Número mixto

Para pasar de número mixto a fracc ión impropia , se de ja e l mismo denominador

y e l numerador es la suma del producto del entero por e l denominador más e l

numerador , de l número mix to .

Fracciones equivalentes

Dos fracc iones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual a l

producto de medios.

Reducción de fracciones a común denominador

1º Se determina e l denominador común , que será e l mínimo común múlt ip lo de

los denominadores .

2º Este denominador, común, se d iv ide por cada uno de los denominadores,

mult ip l icándose e l coc iente obtenido por e l numerador correspondiente.

Suma y resta de fracciones

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mant iene e l denominador.

Con dist into denominador

En pr imer lugar se reducen los denominadores a común denominador , y se

suman o se restan los numeradores de las fracc iones equivalentes obtenidas .

Multipl icación de fracciones

E l p roducto de dos f racc iones es otra fracc ión que t iene :

Por numerador e l producto de los numeradores .

Por denominador e l producto de los denominadores .

División de fracciones

E l coc iente de dos f racc iones es otra fracc ión que t iene :

Por numerador e l producto de los extremos .

Por denominador e l producto de los medios .

.

Potencia de fracciones

Propiedades

Fracción generatriz

Pasar de decimal exacto a fracción

S i la f racc ión es decimal exacta , l a f racc ión t iene como numerador e l número

dado s in la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como

c i fras decimales tenga.

Pasar de periódico puro a fracción generatriz

S i la f racc ión es periódica pura , l a f racc ión generat r i z t iene como numerador e l

número dado s in la coma, menos la parte entera, y por denominador un número

formado por tantos nueves como c i fras t iene e l per íodo.

Pasar de periódico mixto a fracción generatriz

S i la f racc ión es periódica mixta , l a f racc ión generat r i z t iene como numerador e l

número dado s in la coma, menos la parte entera seguida de las c i f ras decimales

no per iódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como

c i fras tenga e l per íodo, seguidos de tantos ceros como c i fras tenga la parte

decimal no per iódica.

POTENCIAS

Potencias de exponente 0

a 0 = 1

5 0 = 1

Potencias de exponente 1

a 1 = a

5 1 = 5

Potencias de exponente entero negat ivo

Potencias de exponente rac ional

Potencias de exponente rac ional y negat ivo

Mult ip l icac ión de potencias con la misma base

a m · a n = a m + n

2 5 · 2 2 = 2 5 + 2 = 2 7

Divis ión de potencias con la misma base

a m : a n = a m - n

2 5 : 2 2 = 2 5 - 2 = 2 3

Potencia de un potencia

(a m ) n =a m · n

(2 5 ) 3 = 2 1 5  

Mult ip l icac ión de potencias con e l mismo exponente

a n · b n = (a · b) n

2 3 · 4 3 = 8 3

Divis ión de potencias con e l mismo exponente

a n : b n = (a : b) n

6 3 : 3 3 = 2 3

Ejercicios

3 3 · 3 4 · 3 = 3 8

5 7 : 5 3 = 5 4

(5 3 ) 4 = 5 1 2

(5 · 2 · 3 ) 4 = 30 4

(3 4 ) 4 = 3 1 6

[ (5 3 ) 4 ] 2 = (5 1 2 ) 2 = 5 2 4

(8 2 ) 3 =[ ( 2 3 ) 2 ] 3 = (2 6 ) 3 = 2 1 8

(9 3 ) 2 = [ (3 2 ) 3 ] 2 = (3 6 ) 2 = 3 1 2

2 5 · 2 4 · 2 = 2 1 0

2 7 : 2 6 = 2

(2 2 ) 4 = 2 8

(4 · 2 · 3 ) 4 = 24 4

(2 5 ) 4 = 2 2 0

[ (2 3 ) 4 ] 0 = (2 1 2 ) 0 = 2 0 = 1

(27 2 ) 5 =[ (3 3 ) 2 ] 5 = (3 6 ) 5 = 3 3 0

(4 3 ) 2 = [ (2 2 ) 3 ] 2 = (2 6 ) 2 = 2 1 2

(−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 = (−2) 9 = −512

(−2) − 2 · (−2) 3 · (−2) 4 = (−2) 5 = −32

2 − 2 · 2 − 3 · 2 4 = 2 − 1 = 1/2

2 2 : 2 3 = 2 − 1 = 1/2

2 − 2 : 2 3 = 2 − 5 = (1 /2 ) 5 = 1/32

2 2 : 2 − 3 = 2 5 = 32

2 − 2 : 2 − 3 = 2

Potencias de base negativa

Para determinar e l signo de una potencia de base negat iva tendremos en cuenta

que :

1. Las potencias de exponente par son s iempre posit ivas .

2 6 = 64

(−2) 6 = 64

2. Las potencias de exponente impar t i ene e l mismo s igno de la base .

2 3 = 8

(−2) 3 = −8

Potencias de exponente negativo

La potencia de un número con exponente negat ivo es igua l a l inverso del

número e levado a exponente posit ivo .

Ejercicios de potencias negativas

(−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4 = (−3) 8 = 6561

(−3) 2 · (−3) 3 · (−3) − 4 = −3

3 − 2 · 3 − 4 · 3 4 = 3 − 2 = (1 /3 ) 2 = 1 /9

5 − 2 : 5 3 = 5 − 5 = (1 /5 ) 5 = 1 /3125

(−3) 1 · [ (−3) 3 ] 2 · (−3) − 4 = (−3) 1 · (−3) 6 · (−3) − 4 = (−3) 3

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con ta l

que cuando a sea negat ivo, n ha de ser impar.

Expresión de un radical en forma de potencia

Simplif icación de radicales

Si existe un número natural que div ida a l índice y a l exponente (o los

exponentes) del radicando, se obt iene un radical equivalente.

Reducción de radicales a índice común

1Hal lamos e l mínimo común múlt ip lo de los índices , que será e l común índ ice

2Divid imos e l común índice por cada uno de los índices y cada resu l tado

obten ido se mult ip l ica por sus exponentes co r respond ientes .

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone e l rad icando en factores . S i :

Un exponente es menor que e l índ ice , e l fac tor cor respond iente se deja en e l

radicando .

Un exponente es igual a l índ ice , e l fac tor cor respond iente sale fuera del

radicando .

Un exponente es mayor que e l índice , se div ide d i cho exponente por e l índice .

E l cociente obten ido es e l exponente del factor fuera de l rad icando y e l resto es e l

exponente del factor dentro de l rad icando .

Introducción de factores dentro del signo radical

Se introduce los factores e levados a l índice correspondiente del radical .

Suma de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales

semejantes, es decir , s i son radicales con e l mismo índice e igual radicando.

Propiedades de los radicales

Producto de radicales

Radicales del mismo índice

Para mul t ip l i ca r rad ica les con e l mismo índ ice se mult ip l ican los radicandos y se

deja e l mismo índice .

Radicales de dist into índice

Pr imero se reducen a índice común y luego se mult ip l ican.

Cociente de radicales

Para d iv id i r rad ica les con e l mismo índ ice se div iden los radicandos y se deja e l

mismo índice.

Radicales de dist into índice

Pr imero se reducen a índice común y luego se div iden.

Potencia de radicales

Para e levar un rad ica l a una potenc ia se e leva a d icha potencia e l radicando y

se deja e l mismo índice.

Raíz de un radical

La ra íz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es e l

producto de los dos índices.

Racionalizar radicales

Consiste en quitar los radicales del denominador , l o que permi te fac i l i ta r e l

cá lcu lo de operac iones como la suma de f racc iones .

Podemos d i s t ingu i r t res casos .

1Del t ipo

Se mult ip l ica e l numerador y e l denominador por .

2Del t ipo

Se mult ip l ica numerador y denominador por .

3Del t ipo , y en genera l cuando e l denominador sea un binomio con a l

menos un radical .

Se mult ip l ica e l numerador y denominador por e l conjugado del

denominador.

Razón

Proporc ión

Constante de proporc ional idad

Propiedad de las proporc iones

Proporc ión cont inua

Medio proporc ional

Tercero proporc ional

Cuarto proporc ional

Porcentajes

Repartos d irectamente proporc ionales

Repartos inversamente proporc ionales

Regla de tres s imple d irecta

Regla de tres s imple inversa

Regla de tres compuesta directa

Regla de tres compuesta inversa

Regla de tres compuesta mixta

Ejercicios

Ana compra 5 kg de patatas , s i 2 kg cuestan 0 .80 € , ¿cuánto pagará Ana?

Son magn i tudes directamente proporc ionales , ya que a más k i l os , más euros .

2 kg 0 .80 €

5       kg     x €

3 obreros const ruyen un muro en 12 horas , ¿cuánto ta rdarán en const ru i r lo

6 obreros?

Son magn i tudes inversamente proporc ionales , ya que a más obreros

ta rdarán menos horas .

3 obreros 12 h

6 obreros           x h

11 obreros labran un campo rec tangu lar de 220 m de la rgo y 48 de

ancho en 6 d ías . ¿Cuántos obreros serán necesar ios para labrar o t ro campo

aná logo de 300 m de la rgo por 56 m de ancho en c inco d ías?

220 · 48 m² 6 d ías 11 obreros

300 · 56 m² 5 d ías x obreros

Se is g r i fos , ta rdan 10 horas en l l enar un depós i to de 400 m³ de

capac idad . ¿Cuántas horas ta rdarán cuat ro gr i fos en l l enar 2 depós i tos de

500 m³ cada uno?

6 gr i fos 10 horas 1 depós i to  400 m³

4 gr i fos x  horas     2 depós i tos 500 m³

E l p rec io de un ordenador es de 1200 € s in IVA . ¿Cuánto hay que pagar

por é l s i e l IVA es de l 16%?

100 €       116 €

1200 € x €

A l comprar un mon i to r que cuesta 450 € nos hacen un descuento de l

8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

100 € 92 €

450 €     x €

Se asoc ian t res ind iv iduos apor tando 5000, 7500 y 9000 € . A l cabo de

un año han ganado 6 450 € . ¿Qué cant idad cor responde a cada uno s i hacen

un repar to d i rec tamente proporc iona l a los cap i ta les apor tados?

Se repar te una cant idad de d inero , ent re t res personas , d i rec tamente

proporc iona l a 3 , 5 y 7 . Sab iendo que a la segunda le cor responde 735 € .

Ha l la r lo que le cor responde a la p r imera y te rcera .

Repar t i r 420 € , ent re t res n iños en par tes inversamente

proporc iona les a sus edades , que son 3 , 5 y 6 .

Medidas de longitud

kilómetro km 1000 m

hectómetro hm 100 m

decámetro dam 10 m

metro m 1 m

decímetro dm 0.1 m

centímetro cm 0.01 m

mil ímetro mm 0.001 m

Medidas de masa

kilogramo kg 1000 g

hectogramo hg 100 g

decagramo dag 10 g

gramo g 1 g

decigramo dg 0.1 g

centigramo cg 0.01 g

mil igramo mg 0.001 g

Otras unidades de masa

Tone lada métr i ca

1 t = 1000 kg

Quinta l mét r i co

1 q = 100 kg

Medidas de capacidad

kilol itro kl 1000 l

hectol itro hl 100 l

decal itro dal 10 l

l i tro l 1 l

decil itro dl 0.1 l

centi l itro cl 0.01 l

mil i l itro ml 0.001 l

Medidas de superf icie

kilómetro cuadrado km 2 1 000 000 m 2

hectómetro cuadrado hm 2 10 000 m 2

decámetro cuadrado dam 2 100 m 2

metro cuadrado m 2 1 m 2

decímetro cuadrado dm 2 0.01 m 2

centímetro cuadrado cm 2 0.0001 m 2

mil ímetro cuadrado mm 2 0.000001 m 2

Unidades de superficie agrarias

Hectárea

1 Ha = 1 Hm 2 = 10 000 m²

Área

1 a = 1 dam 2 = 100 m²

Cent iárea

1 ca = 1 m²

Medidas de volumen

kilómetro cúbico km 3 1 000 000 000 m 3

hectómetro cúbico hm 3 1 000 000m 3

decámetro cúbico dam 3 1 000 m 3

metro m 3 1 m 3

decímetro cúbico dm 3 0.001 m 3

centímetro cúbico cm 3 0.000001 m 3

mil ímetro cúbico mm 3 0.000000001 m 3

Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa

Capacidad Volumen Masa (de agua)

1 kl 1 m³ 1 t

1 l 1 dm 3 1 kg

1 ml 1 cm³ 1 g

Ejercicios resueltos del sistema métrico decimal

1 Expresa en metros :

13 km 5 hm 7 dam 3 000 m + 500 m + 70 m = 3 570 m

27 m 4 cm 3 mm 7 m + 0 .04 m + 0 .003 m = 7.043 m

325.56 dam + 526.9 dm 255.6 m + 52 .69 m = 308.29 m

453 600 mm + 9 830 cm 53 .6 m + 98 .3 m = 151.9 m

51.83 hm + 9 .7 dam + 3 700 cm 183 m + 97 m + 37 m = 317 m

2 Expresa en l i t ros :

13 k l 5 h l 7 da l 3 000 l + 500 l + 70 l = 3 570 l

27 l 4 c l 3 ml 7 l + 0 .04 l + 0 .003 l = 7.043 l

325.56 da l + 526 .9 d l 255 .6 l + 52 .69 l = 308.29 l

453 600 ml + 9 830 c l 53 .6 l + 98 .3 l = 151.9 l

51.83 h l + 9 .7 da l + 3 700 c l 183 l + 97 l + 37 l = 317 l

3Expresa en gramos :

15 kg 3 hg 4 g 5 000 g + 300 g + 4 g = 5 304 g

24 hg 8 dag 2 g 5 dg 400 g + 80 g + 2 g + 0 .5 g = 482.5 g

32 dag 3 g 8 dg 7 cg 20 g + 3 g + 0 .8 g + 0 .07 g = 23.87 g

435 dg 480 cg 2 600 mg 3 .5 g + 4 .8 g + 2 .6 g = 10.9 g

4Expresa en cent i l i t ros :

13 da l 7 l 5 d l 4 c l 5 ml

3 000 c l + 700 c l + 50 c l + 4 c l + 0 .5 c l = 3 754.5 c l

26 h l 8 l 2 ml

60 000 c l + 800 c l + 0 .2 c l= 60 800.2 c l

30.072 k l + 5 .06 da l + 400 ml

7 200 c l + 5 060 c l + 40 c l = 12 300 c l

4 0 .000534 k l + 0 .47 l

53 .4 c l + 47 c l = 100.4 c l

5Expresa en cent íg ramos :

13 dag 7 g 5 dg 4 cg 5 mg

3 000 cg + 700 cg + 50 cg + 4 cg + 0 .5 cg = 3 754.5 cg

26 hg 8 g 2 mg

60 000 cg + 800 cg + 0 .2 cg = 60 800.2 cg

30.072 kg + 5 .06 dag + 400 mg

7 200 cg + 5 060 cg + 40 cg = 12 300 cg

6Expresa en metros :

15 km 3 hm 4 m 5 000 m + 300 m + 4 m = 5 304 m

24 hm 8 dam 2 m 5 dm 400 m + 80 m+ 2 m + 0 .5 m = 482.5 m

32 dam 3 m 8 dm 7 cm 20 m+ 3 m + 0 .8 m + 0 .07 m = 23.87 m

435 dm 480 cm 2 600 mm 3 .5 m + 4 .8 m + 2 .6 m = 10.9 m

7Pasa a dec ímetros cuadrados :

10.027 dam 2

0.027 · 10 000 = 270 dm 2

20.35 m 2

0.35 · 100 = 35 dm 2

3438 cm 2

438 : 100 = 4.38 dm 2

490 000 mm 2

90 000 : 10 000= 9 dm 2

8Expresa en metros cuadrados :

15 hm 2 24 dam 2 60 dm 2 72 cm 2 =

= 50 000 m 2 + 2 400 m 2 + 0 .60 m 2 + 0 .0072 m 2 =

= 52400.6072 m 2

20.00351 km 2 + 4 700 cm 2 =

= 3510 m 2 + 0 .47 m 2 = 3510.47 m 2

30.058 hm 2 − 3 .321 m 2 =

= 580 m 2 − 3 .321 m 2 = 576.679 m 2

9Expresa en hectáreas :

1431 943 a

431 943 : 100 = 4 319.43 ha

2586 500 m 2

586 500 : 10 000 = 58 .65 hm 2 = 58.65 ha

30.325 km 2

0.325 · 100 = 32 .5 hm 2 = 32.5 ha

47 km 2 31 hm 2 50 dam 2

7 · 100 + 31 + 50 : 100 = 731.5 hm 2 = 731.5 ha

551 m 2 33 dm 2 10 cm 2 =

51 : 10 000 + 33 : 1 000 000 + 10 : 100 000 000=

0.00513310 hm 2 = 0.00513310 ha

10Ca lcu la y expresa e l resu l tado en fo rma comple ja :

10.03598 km 2 + 96 .45 ha + 5 000 a =

= 3 .5698 hm 2 + 96 .45 hm 2 + 50 hm 2 =

= 150.0198 hm 2 = 1 km 2 50 hm 2 1 dam 2 98 m 2

2179.72 m 2 − 0 .831 dam 2 =

=176.72 m 2 − 83 .1 m 2 = 93.62 m 2 = 93 m 2 62 dm 2

352 dam 2 31 m 2 500 cm 2 =

= 5 200m 2 + 31 m 2 + 0 .05 m 2 = 5 231 .05 =

= 52 dam 2 31 m 2 5 dm 2

11Pasa a metros cúb icos :

10.000005 hm 3

0.000005 · 1 000 000 = 5 m 3

2 52 dam 3

52 · 1000 = 52 000 m 3

3 749 dm 3

749 : 1000 = 0 .749 m 3

4 450 000 cm 3

450 000 : 1 000 000 = 0.45 m 3

12Pasa a cent ímet ros cúb icos :

1 5 .22 dm 3 =

5 .22 · 1000 = 5 22 0 cm 3

2 6 500 mm 3

6 500 : 1000 = 6.5 cm 3

3 3 .7 d l =

= 3 .7 · l 00 = 370 ml = 370 cm 3

4 25 c l =

= 0 .25 l = 0 .25 dm 3 = 250 cm 3

13Ca lcu la y expresa e l resu l tado en metros cúb icos :

17 200 dm 3 + (3 .5 m 3 4 600 dm 3 ) =

= 7 .2 m 3 + 3 .5 m 3 + 4 .6 m 3 = 15.3 m 3

20.015 hm 3 − (570 m 3 5 .3 dm 3 ) =

= 15 000 m 3 − 570 .0053 m 3 = 14 429.9947 m 3

Un número es d iv is ib le por :

2 , si termina en cero o número par.

24 , 238 , 1024.

3 , si la suma de sus d íg itos nos da múlt ip lo de 3.

36, 564 , 2040 .

5 , si termina en cero o c inco.

45 , 515 , 7525.

7 , scuando la d i fe renc ia ent re e l número s in la c i f ra de las un idades y e l dob le de la

c i f ra de las un idades es 0 ó múl t ip lo de 7 .

343

34 - 2 · 3 = 28 , es mút ip lo de 7

105

10 - 5 · 2 = 0

2261

226 - 1 · 2 = 224

Vo lvemos a repet i r e l p roceso con 224 .

22 - 4 · 2 = 14 , es mút ip lo de 7 .

11 , si la d i ferencia entre la suma de las c i f ras que ocupan los lugares pares

y la de los impares es 0 ó múlt ip lo de 11 .

4224

(4 + 2) - (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisblil idad

4 , si sus dos ú lt imas c i f ras son ceros o múlt ip lo de 4.

36, 404 , 1028.

6 , si es d iv is ib le por   2   y   por   3 .

72, 324 , 1503

8 , si sus tres ú lt imas c i f ras son ceros o múlt ip lo de 8.

4000, 1048, 1512.

9 , si la suma de sus d íg itos nos da múlt ip lo de 9.

81, 900 , 3663.

10 , si la c i f ra de las unidades es   0 .

130, 1440, 10 230

25 , si sus dos ú lt imas c i f ras son ceros o múlt ip lo de   25.

500, 1025, 1875.

125 , si sus tres ú lt imas c i f ras son ceros o múlt ip lo de   125.

1000, 1 125 , 4 250 .

Factorización de un número

Para factor izar un número o descomponerlo en factores efectuamos

sucesivas d iv is iones entre sus d iv isores pr imos has ta obtener un uno como

cociente .

Para rea l i za r las d iv i s iones u t i l i za remos una barra vert ica l , a la derecha

escr ib imos los d iv isores pr imos y a la i zquierda los cocientes .

432 = 2 4 · 3 3

CALCULO

Dominio de una función

D = {x / f (x)}

Dominio de la función pol inómica

D =

Domin io de la func ión rac iona l

El dominio es menos los valores que anulan a l denominador .

Domin io de la func ión rad ica l de índ ice impar

D =

Domin io de la func ión rad ica l de índ ice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que e l radicando

sea mayor o igual que cero.

Domin io de la func ión logar í tmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que e l radicando

sea mayor que cero.

Domin io de la func ión exponenc ia l

D =

Domin io de la func ión seno

D = .

Domin io de la func ión coseno

D = .

Domin io de la func ión tangente

Domin io de la func ión cotangente

Domin io de la func ión secante

Domin io de la func ión cosecante

Domin io de operac iones con func iones

Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f (x) y g(x) , de modo que e l dominio de la 2ª esté

inc lu ido en e l recorr ido de la 1ª, se puede def in ir una nueva función que asocie a

cada e lemento del dominio de f (x) e l valor de g[f(x)] .

f o i = i o f = f

Función inversa o recíproca

Se l l ama función inversa o rec iproca de f a otra función f − 1 que cumple que :

Si f (a) = b, entonces f − 1 (b) = a.

f o f - 1 = f - 1 o f = x

Cálculo de la función inversa

1Se escr ibe la ecuac ión de la func ión en x e y .

3Se in tercambian las var iab les .

2Se despe ja la var iab le x en func ión de la var iab le y .

Función creciente

f es crec iente en a s i só lo s i ex iste un entorno de a, ta l que para toda x que

pertenezca la entorno de a se cumple:

Función decreciente

f es decreciente en a s i só lo s i ex iste un entorno de a, ta l que para toda x

que pertenezca la entorno de a se cumple:

Función acotada superiormente

Una función f está acotada super iormente s i ex iste un número real k ta l que

para toda x es f (x) ≤ k.

E l número k se l lama cota super ior .

Función acotada inferiormente

Una func ión f es tá acotada in fe r io rmente s i ex i s te un número rea l k ′ ta l que para

toda x es f (x ) ≥ k ′ .

El número k ′ se l lama cota infer ior .

Función acotada

Una func ión es ta acotada s i l o es tá a super io r e in fe r io rmente .

k ′ ≤ f (x) ≤ k

Máximo absoluto

Una función t iene su máximo absoluto en e l x = a s i la ordenada es mayor o

igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una func ión t iene su mín imo abso lu to en e l x = b s i l a o rdenada es menor o igua l

que en cua lqu ie r o t ro punto de l domin io de la func ión .

Máximo y mínimo relativo

Una func ión f t iene un máx imo re la t ivo en e l punto a s i f (a ) es mayor o igua l que los

puntos próx imos a l punto a .

Una func ión f t iene un mín imo re la t ivo en e l punto b s i f (b ) es menor o igua l que los

puntos próx imos a l punto b .

Concavidad y convexidad

Puntos de inflexión

Simetría respecto del eje de ordenadas

f ( -x) = f (x)

Simetría respecto al origen

f ( -x) = - f (x)

Funciones periódicas

Una func ión f (x ) es per iód ica , de per íodo T , s i para todo número entero z , se

ver i f i ca :

f (x) = f (x + z T)

Si f es per iódica de per íodo T, también lo es f (mx +n), y su per íodo es:

Puntos de corte con los ejes

Puntos de cor te con e l e je OX

Para ha l la r los puntos de corte con e l e je de abscisas hacemos f (x) = 0 y

resolvemos la ecuación resultante.

Punto de cor te con e l e jes OY

Para ha l la r e l punto de corte con e l e je de ordenadas hacemos x = 0 y

ca lcu lamos e l va lo r de f (0) .

Asíntotas

As ín to tas hor i zonta les

As ín to tas ver t i ca les

As ín to tas ob l i cuas

Ramas parabólicas

Hay ramas parabó l i cas s i :

Rama paraból ica en la d irecc ión del e je OY

Rama paraból ica en la d irecc ión del e je OX

Función decreciente

f es decrec iente en a s i só lo s i ex i s te un entorno de a , ta l que para toda x que

per tenezca la entorno de a se cumple :

S i f es der ivab le en a :

Función creciente

f es c rec iente en a s i só lo s i ex i s te un entorno de a , ta l que para toda x que

per tenezca la entorno de a se cumple :

S i f es der ivab le en a :

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Determinar los intervalos de crec imiento y decrecimiento de la func ión :

f (x ) = x 3 − 3x + 2

1. Derivar la función.

f ' (x ) = 3x 2 −3

2. Calcular las ra íces de la der ivada pr imera, para e l lo hacemos: f ' (x) = 0.

3x 2 −3 = 0 x = -1 x = 1

3. Se fo rman in terva los ab ie r tos con los ceros ( ra íces ) de la der ivada pr imera y los

puntos de d i scont inu idad (s i l os hub iese) .

4. Se toma un valor de cada intervalo, y hal lamos e l s igno que t iene en la

der ivada pr imera.

S i f ' (x) > 0 es crec iente.

Si f ' (x) < 0 es decreciente.

Del in te rva lo (−∞, −1) tomamos x = -2 , por e jemplo .

f ' ( -2 ) = 3( -2 ) 2 −3 > 0

De l in te rva lo (−1, 1 ) tomamos x = 0 , por e jemplo .

f ' (0 ) = 3(0) 2 −3 < 0

De l in te rva lo ( 1 , ∞) tomamos x = 2 , por e jemplo .

f ' (2 ) = 3(2) 2 −3 > 0

5. Esc r ib imos los in te rva los de c rec imiento y decrec imiento :

De c rec imiento : (−∞, −1) (1, ∞)

De decrec imiento : (−1,1)

Ejemplo

Máximos relativos

Una func ión f t iene un máx imo re la t ivo en e l punto a s i f (a ) es mayor o igua l que los

puntos próx imos a l punto a .

Un máximo es e l punto , de la func ión , en la que és ta pasa de crec iente a

decreciente.

S i f y f ' son der ivab les en a , a es un máximo relat ivo s i se cumple :

1. f ' (a) = 0

2. f ' ' (a) < 0

Mínimos relativos

Una func ión f t iene un mín imo re la t ivo en e l punto b s i f (b ) es menor o igua l que los

puntos próx imos a l punto b .

Un mínimo es e l punto , de la func ión , en la que és ta pasa de decreciente a

crec iente.

S i f y f ' son der ivab les en a , a es un mínimo re lat ivo s i se cumple :

1. f ' (a) = 0

2. f ' ' (a) > 0

Cálculo de los máximos de una función

1. Hal lamos la der ivada pr imera y calculamos sus ra íces.

2. Real izamos la 2ª der ivada, y ca lculamos e l s igno que toman en e l la las

ra íces de der ivada pr imera y s i :

f ' ' (a) < 0 es un máximo re la t ivo

f ' ' (a) > 0 es un mínimo re la t ivo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos re lat ivos.

Determinar los máx imos y mín imos de la func ión :

f (x ) = x 3 − 3x + 2

f ' (x ) = 3x 2 − 3 = 0

f ' ' (x ) = 6x

f ' ' (−1) = −6 Máx imo

f ' ' (1 ) = 6 M ín imo

f (−1) = (−1) 3 − 3 (−1) + 2 = 4

f (1 ) = (1 ) 3 − 3 (1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)

Hal la r los máximos y mínimos de :

En x = 1 no hay un máx imo porque x = 1 no per tenece a l domin io de la func ión .

Tenemos un mín imo en x = 3

Mínimo(3, 27/4)

Cóncava

Si f ' ' (a) > 0

Convexa

S i f ' ' (a) < 0

Intervalos de concavidad y convexidad

Para determinar los intervalos la concavidad y convexidad de una func ión

segu i remos los s igu ientes pasos :

1. Se calcula la der ivada segunda y se hal lan sus ra íces.

2. Se forman intervalos abiertos con los ceros (ra íces) de la der ivada

segunda y los puntos de discont inuidad (s i los hubiese) .

3. Se toma un valor de cada intervalo, y se hal la e l s igno que t iene en la

der ivada segunda.

Si f ' ' (x) > 0 es cóncava.

Si f ' ' (x) < 0 es convexa.

4. Escr ib imos los in te rva los .

Ha l la r los in te rva los de concav idad y convex idad de la func ión :