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Outil d’accompagnement des apprentissages mathématiques
CM1
Livret Enseignant
Répartitiondesitemsdemathématiquesparrapportauxattendusdefindecycle Exe items Durée
Nommer,lire,écrire,
représenterdesnombresentiers
1 Écriredesnombresentiersjusqu’à10000
• 1Écrirelesnombresà3chiffresjusqu’à1000• 2Écrirelesnombresà3chiffresjusqu’à10000• 3Gérerlaplacedu0dansunnombrejusqu’à10000
3min
6Associerunnombreentenduàl’oralàsonécriturechiffrée
• 14Reconnaîtrelesnombresinférieursà10000 2min
11
Associerunnombreécritenchiffresavecsesdifférentesreprésentations
• 26Associerunnombreécritenchiffresàunereprésentationanalogique
• 27Associerunnombreécritenchiffresàunereprésentationadditive• 28Associerunnombreécritenchiffresàunereprésentationenunités
denumération(unités,dizainesetcentaines)
7min
3Associerunnombreentieràunepositionsurunedemi-droitegraduée
• 5Associerlenombre217àsaplacesurladroitegraduée• 6Associerlesnombres180àsaplacesurladroitegraduée• 7Retrouverlepointd’originedeladroitegraduée
5min
Comprendreetutiliserdes
nombresentierspourdénombrer,
ordonner,repérer,comparer.
9
Comparer,ranger,encadrer,ordonner,intercalerdesnombresentiersjusqu’à10000
• 20Retrouverlepremiernombred’unesuitedenombres• 21Intercalerunnombreentre2nombres• 22Comparer,ranger,encadrer,ordonneretintercalerdesnombres
entre2nombres
3min
5Dénombrer,constitueretcomparerdescollectionsjusqu’à1000
• 12et13Dénombrerunecollection 3min
Résoudredesproblèmesenutilisantdes
nombresentiersetlecalcul
12Résoudredesproblèmesissusdesituationsdelaviequotidienne:problèmesrelevantdesstructuresadditives
• 29Résoudreunproblèmeluà2étapes 7min
2 • 4Résoudreunproblèmeentenduà2étapes 2min
10Exploiterdesdonnéesnumériquespourrépondreàdesquestions
• 23Répondreàdesquestions• 24Interpréterdesréponses• 25Exploiterdesdonnéesenutilisantdescalculs
7min
Calculeravecdesnombresentiers
4
Mémoriserdesfaitsnumériquesetdesprocéduressurlesnombres
• 8Mémoriserdesproduits• 9Connaitrelescomplémentsàladizaineetcentainesupérieures• 10Calculerlesdoublesdenombresinférieursà100• 11Calculerdesmoitiés(nombresinférieursà100)
3min
13 Calculerenutilisantdesécrituresenligneavecdesnombresinférieursà1000
• 30Retrouverlesnombrescibles 12min
7• 15Rechercherunajoutàunnombreà2chiffres• 16Additionnerplusieursnombresà2chiffres• 17Soustraireunnombreà2chiffresàunnombreà3chiffres
8min
8Vérifierlavraisemblanced’unrésultatenestimantsonordredegrandeur
• 18Estimerunesommeouunedifférence• 19Estimerunquotient
3min
SEQUENCE1
Exercice1(3minutes)
Attendudefindecycle Nommer,lire,écrire,représenterdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées
Ecriredesnombresentiers:Passerd’unereprésentationàuneautre,enparticulierassocierlesnomsdesnombresàleursécritureschiffrées
Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:
Ø écriredanslacasedemandée,Ø écrirelenombreenchiffres,Ø lenombreécritcorrespondaunombreentendu.
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne:Vousallezécriredanschaquecaselenombrequejevaisvousdireenchiffres.
Ø danslacaseétoile(lafairepointer),écrivez498;Ø danslacasesoleil(lafairepointer),écrivez276;Ø danslacaseavion(lafairepointer),écrivez2132;Ø danslacaseflocon(lafairepointer),écrivez5864;Ø danslacasegoutte(lafairepointer),écrivez6085;Ø danslacasecrayon(lafairepointer),écrivez8007;
Précisionsurlacorrection
Certainsélèvesdefindecycle2écriventencorecertainschiffresenmiroir:onaccepteradonccetteécriture,carl’enjeudecetteévaluationportesurlatranscriptiond’unnombreentenduenécriturechiffréeetnonsurlaformeécritedecenombre.Ainsi,onacceptera
21ε2pour2132,maisonrefusera20ε2pour2132.
CODAGEItems1à3
Item1:498et276Code1:lesnombres498et276sontbienécrits.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.
Item2:2132et5864Code1:lesnombres2132et5864sontbienécrits.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.
Item3:6085et8007Code1:lesnombres6085et8007sontbienécrits.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.
ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSErreurspossibles:
Ø l’élèveconfondlechiffredesdizainesetdesunités,Ø l’élèveconfondlechiffredescentainesetdesdizaines,Ø l’élèveécritlesnombresenchiffresàpartirdeleurdésignationorale:2006016(ou20076…)pourdeuxcent
soixante-seize,2000132pourdeuxmillecenttrente-deux…etcØ l’élèvenecomprendpasl’utilisationdu0pourindiquerl’absencedegroupements:ilajoutelechiffre1àla
placedeszérosàl’intérieurdesnombres(6185pour6085/8017pour8007);iln’écritpasle0(685pour6085/87pour8007.
Ø l’élèven’associepaslesmotsnombressoixante-dixetquatre-vingt-dixavec7et9dizaines(ilécrit488pour498parexemple).
Exercice2(2minutes)
Attendudefindecycle Résoudredesproblèmesenutilisantdesnombresentiersetlecalcul.ConnaissancesetCompétencesassociées Résoudredesproblèmesénoncésàl’oral,issusdessituationsdelaviequotidienne.
Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:
Ø onnedoitpaslaisserdetracedesarecherche(calcul,dessin),Ø lesrecherchessefontmentalement,Ø laréponses’écritsurlaligne.
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne:Vousallezécouterattentivementl’énoncéduproblèmequejevaisvousdonneràl’oral.Jevaisvousl’énoncer2fois.Vousdevrezensuiteécrirevotreréponsedanslecadreréponsequevoici(pointerlecadre).
Préciser:Vousdevezeffectuervotrecalculmentalement(detête).
Donnerl’énoncéàl’oral:
Ø Voiciunproblème.Danslecar,ilya45personnes.Lecars'arrête.Cinqpersonnesdescendentethuitpersonnesmontent.Combiendepersonnesya-t-ildanslecarlorsqu'ilredémarre?
Laisseruneminutederéflexionpuisdemanderauxélèvesd’écrireleurréponsedanslecadre.
CODAGEItem4
Item4:ilya48personnes(45–5+8=40+8=48)Code1:onaccepteralesréponses48personneset48.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.
ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSSelonlatypologiedesproblèmesadditifsetsoustractifsdeVergnaud,lepremierproblèmeestdetypecompositiondetransformationavecrecherchedelasituationfinale:
C'est la gamme de problèmes qui comporte le plus de combinaisons, car plusieurstransformations se succèdent. On recherche, soit le résultat des transformationssuccessives,soitl'unedescomposantes.Danslecasprésent,onconnaitl'étatinitialetles
transformations intermédiaires, la recherche porte sur l'état final. La difficulté varie selon la nature (positive ounégative) des 2 transformations. Mais quelques soient ces transformations, cette situation complexe peuts’appréhenderdedeuxmanièrespossibles:
-Raisonneruniquementsurlestransformationssansconnaitrelesétats.Celaempêchetoutematérialisation.La compositionde2 transformationspositives favorise l’utilisationde l’additionpuisque celle-ci est induitepar lanature des transformations. La recherche de la transformation totale pour 2 transformations négatives s’appuieaussisur l’additionalorsquelesmotsutilisésdansl’énoncéincitentàemployer lasoustraction. Il fautadditionnerles pertes. La difficulté persiste quand les 2 transformations sont de signe contraire (un gain, une perte).Mathématiquement,l’opérationresteuneaddition,maisuneadditionsurdesnombresrelatifsdontunestpositifetl’autre négatif. Cela peut engendrer des blocages lorsqu’il faut soustraire un gain à une perte. (Exemple: À lapremièrepartiedebilles,Paulaperdu5billes.Àlasecondepartie,Paulagagné3billes.CombienPaula-t-ilperdudebillesentout?Retirerlegainde3billesaux5billesperduessembleaberrantàlaplupartdesélèves.)Danslecasprésent,lecarperd5personnesetengagne8soitungainde3personnes:-5+8=+3lecaragagné3personnes.45+3=48personnes
-Raisonnersurlestransformationssuccessivesàpartirdesétats:45–5=40;40+8=48personnes
Erreurspossibles:Ø l’élèven’associepasleverbedescendreàunretraitetleverbemonteràunajout;Ø l’élèveometunedesdonnées:45+8=53ou45-5=40Ø L’élèveassocielespersonnesquidescendentetmontentàuneaddition:45+5+8=58Ø L’élèvefaituneerreurdecalcullorsqu’ilsoustrait:45–5=39ou41…Ø L’élèvefaituneerreurdecalculenprocédantenuneseuleopération:45–5+8=57ou59…Ø L’élèveneprendencomptequelatransformation:8–5=3
Exercice3(5minutes)
Attendudefindecycle Nommer,lire,écrire,représenterdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées Associerunnombreentieràunepositionsurunedemi-droitegraduée
Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:
Ø placerunnombreparétiquette,Ø placerchaquenombreaubonendroit,Ø utiliseretcompterlesgraduationspourmarquerlenombre.
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne:Surcettedroitegraduée,lesnombres200et250sontplacés[lesmontrerauxélèves].Vousdevezécriredanschaquecaselenombrequicorrespondàchacunedesflèches[lesmontrer].
CODAGEItems5à7
Item5:Compterlesnombresaprès200Code1:217estbienplacé.Code9:autrenombreplacéCode0:aucuneréponse.
Item6:Décompterlesnombresavant200Code1:180estbienplacé.Code9:autrenombreplacéCode0:aucuneréponse.
Item7:Retrouverlepointd’origineCode1:150estbienplacé.Code9:autrenombreplacéCode0:aucuneréponse.
ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSProcédurespossibles
Ø comptage terme à termede la ligne graduée à partir ou pas dupoint d’origine : erreur de stratégie parrapportàlasituationquinedémarrepasà0.
Ø comptagetermeàtermedelalignegraduéeàpartirdesrepèresénoncés:200,201,202…217Ø priseencomptedesdizainesetcomptagedesunitésintermédiaires:200,210,211,212…217Ø décomptagetermeàtermeàpartirdesrepères:200,199,198,197…180Ø décomptagedesunitésintermédiaires:200,190,180.
Erreurspossibles:Ø Lalignegraduée,tellequ’elleestreprésentéeici,rappelleunerèglegraduée.Uneerreurpossibleestque
desélèvespensentqu’unegrandegraduationvaut1entantque1cm.Ø erreurde1graduation(comptagedechaquegraduationsanspriseencomptedelavaleurdesgraduations
intermédiaires):216aulieude217/181aulieude180.Ø nonpriseencomptedespetitesgraduationsentre210et215etindicationde212.Ø nonpriseencomptedeladizaine:207aulieude217.Ø nonpriseencomptedespetitesgraduationsaprès215.Ø priseencompteexclusivesdespetitesgraduationsdepuis200soit214.Ø nonpriseencomptedelatailledesgraduationsintermédiaires:ex:272-277Ø départdeladroite,aconsidérélapremièregraduationcommeétant10puisavancéainside10en10Ø nonpriseencomptedu200,départde0ou100(àgauche)Ø Départde217trouvéetareculéenomettantunedizainepourarriverà170(aulieude180)et140(aulieu
de150
Pourdéterminerlesnombresindiquantlespositionsdonnées,ilfautdétermineràquoicorrespondunegraduation.Commeunegraduationcorrespondà1unité,ilestpossiblequedesélèvesprennentcetteunitédèsledépartsansvérifier qu’elle correspond aux deux nombres donnés. Or, la procédure valable quelle que soit la ligne graduéenécessitedeprendreencomptelesdeuxnombresdonnésindiquantuneposition,ici200et250,pourdétermineràquoicorrespondunegraduation.Celapeuts’effectuerdetroisfaçons:
Ø En déterminant à quoi correspond une graduation qu’elle soit petite,moyenne ou grande en comptanttouteslesgraduations(petites,moyennesetgrandes)entre200et250.
Ø En déterminant, dans un 1er temps, à quoi correspond une grande graduation en comptant les grandesgraduationsentre200et250puis,dansunsecondtemps,endéterminantàquoicorrespondunepetiteoumoyennegraduationencomptantcelles-cientre200et210.
Ø En déterminant, dans un 1er temps, à quoi correspond une grande graduation en comptant les grandesgraduationsentre200et250puis,dansunsecondtemps,endéterminantàquoicorrespondunemoyennegraduation en comptant celle-ci entre 200 et 210 et, enfin, dans un 3e temps, en déterminant à quoicorrespondunepetitegraduationencomptantcelles-cientre200et205.
Exercice4(3minutes)
Attendudefindecycle Calculeravecdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées
Mémoriserdesfaitsnumériques(lesdoubles,lestablesd’additionsetlestablesdemultiplication)
Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:
Ø écrirelenombreenchiffresdanslacasedemandée,Ø lenombreécritestleproduitdesmultiplicationsdemandées.Ø Compléterlesécrituresmultiplicatives
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne1:Voiciunexercice(lemontrer)Jevaisvousposerdesquestions.Pouryrépondre,ilfautcalculermentalement.Vousallezécrirelesréponsesenchiffresdanslescasesquejevousindiquerai.
Ø danslacaseA(lafairepointer),écrivezlerésultatde4multipliépar7;Ø danslacaseB(lafairepointer),àquoiestégal7multipliépar4?écrivezvotre
réponse;Ø danslacaseC(lafairepointer),En45combiendefois3?ouDans45combiendefois
5?Ecrivezvotrerésultat;Ø danslacaseD(lafairepointer),14estlerésultatdequellemultiplication?écrivez
votreréponse;Ø danslacaseE(lafairepointer),écrivezcombienjedoisajouterà6pourallerà10;Ø danslacaseF(lafairepointer),écrivezcombienjedoisajouterà3pourallerà10;Ø danslacaseG(lafairepointer),écrivezcombienjedoisajouterà70pourallerà100;Ø danslacaseH(lafairepointer),écrivezcombienjedoisajouterà50pourallerà100;Ø danslacaseI(lafairepointer),20estledoubledequelnombre?Écrivezvotre
réponse;Ø danslacaseJ(lafairepointer),écrivezledoublede25;Ø danslacaseK(lafairepointer),écrivezlamoitiéde40;Ø danslacaseL(lafairepointer),écrivezlamoitiéde90.
CODAGEItems8et11
Item8:connaitredesproduits(28,28,9et2x7ou1x14ou3x4+2)Code1:4bonnesréponses.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.
Item9:Connaitrelescomplémentsà10et100(4,7,30et50).Code1:4bonnesréponses.Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse
Item10:connaitredesdoubles(10et50)Code1:20et50ontététrouvésCode9:autresréponses.Code0:pasderéponse
Item11:connaitredesmoitiés(20et45)Code1:20et45ontététrouvésCode9:autresréponses.Code0:pasderéponse
ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSProgrammes 2016 : Les stratégies de calcul « s’appuient sur la connaissance de faits numériques mémorisésrépertoiresadditifetmultiplicatif,connaissancedesunitésdenumérationetdeleursrelations,etc.)etsurcelledespropriétésdesopérationsetdelanumération.Lecalculmentalestessentieldanslaviequotidienneoùilestsouventnécessairedeparvenirrapidementàunordredegrandeurdurésultatd’uneopération,oudevérifierunprix,etc.»
MémorisationdefaitsnumériquesØ La connaissance et la mobilisation rapide (automatisation) des décompositions additives des nombres
inférieursouégauxà10estunpréalableindispensableaucalculsurlesnombresentiers.Ø Lesrésultatsdestablesd’additionetdemultiplicationdoiventdevenirdes faitsnumériquesautomatisés.
Cen’estpaslatailledesnombresquirendlecalculplusdifficile(5+5estplusfacileque4+3;9x10estplusfacileque9x4).
AutomatisationdeprocéduresdecalculØ L’élève qui possède suffisamment de connaissances sur les décompositions des nombres va pouvoir les
convoquerpourmobiliserdesprocédurespluséconomiques,carplusadaptées.Ø Lecalculde4multipliépar9peuts’effectuerselonplusieursprocéduresnotammentenprenantencompte
l'utilisationdesdoublesetlespropriétésopératoires:4x9=2x2x9=2foisledoublede9=ledoublede18=36;7x8=7x4x2=28x2soitledoublede28
Ø Les procédures mises en œuvre par les élèves ne sont pas visibles dans cet exercice d’évaluation.L’automatisationdesprocéduresdoit faire l’objetd’unenseignementpréalablequinécessiteraun travail
d’explicitationsystématiqueportantsurlesstratégiesàdévelopper.Ø Uneprocédureestautomatiséelorsqu’elleestrestituéeparl’élèvepoureffectueruncalculsansquecelui-ci
aitbesoindelareconstruire.Paradoxedel’automatismedeButlen:lenombreaucycle2page12http://www2.ac-lyon.fr/ressources/rhone/maths-sciences/IMG/pdf/Le_nombre_au_cycle_2_-_Partie_1.pdf?230/590448352daa6d2ff23c39f52a6ca49a73881858Lescomplémentsà10et100Parcequ’ilssontàlabasedenombreusesprocéduresdecalculréfléchi,les5pairesdenombresdontlasommefait10sontàconnaîtreauplusvite.Onpourrafairevarierlaconsignepourengagerunchangementdepointdevue(compléterunecollection,sedéplacersurladroitenumérique,égaliserdeuxcollections,etc.).Ceschangementsdepointdevueparticipentàlaconstructiondunombreetcontribuentàaccroitreladisponibilitédesfaitsnumériques.Onpeutétendrecesprocéduresàlarecherchedecomplémentsà100.
Exemplesdequestionnementsàproposerenclasse:
complète3pourfaire10;combienmanque-t-ilà3pourfaire10?quefaut-ilajouterà3pourfaire10?3pourallerà10?3+?=1010–3=?etc.
complète60pourfaire100combienmanque-t-ilà60pourfaire100?quefaut-ilajouterà60pourfaire100?60pourallerà100?60+?=100100–60=?etc.
Exercice5(3minutes)
Attendudefindecycle Comprendreetutiliserdesnombresentierspourdénombrer,ordonner,repérer,comparer
ConnaissancesetCompétencesassociées
Dénombrer,constitueretcomparerdescollectionsenutilisantdiversesstratégiesdedénombrement
Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:
Ø écrireunnombredanschaquecasevide,Ø lenombreécritdoitcorrespondreàlaquantitéreprésentée,Ø compléterlesphrases
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne1:Voicilecontenudedeuxcasiers.Descrayonssontrangésàl’intérieur.Certainscrayonssontgroupésparboîtesdecent(lespointer),d’autresparétuisdedix(lespointer).Vousdevezécrirelenombretotaldecrayonsdanschaquecasier.Vousécrivezvotreréponsedanslescasesrespectives.(lespointer).Sivousavezbesoindefairedesrecherches,vouspouvezutiliserlescadresci-contre(lespointer).
CODAGEItems12et13
Item12:CardinaldelacollectionACode1:réponsecorrecte(casierA:368).Code9:réponseerronée.Code0:aucuneréponse.
Item13:CardinaldelacollectionBCode1:réponsecorrecte(casierB:376).Code9:autreréponse.Code0:aucuneréponse
ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSØ Compterlesobjetsd’unecollectiondegrandetailleestuneactivitéquipeuts’avérercoûteuse.Elle
nécessitelacoordinationdedeuxcomposantes:motrice(pointage,mouvementsdesyeux)etsymbolique(énumérationdesnomsdenombre).
Ø L’utilisationdegroupementspar10ou5montrelacapacitédel’élèveàutilisersesconnaissancesdelanumérationenbase10dansunesituationcomplexe.
Ø Leprinciped’abstractiondoitêtreacquis.Lacardinalitéd’unecollectionestindépendantedescaractéristiquesdesélémentsquilacomposent.
Erreurspossibles
Ø Leserreurslesplusfréquentesmontrentuneincompréhensiondesgroupements.Certainsélèvesnecomptentpaslesunitésoupaslesdizainesoupaslescentainesoubiennecomptentquelesunitésouquelesdizaines.ExemplepourlecasierA:40.
Ø Erreurdedénombrementàplusoumoinsunprès.Ø Erreurdegroupement.Ø L’élèven’associepaslecontenudesboitesdansledénombrement,carnonmatérialisé:128et97.Ø L’élèven’associepaslesmots-nombressoixante-dixavec7dizaines:366aulieude376.Ø Certainesréponsesmontrentque,pourcertainsélèves,l’écritured’unnombreavecdeschiffresn’estpas
reliéeaunombredecentaines,dizainesetunitéspuisqu’ontrouvedesréponses,pourlecasierA,tellesque108ou3124
Pointsdevigilancependantletempsd’activité
RepérerlesprocéduresdedénombrementmisesenœuvreØ Dénombrementparcomptagetermeàterme,avecdespossibilitésd’erreursde
plusieursnatures:o l’énumérationestincorrecte(nomdesnombres),o desobjetssontoubliésoucomptésplusieursfois,o lecardinaldel’ensemblenecorrespondpasauderniermot-nombredit.
Ø Dénombrementavecgroupementsaléatoires:stratégiecoûteuseetpeuefficace.
Ø Dénombrementavecgroupementsfixes,maisdifférentsde10.Ø Dénombrementavecgroupementspar10.
SEQUENCE2
Exercice6(2minutes)
Attendudefindecycle Nommer,lire,écrire,représenterdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées
Liredesnombresentiers:Passerd’unereprésentationàuneautre,enparticulierassocierlesnomsdesnombresàleursécritureschiffrées
Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:
Ø entourerunseulnombresurchaqueligne,Ø lenombreentourécorrespondaunombreentendu.
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne:Surchaqueligne,ilya5nombres.Pourchaqueligne,jevaisvousdireunnombreetvousdevrezl’entourer.
Ø SurlaligneA(lafairepointer),entourez199;Ø SurlaligneB(lafairepointer),entourez230;Ø SurlaligneC(lafairepointer),entourez5134;Ø SurlaligneD(lafairepointer),entourez6018.
CODAGEItem14
Item14:199,230,5134et6018Code1:les4nombres(199,230,5134et6018)sontbienentourés.Code2:les2premiersnombressontbienentourés(199,230)Code9:autresréponses.Code0:pasderéponse.
ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSErreurspossibles:
Ø l’élèveconfondlechiffredesdizainesavecceluidesunités:203pour230;5143pour5134;Ø l’élèvechoisitlesnombresenchiffresàpartirdeleurdésignationorale:20030pourdeuxcenttrente…;Ø l’élèvenetientpascomptedu0quimarquel’absencedegroupement:618pour6018;Ø l’élèven’associepaslesmots-nombresquatre-vingt-dixavec9dizaines:ilentoure189pour199.
Exercice7(8minutes)
Attendudefindecycle CalculeravecdesnombresentiersConnaissancesetCompétencesassociées Calculerenutilisantdesécrituresenligneadditives,soustractives,multiplicatives,mixtes.
Critèresderéussite Ø calculermentalementØ écriredessuitesdecalculsØ écrirelenombresurlespointillés
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne:Voiciunesériedecalculs(écrirelepremiercalcul:77+……=107autableau).Vousdevezretrouverlenombrequ’onaajoutéà77pourobtenir107.Ils’agitd’essayerdetrouverunestratégiepermettantdecalculerrapidementsansavoirrecoursàuneadditionouunesoustractionposéeencolonne.Justeenécrivantdescalculsintermédiaires.Pourcela,vousavezunelignepoureffectuervosrecherches.Ilexisteplusieurssolutions,maisuneseulesuffira.
Complétezl’ensembledescalculssuivants.Vousavez8minutes.
CODAGEItems15à17
Item15:calculadditifde2nombres(30et13)Code1:les2ajoutsontététrouvésCode9:1ou2erreur(s).Code0:aucuneréponse.
Item16:calculadditifde3nombres(14et50)Code1:les3ajoutsontététrouvésCode9:1ou2erreur(s).Code0:aucuneréponse.
Item17:calculsoustractifde2nombres(50et196)Code1:les2nombresontététrouvésCode9:1ou2erreur(s).Code0:aucuneréponse.
ÉLÉMENTSD’ANALYSEIls'agitpourlesélèvesdemettreenœuvreunestratégiedecalculbaséesurlaconnaissancederelationsnumériquessurlesnombres(décompositions,recompositions,complémentsà10,à100…)pourrésoudreuneaddition,unesoustractionenligne.Leserreurspeuventprovenirdediversobstacles:
Ø Lesfaitsnumériquesnesontpasassezsolides(tablesd’addition,compléments);Ø Lesconnaissancessurlesnombressontencorefragiles(retenues,groupements);Ø L’élèveavoulutoutfairementalement(aucunécritintermédiaire)sanssoulagersamémoiresibesoin;Ø L’élèveneserepèrepasdanssesécritsintermédiairesououblieuneétape(souventladernièreoùils’agit
derassemblerlesrésultatsintermédiaires).Exemplesd’erreurs:
Ø Erreurdanslechoixdel’opérateur:additionàlaplacedelasoustraction:Ø Erreurliéeàunemauvaisegestiondelaretenue:23+39=52Ø Erreurliéeàunsurcomptageerronédanslecasd’ajoutdedizaine:80+20+60=150
StratégiesutiliséesparlesélèvesØ calculintermédiaireavecsurcomptageoudécomptage:80+20=100,110,120…150Ø complémentàladizainesupérieureetadditiondescomplémentsØ comptageoudécomptagetermeàtermequecesoiten+ou–mentalementouavecappuidesdoigts.Ø comptageparessaierreur:77+21=98,77+23=100,77+25=102…jusqu’àretrouver107
PropositiondidactiqueAposterioridelaséanced’évaluation:s’appuyersurlesévaluationspourmettreenœuvreuneséancededécouvertepourmettreenavantdesstratégiesdecalculs.Procéderdansunpremiertempsavecuncalculadditifenprenantappuisurunrépertoirenumériqueinférieurà50.
Consigne:Voiciuncalcul(écrire12+……=33autableau).Nousallonsrecherchercommentfairepourretrouverlenombrequ’onaajoutéà12pourobtenir33.Ils’agitd’essayerdetrouverunestratégiepermettantdecalculerrapidementsansavoirrecoursàuneadditionposéeencolonne.Justeenécrivantdescalculsintermédiaires.Ilexisteplusieurssolutions,envoiciune:• 12+8=20;20+10=30;30+3=33;8+10+3=21.Onarecherchécombienilfautajouterà12pouraller
à20etensuitepourallerà30puispourallerà33.Onaajouté21à12pourobtenir33.Donc12+21=33
Onpeutreprésentercecalculparunelignegraduée(d’autresreprésentationssontpossibles):Voicid’autressolutions:• 12+8=20;20+13=33;8+13=21.• 12+1=13;13+20=33;1+20=21.12+20=32;32+1=33;20+1=21.• 12+10=22;22+11=33;10+11=21.12+11=23;23+10=33;11+10=21.
Autreexempledanslerépertoiresoustractif:(utiliserladroitegraduéeégalement)Prenonslecalculsuivant:35–18=……Ondécompose18en5+10+3.Onprend5,carlenombrededépartseterminepar5unitésetqu’onchercheàobtenirdesdizainesentières:35–5=30;30–10=20;20–3=17.Onaretranché5à35pouravoir30,ensuiteonaretranché10pouravoir20puisretrancher3.Onobtientalors17.Donc35–18=17Silenombreavaitété43onauraitretranchéd’abord3puis10puis5.Lefaireàl’oral.
Dansunsecondtemps,proposerauxélèvesuneautocorrectiondesévaluationspargroupeouindividuellement.Revenirlorsd’unemiseencommunsurlesdifférentesstratégies.
12 20 30 33
+8 +10 +3
Exercice8(3minutes)
Attendudefindecycle Calculeravecdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées calculermentalementpourévaluerunordredegrandeur
Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:
Ø repérerlesignedel’opération,Ø choisirunrésultatcohérentparrapportàuncalcul,Ø cocherunecaseparcolonne.
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne:Voiciuntableaucomposéde5colonnesdanslesquellessetrouveuncalculécrit.Pourchaquecalcul,onvouspropose4réponses.Uneseuleestcorrecte.Vous devez, sans effectuer le calcul, entourer le résultat qui s’approche le plus de l’opération demandée.
Ø danslapremièrecolonne,946–531,entourelerésultatquis’approcheleplusdececalcul;Ø dansladeuxièmecolonne,1282+410;entourelerésultatquis’approcheleplusdececalcul;Ø danslatroisièmecolonne,1253–437;entourelerésultatquis’approcheleplusdececalcul;Ø danslaquatrièmecolonne,853+157;entourelerésultatquis’approcheleplusdececalcul;Ø danslacinquièmecolonne,59:5;entourelerésultatquis’approcheleplusdececalcul.
CODAGEItems18et19
Item18:estimerdessommesetdifférencesCode1:400,1600,800et100ontététrouvésCode2:deuxréponsesexactesontététrouvéesCode9:autresréponsesCode0:pasderéponse.Item19:estimerunquotientCode1:10aététrouvéCode9:autresréponsesCode0:pasderéponse.
Exercice9(3minutes)
Attendudefindecycle Comprendreetutiliserdesnombresentierspourdénombrer,ordonner,repérer,comparer.
ConnaissancesetCompétencesassociées
Comparer,ranger,encadrer,ordonner,intercalerdesnombresentiers.
Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:
Ø chaquecasedoitêtrecomplétéeparunnombre,Ø lesnombressontrangésdupluspetitauplusgrand.
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne1:Voicidesnombres.Voiciuntableaudanslequel3nombressontdéjàécrits(lesdire):1442,2565et6415.Vousallezcompléterlescasesvidesdecetableauaveclesnombresproposéssurvotrelivret(lesfairepointeretleslireàvoixhaute:1180-6503–2467–8148–5115-2964–3124.Attention,ilsdoiventêtrerangésdupluspetitauplusgrand.Etcertainsd’entreeuxneserontpasécrits.
CODAGEItems20à22
Item20:retrouverlepremiernombred’unesuitedenombres(1180)Code1:1180estécritdanslapremièrecase.Code9:autrenombreplacéCode0:aucuneréponse.
Item21:intercalerunnombreentre2nombres(2467)Code1:2467estécritdansladeuxièmecase.Code9:autrenombreplacéCode0:aucuneréponse.
Item22:Comparer,ranger,encadrer,ordonneretintercalerdesnombresentre2nombres(2964,3124et5115)Code1:2964,3124et5115sontécritsdansl’ordredanslestroisdernièrescases.Code9:autreréponse.Code0:aucuneréponse.
Exercice10(7minutes)
Attendudefindecycle Résoudredesproblèmesenutilisantdesnombresentiersetlecalcul.ConnaissancesetCompétencesassociées Exploiterlesdonnéesnumériquesd’ungraphiquepourrépondreàdesquestions.
Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:
Ø ondoitpréleverlesinformationssurlegraphique,Ø laréponses’écritsurlaligne.
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne:Voiciungraphiquequimontrelenombred’élèvesayantmangéàlacantineaumoisdemars.Vousdevezlelireattentivementpourrépondreauxquatrequestionsécritesendessous.Lirelesquestions
a) Combiend’élèvesontmangéàlacantinelevendredi6mars?b) C’esttoujoursquandilyadesfritesaumenuqu’ilyaleplusgrandnombre
d’enfantsàlacantine.Queljourdumoisdemarsa-t-onservidesfritesàlacantine?
c) Calculelenombrederepasquiontétéservisdulundi2marsauvendredi6marsinclus.
Pourrépondreauxdifférentesquestions,vousutilisezlegraphique.Sivousavezbesoind’écrireuneréponse,utilisezleslignespointilléesetpoureffectuerdescalculs,utilisezlecadre.
CODAGEItems23à25
Item23:répondreàdesquestionsexplicites(66personnes)Code1:réponsecorrecteCode9:autresréponses.Code0:pasderéponse.
Item24:Interpréterdesréponses(mardi10mars)Code1:réponsecorrecteCode9:autresréponses.Code0:pasderéponse.
Item25257repasontétéservisentrele2et6mars(62+65+65+66=257)Code1:bonnedémarcheavec257aététrouvé.Code2:démarchebonne,maiserreurdecalculCode9:autresréponses.Code0:pasderéponse.
SEQUENCE3
Exercice11(7minutes)
Attendudefindecycle Nommer,lire,écrire,représenterdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées Utiliserdiversesreprésentationsdesnombres
Critèresderéussite Ø relierlesétiquettesquifont372avecl’étiquettegrise.
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne1:Vousvoyezaumilieuuneétiquettegriséeaveclenombre372.(L’écrireautableauetlafairepointer).Vousallezreliercetteétiquetteavectouteslesétiquettesquisontautouretquifont372.Vouspouvezutiliservotreardoisesivousavezbesoindefairedescalculs.
CODAGEItems26à28
Item26:Représentationanalogique(cubes)Code1:Laconstellationdegaucheaétéreliéeaveclenombre372.Code9:autreconstellationreliéeouabsencedelaconstellationdegauche.Code0:aucuneréponse.
Item27:Représentationsadditives(300+60+12)Code1:lareprésentationadditiveaétéreliéeaveclenombre372.Code9:autresreprésentationsadditivesreliéesouabsencedereprésentationadditive.Code0:aucuneréponse.
Item28:Représentationsenunitésdenumération(3centaines2unitéset7dizaineset372unités)Code1:les2représentationsontétéreliéesà372.Code9:autrereprésentationenunitédenumérationreliéeouabsenced’unedes2représentations.Code0:aucuneréponse
ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSCesdifférentesreprésentationsfournissentàl’élèvedesoutilsquil’aidentàconstruirelesystèmedenumérationetàdévelopperdesprocéduresdecalcul.Chacunedesrelationsentrelesdifférentesreprésentationsdunombrepeutêtreassociéeàuntyped’activité.Ilestimportantdeproposerdessituationsamenantàtravaillerl’ensembledecesrelations.Lesdifférentesformesdereprésentationsdesnombresconstituentunevariabledontlechoixpermetd’adapterlessituationsauxbesoinsdesélèvesetsontunlevierimportantpourfaireévoluerleursprocéduresErreurspossibles:
Ø «372unités»n’apasétéentourée;Ø Erreurliéeaudénombrementdesreprésentationsanalogiques;Ø Erreur liée à l’interprétation de la consigne : on entoure une seule représentation par catégorie et une
seule.
Exercice12(7minutes)
Attendudefindecycle Résoudredesproblèmesenutilisantdesnombresentiersetlecalcul.ConnaissancesetCompétencesassociées
Résoudredesproblèmesissusdesituationsdelaviequotidienne:problèmesrelevantdesstructuresadditives(addition/soustraction)
Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:
Ø ondoitlaisserunetracedesarecherche(calcul,dessin),Ø lesrecherchessefontdanslecadre,Ø laréponses’écritsurlaligne.
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne1:Voiciunproblème.Nousallonslelireensemble.
DansletrainquivaàMarseille,audépartdeParis,ilya355passagers.Après2heuresdetrajet,letrains’arrêteàLyonpouruneescale.185personnesdescendentdutrainet130ymontent.LetrainrepartensuitepourMarseille.Combiendepassagersvontallerjusqu’àMarseille?
Écrivezvosrecherchesetvoscalculsdanslepremiercadreetécrivezvotreréponsedansledeuxièmecadre.»[Montrerlescadresauxélèves].
CODAGEItem29
Item29:Code1:lerésultatestcorrect300(larésolutiondelapremièreetdeuxièmeétapeduproblèmeréussies).Code2:lestracesderecherche(dessin,schéma,calcul)montrentquelasituation(addition,additionàtrousousoustraction)aétécomprise,mêmesilerésultatn’estpascorrect.Code9:lestracesderecherchenemontrentpasquelasituation(addition,additionàtrousousoustraction)aétécomprise.Code0:aucuneréponse.
ÉLÉMENTSD’ANALYSEDESRÉSULTATSSelon latypologiedesproblèmesdeGVergnaud, lapremièrepartieduproblèmeestdetypecompositiondetransformationavecrecherchedelasituationfinale:C'est la gamme de problèmes qui comporte le plus de combinaisons, car plusieurstransformations se succèdent. On recherche, soit le résultat des transformations successives, soit l'une descomposantes. Dans le cas présent, on connait l'état initial et les transformations intermédiaires, la rechercheportesur l'étatfinal.Laprincipaledifficultépour lesélèvesdanscetypederecherchesesituedans lecasoù latransformationestnégativepuispositive.La résolution peut se faire par la recherche de la différencedes personnes quimontent et descendent durantl’escale:185–130=55enmoins;355–55=300.Larésolutionpeutégalementsefaireenuneseuleétape:355–185+130=170+130=300Oninciteradonclesélèvesaposterioriàexpliciteroralementouparécrit(dessin,schéma,calcul)lecheminementquilesaconduitsàtrouvercetteréponse(bonneoumauvaise).
ErreurspossiblesØ L’élèveassocielespassagersquidescendentetmontentàuneaddition:355+130+185=670Ø L’élèven’associepasleterme«passagers»auterme«personnes»:355+130=485Ø L’élèveneprendencomptequelespassagersquimontent:355+130=485Ø L’élèvefaituneerreurdecalcullorsqu’ilsoustrait:355–185=160ou190Ø L’élèvefaituneerreurdecalculenprocédantenuneseuleopération:355–185+130=310ou290Ø L’élèvecalculeladifférencesansprendreencompteladonnéeinitiale(355):185–130=55Ø L’élèvenemaitrisepasl’uneoulesdeuxtechniquesopératoires
StratégiesutiliséesØ calculdeladifférencedespassagersquimontentetdescendentpuissoustractionaunombrededépart:
185–130=55;355–55=300.Ø calculendeuxétapes:355–185=170;170+130=300.
Exercice13(12minutes)
Attendudefindecycle Calculeravecdesnombresentiers.ConnaissancesetCompétencesassociées Calculerenutilisantdesécrituresenligne(additions,soustractions,multiplications).
Critèresderéussiteàfaireexpliciterparlesélèves:
Ø Calculermentalement,Ø écrireunesuitedecalcul,Ø écrirelenombreenchiffres,Ø respecterlarègledujeu.
PASSATIONDELACONSIGNE
Consigne:Jevousproposeunjeu:lecompteestbondontvoicilesrègles.Nousallonseffectuerunpremierexercice-exempleensemblepourcomprendrelesrèglesdujeu.
Lebutdujeuestderetrouverunnombrecibleàl’aidede6nombrestirésausorteneffectuantlescalculsquevousvoulez.Maisattention,ilyaquelquesrèglesàrespecter.
Larègledu«Compteestbon»§ Onnepeututiliserqu'uneseulefoischaquenombredutirage.§ Lesquatreopérations(+,x,-,:)peuventêtreutiliséesautantdefoisquel'onveut.§ Lerésultatdechaqueopérationpeutêtreutilisépourunnouveaucalcul.§ Ilfautatteindreous’approcherlepluspossibledunombre-cible.§ Moinsilyad'opérations,meilleureestlaperformance
Consignedepassationpourlamiseenexemple:
Présenterautableaulenombrecibleetlesnombresquiserventaucalcul(onpeuteffectuerlaprésentationsousformedefiche).Voicilenombrecibleàretrouver(lemontrer);ils’agitdunombre34Pourcela,vouspouvezutiliserlesnombres10-2-4-5-7-25Laisseruntempsderecherchede4minutesetproposerauxélèvesdedonnerleur(s)réponse(s).Écrireet/ouproposerdifférentessolutions.Quelquessolutionspossibles:
§ 25+5+4=34àconnaissancedurépertoireadditif(complémentàladizainesupérieure)
§ 25+7+2=34àconnaissancedurépertoireadditif(ajouter9àunnombreà2chiffres)
§ 10+7=17;17x2=34àconnaissancedesdoubles§ 25+10=35;5-4=1;35-1=34àconnaissancedurépertoireadditif
(additionneretsoustrairedesnombresentierssansretenues)§ 4x5=20;2x7=14;20+14=34àconnaissanceetutilisationdesrépertoires
additifetmultiplicatif(multiplierpar2et5;additionnerdeuxnombreentiersansretenue)
§ 25x2=50;5-4=1;10+7=17:17-1=16;50-16=34àconnaissanceetutilisationdesrépertoiresadditifetmultiplicatif(multiplierpar2;additionneretsoustrairedeuxnombreentiersansretenue)
Consignedepassationlorsdelasituationd’évaluation:Vousdevezretrouvercommentfaire103–168et352aveclesnombrestirésausort.Ilyaplusieurssolutionsàchaquefois,maisuneseulesuffira.N’oubliezpasd’écriredanschaquecaselescalculsquivousontpermisdetrouverlenombrecible.Vouspouvezutiliserlebasdelapageouuneardoisepourvosrecherches,maispensezàrecopiervoscalculs.Sivousnetrouvezpaslenombreexact,vouspouveznoterunnombrecibleproche.Vousavez12minutes.
CODAGEItem30
Item30:deuxnombresciblesontététrouvés(103,168et352)Code1:DeuxnombresciblesontététrouvésCode2:unnombrecibleaététrouvéouapprochéCode9:aucunnombreciblen’aététrouvéouapprochéCode0:pasderéponse
Quelquessolutionspossibles
103 168 352• 25x4=100• 100+3=103
• 25–4=21• 21x8=168 • 10+4=14
• 14x25=350• 8–6=2• 350+2=352
• 6+4=10• 10x10=100• 100+3=103
• 25x4=100• 10x6=60• 100+60+8=168
• 25+8=33• 33x3=99• 99+4=103
• 10+8=18• 25x10=250• 250+18=258
• 25x4=100• 100x3=300• 10x6=60• 300+60=360• 360–8=352
• 10+3=13• 13x6=78• 78+25=103
• 8+6=14• 3x4=12• 12x14=168
• 6x8=48• 48+25=73• 3x10=30• 30+73=103
• 3x6=18• 18x10=180• 4+8=12• 180–12=168
• 6+3=9• 9+10=19• 19+25=44
44x8=352• 10+6=16• 16x8=128• 128–25=103
• 10–4=6• 25+3=28• 28x6=168
• 10+6=16• 25–3=22
22x16=352
ÉLÉMENTSD’ANALYSEv Progressivitédesapprentissages:
Dèslecycle2,ilconvientdeconduirelesélèvesàcommuniquerleursréponsessouslaformed’écritsdiversquilaissentàvoirlesétapesdecalculs:lesdessins,schématisationsetautresreprésentationsguidentlapensée,souventdemanièreverticale,pourparveniràuneécrituresousformedelignesdecalculs.Aucycle3,ils’agiraprogressivementd’introduirelesrèglesetsymbolesquipermettrontauxélèvesdeconstruireunlangagemathématiqueprécisetclairpourparveniràuneécrituresouslaformed’uneligneuniquedecalculs.
Ecriturespersonnelles Ecrituresàétapes(lignesdecalculs) Ecritureenunelignedecalculs
25x3=75-(6–4)=73Lesensdusigne«=»n’estpascompris.L’élèveorganisel’écrituredesaréponsecommeunesuitedecalculs,indépendammentdelavaleurdu«=».
Arbredecalculs:25x36–475–273
L’élèveabesoindeconnaitreetcomprendrelavaleuretlerôledesparenthèsesdanslecadredesprioritésopératoires.(25x3)–(6–4)=7325x3–6–4=73
L’élèveignorelapropriétérelativeauxprioritésopératoiresetn’aparconséquentpasrecoursauparenthésage,pourtantnécessaire.
Souslaformedelignesdecalculs:25x3=756–4=275–2=73
Commentamenerlesélèvesàcomprendreleurerreur?Ø L’usagedelacalculatricepourvalider/invaliderdesécrituresmathématiquespeutconduirelesélèvesà
s’apercevoirqu’ilssesonttrompés.Ilscomprendrontalorsquelacalculatriceprioriselesopérations.Soitilspasserontàl’écritureàétapes,soitilsessaierontdeplacerdesparenthèses.
Ø Ilestalorsintéressantd’apporterlanouvellenotionarithmétiquequiconduitàconnaitrelesprioritésopératoiresetàutiliseràbonescientleparenthésage.
Propositiondidactiqueaposterioridel’évaluation:s’appuyersurlesévaluationspourmettreenœuvreuneséancededécouvertepourmettreenavantdesstratégiesdecalculs.Procéderdansunpremiertempsavecunnombrecibleinférieurà100.
Reprendrelarègledujeuetproposerauxélèveslenombrecible73aveclesnombressuivants:10–4–5–3–6et2.
Privilégiezlareprésentationsouslaformed’arbresdecalculscommeétapeintermédiaireàuneécrituremathématiquesurplusieurslignes.Onexcluticil’écrituresuruneseuleligneavecousanslesparenthèsesquiseratravailléetoutaulongducycle3.
Etape1:l’arbredecalcul
Etape2:lamiseenécrituremathématiquesurplusieurslignes.
• 5+2=7• 7x10=70• 70+3=73
Procédezdelamêmefaçonavecd’autrespossibilités(envoici3autresparmi618)
• 10+4=14• 14x5=70• 70+3=73
• 10+3=13• 13x6=78• 78–5=73
• 6+3=9• 5+2=7• 7x9=63• 63+10=73
Dansunsecondtemps,proposerauxélèvesderevenirsurlesévaluationsetderetrouverpargroupeouindividuellementdifférentessolutionsaveclenombrecible103,puis168…Revenirlorsd’unemiseencommunsurlesdifférentesstratégiesAutressituationsàproposerauxélèves:Utilisationdejeuxdedéstelsque«Calculissimo»,«Mathadorflash»ou«1,2,3chiffresenfolie»quiproposentunpaneldesituationspourtravaillerl’intelligenceducalculchezlesélèves.Ilestessentield’adaptercesjeuxenfonctiondesbesoinsdesélèves:faire0avecdesdés,privilégiercertainsopérateursparrapportàd’autres.Certainsdossierspédagogiquesexistent:https://www.mathador.fr/pdf/Livret-pedagogique-Mathador-flash.pdf
10 5 2 4 6 3
5+2=7
10x7=70 70+3=73