamaan Diferensial Orde Pertama ') disp(' ay"+by''+cy=b(t) ') disp(' dengan syarat awal y(t0)=c1 dan y''(0)=c2 ') disp('------------------------------------------------------') syms s t a=input ('masukkan nilai a = '); b=input ('masukkan nilai b = '); c=input ('masukkan nilai c = '); y1=input ('masukkan nilai y(t0) = '); %syarat awal untuk y(t0) y2=input ('masukkan nilai y''(t0)= '); %syarat awal untuk y'(t0) g=input ('masukkan fungsi b(t)= '); G=laplace(g); disp(' Maka transformasi Laplace untuk y(t) adalah ') Y=(G+((a*(s+b))*(y1))-(a*y2))/(a*(s^2)+b*s+c) disp('Dengan demikian, penyelesaian persamaan diferensialnya
adalah') y=simplify(ilaplace(Y)) %penyelesaian y(t) r=0:0.00001:2*pi; y2=subs(y,t,r); plot(r,y2,'b') legend('y') disp('------------------------------------------------------') disp(' Terimakasih telah menggunakan program ini. ')
Output Contoh 4.1.1 adalah
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Algoritma Penyelesaian Masalah Nilai Awal
Pada Persamaan Diferensial Orde Pertama
ay"+by'+cy=b(t)
dengan syarat awal y(t0)=c1 dan y'(0)=c2
--------------------------------------------------------------------------------------------------
masukkan nilai a = 1
masukkan nilai b = 0
masukkan nilai c = 1
masukkan nilai y(t0) = 0
masukkan nilai y'(t0)= 0
masukkan fungsi b(t)= exp(-2*t)*sin(t)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
Maka transformasi Laplace untuk y(t) adalah
Y =
1/((s+2)^2+1)/(s^2+1)
Dengan demikian, penyelesaian persamaan diferensialnya adalah
y =
-1/4*exp(-t)*(-sin(t)*cosh(t)+cos(t)*sinh(t))
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Terimakasih telah menggunakan program ini.
Grafik:
0 1 2 3 4 5 6 7-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
y(t)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
B. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama dengan
Transformasi Laplace
Metode transformasi Laplace dapat juga digunakan untuk mencari
penyelesaian masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial orde pertama.
Sistem persamaan diferensial orde pertama dengan dua variabel pada persamaan
(2.5.1) adalah
tgybxbdt
dyb
dt
dxb
tfyaxadt
dya
dt
dxa
4321
4321
di mana a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3 dan b4 adalah konstanta dan tf dan tg adalah
fungsi-fungsi yang diketahui dan memenuhi syarat awalnya yaitu
10 cx dan 20 cy
di mana c1 dan c2 adalah konstanta.
Langkah-langkah dalam penyelesaian sistem persamaan diferensial orde
pertama sama seperti langkah-langkah dalam penyelesaian persamaan diferensial
linear seperti yang sudah dibahas sebelumnya. Misalkan
txsX L dan tysY L
aplikasikan metode transformasi Laplace ke persamaan (2.5.1) untuk
memperoleh sistem persamaan aljabar dalam X(s) dan Y(s). Setelah memperoleh
X(s) dan Y(s), maka x(t) dan y(t) dapat diselesaikan dengan menginverskan X(s)
dan Y(s).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
Contoh 3.2.1
Selesaikan sistem persamaan diferensial berikut
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
42
836
(4.2.1)
dengan syarat awalnya adalah 10 x dan 00 y .
Penyelesaian:
Transformasi Laplace untuk persamaan (4.2.1) adalah
t
t
eyxdt
dy
eyxdt
dx
42
836
LLLL
LLLL
(4.2.2)
Menurut Teorema 3.2.1, Teorema 3.2.2 dan Tabel 3.4.1, persamaan (4.2.2)
menjadi
.420
8360
t
t
etytxyty
etytxxtx
LLLsL
LLLsL
Kemudian dengan syarat awal, sistem pada persamaan di atas disederhanakan
menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
1
42
1
8361
stytxty
stytxtx
LLsL
LLsL
atau
1
91
1
836
s
s
stytxs LL
.1
421
stxtys LL
Karena txsX L dan tysY L maka
1
936
s
ssYsXs (4.2.3)
1
421
ssXsYs (4.2.4)
Kemudian persamaan (4.2.3) dikalikan dengan 1s dan persamaan (4.2.4) de-
ngan 3 sehingga
91361 ssYssXss (4.2.5)
1
12613
ssXsYs (4.2.6)
Dengan mengurangi persamaan (4.2.5) dengan (4.2.6) diperoleh
1
129661
sssXsXss
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
1
2110
1
121943
1
129127
2
2
s
ss
s
sssXss
sssXss
Dari persamaan di atas diperoleh
41
7
431
73
431
21102
ss
s
sss
ss
sss
sssX
Dengan cara yang sama, persamaan (4.2.3) dikalikan dengan 2 dan persamaan
(4.2.4) dikalikan dengan 6s diperoleh
1
182662
s
ssYsXs (4.2.7)
1
2446261
s
ssXssYss (4.2.8)
Persamaan (4.2.7) dijumlahkan dengan (4.2.8) diperoleh
1
6234
1
62127
1
62676
1
62616
2
2
s
ssYss
s
ssYss
s
ssYsssY
s
ssYsssY
Dari persamaan di atas diperoleh
.41
2
341
62
sssss
ssY
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
Kemudian tentukan invers transformasi Laplace dari X(s) dan Y(s) yakni
41
711
ss
ssX LL
dan
.41
211
sssY LL
Dengan menggunakan pecahan parsial
41
711
ss
stxsX LL
Diketahui bahwa
41
7
ss
ssX
Fungsi X(s) dapat dipisahkan menjadi
4141
7
s
B
s
A
ss
s (4.2.9)
di mana A dan B adalah konstanta.
Dengan demikian
741 ssBsA
Maka diperoleh sistem persamaan
74
1
BA
BA
Dengan eliminasi Gauss diperoleh 2A dan 1B . Persamaan (4.2.9) menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
4
1
1
2
41
7
ssss
s
maka
4
1
1
2
41
7 11
ssss
sLL
Menurut Teorema 3.2.1
4
1
1
12
4
1
1
2
41
7
11
111
ss
ssss
s
LL
LLL
Dengan Tabel 3.4.1 diperoleh
.2
41
7 41 tt eetxss
s
L
Dengan cara yang sama seperti di atas Y(s) dapat diselesaikan yakni
.41
211
sstysY LL
Diketahui bahwa
.41
2
sssY
Fungsi Y(s) dapat dipisahkan menjadi
4141
2
s
B
s
A
ss (4.2.10)
di mana A dan B adalah konstanta.
Dengan demikian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
Diperoleh sistem persamaan
24
0
BA
BA
Dengan eliminasi Gauss diperoleh 3
2A dan .
3
2B Persamaan (4.2.10)
menjadi
maka
.
4
1
3
2
1
1
3
2
41
2 111
ssssLLL
Dengan Tabel 3.4.1, diperoleh
.
3
2
3
2
41
2 41 tt eetyss
L
Jadi
tt eetx 42
.3
2
3
2 4tt eety
241 sBsA
.
4
1
3
2
1
1
3
2
41
2
ssss
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama dengan
Transformasi Laplace Menggunakan MATLAB
Bentuk umum masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial orde
pertama dengan dua variabel adalah
tgybxbdt
dyb
dt
dxb
tfyaxadt
dya
dt
dxa
4321
4321
dengan syarat awal yaitu 0x dan 0y . Transformasi Laplace untuk sistem di
atas adalah
tgybxbdt
dyb
dt
dxb
tfyaxadt
dya
dt
dxa
LLLLL
LLLLL
4321
4321
(4.2.11)
Menurut Teorema 3.2.2, persamaan (4.2.11) menjadi
tgtybtxbybtybxbtxb
tftyatxayatyaxatxa
LLLLsL
LLLLsL
432211
432211
00
00
atau
00
00
214231
214231
ybxbtgtybsbtxbsb
yaxatftyasatxasa
LLL
LLL (4.2.12)
Karena sXtx L , sYty L , sFtf L dan sGtg L maka
persamaan (4.2.12) menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
00
00
314321
314321
ybxbsGsYbsbsXbsb
yaxasFsYasasXasa
(4.2.13)
Persamaan (4.2.13) dapat ditulis dalam bentuk matriks 2 x 2 menjadi
00
00
21
21
4231
4231
ybxbsG
yaxasF
sY
sX
bsbbsb
asaasa
Untuk mencari penyelesaian sistem persamaan diferensial di atas dapat
menggunakan MATLAB. Berikut adalah algoritma untuk penyelesaian masalah
nilai awal pada sistem persamaan diferensial orde ke dua yaitu
Algoritma:
INPUT koefisien a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4, f(t) dan g(t); syarat awal x(t0) dan
y(t0)
OUTPUT penyelesaian Y
Langkah 1 hitung F = laplace f(t) dan hitung G = g(t)
Langkah 2 hitung A=[a1*s+a2 a3*s+a4;b1*s+b2 b3*s+b4] dan
B=[F+a1*x+a3*y;G+b1*x+b3*y].
Langkah 3 hitung X = A-1
B.
Langkah 4 hitung Y = ilaplace (X)
OUTPUT Y
Langkah 5 plot Y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
Program MATLAB:
clear clc disp('------------------------------------------------------') disp(' Algoritma Penyelesaian Masalah Nilai Awal ') disp(' Pada Sistem Persamaan Diferensial Orde Pertama ') disp(' a1x''+a2y''+a3x+a4y=f(t) ') disp(' b1x''+b2y''+b3x+b4y=g(t) ') disp(' dengan syarat awal x(t0)=c1 dan y(t0)=c2 ') disp('------------------------------------------------------') syms s t a1=input('masukkan a1= '); a2=input('masukkan a2= '); a3=input('masukkan a3= '); a4=input('masukkan a4= '); b1=input('masukkan b1= '); b2=input('masukkan b2= '); b3=input('masukkan b3= '); b4=input('masukkan b4= '); y=input('masukkan y(t0)= '); %syarat awal y(0) x=input('masukkan x(t0)= '); %syarat awal x(0) f=input('masukkan fungsi f(t)= '); F=laplace(f,t,s); g=input('masukkan fungsi g(t)= '); G=laplace(g,t,s); A=[a1*s+a3 a2*s+a4;b1*s+b3 b2*s+b4]; B=[F+a1*x+a2*y;G+b1*x+b2*y]; disp( 'Maka transformasi Laplace untuk x(t) dan y(t) adalah ') X=A\B disp('Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan
diferensialnya adalah') Y=simplify(ilaplace(X)) %penyelesaian SPD x(t) dan
y(t) x=Y(1) %x(t) y=Y(2) %y(t) r=0:0.00001:2*pi; x1=subs(x,t,r); y2=subs(y,t,r); plot(r,x1,'r',r,y2,'b') legend('x(t)','y(t)') disp('------------------------------------------------------') disp(' Terimakasih telah menggunakan program ini. ')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
Output untuk Contoh 4.2.1 adalah
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Algoritma Penyelesaian Masalah Nilai Awal
Pada Sistem Persamaan Diferensial Orde Pertama
a1x'+a2y'+a3x+a4y=f(t)
b1x'+b2y'+b3x+b4y=g(t)
dengan syarat awal x(t0)=c1 dan y(t0)=c2
--------------------------------------------------------------------------------------------------
masukkan a1= 1
masukkan a2= 0
masukkan a3= -6
masukkan a4= 3
masukkan b1= 0
masukkan b2= 1
masukkan b3= -2
masukkan b4= -1
masukkan y(t0)= 0
masukkan x(t0)= -1
masukkan fungsi f(t)= 8*exp(t)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
masukkan fungsi g(t)= 4*exp(t)
Maka transformasi Laplace untuk x(t) dan y(t) adalah
X =
-(s-7)/(s^2-5*s+4)
2/(s^2-5*s+4)
Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan diferensialnya adalah
Y =
-2*exp(t)+exp(4*t)
4/3*exp(5/2*t)*sinh(3/2*t)
x =
-2*exp(t)+exp(4*t)
y =
4/3*exp(5/2*t)*sinh(3/2*t)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Terimakasih telah menggunakan program ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
Grafik:
C. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Kedua dengan
Transformasi Laplace
Masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial orde kedua dapat juga
diselesaikan dengan metode transformasi Laplace. Bentuk sistem persamaan
diferensial orde kedua yaitu
tgybxbdt
dyb
dt
dxb
dt
ydb
dt
xdb
tfyaxadt
dya
dt
dxa
dt
yda
dt
xda
65432
2
22
2
1
65432
2
22
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9x 10
10
x(t)
y(t)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
di mana 54321654321 , , , , , , , , , , bbbbbaaaaaa dan 6b adalah konstanta dan tf
dan tg adalah fungsi-fungsi yang diketahui dan memenuhi syarat awalnya
yaitu
10 cx , 20 cx , 30 cy dan 20 cy
di mana 321 , , ccc dan 4c adalah konstanta.
Contoh 4.3.1
Selesaikan masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial orde kedua
berikut ini
04
042
2
2
2
2
ydt
yd
dt
dx
dt
dyx
dt
xd
(4.3.1)
dengan syarat awalnya yaitu
40 x , 80 x , 10 y dan 20 y . (4.3.2)
Penyelesaian:
Transformasi Laplace untuk persamaan (4.3.1) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
04
042
2
2
2
2
LLLL
LLLL
ydt
yd
dt
dx
dt
dyx
dt
xd
(4.3.3)
Menurut Teorema 3.2.1, Teorema 3.2.2 dan dan syarat awal (4.3.2), persamaan
(4.3.3) menjadi
0424
044284
2
2
tystystx
tystxstxs
LLsL
LLL
atau
24
12442
2
2
stystxs
stystxs
LL
LL
Karena txsX L dan tysY L maka
24
12442
2
2
ssYsssX
sssYsXs (4.3.4)
Dengan mengeliminasi Y(s) maka diperoleh
.4
24
2
s
ssX
Kemudian, dengan mengeliminasi X(s) pada sistem persamaan (4.3.4) diperoleh
.4
22
s
ssY
Kemudian, tentukan invers transformasi Laplace dari X(s) dan Y(s) yakni
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
112
4
24
2
11
s
ssX -- LL
dan
4
22
11
s
ssY -- LL .
Dengan menggunakan pecahan parsial dan eliminasi Gauss, diperoleh
.2sin2cos
2sin42cos4
ttty
tttx
Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Kedua dengan
Transformasi Laplace Menggunakan MATLAB
Bentuk umum masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial orde kedua
dengan dua variabel adalah
tgybxbdt
dyb
dt
dxb
dt
ydb
dt
xdb
tfyaxadt
dya
dt
dxa
dt
yda
dt
xda
65432
2
22
2
1
65432
2
22
2
1
dengan syarat awal yaitu 0x , 0x , 0y dan 0y Transformasi Laplace
untuk sistem di atas adalah
tgybxbdt
dyb
dt
dxb
dt
ydb
dt
xdb
tfyaxadt
dya
dt
dxa
dt
yda
dt
xda
LLLLLLL
LLLLLLL
65432
2
22
2
1
65432
2
22
2
1
(4.3.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
Menurut Teorema 3.2.2, persamaan (4.3.5) menjadi
tgtybtxbybtyb
xbtxbybsybtysbxbsxbtxsb
tftyatxayatya
xatxayasyatysaxasxatxsa
LLLsL
sLLL
LLLsL
sLLL
6544
3322
2
211
2
1
6544
3322
2
211
2
1
0
00000
0
00000
atau
0000
0000
242131
64
2
253
2
1
242131
64
2
253
2
1
ybybsbxbxbsbtg
tybsbsbtxbsbsb
yayasaxaxasatf
tyasasatxasasa
L
LL
L
LL
(4.3.6)
Karena sXtx L , sYty L , sFtf L dan sGtg L maka
persamaan (4.3.6) menjadi
0000
0000
242131
64
2
253
2
1
242131
64
2
253
2
1
ybybsbxbxbsbsG
sYbsbsbsXbsbsb
yayasaxaxasasF
sYasasasXasasa
(4.3.7)
Persamaan (4.3.7) dapat ditulis dalam bentuk matriks 2 x 2 menjadi
0000
0000
242131
242131
64
2
253
2
1
64
2
253
2
1
ybybsbxbxbsbsG
yayasaxaxasasF
sY
sX
bsbsbbsbsb
asasaasasa
Untuk mencari penyelesaian sistem persamaan diferensial di atas dapat
menggunakan MATLAB. Berikut adalah algoritma untuk penyelesaian masalah
nilai awal pada sistem persamaan diferensial orde kedua.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
Algoritma
INPUT koefisien a1, a2, a3, a4, a5, a6, b1, b2, b3, b4, b5, b6, f(t) dan g(t); syarat
awal x(t0), 0tx , y(t0) dan 0ty
OUTPUT penyelesaian Y
Langkah 1 hitung F = laplace f(t) dan hitung G = g(t)
Langkah 2 A=[a1*(s^2)+a3*s+a5 a2*(s^2)+a4*s+a6; b1*(s^2)+b3*s+b5
b2*(s^2)+b4*s+b6];
B=[F+(a1*s+a3)*x0+a1*x1+(a2*s+a4)*y0+a2*y1;
G+(b1*s+b3)*x0+b1*x1+(b2*s+b4)*y0+b2*y1];
Langkah 3 hitung X = A-1
B.
Langkah 4 hitung Y = ilaplace (X)
OUTPUT Y
Langkah 5 plot Y
Program MATLAB
clear clc disp('---------------------------------------------------------') disp(' Algoritma Penyelesaian Masalah Nilai Awal ') disp(' Pada Sistem Persamaan Diferensial Orde Kedua ') disp(' a1x''''+a2y''''+a3x''+a4y''+a5x+a6y=f(t) ') disp(' b1x''''+b2y''''+b3x''+b4y''+b5x+b6y=g(t) ') disp('dengan syarat awal x(t0)=c1, x''(t0)=c2, y(t0)=c3 dan
y''(t0)=c4 ') disp('---------------------------------------------------------') syms s t a1=input('masukkan a1= '); a2=input('masukkan a2= '); a3=input('masukkan a3= '); a4=input('masukkan a4= '); a5=input('masukkan a5= ');
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
a6=input('masukkan a6= '); b1=input('masukkan b1= '); b2=input('masukkan b2= '); b3=input('masukkan b3= '); b4=input('masukkan b4= '); b5=input('masukkan b5= '); b6=input('masukkan b6= '); y0=input('masukkan y(t0)= '); %syarat awal untuk y(0) y1=input('masukkan y''(t0)= '); %syarat awal untuk y'(0) x0=input('masukkan x(t0)= '); %syarat awal untuk x(0) x1=input('masukkan x''(0)= '); %syarat awal untuk x'(0) f=input ('masukkan fungsi f(t)= '); g=input ('masukkan fungsi g(t)= '); F=laplace(f,t,s); G=laplace(g,t,s); A=[a1*(s^2)+a3*s+a5 a2*(s^2)+a4*s+a6; b1*(s^2)+b3*s+b5
b2*(s^2)+b4*s+b6]; B=[F+(a1*s+a3)*x0+a1*x1+(a2*s+a4)*y0+a2*y1;
G+(b1*s+b3)*x0+b1*x1+(b2*s+b4)*y0+b2*y1]; disp( 'Maka transformasi Laplace untuk x(t) dan y(t) adalah ') X=A\B disp('Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan
diferensialnya adalah') Y=simplify(ilaplace(X)) %penyelesaian SPD x(t) dan
y(t) x=Y(1) %x(t) y=Y(2) %y(t) r=0:0.00001:2*pi; x1=subs(x,t,r); y2=subs(y,t,r); plot(r,x1,'r',r,y2,'g:') legend('x(t)','y(t)') %grafik x(t) dan y(t) disp('---------------------------------------------------------') disp(' Terimakasih telah menggunakan program ini. ')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
Output untuk Contoh 4.3.1
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Algoritma Penyelesaian Masalah Nilai Awal
Pada Sistem Persamaan Diferensial Orde Kedua
a1x''+a2y''+a3x'+a4y'+a5x+a6y=f(t)
b1x''+b2y''+b3x'+b4y'+b5x+b6y=g(t)
dengan syarat awal x(t0)=c1, x'(t0)=c2, y(t0)=c3 dan y'(t0)=c4
--------------------------------------------------------------------------------------------------
masukkan a1= 1
masukkan a2= 0
masukkan a3= 0
masukkan a4= -4
masukkan a5= 2
masukkan a6= 0
masukkan b1= 0
masukkan b2= 1
masukkan b3= 1
masukkan b4= 0
masukkan b5= 0
masukkan b6= -4
masukkan y(t0)= 1
masukkan y'(t0)= 2
masukkan x(t0)= -4
masukkan x'(0)= 8
masukkan fungsi f(t)= 0
masukkan fungsi g(t)= 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
Maka transformasi Laplace untuk x(t) dan y(t) adalah
X =
-4*(-2+s)/(s^2+4)
(s+2)/(s^2+4)
Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan diferensialnya adalah
Y =
-4*cos(2*t)+4*sin(2*t)
cos(2*t)+sin(2*t)
x =
-4*cos(2*t)+4*sin(2*t)
y =
cos(2*t)+sin(2*t)
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Terimakasih telah menggunakan program ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
Grafik:
D. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde ke-n dengan
Transformasi Laplace
Bentuk umum dari sistem persamaan diferensial orde ke-n dengan dua variabel
adalah
tgybxbdt
dyb
dt
dxb
dt
ydb
dt
xdb
dt
ydb
dt
xdb
dt
ydb
dt
xdb
tfyaxadt
dya
dt
dxa
dt
yda
dt
xda
dt
yda
dt
xda
dt
yda
dt
xda
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
12112212312
2
2
62
2
51
1
41
1
321
12112212312
2
2
62
2
51
1
41
1
321
(4.4.1)
0 1 2 3 4 5 6 7-6
-4
-2
0
2
4
6
x(t)
y(t)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
dengan syarat awal 0x , 0x , 0x ,…, 01nx dan 0y , 0y , 0y ,…,
01ny .
Transformasi Laplace untuk persamaan (4.4.1) adalah
tgyaxadt
dya
dt
dxa
dt
yda
dt
xda
dt
yda
dt
xda
dt
yda
dt
xda
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
LLLLL
LLLLLL
12112212312
2
2
62
2
51
1
41
1
321
(4.4.2)
tgybxbdt
dyb
dt
dxb
dt
ydb
dt
xdb
dt
ydb
dt
xdb
dt
ydb
dt
xdb
nnnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
LLLLL
LLLLLL
12112212312
2
2
62
2
51
1
41
1
321
(4.4.3)
Menurut Teorema 3.2.3,
0000
0000
0000
0000
0000
0000
35432
2
2
35432
2
2
24321
1
1
24321
1
1
1321
1321
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
yysysystysdt
yd
xxsxsxstxsdt
xd
yysysystysdt
yd
xxsxsxstxsdt
xd
yysysystysdt
yd
xxsxsxstxsdt
xd
LL
LL
LL
LL
LL
LL
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
0
0
ytysdt
dy
xtxsdt
dx
LL
LL
Persamaan (4.4.2) menjadi
tftyatxaytysaxtxsa
yysysystysa
xxsxsxstxsa
yysysystysa
xxsxsxstxsa
yysysystysa
xxsxsxstxsa
nnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnn
LLLLL
L
L
L
L
L
L
12112212312
35432
6
35432
5
24321
4
24321
3
1321
2
1321
1
00
0000
0000
0000
0000
0000
0000
atau dapat disederhanakan menjadi
tftybtxbytysbxtxsb
yysysystysb
xxsxsxstxsb
yysysystysb
xxsxsxstxsb
yysysystysb
xxsxsxstxsb
nnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnn
LLLLL
L
L
L
L
L
L
12112212312
35432
6
35432
5
24321
4
24321
3
1321
2
1321
1
00
0000
0000
0000
0000
0000
0000
Karena sYty,sXtx LL dan sFtf L maka persamaan di atas
menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
000000
0
0
0
0
0
0
3
6
3
5
2
4
2
3
1
2
1
1
612
5
6
4
4
3
2
712
5
5
4
3
3
1
412
4
6
3
4
2
2
512
4
5
3
3
2
1
212
3
6
2
4
1
2
312
3
5
2
3
1
1
12212
2
6
1
42
112312
2
5
1
31
nnnnnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
nn
nnn
nn
nnn
yaxayaxayaxa
yasasasa
xasasasa
yasasasa
xasasasa
yasasasa
xasasasasF
sYasasasasa
sXasasasasa
(4.4.4)
Dengan cara yang sama, persamaan (4.4.3) menjadi
000000
0
0
0
0
0
0
3
6
3
5
2
4
2
3
1
2
1
1
612
5
6
4
4
3
2
712
5
5
4
3
3
1
412
4
6
3
4
2
2
512
4
5
3
3
2
1
212
3
6
2
4
1
2
312
3
5
2
3
1
1
12212
2
6
1
42
112312
2
5
1
31
nnnnnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
nn
nnn
nn
nnn
ybxbybxbybxb
ybsbsbsb
xbsbsbsb
ybsbsbsb
xbsbsbsb
ybsbsbsb
xbsbsbsbsF
sYbsbsbsbsb
sXbsbsbsbsb
(4.4.5)
Contoh 4.4.1
Tentukan penyelesaian masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial
berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
0
03
3
3
3
xdt
yd
ydt
xd
(4.4.6)
dengan syarat awal 00 x , 10 y , 00 x , 00 y , 00 x dan
.00 y
Penyelesaian:
Transformasi Laplace untuk persamaan (4.6.6) adalah
0
0
3
3
3
3
LLL
LLL
xdt
yd
ydt
xd
(4.4.7)
Dengan menggunakan persamaan (4.4.4) dan (4.4.5), maka persamaan (4.4.7)
menjadi
.
0
23
3
ssYssX
sYsXs
(4.4.8)
Dengan mengeliminasi sY maka diperoleh
.16
2
s
ssX
Kemudian, dengan mengeliminasi sX pada persamaan (4.4.8) diperoleh
.16
5
s
ssY
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
Kemudian, tentukan invers transformasi Laplace dari sX dan sY yakni
.16
211
s
ssXtx LL
dan
.16
511
s
ssYty LL
Dengan menggunakan pecahan parsial dan eliminasi Gauss, diperoleh
ttt ty
ttt tx
cosh3
1
2
3cos
2
1cosh
3
2
sinh3
1
2
3cos
2
1sinh
3
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dapat ditarik
beberapa kesimpulan.
Masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial biasanya
diselesaikan dengan menggunakan metode operator. Tetapi metode operator
ini harus ditentukan penyelesaian umumnya untuk mendapatkan penyelesaian
khusus. Metode transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan
masalah nilai awal, khususnya pada sistem persamaan diferensial tanpa harus
menentukan penyelesaian umumnya terlebih dahulu untuk menentukan
penyelesaian khususnya.
Metode transformasi Laplace ini mentransformasikan sistem
persamaan diferensial linear ke dalam persamaan aljabar kemudian
menemukan penyelesaian pada persamaan aljabar tersebut. Penyelesaian
masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial linear diperoleh dengan
menentukan invers dari penyelesaian sistem persamaan aljabar tersebut.
Dalam menyelesaikan masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial,
metode transformasi Laplace ini hanya dapat menyelesaikan masalah nilai
awal untuk titik awal 00 t .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
B. SARAN
Setelah lebih memahami tentang penyelesaian masalah nilai awal pada
persamaan diferensial dan sistem persamaan diferensial linear dengan
transformasi Laplace, penulis dapat memberikan beberapa saran pembahasan
yang dapat berguna dalam pengembangan lebih lanjut, yaitu bagaimana
penyelesaian masalah nilai batas pada persamaan diferensial parsial dan
sistem persamaan diferensial parsial dengan transformasi Laplace?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
DAFTAR PUSTAKA
Budhi, W. S. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.
Cushing, J. M. (2004). Differential Equations. New Jersey: Pearson Prentice Hall.
Dick, T. P. & Patton, C. M. (1992). Calculus: Preliminary Edition Volume 1.
Boston: PWS-KENT Publishing Company.
DiPrima, Boyce. (2001). Elementary Differential Equations: Seventh Edition.
New York: John Wiley & Sons, Inc.
Nagle, R. K. & Saff, E. B. (1986). Fundamentals of Differential Equations.
Menlo Park, California: The Benjamin/Cummings Publishing Company,
Inc.
Roberts Jr., C. E. (2010). Ordinary Differential Equations: Applications, Models,
and Computing. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC.
Ross, S. L. (1984). Differential Equations: Third Edition. New York: John Wiley
& Sons, Inc.
Simmons, G. F. (1974). Differential Equations: with Applications and Historical
Notes. New York: McGraw-Hill, Inc.
Stewart, James. (1991). Single Variable Calculus: Second Edition. California:
Brooks/Cole Publishing Company.
Swift, R. J. & Wirkus, S. A. (2007). A Course In Ordinary Differential Equation.
Boca Raton: Chapman & Hall/CRC.
Taylor, A. E. (1955). Advanced Calculus. Boston: Ginn and Company.
Tutoyo, A. Dkk. (2006). Diktat Persamaan Diferensial Biasa. Yogyakarta:
Universitas Sanata Dharma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI