Post on 02-Mar-2019
i
PEMODELAN ALIRAN DARAH SATU DIMENSI
PADA ARTERI MANUSIA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Inge Wijayanti Budiawan
NIM: 133114021
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
MODELLING OF ONE-DIMENSIONAL BLOOD FLOWS
IN HUMAN ARTERY
THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by:
Inge Wijayanti Budiawan
Student ID: 133114021
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Dan biarkan kepercayaanmu lebih besar dari ketakutanmu.”
“JUMP!! And you will find out how to unfold your wings as you fall.”
“If you get tired, learn to rest, not to quit.”
Karya ini dipersembahkan untuk
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertaiku,
kedua orang tua tercinta, Sasra Budiawan dan Meitje,
kakak tersayang, Andre Wijaya Budiawan,
dan saudara/i keluarga besar dari kedua orang tua yang terkasih.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
ABSTRAK
Skripsi ini membahas penurunan dan penyelesaian model aliran darah satu
dimensi pada arteri manusia. Model aliran darah diturunkan dari hukum kekekalan
massa dan momentum, kemudian didapatkan dua model aliran darah dalam sistem
(𝐴,𝑄) dan sistem (𝐴,𝑢). Di sini 𝐴 adalah luas penampang melintang arteri, 𝑄 adalah
fluks volume, dan 𝑢 adalah kecepatan rata-rata pada setiap penampang melintang
arteri. Model aliran darah sistem (𝐴,𝑄) merupakan bentuk hukum kesetimbangan,
sedangkan model aliran darah sistem (𝐴,𝑢) merupakan bentuk hukum kekekalan.
Kedua model tersebut merupakan sistem persamaan diferensial parsial
hiperbolik. Mencari solusi analitis kedua model tersebut tidaklah mudah, maka
solusi analitis didekati secara numeris. Metode yang dipakai adalah metode volume
hingga dengan definisi fluks Lax-Friedrichs. Kedua model diselesaikan dengan
nilai awal dan nilai batas yang sama. Denyut tekanan darah hasil simulasi kedua
model sangat mirip. Untuk menentukan model mana yang lebih baik secara
numeris, dihitung residual masing-masing model. Model dikatakan lebih baik
secara numeris jika model tersebut memiliki nilai mutlak residual yang lebih kecil.
Dari hasil penelitian dalam skripsi ini, sistem (𝐴,𝑄) mempunyai unjuk kerja model
yang lebih baik dibandingkan sistem (𝐴,𝑢).
Kata kunci: aliran darah, hukum kesetimbangan, hukum kekekalan, persamaan
diferensial parsial hiperbolik, metode volume hingga, fluks Lax-Friedrichs.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRACT
This thesis discusses about the derivation and solution of models of one-
dimensional blood flows in human artery. Blood flows models are derived from
mass and momentum conservation laws, then we get two blood flows models which
are in the form of (𝐴,𝑄) system and (𝐴,𝑢) system. Here, 𝐴 is artery cross section
area, 𝑄 is volume flux, and 𝑢 is average velocity in every artery cross section. The
blood flows model in the (𝐴,𝑄) system is in the form of balance law, and the blood
flows model in the (𝐴,𝑢) system is in the form of conservation law.
Both models are hyperbolic partial differential equation systems. Finding
analytical solutions of both models is not easy, so analytical solutions will be
approximated using a numerical method. The method which is used to find the
numerical solution is the finite volume method with the Lax-Friedrichs flux
formulation. Both models are solved with the same initial and boundary values. The
forms of blood pressure pulses from both models are quite similar. To assess which
model is better in the numerical sense, we compute the residual of each model. A
model is said to be better in the numerical sense, if the model has smaller residual
absolute values. Based on research results in this thesis, the (𝐴,𝑄) system performs
better than the (𝐴,𝑢) system.
Keywords: blood flows, balance law, conservation law, hyperbolic partial
differential equation, finite volume method, Lax-Friedrichs flux.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang
diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
Sains dari Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas
Sanata Dharma. Banyak tantangan dalam penulisan skripsi ini. Namun demikian,
dengan penyertaan Tuhan dan dukungan dari berbagai pihak, akhirnya skripsi ini
dapat diselesaikan. Untuk itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi sekaligus dosen pembimbing yang dengan sabar dan penuh
semangat dalam membimbing penulisan skripsi ini.
2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Program Studi
Matematika.
3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.,
Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati
Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen Program Studi Matematika yang telah
memberikan ilmu-ilmu yang sangat berguna dalam penulisan skripsi.
5. Kedua orang tua dan kakak yang selalu mendoakan dan mendukung penulis
dalam menyusun skripsi.
6. Teman-teman Program Studi Matematika, Sorta, Ambar, Yui, Melisa, Ezra,
Yuni, Laras, Agung, Tia, Bintang, Lya, Sisca, Natali, Yola, Sari, Dhita, Rey,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................. v
ABSTRAK ............................................................................................................. vi
ABSTRACT .......................................................................................................... vii
KATA PENGANTAR ......................................................................................... viii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. x
PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................................................ xi
DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1
A. Latar Belakang ............................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 4
C. Batasan Masalah........................................................................................... 4
D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 4
E. Metode Penulisan ......................................................................................... 5
F. Manfaat Penulisan ........................................................................................ 5
G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ............................................................. 8
A. Turunan ........................................................................................................ 8
B. Big-O dan Little-o ...................................................................................... 11
C. Deret Taylor ............................................................................................... 12
D. Penurunan Numeris .................................................................................... 13
E. Nilai dan Vektor Eigen............................................................................... 15
F. Persamaan Diferensial ................................................................................ 17
G. Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik ................................................. 19
H. Galat Pemotongan Lokal ............................................................................ 21
I. Metode Karakteristik untuk Persamaan Diferensial Parsial....................... 25
J. Fungsi Galat ............................................................................................... 29
BAB III MODEL ALIRAN FLUIDA SECARA SEDERHANA ...................... 31
A. Bentuk Sederhana Model Aliran Fluida ..................................................... 31
B. Persamaan Termodifikasi ........................................................................... 34
C. Metode Tingkat Satu dan Difusi ................................................................ 35
D. Keakuratan ................................................................................................. 36
BAB IV PEMODELAN DAN SOLUSI NUMERIS ALIRAN DARAH ........... 40
A. Penurunan Model Aliran Darah ................................................................. 40
B. Metode Volume Hingga ............................................................................. 45
C. Hasil Simulasi dan Analisis ....................................................................... 53
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................. 66
A. Kesimpulan ................................................................................................ 66
B. Saran ........................................................................................................... 66
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 68
LAMPIRAN .......................................................................................................... 70
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pada saat ini, penerapan ilmu Matematika semakin berkembang dalam
berbagai bidang. Salah satu cabang ilmu Matematika adalah pemodelan matematis.
Pemodelan matematis mampu mendeskripsikan suatu permasalahan real ke dalam
bentuk sistem persamaan matematis. Dalam hal ini, sistem persamaan matematis
disebut sebagai model matematika. Untuk menyusun suatu model matematika
tentunya dibutuhkan pengetahuan mengenai ilmu Matematika secara umum dan
ilmu mengenai bidang permasalahan terkait secara khusus.
Pemodelan matematis dapat digunakan dalam berbagai bidang seperti sains,
teknologi, bisnis, manajemen, dan lain-lain. Pada saat ilmu pemodelan matematis
belum digunakan secara luas, banyak orang dan ilmuwan melakukan eksperimen
langsung terhadap suatu permasalahan untuk mendapatkan informasi yang
diinginkan. Dengan adanya model matematika, diharapkan bahwa suatu
permasalahan dapat diselesaikan tanpa melakukan eksperimen secara langsung.
Beberapa contoh model matematika antara lain adalah model arus lalu lintas, model
gelombang air dangkal, dan model aliran darah. Dalam skripsi ini akan dibahas
mengenai model aliran darah satu dimensi pada arteri manusia.
Darah adalah salah satu komponen dalam tubuh manusia yang memiliki
peranan sangat penting. Salah satu peranan penting darah adalah mengangkut
oksigen dan nutrisi ke seluruh jaringan dalam tubuh. Dalam kasus khusus, aliran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
darah dapat terhambat karena adanya penyumbatan atau penyempitan rongga arteri.
Kondisi tersebut sangatlah berbahaya dan dapat menimbulkan penyakit yang serius,
sehingga harus segera diatasi. Beberapa cara untuk mengatasi masalah tersebut
adalah operasi by-pass dan implantasi tabung stainless-steel (stent implantation).
Meski begitu, cara tersebut menimbulkan efek gangguan pola aliran dan tekanan
darah. Dalam skripsi ini tidak akan dibahas cara mengatasi masalah aliran darah
tanpa menimbulkan efek gangguan pola aliran dan tekanan darah, namun akan
dibahas cara memodelkan aliran darah, menyelesaikan dan mensimulasikan model
aliran darah, serta menentukan model yang lebih baik secara numeris sesuai dengan
masalah dari dunia nyata.
Dalam hal ini, model matematika yang cukup sederhana dapat digunakan untuk
menjelaskan fenomena atau permasalahan mengenai aliran darah. Dalam
menurunkan model, diasumsikan bentuk arteri manusia adalah silindris dengan
penampang melintang 𝑆 berbentuk lingkaran dan koordinat 𝑧 sejajar sumbu
silinder. Arteri manusia diilustrasikan dalam Gambar 1.1.1.
Gambar 1.1.1. Ilustrasi bentuk arteri manusia
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Dengan memodelkan aliran darah secara langsung dari permasalahan nyata,
didapatkan model sebagai berikut
{
𝜕𝐴
𝜕𝑡+𝜕𝑄
𝜕𝑧= 0
𝜕𝑄
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑧(𝑄2
𝐴) +
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧= 0,
(1.1.1)
dengan 𝐴, 𝑄, dan 𝑝 berturut-turut adalah luas penampang arteri 𝑆, fluks volume, dan
tekanan darah rata-rata pada 𝑆. Lebih lanjut, 𝜌 adalah massa jenis darah, 𝑧 adalah
variabel ruang, dan 𝑡 adalah variabel waktu. Model (1.1.1) disebut sistem (𝐴,𝑄).
Model tersebut bukan satu-satunya model yang merepresentasikan
permasalahan aliran darah. Aliran darah juga dapat dimodelkan sebagai berikut
{
𝜕𝐴
𝜕𝑡+𝜕(𝐴𝑢)
𝜕𝑧= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑧(𝑢2
2) +
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧= 0,
(1.1.2)
dengan 𝑢 adalah kecepatan aliran darah rata-rata pada 𝑆. Model (1.1.2) disebut
sistem (𝐴,𝑢).
Secara analitis, mencari solusi dari model aliran darah tersebut akan sangat
sulit, sehingga solusi akan didekati secara numeris. Dalam hal ini, bentuk model
aliran darah pada persamaan (1.1.1) dan (1.1.2) adalah sistem persamaan diferensial
parsial hiperbolik. Bentuk model ini dapat menghasilkan solusi diskontinyu
meskipun nilai awalnya kontinyu sehingga metode numeris yang akan digunakan
dalam skripsi ini adalah metode volume hingga. Metode volume hingga dapat
digunakan untuk menyelesaikan model dengan solusi kontinyu maupun
diskontinyu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Metode volume hingga berkaitan erat dengan metode beda hingga, dan metode
volume hingga dapat dipandang langsung sebagai pendekatan beda hingga terhadap
persamaan diferensial (LeVeque, 2002). Dengan menyelesaikan sistem persamaan
model aliran darah tersebut secara numeris, akan didapat nilai pendekatan 𝐴, 𝑄, dan
𝑝 yang bergantung pada variabel bebas 𝑧 (posisi) dan 𝑡 (waktu), sehingga luas
penampang arteri 𝑆, debit aliran darah, dan tekanan darah pada posisi di-𝑧 dan
waktu ke-𝑡 di bagian rongga arteri dapat diprediksi.
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana memodelkan aliran darah satu dimensi pada arteri manusia?
2. Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan model aliran darah satu dimensi
pada arteri manusia secara numeris dengan metode volume hingga?
3. Model aliran darah satu dimensi pada arteri manusia manakah yang lebih baik
secara numeris?
C. Batasan Masalah
Dalam skripsi akan dicari solusi numeris dari sistem persamaan model aliran
darah dengan metode volume hingga, terbatas pada masalah satu dimensi.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Memodelkan aliran darah satu dimensi pada arteri manusia.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
2. Mencari solusi numeris dari sistem persamaan model aliran darah satu dimensi
pada arteri manusia.
3. Membandingkan dua sistem persamaan model aliran darah satu dimensi pada
arteri manusia, sehingga diperoleh suatu sistem yang lebih baik secara numeris
(dibandingkan dengan sistem yang lain).
E. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan untuk menulis skripsi ini adalah studi
pustaka dari buku-buku dan jurnal-jurnal, serta praktik simulasi numeris.
F. Manfaat Penulisan
Dengan mengetahui solusi sistem persamaan model aliran darah tersebut, luas
penampang arteri, debit aliran darah, dan tekanan darah dapat diprediksi, sehingga
dapat diprediksi seberapa cepat obat, nutrisi, racun, atau zat-zat lainnya dapat
menyebar ke tubuh manusia.
G. Sistematika Penulisan
Berikut ini adalah sistematika penulisan skripsi.
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
E. Metode Penulisan
F. Manfaat penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Turunan
B. Big-O dan Little-o
C. Deret Taylor
D. Penurunan Numeris
E. Nilai dan Vektor Eigen
F. Persamaan Diferensial
G. Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik
H. Galat Pemotongan Lokal
I. Metode Karakteristik untuk Persamaan Diferensial Parsial
J. Fungsi Galat
BAB III MODEL ALIRAN FLUIDA SECARA SEDERHANA
A. Bentuk Umum Model Aliran Fluida
B. Persamaan Termodifikasi
C. Metode Tingkat Satu dan Difusi
D. Keakuratan
BAB IV PEMODELAN DAN SOLUSI NUMERIS ALIRAN DARAH
A. Penurunan Model Aliran Darah
B. Metode Volume Hingga
C. Hasil Simulasi dan Analisis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Bagian ini berisi landasan teori skripsi yang terdiri atas turunan, notasi big-O
dan little-o, deret Taylor, penurunan numeris, nilai dan vektor eigen, persamaan
diferensial, persamaan diferensial parsial hiperbolik, galat pemotongan lokal,
metode karakteristik, dan fungsi galat.
A. Turunan
Berikut ini adalah definisi dan contoh dari turunan fungsi satu variabel.
Definisi 2.1.1
Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊆ ℝ → ℝ dan titik 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓. Turunan fungsi 𝑓 di titik
𝑥0, dengan notasi 𝑓′(𝑥0), adalah
𝑓′(𝑥0) = limℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ (2.1.1)
dengan syarat nilai limit tersebut ada.
Contoh 2.1.1
Tentukan turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 di titik 𝑥 = 3.
Penyelesaian:
Dengan menggunakan Definisi 2.1.1 didapat penyelesaian sebagai berikut.
𝑓′(3) = limℎ→0
𝑓(3 + ℎ) − 𝑓(3)
ℎ
= limℎ→0
(3 + ℎ)2 + (3 + ℎ) − (32 + 3)
ℎ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
= limℎ→0
ℎ2 + 7ℎ
ℎ
= limℎ→0
ℎ + 7
= 7.
Aturan Rantai
Jika 𝑓 dan 𝑔 mempunyai turunan, maka fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 juga
mempunyai turunan, yaitu
(𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥). (2.1.2)
Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥), maka dengan notasi Leibniz, 𝑦 dapat diturunkan
terhadap 𝑥, yaitu
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑑𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥. (2.1.3)
Penjelasan lebih lanjut mengenai aturan rantai dapat dilihat pada Thomas dkk.
(2009). Selanjutnya akan dibahas mengenai turunan parsial dari fungsi dua variabel.
Definisi 2.1.2
Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊂ ℝ2 → ℝ dan titik (𝑥𝑜 , 𝑦0) ∈ 𝐷𝑓. Turunan parsial 𝑓
terhadap 𝑥 di titik (𝑥𝑜 , 𝑦0) adalah
𝜕𝑓
𝜕𝑥|(𝑥𝑜,𝑦0)
=𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥, 𝑦0)|
𝑥=𝑥𝑜
= limℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
ℎ, (2.1.4)
dengan syarat nilai limit tersebut ada. Turunan parsial di atas dapat dinotasikan
dengan 𝑓𝑥(𝑥𝑜 , 𝑦0).
Definisi 2.1.3
Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊂ ℝ2 → ℝ dan titik (𝑥𝑜 , 𝑦0) ∈ 𝐷𝑓. Turunan parsial 𝑓
terhadap 𝑦 di titik (𝑥𝑜 , 𝑦0) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
𝜕𝑓
𝜕𝑦|(𝑥𝑜,𝑦0)
=𝑑
𝑑𝑦𝑓(𝑥0, 𝑦)|
𝑦=𝑦𝑜
= limℎ→0
𝑓(𝑥0, 𝑦0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)
ℎ, (2.1.5)
dengan syarat nilai limit tersebut ada (Thomas dkk., 2009). Turunan parsial di atas
dapat dinotasikan dengan 𝑓𝑦(𝑥𝑜 , 𝑦0).
Contoh 2.1.2
Tentukan turunan parsial 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 terhadap 𝑥 dan 𝑦 di titik (2,3).
Penyelesaian:
Dengan menggunakan Definisi 2.1.2 didapat turunan parsial 𝑓 terhadap 𝑥 di
titik (2,3) sebagai berikut.
𝜕𝑓
𝜕𝑥|(2,3)
=𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥, 3)|
𝑥=2
= limℎ→0
𝑓(2 + ℎ, 3) − 𝑓(2,3)
ℎ
= limℎ→0
(2 + ℎ)2 + 32 − (22 + 32)
ℎ
= limℎ→0
ℎ2 + 4ℎ
ℎ
= limℎ→0
ℎ + 4
= 4
Kemudian, dengan menggunakan Definisi 2.1.3 didapat turunan parsial 𝑓
terhadap 𝑦 di titik (2,3) sebagai berikut.
𝜕𝑓
𝜕𝑦|(2,3)
=𝑑
𝑑𝑦𝑓(2, 𝑦)|
𝑦=3
= limℎ→0
𝑓(2,3 + ℎ) − 𝑓(2,3)
ℎ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
= limℎ→0
22 + (3 + ℎ)2 − (22 + 32)
ℎ
= limℎ→0
ℎ2 + 6ℎ
ℎ
= limℎ→0
ℎ + 6
= 6
B. Big-O dan Little-o
Definisi 2.2.1
Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊂ ℝ → ℝ dan 𝑔:𝐷𝑔 ⊂ ℝ → ℝ ,
𝑓(𝑥) = 𝑂(𝑔(𝑥)) (2.2.1)
untuk 𝑥 → ∞ jika dan hanya jika terdapat bilangan real 𝑐 > 0 dan 𝑥0 sedemikian
sehingga
|𝑓(𝑥)| ≤ 𝑐|𝑔(𝑥)| (2.2.2)
untuk setiap 𝑥 ≥ 𝑥0. Sedangkan
𝑓(𝑥) = 𝑜(𝑔(𝑥)) (2.2.3)
untuk 𝑥 → ∞ jika dan hanya jika
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 0. (2.2.4)
Notasi 𝑂 dibaca big-O, sedangkan notasi 𝑜 dibaca little-o.
Contoh 2.2.1
Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥2 − 10 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥4, maka 𝑓(𝑥) =
𝑂(𝑔(𝑥)) karena untuk 𝑐 = 14 dan 𝑥0 = 1 berlaku
|𝑓(𝑥)| = |𝑥4 + 3𝑥2 − 10|
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
≤ 𝑥4 + 3𝑥2 + 10
≤ 𝑥4 + 3𝑥4 + 10𝑥4
= 14𝑥4
= 14|𝑔(𝑥)|
Contoh 2.2.2
Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 7𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥4, maka 𝑓(𝑥) = 𝑜(𝑔(𝑥)) karena
lim𝑥→∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= lim
𝑥→∞
7
𝑥3= 0.
C. Deret Taylor
Fungsi yang terdiferensial tak hingga banyak kali dapat diperluas menjadi deret
yang disebut deret Taylor.
Definisi 2.3.1
Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊂ ℝ → ℝ terdiferensial tak hingga banyak kali pada
suatu interval 𝐼 ⊂ 𝐷𝑓 dengan 𝑎 merupakan titik interior 𝐼. Fungsi 𝑓 dapat dideretkan
di sekitar titik 𝑎 sebagai berikut
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)
2!(𝑥 − 𝑎)2 +⋯
+𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛 +⋯.
(2.3.1)
Deret tersebut disebut deret Taylor 𝑓 di sekitar titik 𝑎 (Thomas dkk., 2009).
Contoh 2.3.1
Tentukan deret Taylor 𝑓(𝑥) =1
𝑥 di sekitar titik 𝑎 = 2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Penyelesaian:
Berikut adalah turunan-turunan fungsi 𝑓
𝑓(𝑥) = 𝑥−1, 𝑓′(𝑥) = −𝑥−2, 𝑓′′(𝑥) = 2𝑥−3, ⋯ , 𝑓𝑛(𝑥) = (−1)𝑛𝑛! 𝑥−(𝑛+1),
sehingga didapat
𝑓(2) =1
2, 𝑓′(2) = −
1
22, 𝑓′′(2) =
1
22, ⋯ , 𝑓𝑛(2) = (−1)𝑛𝑛! 2−(𝑛+1).
Jadi, deret Taylor 𝑓(𝑥) =1
𝑥 di sekitar titik 𝑎 = 2 adalah
1
𝑥=1
2−(𝑥 − 2)
22+(𝑥 − 2)2
23−⋯+ (−1)𝑛
(𝑥 − 2)𝑛
2𝑛+1+⋯.
Definisi 2.3.2
Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊂ ℝ2 → ℝ terdiferensial tak hingga banyak kali pada
suatu himpunan terbuka 𝐴 dengan (𝑎, 𝑏) merupakan titik interior 𝐴. Fungsi 𝑓 dapat
dideretkan di sekitar titik (𝑎, 𝑏) sebagai berikut
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏)
+1
2![𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎)
2 + 2𝑓𝑥𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎)(𝑦 − 𝑏)
+ 𝑓𝑦𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏)2] + ⋯.
(2.3.2)
Deret tersebut disebut deret Taylor 𝑓 di sekitar titik (𝑎, 𝑏).
D. Penurunan Numeris
Nilai turunan dari fungsi 𝑓 di titik 𝑥0, dengan notasi 𝑓′(𝑥0), dapat didekati
secara numeris dengan beberapa metode dengan tingkat keakuratan tertentu.
Berikut adalah beberapa metode penurunan numeris (Buchanan dan Turner, 1992).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Diketahui fungsi 𝑓:ℝ ⟶ ℝ dengan variabel bebas 𝑥 adalah fungsi yang
terdiferensial di titik 𝑥0. Berdasarkan Definisi 2.1.1, didapatkan pendekatan sebagai
berikut
𝑓′(𝑥0) ≈𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ (2.4.1)
untuk nilai ℎ tertentu. Pendekatan di atas disebut penurunan numeris beda maju.
Cara lain untuk mendefinisikan turunan 𝑓 di titik 𝑥0 adalah
𝑓′(𝑥0) = limℎ→0
𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
ℎ. (2.4.2)
Untuk nilai ℎ tertentu, didapatkan pendekatan sebagai berikut
𝑓′(𝑥0) ≈𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
ℎ. (2.4.3)
Pendekatan di atas disebut penurunan numeris beda mundur.
Selain itu, turunan 𝑓 di titik 𝑥0 juga dapat didefinisikan sebagai
𝑓′(𝑥0) = limℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
2ℎ. (2.4.4)
Untuk nilai ℎ tertentu, didapatkan pendekatan sebagai berikut
𝑓′(𝑥0) ≈𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
2ℎ. (2.4.5)
Pendekatan di atas disebut penurunan numeris beda pusat.
Penurunan numeris fungsi dua variabel adalah sebagai berikut (Rosloniec,
2008). Diketahui fungsi 𝑓:ℝ × ℝ → ℝ dengan variabel bebas 𝑥 dan 𝑦, turunan
numeris fungsi 𝑓 terhadap variabel 𝑥 di titik 𝑥0 didefinisikan dalam berbagai cara
sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
𝜕𝑓
𝜕𝑥|𝑥=𝑥0
≈𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦)
ℎ, (2.4.6)
𝜕𝑓
𝜕𝑥|𝑥=𝑥0
≈𝑓(𝑥0, 𝑦) − 𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦)
ℎ, (2.4.7)
𝜕𝑓
𝜕𝑥|𝑥=𝑥0
≈𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦)
2ℎ. (2.4.8)
Secara berturut-turut, pendekatan di atas merupakan penurunan numeris beda maju,
beda mundur, dan beda pusat. Hal yang serupa juga berlaku pada variabel 𝑦.
Turunan numeris fungsi 𝑓 terhadap variabel 𝑦 di titik 𝑦0 didefinisikan dalam
berbagai cara sebagai berikut
𝜕𝑓
𝜕𝑦|𝑦=𝑦0
≈𝑓(𝑥, 𝑦0 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦0)
ℎ, (2.4.9)
𝜕𝑓
𝜕𝑦|𝑦=𝑦0
≈𝑓(𝑥, 𝑦0) − 𝑓(𝑥, 𝑦0 − ℎ)
ℎ, (2.4.10)
𝜕𝑓
𝜕𝑦|𝑦=𝑦0
≈𝑓(𝑥, 𝑦0 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦0 − ℎ)
2ℎ. (2.4.11)
Dengan menggunakan deret Taylor 𝑓(𝑥0 + ℎ), 𝑓(𝑥0 − ℎ), 𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦),
𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦), 𝑓(𝑥, 𝑦0 + ℎ), dan 𝑓(𝑥, 𝑦0 − ℎ) didapatkan tingkat keakuratan
penurunan numeris beda maju dan mundur adalah satu, sedangkan tingkat
keakuratan penurunan numeris beda pusat adalah dua. Perhitungan tingkat
keakuratan penurunan numeris dapat dilihat pada lampiran.
E. Nilai dan Vektor Eigen
Diketahui matriks 𝑨 berukuran 𝑛 × 𝑛. Vektor tak nol �̅� yang memenuhi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
𝑨�̅� = 𝜆�̅� (2.5.1)
dengan 𝜆 ∈ ℝ, disebut vektor eigen dari matriks 𝑨. Bilangan real 𝜆 disebut nilai
eigen dari matriks 𝑨 yang berkaitan dengan vektor eigen �̅� (Budhi, 1995).
Teorema 2.5.1
Bilangan real 𝜆 merupakan nilai eigen dari matriks 𝑨 jika dan hanya jika 𝜆
memenuhi persamaan
det(𝑨 − 𝜆𝑰) = 0. (2.5.2)
Persamaan (2.5.2) di atas disebut sebagai persamaan karakteristik.
Contoh 2.5.1
Diketahui matriks 𝑨 berukuran 2 × 2
𝑨 = [5 −62 −2
].
Nilai eigen dari matriks 𝑨 dapat dicari menggunakan Teorema 2.5.1
det(𝑨 − 𝜆𝑰) = det ([5 −62 −2
] − [𝜆 00 𝜆
])
= det ([5 − 𝜆 −62 −2 − 𝜆
])
= 𝜆2 − 3𝜆 + 2
sehingga didapat persamaan karakteristik
𝜆2 − 3𝜆 + 2 = 0.
Jadi, nilai eigen dari matriks 𝑨 adalah 𝜆1 = 2 dan 𝜆2 = 1.
Selanjutnya vektor eigen matriks 𝑨 dapat dicari dengan substitusi masing-
masing nilai eigen ke persamaan (2.5.1). Untuk 𝜆1 = 2
[5 −62 −2
] [𝑥𝑦] = 2 [
𝑥𝑦], (2.5.3)
sehingga didapat vektor eigen �̅�1 dari matriks 𝑨 yang berkaitan dengan 𝜆1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
�̅�1 = [21] 𝑘1
dengan 𝑘1 ≠ 0 merupakan sebarang konstanta real. Dengan cara yang sama,
didapatkan vektor eigen �̅�2 dari matriks 𝑨 yang berkaitan dengan 𝜆2 yaitu
�̅�2 = [32] 𝑘2
dengan 𝑘2 ≠ 0 merupakan sebarang konstanta real.
Matriks 𝑨 berukuran 𝑛 × 𝑛 dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat
matriks tak singular 𝑷 sedemikian sehingga
𝑨 = 𝑷𝑫𝑷−1 (2.5.4)
dengan 𝑫 merupakan matriks diagonal dan 𝑷−1 merupakan invers dari matriks 𝑷.
Berikut ini merupakan syarat cukup suatu matriks dapat didiagonalkan.
Teorema 2.5.2
Jika 𝑨 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 yang memiliki 𝑛 buah nilai eigen yang
berbeda, maka matriks 𝑨 dapat didiagonalkan.
Matriks 𝑨 berukuran 2 × 2 seperti pada Contoh 2.5.1 merupakan contoh
matriks yang dapat didiagonalkan karena memiliki dua nilai eigen berbeda.
Penjelasan lebih lanjut mengenai teorema di atas dapat dilihat pada Budhi (1995).
F. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan
suatu fungsi dengan turunan-turunannya. Berikut ini adalah contoh persamaan
diferensial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Contoh 2.6.1
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑥 = 3 (2.6.1)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑦 = 0 (2.6.2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑦 = 1 (2.6.3)
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3+ (
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2)
2
+ 2𝑑𝑦
𝑑𝑥= sin(𝑥) (2.6.4)
(𝑑2𝑦
𝑑𝑥2)
2
− (𝑑𝑦
𝑑𝑥)3
− 2𝑦 = 𝑥 (2.6.5)
𝜕𝑧
𝜕𝑥+𝜕𝑧
𝜕𝑦− 𝑧 = 0 (2.6.6)
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2− 2
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2+ 𝑥 + sin (𝑧) = 0 (2.6.7)
Secara umum, persamaan diferensial diklasifikasi berdasarkan jumlah variabel
bebasnya. Persamaan diferensial yang memuat satu variabel bebas disebut
persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan diferensial yang memuat dua
atau lebih variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial. Persamaan (2.6.1)-
(2.6.5) merupakan contoh persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan
(2.6.6) dan (2.6.7) merupakan contoh persamaan diferensial parsial.
Persamaan diferensial juga dapat diklasifikasi berdasarkan tingkat (order)-nya.
Tingkat dari persamaan diferensial merupakan tingkat dari turunan tertinggi yang
termuat pada persamaan diferensial (Ayres, 1981). Bentuk umum persamaan
diferensial biasa tingkat ke-𝑛 adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑢′, 𝑢′′, ⋯ , 𝑢(𝑛)) = 0 (2.6.8)
dengan 𝑥 adalah variabel bebas, 𝑢 adalah sebarang fungsi terhadap 𝑥, dan 𝑢(𝑛)
adalah turunan ke-𝑛 dari fungsi 𝑢 (Boyce dan DiPrima, 2012) . Sedangkan, bentuk
umum persamaan diferensial parsial tingkat ke-𝑛 adalah
𝐹(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑢, 𝑢′, 𝑢′′, ⋯ , 𝑢(𝑛)) = 0 (2.6.9)
dengan 𝑥1, 𝑥2, ⋯ adalah variabel bebas, 𝑢 adalah sebarang fungsi terhadap
𝑥1, 𝑥2, ⋯, dan 𝑢(𝑛) adalah turunan parsial ke-𝑛 dari fungsi 𝑢. Persamaan (2.6.1),
(2.6.3), dan (2.6.6) merupakan persamaan diferensial tingkat satu; (2.6.2), (2.6.5),
dan (2.6.7) merupakan persamaan diferensial tingkat dua; dan (2.6.4) merupakan
persamaan diferensial tingkat tiga.
Selain itu, persamaan diferensial dapat diklasifikasikan menjadi persamaan
diferensial linear dan nonlinear. Persamaan diferensial yang fungsi dan suku-suku
turunannya (baik itu turunan biasa maupun turunan parsial) bersifat linear disebut
persamaan diferensial linear. Jika terdapat fungsi atau suku turunan yang bersifat
nonlinear, maka disebut persamaan diferensial nonlinear. Persamaan (2.6.1)-(2.6.3)
merupakan persamaan diferensial biasa linear; persamaan (2.6.4) dan (2.6.5)
merupakan persamaan diferensial biasa nonlinear; persamaan (2.6.6) merupakan
persamaan diferensial parsial linear; dan persamaan (2.6.7) merupakan persamaan
diferensial parsial nonlinear.
G. Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik
Diberikan hukum kekekalan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
𝑢𝑡(𝑧, 𝑡) + 𝑓(𝑢(𝑧, 𝑡))𝑧 = 0 (2.7.1)
dengan 𝑓(𝑢) merupakan fungsi fluks. Dalam bentuk kuasilinear, persamaan
tersebut ditulis menjadi
𝑢𝑡 + 𝐴𝑢𝑧 = 0 (2.7.2)
dengan 𝑨 = 𝑓′(𝑢) merupakan matriks Jacobian dari fungsi fluks. Persamaan
diferensial parsial di atas disebut hiperbolik jika dan hanya jika matriks Jacobian
dari fungsi fluksnya, yaitu 𝑓′(𝑢), memiliki nilai eigen yang semuanya real dan
matriks tersebut dapat didiagonalkan (LeVeque, 1992). Elemen baris ke-i dan
kolom ke-j dari matriks Jacobian 𝑓′(𝑢) adalah 𝜕𝑓𝑖
𝑢𝑗⁄ . Lebih jelasnya lagi,
perhatikan definisi berikut.
Definisi 2.7.1
Diketahui fungsi bernilai vektor �̅�(�̅�) = [𝑓1(�̅�)⋮
𝑓𝑚(�̅�)] dengan �̅� = [
𝑥1⋮𝑥𝑛]. Matriks
Jacobian dari �̅� didefinisikan sebagai berikut
𝑱 =𝜕�̅�
𝜕�̅�=
[ 𝜕𝑓1𝜕𝑥1
⋯𝜕𝑓1𝜕𝑥𝑛
⋮ ⋮𝜕𝑓𝑚𝜕𝑥1
⋯𝜕𝑓𝑚𝜕𝑥𝑛]
. (2.7.3)
Contoh 2.7.1
Diketahui fungsi bernilai vektor �̅�(�̅�) = [5𝑥1𝑥2
3𝑥1 + 7𝑥22] dengan �̅� = [
𝑥1𝑥2]. Pada
kasus ini, 𝑓1 = 5𝑥1𝑥2 dan 𝑓2 = 3𝑥1 + 7𝑥22 sehingga matriks Jacobian dari �̅�
adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
𝑱 =
[ 𝜕𝑓1𝜕𝑥1
𝜕𝑓1𝜕𝑥2
𝜕𝑓2𝜕𝑥1
𝜕𝑓2𝜕𝑥2]
= [5𝑥2 5𝑥13 14𝑥2
].
H. Galat Pemotongan Lokal
Galat pemotongan lokal 𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) merupakan suatu ukuran seberapa baik
persamaan diferensi memodelkan persamaan diferensial secara lokal (LeVeque,
1992). Galat pemotongan lokal didefinisikan dengan cara menggantikan solusi
pendekatan persamaan-persamaan diferensi 𝑈𝑖𝑛 dengan solusi eksak 𝑢(𝑧𝑖, 𝑡
𝑛).
Tentunya, solusi eksak dari persamaan diferensial parsial merupakan solusi
pendekatan persamaan-persamaan diferensi. Seberapa baik solusi eksak tersebut
memenuhi persamaan-persamaan diferensi akan memberikan indikasi seberapa
baik solusi eksak persamaan-persamaan diferensi memenuhi persamaan diferensial.
Perhatikan persamaan diferensial (2.7.1) dengan 𝑓(𝑢) = 𝑎𝑢 dan diskritisasi
domain ruang dan waktu berikut
𝑧𝑖 = 𝑖∆𝑧, (2.8.1)
𝑡𝑛 = 𝑛∆𝑡, (2.8.2)
dengan ∆𝑧 dan ∆𝑡 adalah konstan, 𝑖 ∈ {⋯ ,−2,−1,0,1,2,⋯ }, dan 𝑛 ∈ {0,1,2,3,⋯ }.
Dengan kata lain, ∆𝑡
∆𝑧 adalah konstan. Untuk analisis lebih lanjut, diasumsikan bahwa
𝑎 adalah suatu konstanta positif.
Asumsikan bahwa solusi 𝑢(𝑧, 𝑡) merupakan fungsi halus, yaitu fungsi yang
kontinyu, terdiferensial, dan turunannya kontinyu. Jika suku-suku 𝑢𝑡 dan 𝑓(𝑢)𝑧
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
persamaan tersebut didekati secara numeris, maka didapatkan skema volume
hingga berikut
𝑈𝑖𝑛+1 − 𝑈𝑖
𝑛
∆𝑡+
𝐹𝑖+12
𝑛 − 𝐹𝑖−12
𝑛
∆𝑧= 0 (2.8.3)
atau
𝑈𝑖𝑛+1 = 𝑈𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑧(𝐹
𝑖+12
𝑛 − 𝐹𝑖−12
𝑛 ) (2.8.4)
dengan 𝐹𝑖+1 2⁄𝑛 dan 𝐹𝑖−1 2⁄
𝑛 merupakan fluks yang dapat didefinisikan dengan
berbagai cara. Untuk definisi fluks Lax-Friedrichs (LeVeque, 2002),
𝐹𝑖+12
𝑛 =𝑓(𝑈𝑖+1
𝑛 ) + 𝑓(𝑈𝑖𝑛)
2−∆𝑧
2∆𝑡(𝑈𝑖+1
𝑛 −𝑈𝑖𝑛) (2.8.5)
dan
𝐹𝑖−12
𝑛 =𝑓(𝑈𝑖
𝑛) + 𝑓(𝑈𝑖−1𝑛 )
2−∆𝑧
2∆𝑡(𝑈𝑖
𝑛 − 𝑈𝑖−1𝑛 ) (2.8.6)
dengan 𝑓(𝑈𝑖𝑛) = 𝑎𝑈𝑖
𝑛 dan sebarang skalar 𝑎. Jika persamaan (2.8.5) dan (2.8.6)
disubstitusikan ke dalam persamaan (2.8.4), maka didapatkan persamaan
1
∆𝑡[𝑈𝑖
𝑛+1 −1
2(𝑈𝑖+1
𝑛 + 𝑈𝑖−1𝑛 )] +
1
2∆𝑧𝑎(𝑈𝑖+1
𝑛 − 𝑈𝑖−1𝑛 ) = 0. (2.8.7)
Jika setiap 𝑈𝑖𝑛 pada persamaan di atas diganti dengan solusi eksak 𝑢(𝑧, 𝑡), maka
nilai di ruas kanan tidak tepat sama dengan nol, sehingga didapat galat pemotongan
lokal metode Lax-Friedrichs
𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) =1
∆𝑡[𝑢(𝑧, 𝑡 + ∆𝑡) −
1
2(𝑢(𝑧 + ∆𝑧, 𝑡) + 𝑢(𝑧 − ∆𝑧, 𝑡))]
+1
2∆𝑧𝑎[𝑢(𝑧 + ∆𝑧, 𝑡) − 𝑢(𝑧 − ∆𝑧, 𝑡)].
(2.8.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Karena solusi diasumsikan merupakan fungsi halus, maka 𝑢(𝑧, 𝑡) pada ruas kanan
persamaan (2.8.8) dapat dijabarkan menjadi deret Taylor sehingga didapatkan
𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) =1
∆𝑡[(𝑢 + ∆𝑡𝑢𝑡 +
1
2∆𝑡2𝑢𝑡𝑡 +⋯) − (𝑢 +
1
2∆𝑧2𝑢𝑧𝑧 +⋯)]
+1
2∆𝑧𝑎 [2∆𝑧𝑢𝑧 +
∆𝑧3
3𝑢𝑧𝑧𝑧 +⋯]
=1
∆𝑡[∆𝑡𝑢𝑡 +
1
2∆𝑡2𝑢𝑡𝑡 −
1
2∆𝑧2𝑢𝑧𝑧 + 𝑂(∆𝑡
3) + 𝑂(∆𝑧4)]
+ 𝑎𝑢𝑧 + 𝑂(∆𝑧2).
(2.8.9)
Berdasarkan asumsi bahwa ∆𝑡
∆𝑧 adalah konstan, didapatkan
𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) = 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 +1
2(∆𝑡𝑢𝑡𝑡 −
∆𝑧2
∆𝑡𝑢𝑧𝑧) + 𝑂(∆𝑧
2). (2.8.10)
Karena 𝑢(𝑧, 𝑡) diasumsikan sebagai solusi eksak, maka 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 = 0 atau 𝑢𝑡 =
−𝑎𝑢𝑧, sehingga
𝑢𝑡𝑡 = −𝑎𝑢𝑧𝑡
= −𝑎𝑢𝑡𝑧
= −𝑎(−𝑎𝑢𝑧)𝑧
= 𝑎2𝑢𝑧𝑧. (2.8.11)
Substitusi persamaan-persamaan di atas ke persamaan (2.8.10) didapat
𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) = 0 +1
2(∆𝑡𝑎2𝑢𝑧𝑧 −
∆𝑧2
∆𝑡𝑢𝑧𝑧) + 𝑂(∆𝑧
2)
=1
2∆𝑡 (𝑎2 −
∆𝑧2
∆𝑡2)𝑢𝑧𝑧 + 𝑂(∆𝑧
2)
= 𝑂(∆𝑧) (2.8.12)
ketika ∆𝑧 → 0. Jadi, tingkat keakuratan metode numeris Lax-Friedrichs adalah satu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Sedangkan untuk definisi fluks Upwind (LeVeque, 2002),
𝐹𝑖+12
𝑛 = 𝑓(𝑈𝑖𝑛) = 𝑎𝑈𝑖
𝑛 (2.8.13)
dan
𝐹𝑖−12
𝑛 = 𝑓(𝑈𝑖−1𝑛 ) = 𝑎𝑈𝑖−1
𝑛 . (2.8.14)
Jika persamaan (2.8.13) dan (2.8.14) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.8.4),
maka didapatkan persamaan
1
∆𝑡[𝑈𝑖
𝑛+1 − 𝑈𝑖𝑛] +
1
∆𝑧𝑎(𝑈𝑖
𝑛 − 𝑈𝑖−1𝑛 ) = 0. (2.8.15)
Dengan cara yang sama, didapatkan galat pemotongan lokal metode Upwind
𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) =1
∆𝑡[𝑢(𝑧, 𝑡 + ∆𝑡) − 𝑢(𝑧, 𝑡)]
+1
∆𝑧𝑎[𝑢(𝑧, 𝑡) − 𝑢(𝑧 − ∆𝑧, 𝑡)].
(2.8.16)
Jika suku-suku 𝑢(𝑧, 𝑡 + ∆𝑡) dan 𝑢(𝑧 − ∆𝑧, 𝑡) dijabarkan dengan deret Taylor, maka
didapatkan
𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) =1
∆𝑡[𝑢 + ∆𝑡𝑢𝑡 +
∆𝑡2
2𝑢𝑡𝑡 +⋯− 𝑢]
+1
∆𝑧𝑎 [𝑢 − 𝑢 + ∆𝑧𝑢𝑧 −
∆𝑧2
2𝑢𝑧𝑧 +⋯]
= 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 +𝑎
2∆𝑧 (
∆𝑡
∆𝑧
𝑢𝑡𝑡𝑎− 𝑢𝑧𝑧) + 𝑂(∆𝑧
2). (2.8.17)
Karena 𝑢(𝑧, 𝑡) diasumsikan sebagai solusi eksak, maka 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 = 0. Berdasarkan
persamaan (2.8.11) dan asumsi ∆𝑡
∆𝑧 adalah konstan, persamaan (2.8.17) dapat ditulis
menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) = 0 +𝑎
2∆𝑧 (
∆𝑡
∆𝑧
𝑎2𝑢𝑧𝑧𝑎
− 𝑢𝑧𝑧) + 𝑂(∆𝑧2)
= 𝑂(∆𝑧). (2.8.18)
Jadi, tingkat keakuratan metode numeris Upwind adalah satu.
I. Metode Karakteristik untuk Persamaan Diferensial Parsial
Perhatikan persamaan diferensial parsial tingkat satu berikut,
𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑢)𝑢𝑥 + 𝑏(𝑥, 𝑦, 𝑢)𝑢𝑦 − 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑢) = 0. (2.9.1)
Persamaan tersebut diasumsikan memiliki solusi dalam bentuk 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦), atau
secara implisit
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑢) ≡ 𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑢 = 0 (2.9.2)
merepresentasikan suatu permukaan solusi (solution surface) dalam ruang (𝑥, 𝑦, 𝑢).
Persamaan (2.9.2) sering disebut sebagai permukaan integral (integral surface) dari
persamaan (2.9.1). Di setiap titik (𝑥, 𝑦, 𝑢) pada permukaan solusi, vektor gradien
∇𝑓 = (𝑓𝑥, 𝑓𝑦, 𝑓𝑢) = (𝑢𝑥, 𝑢𝑦, −1) merupakan vektor normal permukaan solusi. Di
lain pihak, persamaan (2.9.1) dapat ditulis dalam bentuk perkalian titik (dot
product) antara dua vektor yaitu
𝑎𝑢𝑥 + 𝑏𝑢𝑦 − 𝑐 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∙ (𝑢𝑥 , 𝑢𝑦, −1) = 0, (2.9.3)
Sehingga didapatkan bahwa vektor (𝑎, 𝑏, 𝑐) merupakan vektor singgung dari
permukaan solusi pada titik (𝑥, 𝑦, 𝑢).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Gambar 2.9.1. Vektor normal dan vektor singgung dari permukaan solusi di titik
(𝑥, 𝑦, 𝑢)
Kurva pada ruang (𝑥, 𝑦, 𝑢) yang garis singgung setiap titiknya berimpit dengan
medan arah karakteristik (𝑎, 𝑏, 𝑐) disebut kurva karakteristik. Jika persamaan
parameter dari kurva karakteristik tersebut adalah
𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑢 = 𝑢(𝑡), (2.9.4)
maka vektor singgung kurva tersebut adalah (𝑑𝑥
𝑑𝑡,𝑑𝑦
𝑑𝑡,𝑑𝑢
𝑑𝑡). Berdasarkan persamaan
(2.9.3) didapat sistem persamaan diferensial biasa dari kurva karakteristik sebagai
berikut
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑢),
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑏(𝑥, 𝑦, 𝑢),
𝑑𝑢
𝑑𝑡= 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑢), (2.9.5)
atau secara ekuivalen dapat ditulis sebagai
𝑑𝑥
𝑎=𝑑𝑦
𝑏=𝑑𝑢
𝑐. (2.9.6)
Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik dari persamaan (2.9.1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Teorema 2.9.1
Solusi umum dari persamaan diferensial parsial tingkat satu
𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑢)𝑢𝑥 + 𝑏(𝑥, 𝑦, 𝑢)𝑢𝑦 = 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑢) (2.9.7)
adalah
𝑓(𝜙, 𝜓) = 0, (2.9.8)
dengan 𝑓 merupakan sebarang fungsi dari 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑢) dan 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑢), serta 𝜙 = 𝑐1
dan 𝜓 = 𝑐2 merupakan kurva solusi persamaan karakteristik
𝑑𝑥
𝑎=𝑑𝑦
𝑏=𝑑𝑢
𝑐. (2.9.9)
Bukti dari Teorema 2.9.1 dapat dilihat pada karya Debnath (2012) halaman
209.
Contoh 2.9.1
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial parsial tingkat satu berikut
𝑥𝑢𝑥 + 𝑦𝑢𝑦 = 𝑢. (2.9.10)
Penyelesaian:
Kurva karakteristik dari persamaan (2.9.10) adalah
𝑑𝑥
𝑥=𝑑𝑦
𝑦=𝑑𝑢
𝑢, (2.9.11)
yang tidak lain merupakan sistem persamaan diferensial biasa dengan tiga
persamaan. Fungsi 𝜙 dan 𝜓 dapat dicari dengan menyelesaikan sebarang dua
persamaan diferensial biasa di atas. Untuk 𝑑𝑥
𝑥=
𝑑𝑦
𝑦, didapat
∫1
𝑥𝑑𝑥 = ∫
1
𝑦𝑑𝑦 ⟺ ln(𝑥) = ln(𝑦) + 𝑘1
⟺ 𝑥 = 𝑦𝑒𝑘1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
⟺𝑦
𝑥= 𝑐1
dengan 𝑐1 adalah sebarang konstan, sehingga 𝜙 =𝑦
𝑥= 𝑐1. Sedangkan untuk
𝑑𝑥
𝑥=
𝑑𝑢
𝑢, didapat
∫1
𝑥𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢𝑑𝑢 ⟺ ln(𝑥) = ln(𝑢) +𝑘2
⟺ 𝑥 = 𝑢𝑒𝑘2
⟺𝑢
𝑥= 𝑐2
dengan 𝑐2 adalah sebarang konstan, sehingga 𝜓 =𝑢
𝑥= 𝑐2.
Jadi, solusi umum persamaan (2.9.10) adalah
𝑓(𝜙, 𝜓) = 0
atau
𝑓 (𝑦
𝑥,𝑢
𝑥) = 0,
dengan 𝑓 sebarang fungsi. Secara eksplisit, solusi umum persamaan (2.9.10) dapat
ditulis
𝑢
𝑥= 𝑔 (
𝑦
𝑥)
atau
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑔 (𝑦
𝑥),
dengan 𝑔 sebarang fungsi.
Agar pembahasan lengkap, dapat diperiksa bahwa 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑔 (𝑦
𝑥) adalah
benar-benar solusi persamaan (2.9.10) sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
𝑢𝑥 = 1𝑔 (𝑦
𝑥) − 𝑥𝑔′ (
𝑦
𝑥)𝑦
𝑥2
= 𝑔 (𝑦
𝑥) −
𝑦
𝑥𝑔′ (
𝑦
𝑥) (2.9.12)
𝑢𝑦 = 𝑥𝑔′ (𝑦
𝑥)1
𝑥
= 𝑔′ (𝑦
𝑥) (2.9.13)
Berdasarkan persamaan (2.9.12) dan (2.9.13), maka didapat
𝑥𝑢𝑥 + 𝑦𝑢𝑦 = 𝑥𝑔 (𝑦
𝑥) − 𝑦𝑔′ (
𝑦
𝑥) + 𝑦𝑔′ (
𝑦
𝑥)
= 𝑥𝑔 (𝑦
𝑥)
= 𝑢. (2.9.14)
Jadi, diperoleh 𝑥𝑢𝑥 + 𝑦𝑢𝑦 = 𝑢 untuk 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑔 (𝑦
𝑥).
J. Fungsi Galat
Fungsi galat, atau disebut juga integral probabilitas (Coleman, 2013),
didefinisikan sebagai berikut
erf(𝑥) =2
√𝜋∫ 𝑒−𝑧
2 𝑑𝑧.
𝑥
0
(2.10.1)
Fungsi galat merupakan fungsi ganjil, yaitu fungsi yang simetri terhadap titik
𝑂(0,0), sehingga berlaku sifat erf(−𝑥) = −erf (𝑥). Perhatikan bahwa
𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2 (2.10.2)
memiliki bentuk grafik yang mirip dengan grafik fungsi densitas normal, yaitu
berbentuk seperti lonceng (lihat Gambar 2.10.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Gambar 2.10.1. Grafik 𝑦 = 𝑒−𝒙2
Kemudian, fungsi galat komplementer didefinisikan sebagai berikut
erfc(𝑥) = 1 − erf(𝑥). (2.10.3)
Gambar 2.10.2 adalah gambar grafik fungsi galat dan fungsi galat komplementer.
Gambar 2.10.2. Grafik fungi galat dan fungsi galat komplementer
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
BAB III
MODEL ALIRAN FLUIDA SECARA SEDERHANA
A. Bentuk Sederhana Model Aliran Fluida
Fenomena mengenai pergerakan gelombang atau transportasi adveksi dari
suatu zat dapat dimodelkan secara matematis dengan sistem persamaan diferensial
parsial hiperbolik. Perhatikan persamaan adveksi skalar dengan nilai awal
diskontinyu berikut,
𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 = 0 (3.1.1)
𝑢0(𝑧) = {1, jika 𝑧 ≤ 0
0, jika 𝑧 > 0 (3.1.2)
dengan 𝑧 ∈ (−∞,∞), 𝑡 ≥ 0, dan 𝑎 > 0. Persamaan tersebut merupakan model
aliran fluida yang paling sederhana dengan 𝑢 merupakan kuantitas (tekanan, debit
aliran, volume, dan lain-lain) yang nilainya tidak diketahui. Konstanta 𝑎 merupakan
kecepatan aliran fluida. Jika 𝑎 positif maka fluida mengalir ke arah sumbu positif
(kanan), dan jika 𝑎 negatif maka fluida mengalir ke arah sumbu negatif (kiri).
Persamaan (3.1.1) merupakan persamaan diferensial parsial hiperbolik jika 𝑎
merupakan konstanta real. Persamaan tersebut merupakan salah satu contoh hukum
kekekalan
𝑢𝑡 + 𝑓(𝑢)𝑧 = 0, (3.1.3)
dengan 𝑓(𝑢) = 𝑎𝑢 merupakan fungsi fluks. Misal,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
𝑄𝑖𝑛 ≈ 𝑢(𝑧𝑖, 𝑡
𝑛) (3.1.4)
atau
𝑄𝑖𝑛 ≈
1
∆𝑧∫ 𝑢(𝑧, 𝑡𝑛)𝑧𝑖+1 2⁄
𝑧𝑖−1 2⁄
𝑑𝑧 (3.1.5)
merupakan pendekatan nilai rata-rata 𝑢 pada interval ke-𝑖 dan waktu 𝑡𝑛. Dengan
menggunakan pendekatan numeris, 𝑢𝑡 dan 𝑓(𝑢)𝑧 dapat ditulis menjadi
𝑢𝑡 ≈𝑢(𝑧𝑖, 𝑡
𝑛+1) − 𝑢(𝑧𝑖, 𝑡𝑛)
∆𝑡≈𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖
𝑛
∆𝑡
(3.1.6)
dan
𝑓(𝑢)𝑧 ≈
𝑓 (𝑢 (𝑧𝑖+12, 𝑡𝑛)) − 𝑓 (𝑢 (𝑧
𝑖−12, 𝑡𝑛))
∆𝑧≈
𝐹𝑖+12
𝑛 − 𝐹𝑖−12
𝑛
∆𝑧.
(3.1.7)
Dengan substitusi persamaan (3.1.6) dan (3.1.7) ke dalam persamaan (3.1.3),
didapatkan solusi metode volume hingga
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑧(𝐹
𝑖+12
𝑛 − 𝐹𝑖−12
𝑛 ) (3.1.8)
dengan 𝐹𝑖+1
2
𝑛 merupakan pendekatan fluks rata-rata pada interface 𝑧𝑖+
1
2
yang dapat
didefinisikan dalam berbagai cara, diantaranya adalah definisi fluks Lax-Friedrichs
dan fluks Upwind. Fluks Lax-Friedrichs didefinisikan sebagai berikut ,
𝐹𝑖+12
𝑛 =𝑓(𝑢(𝑧𝑖+1, 𝑡
𝑛)) + 𝑓(𝑢(𝑧𝑖, 𝑡𝑛))
2−∆𝑧
2∆𝑡(𝑢(𝑧𝑖+1, 𝑡
𝑛) − 𝑢(𝑧𝑖, 𝑡𝑛)) (3.1.9)
dan
𝐹𝑖−12
𝑛 =𝑓(𝑢(𝑧𝑖, 𝑡
𝑛)) + 𝑓(𝑢(𝑧𝑖−1, 𝑡𝑛))
2−∆𝑧
2∆𝑡(𝑢(𝑧𝑖, 𝑡
𝑛) − 𝑢(𝑧𝑖−1, 𝑡𝑛)). (3.1.10)
Sedangkan fluks Upwind didefinisikan secara lebih sederhana, yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
𝐹𝑖+12
𝑛 = 𝑓(𝑢(𝑧𝑖, 𝑡𝑛)) (3.1.11)
dan
𝐹𝑖−12
𝑛 = 𝑓(𝑢(𝑧𝑖−1, 𝑡𝑛)). (3.1.12)
Berikut ini adalah gambar solusi numeris persamaan adveksi skalar (3.1.1)
dengan nilai awal (3.1.2), 𝑎 = 1, ∆𝑧 = 0.0025, dan ∆𝑡 = 0.5∆𝑧 pada waktu
𝑡 = 0.5 (Yoman, 2014).
Gambar 3.1.1. Solusi numeris dengan definisi fluks Lax-Friedrichs
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Gambar 3.1.2. Solusi numeris dengan definisi fluks Upwind
Pada kedua gambar tersebut, terlihat bahwa solusi numeris menghasilkan galat yang
cukup besar di sekitar titik diskontinyu.
B. Persamaan Termodifikasi
Penurunan persamaan termodifikasi berkaitan erat dengan perhitungan galat
pemotongan lokal dari suatu metode. Perhatikan galat pemotongan lokal Lax-
Friedrichs untuk persamaan (3.1.1) yang didapatkan dari persamaan (2.8.10)
𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) = 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 +1
2(∆𝑡 𝑢𝑡𝑡 −
∆𝑧2
∆𝑡𝑢𝑧𝑧) + 𝑂(∆𝑧
2). (3.2.1)
Karena 𝑢(𝑧, 𝑡) diambil sebagai solusi eksak dari 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 = 0, maka didapatkan
galat pemotongan lokal 𝐿∆𝑡(𝑧, 𝑡) = 𝑂(∆𝑡). Jika 𝑢(𝑧, 𝑡) sekarang diasumsikan
merupakan solusi persamaan diferensial parsial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 +1
2(∆𝑡𝑢𝑡𝑡 −
∆𝑧2
∆𝑡𝑢𝑧𝑧) = 0, (3.2.2)
maka didapat galat pemotongan 𝑂(∆𝑡2). Disimpulkan bahwa tingkat keakuratan
pendekatan metode Lax-Friedrichs terhadap solusi (3.2.2) adalah dua. Persamaan
ini disebut persamaan termodifikasi untuk metode Lax-Friedrichs.
Jika suku 𝑢𝑡𝑡 pada persamaan (3.2.2) dinyatakan ke dalam suku-suku turunan
𝑧, maka didapatkan persamaan yang lebih mudah untuk dianalisis. Perhatikan
operasi aljabar yang didapatkan dari persamaan (3.2.2) berikut
𝑢𝑡𝑡 = −𝑎𝑢𝑡𝑧 −1
2(∆𝑡𝑢𝑡𝑡𝑡 −
∆𝑧2
∆𝑡𝑢𝑧𝑧𝑡)
= −𝑎[−𝑎𝑢𝑧𝑧 + 𝑂(∆𝑡)] + 𝑂(∆𝑡)
= 𝑎2𝑢𝑧𝑧 + 𝑂(∆𝑡). (3.2.3)
Dengan substitusi 𝑢𝑡𝑡 = 𝑎2𝑢𝑧𝑧, persamaan termodifikasi (3.2.2) dapat ditulis
sebagai berikut
𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 =∆𝑧2
2∆𝑡(1 −
∆𝑡2
∆𝑧2𝑎2) 𝑢𝑧𝑧. (3.2.4)
C. Metode Tingkat Satu dan Difusi
Persamaan termodifikasi (3.2.4) merupakan persamaan adveksi-difusi dalam
bentuk
𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 = 𝑑𝑢𝑧𝑧 , (3.3.1)
dengan konstanta difusi 𝑑 sebagai berikut
𝑑 =∆𝑧2
2∆𝑡(1 −
∆𝑡2
∆𝑧2𝑎2). (3.3.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Gambar 3.1.1 menunjukkan bahwa, untuk ∆𝑧 dan ∆𝑡 tertentu, solusi numeris
metode Lax-Friedrichs persamaan adveksi skalar (3.1.1) mendekati solusi eksak
persamaan termodifikasi (3.3.1). Untuk ∆𝑧 → 0 dan ∆𝑡 → 0, solusi numeris Lax-
Friedrichs akan konvergen ke solusi eksak dari persamaan termodifikasi (3.3.1).
Dengan cara yang sama, persamaan termodifikasi metode Upwind dapat
diturunkan dari galat pemotongan lokal (2.8.17) menjadi
𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 =1
2𝑎∆𝑧 (1 −
∆𝑡
∆𝑧𝑎) 𝑢𝑧𝑧 . (3.3.3)
Persamaan tersebut juga merupakan persamaan adveksi-difusi.
D. Keakuratan
Solusi metode Lax-Friedrichs dari persamaan (3.1.1) dengan nilai awal (3.1.2)
hanya berupa nilai pendekatan, dan solusi tersebut tidak lain merupakan solusi
untuk persamaan termodifikasi (3.3.1), sehingga galat pendekatan numeris dapat
diduga dengan beda solusi analitik dari persamaan (3.1.1) dan solusi analitik dari
persamaan termodifikasi (3.3.1). Pendugaan tersebut bukan merupakan pendugaan
galat yang tepat, dan hanya berlaku untuk nilai awal tertentu seperti pada (3.1.2),
tetapi pendugaan tersebut memberikan indikasi yang akurat terhadap pendugaan
secara umum.
Menurut Zoppou dan Roberts (1996), solusi analitis persamaan termodifikasi
(3.3.1) dengan nilai awal (3.1.2) adalah
𝑢𝑑(𝑧, 𝑡) =1
2−1
2erf (
𝑧 − 𝑎𝑡
√4𝑡𝑑). (3.4.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Sedangkan solusi analitis persamaan (3.1.1) dapat dicari dengan menyelesaikan
persamaan karakteristik
𝑑𝑡
𝑑𝑥= 1,
𝑑𝑧
𝑑𝑥= 𝑎,
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 0 (3.4.2)
Untuk 𝑑𝑡
𝑑𝑥= 1 dan
𝑑𝑧
𝑑𝑥= 𝑎, didapat penyelesaian sebagai berikut
𝑎 𝑑𝑡 = 𝑑𝑧 ⇔ ∫𝑎 𝑑𝑡 = ∫𝑑𝑧
⟺ 𝑎𝑡 + 𝑘1 = 𝑧
⟺ 𝑘1 = 𝑧 − 𝑎𝑡.
Untuk 𝑑𝑡
𝑑𝑥= 1 dan
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 0, didapatkan penyelesaian sebagai berikut
0 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 ⟺ ∫0𝑑𝑡 = ∫1 𝑑𝑢
⟺ 𝑘2 = 𝑢.
Solusi umum dari persamaan (3.1.1) adalah
𝑓(𝑧 − 𝑎𝑡, 𝑢) = 0 (3.4.3)
dengan 𝑓 sebarang fungsi. Secara eksplisit, solusi umum tersebut dapat ditulis
sebagai
𝑢 = 𝑔(𝑧 − 𝑎𝑡) (3.4.4)
dengan 𝑔 sebarang fungsi, sehingga didapatkan solusi analitis persamaan (3.1.1)
dengan nilai awal (3.1.2) sebagai berikut
𝑢(𝑧, 𝑡) = 𝑢0(𝑧 − 𝑎𝑡) = {1, jika 𝑧 ≤ 𝑎𝑡
0, jika 𝑧 > 𝑎𝑡 (3.4.5)
Jadi, beda solusi analitis persamaan (3.1.1) dan solusi analitis persamaan
termodifikasi (3.3.1) adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
‖𝑢(∙, 𝑡) − 𝑢𝑑(∙, 𝑡)‖
= ∫ |1 − (1
2−1
2erf (
𝑧 − 𝑎𝑡
√4𝑡𝑑))| 𝑑𝑧
𝑎𝑡
−∞
+∫ |0 − (1
2−1
2erf (
𝑧 − 𝑎𝑡
√4𝑡𝑑))| 𝑑𝑧
∞
𝑎𝑡
= ∫ |1
2+1
2erf (
𝑧 − 𝑎𝑡
√4𝑡𝑑)| 𝑑𝑧
𝑎𝑡
−∞
+∫ |−1
2+1
2erf (
𝑧 − 𝑎𝑡
√4𝑡𝑑)| 𝑑𝑧
∞
𝑎𝑡
. (3.4.6)
Misal 𝑦 = 𝑧 − 𝑎𝑡, maka didapat
‖𝑢(∙, 𝑡) − 𝑢𝑑(∙, 𝑡)‖ = ∫ |1
2+1
2erf (
𝑦
√4𝑡𝑑)| 𝑑𝑦
0
−∞
+∫ |1
2−1
2erf (
𝑦
√4𝑡𝑑)| 𝑑𝑦.
∞
0
(3.4.7)
Misal 𝑤 = −𝑦, maka didapat
‖𝑢(∙, 𝑡) − 𝑢𝑑(∙, 𝑡)‖ = −∫ |1
2+1
2erf (
−𝑤
√4𝑡𝑑)| 𝑑𝑤
0
∞
+∫ |1
2−1
2erf (
𝑦
√4𝑡𝑑)| 𝑑𝑦
∞
0
=1
2∫ |erfc (
𝑤
√4𝑡𝑑)|
∞
0
𝑑𝑤 +1
2∫ |erfc (
𝑦
√4𝑡𝑑)|
∞
0
𝑑𝑦
= ∫ |erfc (𝑦
√4𝑡𝑑)|
∞
0
𝑑𝑦. (3.4.8)
Misal 𝜉 =𝑦
√4𝑡𝑑, maka didapat
‖𝑢(∙, 𝑡) − 𝑢𝑑(∙, 𝑡)‖ = 2√𝑡𝑑∫ |erfc(𝜉)|∞
0
𝑑𝜉
= Κ√𝑡𝑑 (3.4.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
dengan Κ = 2∫ |erfc(𝜉)|∞
0𝑑𝜉. Semakin besar nilai 𝑡, maka semakin besar pula nilai
‖𝑢(∙, 𝑡) − 𝑢𝑑(∙, 𝑡)‖. Artinya, untuk nilai 𝑡 yang semakin besar, galat solusi metode
numeris juga semakin besar.
Dalam bab ini telah dibahas mengenai bentuk sederhana model aliran darah,
persamaan termodifikasi, metode tingkat satu dan difusi, serta pendugaan
keakuratan suatu metode. Dari pembahasan dalam bab ini tampak jelas bahwa
metode yang akurat (khususnya pada bagian yang memuat titik diskontinyu) sangat
diperlukan untuk menyelesaikan model matematika penjalaran gelombang dan
aliran fluida. Sebagai catatan, model matematikanya sendiri haruslah realistis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
BAB IV
PEMODELAN DAN SOLUSI NUMERIS ALIRAN DARAH
A. Penurunan Model Aliran Darah
Untuk memodelkan aliran darah, perhatikan ilustrasi bentuk arteri manusia
pada Gambar 4.1.1. Agar lebih sederhana, asumsikan bahwa luas penampang arteri
𝑆(𝑧, 𝑡) tidak bergantung pada variabel ruang 𝑥 dan 𝑦.
Gambar 4.1.1. Ilustrasi bentuk arteri manusia dengan asumsi penyederhanaan
Selanjutnya, diasumsikan bentuk arteri manusia adalah silindris dengan bentuk
setiap penampang melintangnya adalah lingkaran, dan koordinat 𝑧 sejajar sumbu
silinder. 𝑆(𝑧, 𝑡) merupakan penampang melintang arteri untuk sebarang 𝑧 dan 𝑡.
Pada pembahasan selanjutnya, Gambar 4.1.1 disebut volume kontrol. Pada setiap 𝑆
didefinisikan,
𝐴(𝑧, 𝑡) = ∫𝑑𝜎
𝑆
, (4.1.1)
𝑢(𝑧, 𝑡) =1
𝐴∫ �̂� 𝑑𝜎
𝑆
, (4.1.2)
𝑝(𝑧, 𝑡) =1
𝐴∫ �̂� 𝑑𝜎,
𝑆
(4.1.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
dengan 𝐴 adalah luas penampang arteri 𝑆, 𝑢 adalah kecepatan aliran darah rata-rata
pada 𝑆, 𝑝 adalah tekanan darah rata-rata pada 𝑆, �̂� adalah kecepatan aliran darah di
titik 𝑧, �̂� adalah tekanan darah di titik 𝑧. Kemudian, didefinisikan fluks volume
𝑄(𝑧, 𝑡) = 𝐴(𝑧, 𝑡)𝑢(𝑧, 𝑡). Asumsikan bahwa darah merupakan fluida yang tak
termampatkan sehingga kekentalan dan massa jenis darah konstan. Selanjutnya
sifat struktural arteri seperti panjang arteri, tebal dinding arteri, dan lain-lain,
diasumsikan konstan.
1. Hukum Kekekalan Massa
Hukum kekekalan massa, seperti yang dikutip pada Sari (2016),
menyatakan bahwa massa tidak dapat diciptakan dan tidak dapat dimusnahkan,
sehingga laju perubahan massa dalam volume kontrol ditambah netto fluks
massa yang keluar dari volume kontrol sama dengan nol. Pernyataan tersebut
dapat ditulis sebagai
𝜌𝑑𝑉
𝑑𝑡+ 𝜌𝑄(𝑙, 𝑡) − 𝜌𝑄(0, 𝑡) = 0, (4.1.4)
dengan definisi volume sebagai berikut
𝑉(𝑡) = ∫ 𝐴(𝑧, 𝑡) 𝑑𝑧𝑙
0
. (4.1.5)
Perhatikan bahwa
𝑄(𝑙, 𝑡) − 𝑄(0, 𝑡) = ∫𝜕𝑄
𝜕𝑧 𝑑𝑧
𝑙
0
. (4.1.6)
Jika persamaan (4.1.5) dan (4.1.6) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1.4),
maka didapatkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
𝜌𝑑
𝑑𝑡∫ 𝐴(𝑧, 𝑡) 𝑑𝑧𝑙
0
+ 𝜌∫𝜕𝑄
𝜕𝑧 𝑑𝑧
𝑙
0
= 0. (4.1.7)
Karena 𝑙 adalah konstan, maka
𝜌∫ (𝜕𝐴
𝜕𝑡+𝜕𝑄
𝜕𝑧) 𝑑𝑧
𝑙
0
= 0. (4.1.8)
Karena persamaan tersebut dipenuhi untuk sebarang konstan 𝑙, maka
𝜕𝐴
𝜕𝑡+𝜕𝑄
𝜕𝑧= 0. (4.1.9)
2. Hukum Kekekalan Momentum
Hukum Newton yang kedua, seperti yang dikutip pada Sari (2016),
menyatakan bahwa perubahan momentum dari suatu sistem sama dengan total
gaya yang bekerja. Diasumsikan bahwa tidak ada fluks yang melalui dinding
arteri, sehingga laju perubahan momentum dalam volume kontrol ditambah
netto fluks momentum yang keluar dari volume kontrol sama dengan total gaya
yang bekerja dalam volume kontrol. Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai
berikut
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝜌𝑄(𝑧, 𝑡) 𝑑𝑧𝑙
0
+ 𝛼𝜌𝑄(𝑙, 𝑡)𝑢(𝑙, 𝑡) − 𝛼𝜌𝑄(0, 𝑡)𝑢(0, 𝑡) = 𝐹, (4.1.10)
dengan 𝜌𝑄(𝑧, 𝑡) adalah momentum, dan 𝛼 adalah faktor koreksi fluks
momentum. Kemudian, total gaya 𝐹 didefinisikan sebagai berikut (Sherwin
dkk., 2003)
𝐹 = 𝑝(0, 𝑡)𝐴(0, 𝑡) − 𝑝(𝑙, 𝑡)𝐴(𝑙, 𝑡) + ∫ 𝑝𝜕𝐴
𝜕𝑧 𝑑𝑧
𝑙
0
+∫ 𝑓𝑙
0
𝑑𝑧, (4.1.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
dengan 𝑓 adalah gaya gesek darah dengan permukaan dalam dinding arteri per
satuan panjang. Substitusi persamaan (4.1.11) ke dalam persamaan (4.1.10)
akan menghasilkan persamaan berikut
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝜌𝑄(𝑧, 𝑡) 𝑑𝑧𝑙
0
+ 𝛼𝜌𝑄(𝑙, 𝑡)𝑢(𝑙, 𝑡) − 𝛼𝜌𝑄(0, 𝑡)𝑢(0, 𝑡)
= 𝑝(0, 𝑡)𝐴(0, 𝑡) − 𝑝(𝑙, 𝑡)𝐴(𝑙, 𝑡) + ∫ 𝑝𝜕𝐴
𝜕𝑧 𝑑𝑧
𝑙
0
+∫ 𝑓𝑙
0
𝑑𝑧.
(4.1.12)
Perhatikan bahwa
𝛼𝜌𝑄(𝑙, 𝑡)𝑢(𝑙, 𝑡) − 𝛼𝜌𝑄(0, 𝑡)𝑢(0, 𝑡) = ∫𝜕(𝛼𝜌𝑄𝑢)
𝜕𝑧𝑑𝑧
𝑙
0
(4.1.13)
dan
𝑝(0, 𝑡)𝐴(0, 𝑡) − 𝑝(𝑙, 𝑡)𝐴(𝑙, 𝑡) = −∫𝜕(𝑝𝐴)
𝜕𝑧𝑑𝑧
𝑙
0
. (4.1.14)
Substitusi persamaan (4.1.13) dan (4.1.14) ke dalam persamaan (4.1.12),
didapatkan
𝑑
𝑑𝑡∫ 𝜌𝑄(𝑧, 𝑡) 𝑑𝑧𝑙
0
+∫𝜕(𝛼𝜌𝑄𝑢)
𝜕𝑧𝑑𝑧
𝑙
0
= −∫𝜕(𝑝𝐴)
𝜕𝑧𝑑𝑧
𝑙
0
+∫ 𝑝𝜕𝐴
𝜕𝑧 𝑑𝑧
𝑙
0
+∫ 𝑓𝑙
0
𝑑𝑧.
(4.1.15)
Karena 𝜌 dan 𝑙 adalah konstan tak nol, persamaan tersebut dapat ditulis
menjadi
∫ (𝜌𝜕𝑄
𝜕𝑡+ 𝜌
𝜕(𝛼𝑄𝑢)
𝜕𝑧)𝑑𝑧
𝑙
0
= ∫ (−𝜕(𝑝𝐴)
𝜕𝑧+ 𝑝
𝜕𝐴
𝜕𝑧+ 𝑓)𝑑𝑧
𝑙
0
. (4.1.16)
Persamaan tersebut dipenuhi untuk sebarang konstan 𝑙, sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
𝜌𝜕𝑄
𝜕𝑡+ 𝜌
𝜕(𝛼𝑄𝑢)
𝜕𝑧= −
𝜕(𝑝𝐴)
𝜕𝑧+ 𝑝
𝜕𝐴
𝜕𝑧+ 𝑓. (4.1.17)
Perhatikan bahwa
−𝜕(𝑝𝐴)
𝜕𝑧= −𝑝
𝜕𝐴
𝜕𝑧− 𝐴
𝜕𝑝
𝜕𝑧 , (4.1.18)
sehingga persamaan (4.1.17) dapat ditulis menjadi
𝜕𝑄
𝜕𝑡+𝜕(𝛼𝑄𝑢)
𝜕𝑧= −
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧+𝑓
𝜌 (4.1.19)
atau
𝜕𝑄
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑧(𝛼
𝑄2
𝐴) +
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧−𝑓
𝜌= 0. (4.1.20)
Berdasarkan hukum kekekalan massa dan momentum di atas, didapatkan
model aliran darah satu dimensi pada arteri manusia sebagai berikut
𝜕𝐴
𝜕𝑡+𝜕𝑄
𝜕𝑧= 0, (4.1.21)
𝜕𝑄
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑧(𝑄2
𝐴) +
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧= 0, (4.1.22)
dengan asumsi tambahan yaitu 𝛼 = 1 dan 𝑓 = 0. Model ini disebut model sistem
(𝐴, 𝑄).
Perhatikan bahwa 𝑄 = 𝐴𝑢. Dengan asumsi bahwa 𝐴 dan 𝑢 merupakan fungsi
halus, ruas kiri persamaan (4.1.22) dapat ditulis menjadi
𝜕𝑄
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑧(𝑄2
𝐴) +
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧=𝜕(𝐴𝑢)
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑧(𝐴𝑢2) +
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= 𝐴𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝐴
𝜕𝑡+ 2𝑢𝐴
𝜕𝑢
𝜕𝑧+ 𝑢2
𝜕𝐴
𝜕𝑧+𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
= 𝐴𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝐴
𝜕𝑡+ 𝑢𝐴
𝜕𝑢
𝜕𝑧+ 𝑢 (𝐴
𝜕𝑢
𝜕𝑧+ 𝑢
𝜕𝐴
𝜕𝑧) +
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= 𝐴𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢𝐴
𝜕𝑢
𝜕𝑧+ 𝑢
𝜕𝐴
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕(𝐴𝑢)
𝜕𝑧+𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= 𝐴𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝐴
𝜕
𝜕𝑧(𝑢2
2) +
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧.
Dengan kata lain, persamaan (4.1.22) dapat ditulis ulang menjadi
𝐴𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝐴
𝜕
𝜕𝑧(𝑢2
2) +
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧= 0 (4.1.23)
sehingga didapatkan model aliran darah satu dimensi pada arteri manusia berikut
𝜕𝐴
𝜕𝑡+𝜕𝐴𝑢
𝜕𝑧= 0, (4.1.24)
𝜕𝑢
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑧(𝑢2
2) +
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧= 0. (4.1.25)
Model ini disebut model sistem (𝐴, 𝑢).
B. Metode Volume Hingga
Mencari solusi secara analitis dari suatu model tidak selalu mudah. Karena itu,
solusi tersebut didekati secara numeris sehingga didapat solusi pendekatan atau
sering disebut solusi numeris. Dalam skripsi ini, metode yang digunakan adalah
metode volume hingga. Metode ini dapat digunakan untuk mencari solusi kontinyu
maupun diskontinyu sehingga cocok digunakan untuk mencari solusi numeris dari
model dalam bentuk persamaan diferensial parsial, dimana model seperti itu dapat
menghasilkan solusi diskontinyu meskipun nilai awalnya kontinyu. Berikut akan
dicari masing-masing solusi dari model aliran darah sistem (𝐴, 𝑄) dan (𝐴, 𝑢)
dengan metode volume hingga dengan definisi fluks Lax-Friedrichs.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Perhatikan model aliran darah sistem (𝐴, 𝑄) untuk 𝑧 ∈ (0, 𝑙) dan 𝑡 > 0 berikut
{
𝜕𝐴
𝜕𝑡+𝜕𝑄
𝜕𝑧= 0
𝜕𝑄
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑧(𝑄2
𝐴) +
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧= 0.
(4.2.1)
Di sini 𝐴, 𝑄, dan 𝑝 berturut-turut adalah luas penampang arteri 𝑆, fluks volume, dan
tekanan darah. Kemudian 𝜌 adalah massa jenis darah, 𝑧 adalah variabel ruang, dan
𝑡 adalah variabel waktu. Model ini terdiri dari dua persamaan dengan tiga variabel
bergantung yaitu 𝐴, 𝑄, dan 𝑝. Untuk mendapatkan dua persamaan dengan dua
variabel bergantung maka didefinisikan suatu relasi yang menghubungkan tekanan
darah dengan luas penampang arteri 𝑆 (lihat Formaggia dkk., 2002),
𝑝 = 𝑝ext + 𝛽(√𝐴 − √𝐴0) (4.2.2)
dengan 𝑝ext adalah tekanan eksternal dan 𝐴0 adalah luas penampang arteri 𝑆 pada
saat 𝑡 = 0. Pada skripsi ini diasumsikan bahwa 𝑝ext bernilai nol dan 𝐴0 adalah
konstan, sehingga bentuk arteri adalah silinder (tabung) pada saat 𝑡 = 0. Kemudian
𝛽 adalah parameter yang berhubungan dengan sifat elastisitas dinding arteri yang
didefinisikan sebagai berikut,
𝛽(𝑧) =4√𝜋ℎ0𝐸(𝑧)
3𝐴0 (4.2.3)
dengan 𝐸(𝑧) adalah modulus Young dan ℎ0 adalah tebal dinding arteri.
Untuk mencari solusi numeris model aliran darah ini, diperhatikan diskritisasi
domain ruang pada Gambar 4.2.1 dengan
𝑧𝑖 = 𝑖∆𝑧,
∆𝑧 = 𝑧𝑖+1/2 − 𝑧𝑖−12= 𝑧𝑖 − 𝑧𝑖−1,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
dan diskritisasi domain waktu 𝑡𝑛 = 𝑛∆𝑡 untuk sebarang bilangan bulat tak negatif
𝑖 dan 𝑛.
𝑧𝑖−32 𝑧
𝑖−12 𝑧
𝑖+12 𝑧
𝑖+32
𝑧𝑖−1 𝑧𝑖 𝑧𝑖+1
Gambar 4.2.1. Diskritisasi domain ruang
Lalu, perhatikan operasi aljabar berikut
𝜕𝑝
𝜕𝑧=𝜕
𝜕𝑧(𝛽(√𝐴 − √𝐴0))
=𝑑𝛽
𝑑𝑧𝐴12 +
𝛽
2𝐴−
12𝜕𝐴
𝜕𝑧−𝑑𝛽
𝑑𝑧𝐴0
12 . (4.2.4)
Dengan mengalikan masing-masing ruas dengan faktor 𝐴
𝜌 maka didapatkan
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧=𝑑𝛽
𝑑𝑧
𝐴32
𝜌+𝛽
2
𝐴12
𝜌
𝜕𝐴
𝜕𝑧−𝐴
𝜌
𝑑𝛽
𝑑𝑧𝐴0
12. (4.2.5)
Karena 𝛽 merupakan fungsi terhadap 𝑧 dan 𝐴 merupakan variabel yang
bergantung pada 𝑧 dan 𝑡, maka didapatkan persamaan
𝜕
𝜕𝑧(𝛽𝐴
32
3𝜌) +
𝐴
𝜌
𝑑𝛽
𝑑𝑧(2
3√𝐴 − √𝐴0) =
𝑑𝛽
𝑑𝑧
𝐴32
𝜌+𝛽
2
𝐴12
𝜌
𝜕𝐴
𝜕𝑧−𝐴
𝜌
𝑑𝛽
𝑑𝑧𝐴0
12. (4.2.6)
Berdasarkan persamaan (4.2.5) dan (4.2.6) maka didapatkan persamaan
𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧=𝜕
𝜕𝑧(𝛽𝐴
32
3𝜌) +
𝐴
𝜌
𝑑𝛽
𝑑𝑧(2
3√𝐴 − √𝐴0), (4.2.7)
sehingga model aliran darah (4.2.1) dapat ditulis ulang menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
{
𝜕𝐴
𝜕𝑡+𝜕𝑄
𝜕𝑧= 0
𝜕𝑄
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑧(𝑄2
𝐴+𝛽
3𝜌𝐴32) =
𝐴
𝜌
𝑑𝛽
𝑑𝑧(√𝐴0 −
2
3√𝐴)
(4.2.8)
Model aliran darah di atas dapat ditulis dalam hukum kesetimbangan sebagai
berikut
�̅�𝑡 + 𝑓 ̅(�̅�)𝑧 = �̅�(�̅�) (4.2.9)
dengan kuantitas, fluks, dan suku sumbernya secara berturut-turut adalah
�̅� = [𝐴𝑄], (4.2.10)
𝑓(̅�̅�) = [
𝑄
𝑄2
𝐴+𝛽
3𝜌𝐴32], (4.2.11)
dan
�̅�(�̅�) = [
0𝐴
𝜌
𝑑𝛽
𝑑𝑧(√𝐴0 −
2
3√𝐴)
]. (4.2.12)
Misalkan �̅�𝑖𝑛, 𝑓(̅�̅�𝑖
𝑛), dan 𝑆�̅�𝑛 berturut-turut adalah nilai pendekatan dari �̅�(𝑧𝑖, 𝑡
𝑛),
𝑓(̅�̅�(𝑧𝑖, 𝑡𝑛)), dan �̅�(�̅�(𝑧𝑖, 𝑡
𝑛)). Hukum kesetimbangan (4.2.9) merupakan bentuk
umum dari hukum kekekalan dengan suku sumber tak nol, sehingga solusi
numerisnya didapat secara analog seperti yang telah dijelaskan pada Bab III yaitu
�̅�𝑖𝑛+1 = �̅�𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑧(�̅�
𝑖+12
𝑛 − �̅�𝑖−12
𝑛 ) + ∆𝑡𝑆�̅�𝑛 (4.2.13)
dengan definisi fluks Lax-Friedrichs
�̅�𝑖+12
𝑛 =𝑓(̅�̅�𝑖+1
𝑛 ) + 𝑓(̅�̅�𝑖𝑛)
2−∆𝑧
2∆𝑡(�̅�𝑖+1
𝑛 − �̅�𝑖𝑛) (4.2.14)
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
�̅�𝑖−12
𝑛 =𝑓(̅�̅�𝑖
𝑛) + 𝑓(̅�̅�𝑖−1𝑛 )
2−∆𝑧
2∆𝑡(�̅�𝑖
𝑛 − �̅�𝑖−1𝑛 ). (4.2.15)
Jadi, berdasarkan persamaan (4.2.13)-(4.2.15), skema numeris model aliran
darah (4.2.1) dapat ditulis secara lebih detil yaitu
𝐴𝑖𝑛+1 = 𝐴𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑧(𝐹
𝑖+12
𝑛 − 𝐹𝑖−12
𝑛 ) (4.2.16)
dengan definisi fluks Lax-Friedrichs
𝐹𝑖+12
𝑛 =1
2(𝑄𝑖+1
𝑛 + 𝑄𝑖𝑛) −
∆𝑧
2∆𝑡(𝐴𝑖+1
𝑛 − 𝐴𝑖𝑛), (4.2.17)
𝐹𝑖−12
𝑛 =1
2(𝑄𝑖
𝑛 + 𝑄𝑖−1𝑛 ) −
∆𝑧
2∆𝑡(𝐴𝑖
𝑛 − 𝐴𝑖−1𝑛 ), (4.2.18)
dan
𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑧(ℱ
𝑖+12
𝑛 − ℱ𝑖−12
𝑛 ) + ∆𝑡 (𝐴𝑖𝑛
𝜌
𝑑𝛽
𝑑𝑧(√𝐴0 −
2
3√𝐴𝑖
𝑛)) (4.2.19)
dengan definisi fluks Lax-Friedrichs
ℱ𝑖+12
𝑛 =1
2[(𝑄𝑖+1
𝑛 )2
𝐴𝑖+1𝑛 +
𝛽
3𝜌(𝐴𝑖+1
𝑛 )32 +
(𝑄𝑖𝑛)2
𝐴𝑖𝑛 +
𝛽
3𝜌(𝐴𝑖
𝑛)32]
−∆𝑧
2∆𝑡(𝑄𝑖+1
𝑛 − 𝑄𝑖𝑛),
(4.2.20)
ℱ𝑖−12
𝑛 =1
2[(𝑄𝑖
𝑛)2
𝐴𝑖𝑛 +
𝛽
3𝜌(𝐴𝑖
𝑛)32 +
(𝑄𝑖−1𝑛 )2
𝐴𝑖−1𝑛 +
𝛽
3𝜌(𝐴𝑖−1
𝑛 )32]
−∆𝑧
2∆𝑡(𝑄𝑖
𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ).
(4.2.21)
Lebih lanjut, perhatikan fungsi fluks model aliran darah sistem (𝐴,𝑄) pada
persamaan (4.2.11). Matriks Jacobian fungsi fluks tersebut adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
𝑯𝟏 =𝜕𝑓(̅�̅�)
𝜕�̅�=
[
𝜕𝑄
𝜕𝐴
𝜕𝑄
𝜕𝑄
𝜕
𝜕𝐴(𝑄2
𝐴+𝛽
3𝜌𝐴32)
𝜕
𝜕𝑄(𝑄2
𝐴+𝛽
3𝜌𝐴32)]
= [
0 1𝛽
2𝜌𝐴12 − (
𝑄
𝐴)2 2𝑄
𝐴
]. (4.2.22)
Nilai eigen dari matriks 𝑯𝟏 dapat dicari melalui persamaan karakteristik
det(𝑯𝟏 − 𝜆𝑰) = 0, sehingga didapatkan
𝜆2 −2𝑄
𝐴𝜆 − [
𝛽
2𝜌𝐴12 − (
𝑄
𝐴)2
] = 0,
𝜆 =𝑄
𝐴± √
𝛽
2𝜌√𝐴.
Karena 𝑄, 𝐴, 𝛽, dan 𝜌 bernilai real positif, maka didapatkan dua nilai eigen real
yang berbeda. Menurut Teorema 2.5.2, matriks 𝑯𝟏 dapat didiagonalisasi. Jadi,
model aliran darah sistem (𝐴,𝑄) merupakan sistem persamaan diferensial parsial
hiperbolik.
Selanjutnya, diperhatikan model aliran darah sistem (𝐴,𝑢) untuk 𝑧 ∈ (0, 𝑙) dan
𝑡 > 0 berikut
{
𝜕𝐴
𝜕𝑡+𝜕(𝐴𝑢)
𝜕𝑧= 0
𝜕𝑢
𝜕𝑡+𝜕
𝜕𝑧(𝑢2
2) = −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑧, (4.2.23)
dengan 𝐴, 𝑢, dan 𝑝 berturut-turut adalah variabel luas penampang arteri 𝑆,
kecepatan rata-rata pada 𝑆, dan tekanan darah rata-rata pada 𝑆, serta 𝜌 adalah massa
jenis darah. Relasi antara tekanan darah rata-rata dan luas penampang arteri 𝑆, serta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
𝛽 didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada persamaan (4.2.2) dan (4.2.3).
Model aliran darah (4.2.23) dapat ditulis dalam bentuk hukum kekekalan
�̅�𝑡 + 𝒻 ̅(�̅�)𝑧 = 0̅ (4.2.24)
dengan kuantitas dan fluks secara berturut-turut adalah
�̅� = [𝐴𝑢], (4.2.25)
𝒻(̅�̅�) = [
𝐴𝑢𝑢2
2+𝑝
𝜌]. (4.2.26)
Misalkan �̅�𝑖𝑛 dan 𝒻(̅�̅�𝑖
𝑛) berturut-turut adalah nilai pendekatan untuk �̅�(𝑧𝑖, 𝑡𝑛) dan
𝒻(̅�̅�(𝑧𝑖, 𝑡𝑛)). Hukum kekekalan (4.2.24) memiliki solusi yang serupa dengan
hukum kekekalan (3.1.3), sehingga didapatkan solusi numeris sebagai berikut
�̅�𝑖𝑛+1 = �̅�𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑧(Ϝ̅
𝑖+12
𝑛 − Ϝ̅𝑖−12
𝑛 ) (4.2.27)
dengan definisi fluks Lax-Friedrichs
Ϝ̅𝑖+12
𝑛 =𝒻(̅�̅�𝑖+1
𝑛 ) + 𝒻(̅�̅�𝑖𝑛)
2−∆𝑧
2∆𝑡(�̅�𝑖+1
𝑛 − �̅�𝑖𝑛) (4.2.28)
dan
Ϝ̅𝑖−12
𝑛 =𝒻(̅�̅�𝑖
𝑛) + 𝒻(̅�̅�𝑖−1𝑛 )
2−∆𝑧
2∆𝑡(�̅�𝑖
𝑛 − �̅�𝑖−1𝑛 ). (4.2.29)
Jadi, berdasarkan persamaan (4.2.27)-(4.2.29), skema numeris untuk model aliran
darah (4.2.23) dapat ditulis secara lebih detil yaitu
𝐴𝑖𝑛+1 = 𝐴𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑧(𝐹
𝑖+12
𝑛 − 𝐹𝑖−12
𝑛 ) (4.2.30)
dengan definisi fluks Lax-Friedrichs
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
𝐹𝑖+12
𝑛 =1
2(𝐴𝑖+1
𝑛 𝑢𝑖+1𝑛 + 𝐴𝑖
𝑛𝑢𝑖𝑛) −
∆𝑧
2∆𝑡(𝐴𝑖+1
𝑛 − 𝐴𝑖𝑛), (4.2.31)
𝐹𝑖−12
𝑛 =1
2(𝐴𝑖
𝑛𝑢𝑖𝑛 + 𝐴𝑖−1
𝑛 𝑢𝑖−1𝑛 ) −
∆𝑧
2∆𝑡(𝐴𝑖
𝑛 − 𝐴𝑖−1𝑛 ), (4.2.32)
dan
𝑢𝑖𝑛+1 = 𝑢𝑖
𝑛 −∆𝑡
∆𝑧(ℱ
𝑖+12
𝑛 − ℱ𝑖−12
𝑛 ) (4.2.33)
dengan definisi fluks Lax-Friedrichs
ℱ𝑖+12
𝑛 =1
2[(𝑢𝑖+1
𝑛 )2
2+𝑝𝑖+1𝑛
𝜌+(𝑢𝑖
𝑛)2
2+𝑝𝑖𝑛
𝜌] −
∆𝑧
2∆𝑡(𝑢𝑖+1
𝑛 − 𝑢𝑖𝑛), (4.2.34)
ℱ𝑖−12
𝑛 =1
2[(𝑢𝑖
𝑛)2
2+𝑝𝑖𝑛
𝜌+(𝑢𝑖−1
𝑛 )2
2+𝑝𝑖−1𝑛
𝜌] −
∆𝑧
2∆𝑡(𝑢𝑖
𝑛 − 𝑢𝑖−1𝑛 ). (4.2.35)
Lebih lanjut, diperhatikan fungsi fluks model aliran darah sistem (𝐴,𝑢) pada
persamaan (4.2.26). Matriks Jacobian fungsi fluks tersebut adalah
𝑯𝟐 =𝜕𝒻(̅�̅�)
𝜕�̅�=
[
𝜕
𝜕𝐴(𝐴𝑢)
𝜕
𝜕𝑢(𝐴𝑢)
𝜕
𝜕𝐴(𝑢2
2+𝑝
𝜌)
𝜕
𝜕𝑢(𝑢2
2+𝑝
𝜌)]
= [
𝑢 𝐴1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝐴𝑢].
(4.2.36)
Nilai eigen dari matriks 𝑯𝟐 dapat dicari melalui persamaan karakteristik
det(𝑯𝟐 − 𝜆𝑰) = 0, sehingga didapatkan
𝜆2 − 2𝑢𝜆 + (𝑢2 −𝐴
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝐴) = 0,
𝜆 = 𝑢 ± √𝛽
2𝜌√𝐴.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Karena 𝑢, 𝐴, 𝛽, dan 𝜌 bernilai real positif, maka didapatkan dua nilai eigen real
yang berbeda. Menurut Teorema 2.5.2, matriks 𝑯𝟐 dapat didiagonalisasi. Jadi,
model aliran darah sistem (𝐴,𝑢) merupakan sistem persamaan diferensial parsial
hiperbolik.
C. Hasil Simulasi dan Analisis
Kedua skema numeris yang didapat dari metode volume hingga akan
disimulasikan dengan program MATLAB. Nilai koefisien-koefisien dan nilai awal
yang digunakan dalam simulasi kedua solusi tersebut adalah sama. Dalam simulasi
ini, nilai 𝑙1 = 15 cm dan 𝑡 ∈ [0,0.035]. Modulus Young 𝐸 diasumsikan konstan,
sehingga mengakibatkan parameter 𝛽 juga konstan. Hal ini berarti bahwa nilai 𝐸
dan 𝛽 tidak berubah (atau selalu sama) di setiap 𝑧 ∈ (0, 𝑙1), sehingga nilai dari 𝑑𝛽
𝑑𝑧
sama dengan nol. Selanjutnya, diambil nilai ∆𝑧 = 0.005 dan ∆𝑡 = 0.002∆𝑧.
Berikut ini adalah garis besar simulasi numeris yang dilakukan.
Gambar 4.3.1. Bentuk arteri pada saat 𝑡 = 0
Simulasi ini menggunakan tiga titik pengamatan yaitu titik 𝑃, 𝑀, dan 𝐷 untuk
mengamati variasi tekanan, di mana titik 𝑃, 𝑀, dan 𝐷 merupakan titik proksimal,
medium, dan distal. Lokasi titik-titik ini ditunjukkan pada Gambar 4.3.1. Titik 𝑃
merupakan titik terdekat dari jantung, sedangkan titik 𝐷 merupakan titik terjauh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
dari jantung. Tabel 4.3.1 menunjukan nilai dari koefisien-koefisien yang digunakan
dalam simulasi numeris ini (Formaggia dkk., 2002)
Tabel 4.3.1. Nilai dari koefisien-koefisien
Koefisien Nilai
Masa jenis darah, 𝜌 1 g/ cm3
Modulus Young, 𝐸0 3x106 dyne/ cm2
Tebal dinding arteri, ℎ 0.05 cm
Luas penampang melintang awal, 𝐴0 𝜋0.52 cm2
Kemudian, diberikan nilai awal dan nilai batas untuk masing-masing variabel
𝐴, 𝑄, 𝑢, dan 𝑝. Nilai awalnya adalah 𝐴(𝑧, 0) = 𝐴0, 𝑄(𝑧, 0) = 0, 𝑢(𝑧, 0) = 0, dan
𝑝(𝑧, 0) = 0 untuk setiap 𝑧 ∈ (0,15). Nilai batas diberikan sebagai berikut. Pada
batas kiri kedua model aliran darah, diberikan denyut masukan dalam bentuk
gelombang sinus tunggal dengan periode yang kecil
𝑝(0, 𝑡) = 103 sin (𝜋𝑡
0.0025) . (4.3.1)
Untuk nilai batas kiri 𝐴 dan 𝑄 model aliran darah sistem (𝐴,𝑄), perhatikan variabel
karakteristik 𝑊1 dan 𝑊2 berikut
𝑊2 =𝑄
𝐴− 2√
2𝛽
𝜌𝐴14 , (4.3.2)
𝑊1 = 𝑊2 + 4√2
𝜌(√𝑝 + 𝛽√𝐴0) , (4.3.3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
𝐴 = (𝜌
𝛽)2 (𝑊1 −𝑊2)
4
45 , (4.3.4)
𝑄 = 𝐴𝑊1 +𝑊2
2 . (4.3.5)
Penjelasan lebih lanjut mengenai variabel karakteristik dapat dilihat pada
Formaggia dkk. (2002) halaman 142. Sedangkan batas kiri model aliran darah
sistem (𝐴,𝑢) adalah sebagai berikut
𝐴 = (𝑝 + 𝛽√𝐴0
𝛽)
2
, (4.3.6)
𝑢 = √8𝛽
𝜌(𝐴
14 − 𝐴0
14). (4.3.7)
Batas kiri 𝐴 pada persamaan (4.3.6) didapat dari persamaan (4.2.2), sedangkan
batas kiri 𝑢 di atas merupakan persamaan kecepatan karakteristik gelombang (dapat
dilihat pada Sherwin dkk. (2003)). Pada batas kanan, setiap nilai 𝐴, 𝑄, 𝑢, dan 𝑝
sama dengan nilai dari persekitaran terdekat dalam domain.
Berikut ini adalah hasil simulasi solusi model aliran darah sistem (𝐴,𝑄), yang
ditunjukkan pada Gambar 4.3.2 sampai dengan Gambar 4.3.5, dengan 𝑇 = 0.035
merupakan nilai 𝑡 akhir dalam satu pengamatan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Gambar 4.3.2. Grafik luas penampang arteri 𝑆 terhadap 𝑡 untuk sistem (𝐴,𝑄)
Gambar 4.3.3. Grafik luas penampang arteri 𝑆 terhadap 𝑧 untuk sistem (𝐴,𝑄)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Gambar 4.3.4. Grafik tekanan darah terhadap 𝑡 untuk sistem (𝐴,𝑄)
Gambar 4.3.5. Grafik tekanan darah terhadap 𝑧 untuk sistem (𝐴,𝑄)
Berdasarkan hasil simulasi model aliran darah sistem (𝐴,𝑄) didapatkan bahwa
tekanan darah berbanding lurus dengan luas penampang arteri 𝑆. Tekanan darah
yang semakin besar akan menyebabkan dinding arteri yang elastis semakin melebar
sehingga luas penampang arteri juga semakin besar, begitu juga sebaliknya. Selain
itu, amplitudo tekanan darah mengecil seiring dengan membesarnya nilai 𝑡 dan 𝑧
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
(lihat Gambar 4.3.4 dan Gambar 4.3.5). Hal ini disebabkan oleh disipasi metode
numeris. Semakin kecil nilai ∆𝑡 dan ∆𝑧, pengecilan amplitudo akan semakin
berkurang selama solusinya kontinyu.
Berikut ini adalah hasil simulasi solusi model aliran darah sistem (𝐴,𝑢) yang
ditunjukkan pada Gambar 4.3.6 sampai dengan Gambar 4.3.9.
Gambar 4.3.6. Grafik luas penampang arteri 𝑆 terhadap 𝑡 untuk sistem (𝐴,𝑢)
Gambar 4.3.7. Grafik luas penampang arteri 𝑆 terhadap 𝑧 untuk sistem (𝐴,𝑢)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Gambar 4.3.8. Grafik tekanan darah terhadap 𝑡 untuk sistem (𝐴,𝑢)
Gambar 4.3.9. Grafik tekanan darah terhadap 𝑧 untuk sistem (𝐴,𝑢)
Berdasarkan hasil simulasi di atas, tekanan darah berbanding lurus dengan luas
penampang arteri 𝑆. Karena adanya disipasi metode numeris, amplitudo tekanan
darah semakin mengecil seiring membesarnya nilai 𝑡 dan 𝑧 (lihat Gambar 4.3.8 dan
Gambar 4.3.9). Semakin kecil lebar sel (∆𝑡 dan ∆𝑧), pengecilan amplitudo akan
semakin berkurang selama solusinya kontinyu. Selain itu, grafik hasil simulasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
model (𝐴,𝑄) sekilas tampak sangat mirip dengan grafik hasil simulasi model (𝐴,𝑢).
Perbedaannya adalah tekanan darah dari model (𝐴,𝑢) bernilai tak negatif (lihat
Gambar 4.3.11), sedangkan tekanan darah dari model (𝐴,𝑄) ada yang negatif (lihat
Gambar 4.3.10).
Gambar 4.3.10. Perbesaran grafik tekanan darah terhadap 𝑧 untuk sistem (𝐴,𝑄)
Gambar 4.3.11. Perbesaran grafik tekanan darah terhadap 𝑧 untuk sistem (𝐴,𝑢)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Perhatikan bahwa simulasi skema numeris di atas menggunakan nilai 𝑡 dan 𝑙
yang cukup kecil. Untuk nilai 𝑡 dan 𝑙 yang lebih besar, perhatikan Gambar 4.3.12
dan Gambar 4.3.13 berikut.
Gambar 4.3.12. Grafik tekanan darah sistem (𝐴,𝑄) pada saat 𝑡 = 0.35
Gambar 4.3.13. Grafik tekanan darah sistem (𝐴,𝑢) pada saat 𝑡 = 0.35
Gambar 4.3.12 dan Gambar 4.3.13 merupakan hasil simulasi skema numeris
dengan 𝑡 ∈ [0,0.35] dan panjang arteri dalam satu pengamatan 𝑙1 = 175 cm.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Terlihat bahwa semakin lama, bentuk grafik tekanan darah semakin miring ke
kanan. Jika dilihat dari hasil simulasi di atas, untuk waktu yang lebih besar lagi,
solusi yang dihasilkan akan memuat titik diskontinyu. Dalam hal ini, penulis tidak
mensimulasikan skema numeris untuk 𝑡 dan 𝑙 yang lebih besar lagi karena
keterbatasan memori komputer.
Selanjutnya, perbedaan hasil simulasi kedua model dapat dilihat dari residual
yang dihasilkan masing-masing model. Model yang baik adalah model yang
memiliki residual mendekati nol, dengan kata lain nilai mutlak dari residualnya
relatif kecil. Residual 𝐴 dari masing-masing model dapat dihitung dengan rumus
berikut
𝐸𝑖+1 2⁄
𝑛−1 2⁄ =∆𝑧
2[𝑞𝑖𝑛 − 𝑞𝑖
𝑛−1 + 𝑞𝑖+1𝑛 − 𝑞𝑖+1
𝑛−1]
+∆𝑡
2[𝑓(𝑞𝑖+1
𝑛−1) − 𝑓(𝑞𝑖𝑛−1) + 𝑓(𝑞𝑖+1
𝑛 ) − 𝑓(𝑞𝑖𝑛)],
(4.3.8)
dengan 𝑞𝑖𝑛 = 𝐴𝑖
𝑛 untuk masing-masing model, 𝑓(𝑞𝑖𝑛) = 𝑄𝑖
𝑛 untuk model sistem
(𝐴,𝑄), dan 𝑓(𝑞𝑖𝑛) = 𝐴𝑖
𝑛𝑢𝑖𝑛 untuk model sistem (𝐴,𝑢). Penjelasan lebih lanjut
mengenai residual dapat dilihat pada Mungkasi dkk. (2014).
Berikut ini adalah garis besar simulasi perhitungan residual kedua model aliran
darah. Kondisi awal arteri diilustrasikan seperti pada Gambar 4.3.14.
Gambar 4.3.14. Ilustrasi bentuk arteri pada saat 𝑡 = 0 untuk perhitungan residual
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Pada saat 𝑡 = 0, terdapat membran yang menutup permukaan 𝑆(0,0). Kemudian
pada saat 𝑡 > 0, seluruh bagian membran tersebut menghilang sehingga darah dapat
mengalir melalui seluruh bagian volume kontrol.
Perhatikan nilai awal dan nilai batas untuk menghitung residual masing-masing
model berikut. Diberikan nilai awal 𝐴 diskontinyu yaitu
𝐴(𝑧, 0) = {10, jika 𝑧 ≤ 0
5, jika 𝑧 > 0 (4.3.9)
untuk ∀𝑧 ∈ (−2,2). Nilai awal 𝑄, 𝑢, dan 𝑝 adalah nol untuk ∀𝑧 ∈ (−2,2).
Selanjutnya, diberikan nilai batas kanan dan kiri 𝐴 yaitu
𝐴(−2, 𝑡) = 10, (4.3.10)
𝐴(2, 𝑡) = 5, (4.3.11)
untuk ∀𝑡 > 0. Nilai batas kanan dan kiri 𝑄, 𝑢, dan 𝑝 adalah nol untuk ∀𝑡 > 0. Nilai
konstanta-konstanta yang digunakan dalam perhitungan residual sama seperti
sebelumnya.
Berikut ini adalah hasil simulasi tekanan darah dan residual dari masing-
masing model pada saat 𝑡 = 0.0001, seperti tampak pada Gambar 4.3.15 dan
4.3.16.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Gambar 4.3.15. Tekanan darah dan residual model (𝐴,𝑄) dengan nilai awal
diskontinyu
Gambar 4.3.16. Tekanan darah dan residual model (𝐴,𝑢) dengan nilai awal
diskontinyu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Grafik tekanan darah dari kedua model sekilas tampak mirip. Hal ini dikarenakan
perbedaan residual yang dihasilkan dari kedua model cukup kecil. Selain itu, nilai
mutlak residual yang dihasilkan dari model aliran darah sistem (𝐴,𝑢) lebih besar
dari nilai mutlak residual model aliran darah sistem (𝐴,𝑄) (pada saat 𝑡 = 0.0001,
lihat Gambar 4.3.15 dan Gambar 4.3.16), sehingga residual 𝐴 model aliran darah
sistem (𝐴,𝑄) lebih mendekati nol jika dibandingkan dengan residual 𝐴 model aliran
darah sistem (𝐴,𝑢).
Dalam bab ini, telah dibahas hasil simulasi dari skema solusi numeris model
aliran darah sistem (𝐴,𝑄) dan sistem (𝐴,𝑢), serta simulasi residual 𝐴 dari masing-
masing model. Sebagian hasil dalam bab ini telah diterbitkan dalam jurnal
internasional (Budiawan dan Mungkasi, 2017). Sebagian hasil lainnya sedang
dikembangkan menjadi makalah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi)
dan penulis (Inge Wijayanti Budiawan).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Dalam skripsi ini penulis telah berhasil memodelkan aliran darah satu dimensi
pada arteri manusia dengan menggunakan hukum kekekalan massa dan momentum,
sehingga didapat dua model aliran darah yaitu model aliran darah sistem (𝐴,𝑄) dan
(𝐴,𝑢). Kedua model tersebut diturunkan dari permasalahan nyata dengan beberapa
asumsi-asumsi penyederhanaan. Kemudian, penulis juga telah berhasil
mendapatkan solusi numeris dari kedua model tersebut dengan menggunakan
metode volume hingga dan definisi fluks Lax-Friedrichs. Skema numeris dari kedua
model disimulasikan dan diamati. Seiring berjalannya waktu, denyut tekanan darah
merambat dari kiri ke kanan dengan bentuk yang tetap. Namun, amplitudo tekanan
darah menurun seiring dengan membesarnya nilai 𝑧 dan 𝑡 dikarenakan disipasi dari
metode numeris. Selain itu, jika diamati lebih lanjut, hasil simulasi skema numeris
dari kedua model sangat mirip. Dengan menghitung residual masing-masing model,
didapatkan bahwa model aliran darah sistem (𝐴,𝑄) lebih baik secara numeris karena
residualnya lebih mendekati nol jika dibandingkan dengan residual model aliran
darah sistem (𝐴,𝑢).
B. Saran
Penulis sadar bahwa terdapat banyak kekurangan dalam penulisan skipsi ini,
sehingga penulis berharap bahwa kelak akan ada yang melanjutkan penelitian ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Dalam skripsi ini, model aliran darah terbatas pada model satu dimensi. Penulis
berharap jika ada pembaca yang mampu melanjutkan penelitian ini di ruang
dimensi yang lebih tinggi. Selain itu, penulis juga berharap jika ada pembaca yang
mampu mensimulasikan model aliran darah pada arteri yang mengalami gangguan,
seperti adanya vascular prosthesis pada arteri dan lain sebagainya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
DAFTAR PUSTAKA
Ayres, F. (1981). Schaum’s Outline of Theory and Problems of Differential
Equations. Singapura: McGraw-Hill.
Boyce, W.E. & DiPrima, R.C. (2012). Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problems. ed.10. USA: Wiley.
Buchanan, J.L. & Turner, P.R. (1992). Numerical Methods and Analysis. New
York: McGraw-Hill.
Budhi, W.S. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.
Budiawan, I.W. & Mungkasi, S. (2017). Finite Volume Numerical Solution to a
Blood Flow Problem in Human Artery. Journal of Physics: Conference Series,
795(1): 012042.
Coleman, M.P. (2013). An Introduction to Partial Differential Equations with
MATLAB. ed. 2. Boca Raton: CRC Press.
Debnath, L. (2012). Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and
Engineers. New York: Springer.
Formaggia, L., Nobile, F. & Quarteroni, A. (2002). A One Dimensional Model for
Blood Flow: Application to Vascular Prosthesis. Mathematical Modeling and
Numerical Simulation in Continuum Mechanics (hh. 137-153). Berlin:
Springer-Verlag.
LeVeque, R.J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws. Basel: Springer.
LeVeque, R.J. (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems.
Cambridge: Cambridge University Press.
Mungkasi, S., Li, Z. & Roberts, S.G. (2014). Weak Local Residuals as Smoothness
Indicators for the Shallow Water Equations. Applied Mathematics Letters,
30(April): 51-55.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Rosloniec, S. (2008). Fundamental Numerical Methods for Electrical Engineering
(vol. 18). Berlin: Springer-Verlag.
Sari, I.P. (2016). Penyelesaian Persamaan Gelombang Air Dangkal dengan
Beberapa Metode Numeris. Skripsi Program Studi Matematika, Fakultas Sains
dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Sherwin, S.J., Franke, V., Peiro, J. & Parker, K. (2003). One-Dimensional
Modelling of a Vascular Network in Space-Time Variables. Journal of
Engineering Mathematics, 47: 217-250.
Thomas, G.B., Weir, M.D. & Hass, J. (2009). Thomas’ Calculus Early
Transcendentals (ed. 12). Boston: Pearson.
Yoman, A.R. (2014). Metode Volume Hingga untuk Persamaan Adveksi. Tugas
Akhir Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas
Sanata Dharma, Yogyakarta.
Zoppou, C. & Roberts, S. (1996). Behaviour of Finite Difference Schemes for
Advection Diffusion Equations. Mathematics Research Report, MRR 062-96,
Australian National University, Canberra.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
LAMPIRAN
Perhitungan Tingkat Keakuratan Penurunan Numeris
A. Fungsi Satu Variabel
1. Beda Maju
𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0)ℎ +
𝑓′′(𝑥0)
2!ℎ2 +
𝑓′′′(𝑥0)
3!ℎ3 +⋯
⇔𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ= 𝑓′(𝑥0) +
𝑓′′(𝑥0)
2ℎ +
𝑓′′′(𝑥0)
6ℎ2 +⋯
⇔𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ= 𝑓′(𝑥0) + 𝑂(ℎ)
2. Beda Mundur
𝑓(𝑥0 − ℎ) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0)(−ℎ) +
𝑓′′(𝑥0)
2!(−ℎ)2 +
𝑓′′′(𝑥0)
3!(−ℎ)3 +⋯
⇔𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
ℎ= 𝑓′(𝑥0) −
𝑓′′(𝑥0)
2ℎ +
𝑓′′′(𝑥0)
6ℎ2 −⋯
⇔𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
ℎ= 𝑓′(𝑥0) + 𝑂(ℎ)
3. Beda Pusat
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) = 2𝑓′(𝑥0)ℎ +
2𝑓′′′(𝑥0)
3!ℎ3 +
2𝑓(5)(𝑥0)
5!ℎ5 +⋯
⇔𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
2ℎ= 𝑓′(𝑥0) +
𝑓′′′(𝑥0)
3!ℎ2 +
𝑓(5)(𝑥0)
5!ℎ4 +⋯
⇔𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)
2ℎ= 𝑓′(𝑥0) + 𝑂(ℎ
2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
B. Fungsi Dua Variabel
1. Beda Maju
𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦) + 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦)ℎ +𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
2!ℎ2 +
𝑓𝑥𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
3!ℎ3 +⋯
⇔𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦)
ℎ= 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦) +
𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
2!ℎ +
𝑓𝑥𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
3!ℎ2 +⋯
⇔𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦)
ℎ= 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦) + 𝑂(ℎ)
2. Beda Mundur
𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦) = 𝑓(𝑥0, 𝑦) + 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦)(−ℎ) +𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
2!(−ℎ)2
+𝑓𝑥𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
3!(−ℎ)3 +⋯
⇔𝑓(𝑥0, 𝑦) − 𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦)
ℎ= 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦) −
𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
2!ℎ +
𝑓𝑥𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
3!ℎ2 −⋯
⇔𝑓(𝑥0, 𝑦) − 𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦)
ℎ= 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦) + 𝑂(ℎ)
3. Beda Pusat
𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦)
= 2𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦)ℎ +2𝑓𝑥𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
3!ℎ3 +
2𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
5!ℎ5 +⋯
⇔𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦)
2ℎ
= 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦) +𝑓𝑥𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
3!ℎ2 +
𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦)
5!ℎ4 +⋯
⇔𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦)
2ℎ= 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦) + +𝑂(ℎ
2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Perhitungan tingkat keakuratan penurunan numeris fungsi dua variabel
terhadap variabel 𝑦 dapat dilakukan dengan deret Taylor 𝑓(𝑥, 𝑦0 + ℎ) dan
𝑓(𝑥, 𝑦0 − ℎ), serta langkah-langkah yang sama seperti di atas.
Grafik 𝒚 = −𝒆−𝒙𝟐, Fungsi Galat, dan Fungsi Galat Komplementer
clc clf
x=-8:0.00001:8;
figure(3) plot(x,exp(-x.^2)) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)')
figure(4) plot(x,erf(x),x,erfc(x),'r--') grid on xlabel('x') legend('erf(x)','erfc(x)')
Program Solusi Numeris Persamaan Adveksi Skalar (Lax-Friedrichs)
clf clear clc
dz=0.0025; dt=0.5*dz; C=-1:dz:1; Nc=length(C); t=0:dt:10; Nt=length(t); Q0=zeros(1,Nc); q=zeros(1,Nc);
for i=1:Nc if C(i)<0 Q0(i)=1; else Q0(i)=0; end end Fr=zeros(1,Nc); Fl=zeros(1,Nc);
Q=Q0;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
plot(C,Q) %nilai awal title('Nilai Awal') xlabel('z') ylabel('u') ylim([-0.5 1.5]) figure for n=1:Nt %numerical QQ=Q; for i=1:Nc if i==1 Fl(i)=1; Fr(i)=0.5*(QQ(i+1)+QQ(i))-(dz/(2*dt))*(QQ(i+1)-QQ(i)); elseif i==Nc Fl(i)=0.5*(QQ(i)+QQ(i-1))-(dz/(2*dt))*(QQ(i)-QQ(i-1)); Fr(i)=0; else Fl(i)=0.5*(QQ(i)+QQ(i-1))-(dz/(2*dt))*(QQ(i)-QQ(i-1)); Fr(i)=0.5*(QQ(i+1)+QQ(i))-(dz/(2*dt))*(QQ(i+1)-QQ(i)); end Q(i)=QQ(i)-dt/dz*(Fr(i)-Fl(i)); end Q(1)=1; tt=t(n);
%exact for i=1:Nc if C(i)-tt<0; q(i)=1; else q(i)=0.0; end end
if tt==0.5 plot(C,Q,'r',C,q) grid on title('Lax Friedrichs') axis([0 1 -0.5 1.5]) ylabel('u') xlabel('z') legend('penyelesaian numeris','penyelesaian eksak') else end
end
Program Solusi Numeris Persamaan Adveksi Skalar (Upwind)
clf clear clc
dz=0.0025;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
dt=0.5*dz; C=-1:dz:1; Nc=length(C); t=0:dt:10; Nt=length(t); Q0=zeros(1,Nc);
for i=1:Nc if C(i)<0 Q0(i)=1; else Q0(i)=0; end end Fr=zeros(1,Nc); Fl=zeros(1,Nc);
Q=Q0; plot(C,Q) %nilai awal title('Nilai Awal') xlabel('z') ylabel('u') ylim([-0.5 1.5]) figure for n=1:Nt QQ=Q; for i=1:Nc if i==1 Fl(i)=1; Fr(i)=QQ(i); elseif i==Nc Fl(i)=QQ(i-1); Fr(i)=0; else Fr(i)=QQ(i); Fl(i)=QQ(i-1); end Q(i)=QQ(i)-dt/dz*(Fr(i)-Fl(i)); end Q(1)=1; tt=t(n);
%exact for i=1:Nc if C(i)-tt<0 q(i)=1; else q(i)=0; end end if tt==0.5 plot(C,Q,'r',C,q) grid on title('Upwind') axis([0 1 -0.5 1.5]) ylabel('u')
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
xlabel('z') legend('penyelesaian numeris','penyelesaian eksak') else end
end
Program Simulasi Solusi Numeris Model Aliran Darah Sistem (𝑨,𝑸)
clc clf clear close all
%% Diketahui: tf=0.035; %nilai t akhir l=15; %panjang arteri dalam suatu pengamatan dz=0.005; %lebar sel dt=0.002*dz; %langkah waktu JANGAN DIAMBIL TERLALU BESAR z=0:dz:l; %diskritisasi ruang t=0:dt:tf; %diskritisasi waktu nz=length(z); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit nt=length(t); %banyaknya elemen dalam waktu diskrit A=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan A (luas penampang
arteri) Q=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan Q (fluks volume
darah) p=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan p (tekanan darah)
%nilai koefisien E0=3*10^6; %modulus Young rho=1; %massa jenis darah (gr/cm^3) A0=pi*0.5^2; %luas penampang arteri dgn R0 0.5 cm h=0.05; %ketebalan dinding arteri beta=(4*sqrt(pi)*h*E0)/(3*A0); %parameter yg berhubungan dgn sifat
elastisitas dinding arteri
%nilai awal Q(1,:)=0; A(1,:)=pi*0.5^2; p(1,:)=beta*(sqrt(A(1,:))-sqrt(A0));
%nilai batas for k=1:nt %nilai batas berupa gelombang sinus tunggal dgn periode
yg kecil if t(k)<=0.0025 p(k,1)=10^3*sin(pi*t(k)/0.0025); %simulasikan utk p=10^2
dan p=2*10^4 --> grafik lihat jurnal Acosta else p(k,1)=0; end end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
%% perhitungan nilai A dan Q for n=2:nt
for i=2:nz-1 Fkaa=0.5*(Q(n-1,i+1)+Q(n-1,i))-(dz/(2*dt))*(A(n-1,i+1)-
A(n-1,i)); Fkia=0.5*(Q(n-1,i)+Q(n-1,i-1))-(dz/(2*dt))*(A(n-1,i)-A(n-
1,i-1)); A(n,i)=A(n-1,i)-(dt/dz)*(Fkaa-Fkia); Fkaq=0.5*(Q(n-1,i+1)^2/A(n-1,i+1)+(beta/(3*rho))*A(n-
1,i+1)^1.5+Q(n-1,i)^2/A(n-1,i)+(beta/(3*rho))*A(n-1,i)^1.5)-
(dz/(2*dt))*(Q(n-1,i+1)-Q(n-1,i)); Fkiq=0.5*(Q(n-1,i)^2/A(n-1,i)+(beta/(3*rho))*A(n-
1,i)^1.5+Q(n-1,i-1)^2/A(n-1,i-1)+(beta/(3*rho))*A(n-1,i-1)^1.5)-
(dz/(2*dt))*(Q(n-1,i)-Q(n-1,i-1)); Q(n,i)=Q(n-1,i)-(dt/dz)*(Fkaq-Fkiq); p(n,i)=beta*(sqrt(A(n,i))-sqrt(A0)); end % masukkan syarat batas di bawah ini W2=(Q(1,nz)/A(1,nz))-2*sqrt(2*beta/rho)*A(1,nz)^0.25;
%berkaitan dengan nilai di batas kanan, diasumsikan sama dengan
nilai awalnya W1=W2+4*sqrt(2/rho)*sqrt(p(n,1)+beta*sqrt(A0)); %berkaitan
dengan nilai di batas kiri %batas kiri A(n,1)=(rho/beta)^2*(W1-W2)^4 /(4^5); Q(n,1)=0.5*A(n,1)*(W1+W2); %batas kanan A(n,nz)=A(n,nz-1); Q(n,nz)=Q(n,nz-1); p(n,nz)=p(n,nz-1);
plot(z,p(n,:)) xlabel('z') ylabel('tekanan darah') grid on pause(0.0001)
end
%% plot A terhadap waktu figure for q=1:3 indeks1=ceil(q*0.25*nz); %plot grafik A untuk z={0.25l, 0.5l,
0.75l} if q==1 plot(t,A(:,indeks1),'b') elseif q==2 plot(t,A(:,indeks1),'r--') else plot(t,A(:,indeks1),'m-.') end legend('P','M','D') xlabel('t (detik)') ylabel('luas penampang arteri (cm^2)') grid on
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
hold on pause(1) end
%% plot A terhadap ruang figure for r=1:3 indeks2=ceil(r*0.25*nt); %plot grafik A untuk t={0.25tf, 0.5tf,
0.75tf} if r==1 plot(z,A(indeks2,:),'b') elseif r==2 plot(z,A(indeks2,:),'r--') else plot(z,A(indeks2,:),'m-.') end legend('T/4','T/2','3T/4') xlabel('z (cm)') ylabel('luas penampang arteri (cm^2)') grid on hold on pause(1) end
%% plot grafik p terhadap waktu figure for j=1:3 indeks3=ceil(j*0.25*nz); %plot grafik p untuk z={0.25l, 0.5l,
0.75l} if j==1 plot(t,p(:,indeks3),'b') elseif j==2 plot(t,p(:,indeks3),'r--') else plot(t,p(:,indeks3),'m-.') end legend('P','M','D') xlabel('t (detik)') ylabel('tekanan darah (dyne/cm^2)') grid on hold on pause(1) end
%% plot grafik p terhadap ruang figure for m=1:3 indeks4=ceil(m*0.25*nt); %plot grafik p untuk t={0.25tf,
0.5tf, 0.75tf} if m==1 plot(z,p(indeks4,:),'b') elseif m==2 plot(z,p(indeks4,:),'r--') else plot(z,p(indeks4,:),'m-.') end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
legend('T/4','T/2','3T/4') xlabel('z (cm)') ylabel('tekanan darah (dyne/cm^2)') grid on hold on pause(1) end
Program Simulasi Solusi Numeris Model Aliran Darah Sistem (𝑨,𝒖)
clc clf clear close all
%% Diketahui: tf=0.035; %nilai t akhir l=15; %panjang arteri dalam suatu pengamatan dz=0.005; %lebar sel dt=0.002*dz; %langkah waktu JANGAN DIAMBIL TERLALU BESAR z=0:dz:l; %diskritisasi ruang t=0:dt:tf; %diskritisasi waktu nz=length(z); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit nt=length(t); %banyaknya elemen dalam waktu diskrit A=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan A (luas penampang
arteri) p=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan p (tekanan darah) u=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan u (kecepatan aliran
darah)
%nilai koefisien E0=3*10^6; %modulus Young rho=1; %massa jenis darah (gr/cm^3) A0=pi*0.5^2; %luas penampang arteri dgn R0 0.5 cm h=0.05; %ketebalan dinding arteri beta=(4*sqrt(pi)*h*E0)/(3*A0); %parameter yg berhubungan dgn sifat
elastisitas dinding arteri
%nilai awal u(1,:)=0; A(1,:)=pi*0.5^2; p(1,:)=beta*(sqrt(A(1,:))-sqrt(A0));
%nilai batas for k=1:nt %nilai batas berupa gelombang sinus tunggal dgn periode
yg kecil if t(k)<=0.0025 p(k,1)=10^3*sin(pi*t(k)/0.0025); %simulasikan utk p=10^2
dan p=2*10^4 --> grafik lihat jurnal Acosta else p(k,1)=0; end end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
%% perhitungan nilai A dan u for n=2:nt
for i=2:nz-1 Fkaa=0.5*(A(n-1,i+1)*u(n-1,i+1)+A(n-1,i)*u(n-1,i))-
(dz/(2*dt))*(A(n-1,i+1)-A(n-1,i)); Fkia=0.5*(A(n-1,i)*u(n-1,i)+A(n-1,i-1)*u(n-1,i-1))-
(dz/(2*dt))*(A(n-1,i)-A(n-1,i-1)); A(n,i)=A(n-1,i)-(dt/dz)*(Fkaa-Fkia); Fkau=0.5*(0.5*u(n-1,i+1)^2+p(n-1,i+1)/rho+0.5*u(n-
1,i)^2+p(n-1,i)/rho)-(dz/(2*dt))*(u(n-1,i+1)-u(n-1,i)); Fkiu=0.5*(0.5*u(n-1,i)^2+p(n-1,i)/rho+0.5*u(n-1,i-
1)^2+p(n-1,i-1)/rho)-(dz/(2*dt))*(u(n-1,i)-u(n-1,i-1)); u(n,i)=u(n-1,i)-(dt/dz)*(Fkau-Fkiu); p(n,i)=beta*(sqrt(A(n,i))-sqrt(A0)); end
%batas kiri A(n,1)=((p(n,1)+beta*sqrt(A0))/beta)^2; u(n,1)=sqrt(8*beta/rho)*(A(n,1)^0.25-A0^0.25); %batas kanan A(n,nz)=A(n,nz-1); u(n,nz)=u(n,nz-1); p(n,nz)=p(n,nz-1);
plot(z,p(n,:)) xlabel('z') ylabel('tekanan darah') grid on pause(0.0001) end
%% plot A terhadap waktu figure for q=1:3 indeks1=ceil(q*0.25*nz); %plot grafik A untuk z={0.25l, 0.5l,
0.75l} if q==1 plot(t,A(:,indeks1),'b') elseif q==2 plot(t,A(:,indeks1),'r--') else plot(t,A(:,indeks1),'m-.') end legend('P','M','D') xlabel('t (detik)') ylabel('luas penampang arteri (cm^2)') grid on hold on pause(1) end
%% plot A terhadap ruang figure
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
for r=1:3 indeks2=ceil(r*0.25*nt); %plot grafik A untuk t={0.25tf, 0.5tf,
0.75tf} if r==1 plot(z,A(indeks2,:),'b') elseif r==2 plot(z,A(indeks2,:),'r--') else plot(z,A(indeks2,:),'m-.') end legend('T/4','T/2','3T/4') xlabel('z (cm)') ylabel('luas penampang arteri (cm^2)') grid on hold on pause(1) end
%% plot grafik p terhadap waktu figure for j=1:3 indeks3=ceil(j*0.25*nz); %plot grafik p untuk z={0.25l, 0.5l,
0.75l} if j==1 plot(t,p(:,indeks3),'b') elseif j==2 plot(t,p(:,indeks3),'r--') else plot(t,p(:,indeks3),'m-.') end legend('P','M','D') xlabel('t (detik)') ylabel('tekanan darah (dyne/cm^2)') grid on hold on pause(1) end
%% plot grafik p terhadap ruang figure for m=1:3 indeks4=ceil(m*0.25*nt); %plot grafik p untuk t={0.25tf,
0.5tf, 0.75tf} if m==1 plot(z,p(indeks4,:),'b') elseif m==2 plot(z,p(indeks4,:),'r--') else plot(z,p(indeks4,:),'m-.') end legend('T/4','T/2','3T/4') xlabel('z (cm)') ylabel('tekanan darah (dyne/cm^2)') grid on hold on pause(1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
end
Program Simulasi Numeris Residual 𝑨 Model Aliran Darah Sistem (𝑨,𝑸) dan
Sistem (𝑨,𝒖)
clc clf clear close all
%% Keterangan: % model 1: model aliran darah sistem (A,Q) % model 2: model aliran darah sistem (A,u) %% Diketahui: tf=0.0001; %nilai t akhir l=2; %panjang arteri dalam suatu pengamatan dz=0.001; %lebar sel dt=0.0002*dz; %langkah waktu JANGAN DIAMBIL TERLALU BESAR z=-l:dz:l; %diskritisasi ruang t=0:dt:tf; %diskritisasi waktu nz=length(z); %banyaknya elemen dalam ruang diskrit nt=length(t); %banyaknya elemen dalam waktu diskrit A1=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan A (luas penampang
arteri) model 1 A2=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan A (luas penampang
arteri) model 2 Q=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan Q (fluks volume
darah) p1=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan p (tekanan darah)
model 1 p2=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan p (tekanan darah)
model 2 u=zeros(nt,nz); %penyimpanan hasil perhitungan u (kecepatan aliran
darah) E1=zeros(1,nz); %penyimpanan hasil residu model 1 E2=E1; %penyimpanan hasil residu model 2
%nilai koefisien E0=3*10^6; %modulus Young rho=1; %massa jenis darah (gr/cm^3) A0=pi*0.5^2; %luas penampang arteri dgn R0 0.5 cm h=0.05; %ketebalan dinding arteri beta=(4*sqrt(pi)*h*E0)/(3*A0); %parameter yg berhubungan dgn sifat
elastisitas dinding arteri
%nilai awal model 1 for i=1:nz if z(i)<=0 A1(1,i)=10; else A1(1,i)=5;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
end end %nilai awal model 2 A2(1,:)=A1(1,:);
%batas kiri A1(:,1:3)=10; A2(:,1:3)=10;
%batas kanan A1(:,nz-3:nz)=5; A2(:,nz-3:nz)=5;
%% perhitungan nilai kuantitas model 1 & 2 for n=2:nt
for i=2:nz-1 % model 1 Fkaa1=0.5*(Q(n-1,i+1)+Q(n-1,i))-(dz/(2*dt))*(A1(n-1,i+1)-
A1(n-1,i)); Fkia1=0.5*(Q(n-1,i)+Q(n-1,i-1))-(dz/(2*dt))*(A1(n-1,i)-
A1(n-1,i-1)); A1(n,i)=A1(n-1,i)-(dt/dz)*(Fkaa1-Fkia1); Fkaq=0.5*(Q(n-1,i+1)^2/A1(n-1,i+1)+(beta/(3*rho))*A1(n-
1,i+1)^1.5+Q(n-1,i)^2/A1(n-1,i)+(beta/(3*rho))*A1(n-1,i)^1.5)-
(dz/(2*dt))*(Q(n-1,i+1)-Q(n-1,i)); Fkiq=0.5*(Q(n-1,i)^2/A1(n-1,i)+(beta/(3*rho))*A1(n-
1,i)^1.5+Q(n-1,i-1)^2/A1(n-1,i-1)+(beta/(3*rho))*A1(n-1,i-1)^1.5)-
(dz/(2*dt))*(Q(n-1,i)-Q(n-1,i-1)); Q(n,i)=Q(n-1,i)-(dt/dz)*(Fkaq-Fkiq); p1(n,i)=beta*(sqrt(A1(n,i))-sqrt(A0));
% model 2 Fkaa2=0.5*(A2(n-1,i+1)*u(n-1,i+1)+A2(n-1,i)*u(n-1,i))-
(dz/(2*dt))*(A2(n-1,i+1)-A2(n-1,i)); Fkia2=0.5*(A2(n-1,i)*u(n-1,i)+A2(n-1,i-1)*u(n-1,i-1))-
(dz/(2*dt))*(A2(n-1,i)-A2(n-1,i-1)); A2(n,i)=A2(n-1,i)-(dt/dz)*(Fkaa2-Fkia2); Fkau=0.5*(0.5*u(n-1,i+1)^2+p2(n-1,i+1)/rho+0.5*u(n-
1,i)^2+p2(n-1,i)/rho)-(dz/(2*dt))*(u(n-1,i+1)-u(n-1,i)); Fkiu=0.5*(0.5*u(n-1,i)^2+p2(n-1,i)/rho+0.5*u(n-1,i-
1)^2+p2(n-1,i-1)/rho)-(dz/(2*dt))*(u(n-1,i)-u(n-1,i-1)); u(n,i)=u(n-1,i)-(dt/dz)*(Fkau-Fkiu); p2(n,i)=beta*(sqrt(A2(n,i))-sqrt(A0)); end p1(n,1:3)=p1(n,4); p1(n,nz-3:nz)=p1(n,nz-4); p2(n,1:3)=p2(n,4); p2(n,nz-3:nz)=p2(n,nz-4);
%% perhitungan residu solusi numeris % semakin kecil residu semakin baik for j=2:nz-1 E1(j) = 0.5*dz*(A1(n,j)-A1(n-1,j)+A1(n,j+1)-A1(n-1,j+1));
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
E1(j) = E1(j)+0.5*dt*(Q(n-1,j+1)-Q(n-1,j)+Q(n,j+1)-
Q(n,j));
E2(j) = 0.5*dz*(A2(n,j)-A2(n-1,j)+A2(n,j+1)-A2(n-1,j+1)); E2(j) = E2(j)+0.5*dt*(A2(n-1,j+1)*u(n-1,j+1)-A2(n-
1,j)*u(n-1,j)+A2(n,j+1)*u(n,j+1)-A2(n,j)*u(n,j));
end
%% plot grafik p terhadap z (model 1 biru, model 2 merah) figure(1) subplot(2,1,1) plot(z,A1(n,:),'b') grid on title('Model (A,Q)') xlabel('z (cm)') ylabel('Tekanan darah (dyne/cm^2)') subplot(2,1,2) plot(z,E1,'b') grid on title('Residual A Model (A,Q)') xlabel('z (cm)') maxE1=max(abs(E1))
figure(2) subplot(2,1,1) plot(z,A2(n,:),'r') grid on title('Model (A,u)') xlabel('z (cm)') ylabel('Tekanan darah (dyne/cm^2)') subplot(2,1,2) plot(z,E2,'r') grid on title('Residual A Model (A,u)') xlabel('z (cm)') maxE2=max(abs(E2)) pause(0.0001) disp('=======================================') end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI