M x

NORMALNA PORAZDELITEV

GAUSSOVA KRIVULJA

KORELACIJA

Vprašanja o povezanosti so

najpomembnejša vprašanja vsake

znanosti!

Kakšne so odvisnosti med vzgojnimi pojavi?

ALI JE RES?

1. To, koliko se učenec uči, VPLIVA na ocene.

2. Šolski uspeh je ODVISEN od izobrazbe

staršev.

3. Spol in stališča so POVEZANI: ženske in

moški imajo različna stališča (npr. o splavu).

NEVARNOST IZRAZA

VPLIV

Uporabljajmo ga skrajno redko!

FUNKCIJA

xy 20,2

KORELACIJSKI DIAGRAM

VAR00003

5,55,04,54,03,53,0

VA

R0

00

04

5,0

4,5

4,0

3,5

3,0

2,5

Vpliv x na y »vleče« točke k regresijski črti.

Ostali vplivi »vlečejo« točke stran od

regresijske črte.

Če je oblak točk zgoščen blizu regresijske

črte, je korelacija med x in y močna.

Če so točke daleč od regresijske črte, je

korelacija slaba (vpliv ostalih dejavnikov na y

je močan).

NE ZADOSTUJE IZMERITI

RAZPRŠENOSTI; POTREBNO JO

JE ANALIZIRATI!

ZA TO PA STA POTREBNI OBE

SPREMENLJIVKI.

POZITIVNA KORELACJA

NEGATIVNA KORELACIJA

LINEARNA in NELINEARNA

KORELACIJA

Regresijska črta je lahko premica ali pa krivulja

INDEKS KORELACIJE

celotna

pojasnjenaI

2

2

Indeks ima vrednosti med 0 in 1.

I=0 I=0,35 I=0,55

I=0,80 I=1

KORELACIJSKI KOEFICIENTI

Pearsonov korelacijski koeficient

Spearmanov korelacijski koeficient

Korelacijsko razmerje

Biserialna korelacijska koeficienta

Tetrakorični korelacijski koeficient

PEARSONOV KORELACIJSKI KOEFICIENT

yx

xy

xy

Cr

Cxy kovarianca (mera skupne razpršenosti x

in y)

σx standardni odklon spremenljivke x (koren

iz variance spremenljivke x)

σy standardni odklon spremenljivke y (koren

iz variance spremenljivke y)

Kovarianca

N

MyMxC

yx

xy

Varianca X

N

Mx xx

2

2

Varianca Y

N

My y

y

2

2

št.

učenca

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x 4 2 5 2 3 3 4 5 4 3 3 4 Σx=42

x2 16 4 25 4 9 9 16 25 16 9 9 16 Σx2=158

y 3 2 6 3 5 3 6 5 5 4 2 4 Σy=48

y2 9 4 36 9 25 9 36 25 25 16 4 16 Σy2=214

xy 12 4 30 6 15 9 24 25 20 12 6 16 Σxy=179

1

N

xxK x

22 )(

2

N

yyK y

22 )(

3

N

yxxyK xy

4

yx

xy

xyKK

Kr

1 00,11

12

)42(158

)( 222

N

xxK x

2 00,22

12

)48(214

)( 222

N

yyK y

3 00,11

12

4842179

N

yxxyK xy

4

71,000,2200,11

00,11

yx

xy

xyKK

Kr

ENAČBA „VSE V ENEM”

N

yy

N

xx

N

yxxy

rxy2

2

2

2

ZA NAŠ PRIMER:

71,0

12

48214

12

42158

12

4842179

22

xyr

POJEM UJEMANJA VREDNOSTI

x y

3 3

5 5

2 2

7 7

8 8

Zvezo med x in y lahko predstavimo z enačbo:

xy

Korelacijski koeficient mora biti

+1.

x y

3 4

5 6

2 3

7 8

8 9

Korelacija je pozitivna, saj večjim vrednostim

x ustrezajo večje vrednosti y

(in manjšim vrednostim x ustrezajo manjše

vrednosti y).

Zveza med x in y v drugem primeru se ni veliko

spremenila. Enačba:

1 xy

Korelacijski koeficient mora biti +1.

ALI UJEMANJE VREDNOSTI POMENI DA

MORATA BITI x in y ENAKA?

ODGOVOR: NE!

UJEMANJE NI ISTO KOT ENAKOST.

x y

1145 274 800

2036 414 529

1743 303 804

1007 241 680

756 181 440

Ujemanje je v resnici popolno.

V stolpcu x so plače petih zaposlenih, v stolpcu y

pa te iste plače preračunane v tolarje. (po tečaju 1

EURO = 240 SIT).

Tudi tu lahko postavimo enačbo:

240 xy

V vseh treh primerih bi izračun pokazal, da

korelacijski koeficient znaša 1.

ZAKLJUČEK:

NE SKLEPAJMO O MOČI

KORELACIJE BREZ IZRAČUNA!

x y

45 11

2 3

17 6

10 7

26 6

Korelacja je zelo močna,

čeprav se ne zdi tako.

Korelacijski koeficient r = 0,89.

Ocene učencev

ocena v devetem

razredu osnovne šole

ocena v prvem razredu

srednje šole

Aleš 3 2

Mojca 3 2

Ana 5 4

Kekec 5 4

Anže 4 3

Primer popolnega ujemanja v negativni smeri:

x y

2 6

3 5

4 4

5 3

6 2

Korelacijski koeficient

znaša –1

x y

4 17

7 13

8 10

11 9

15 6

Korelacijski koeficijent znaša

– 0,96

Z matematičnega vidika se

korelacija kaže kot

ujemanje vrednosti x in y.

INTERPRETACIJA PEARSONOVEGA

KORELACIJSKEGA KOEFICIENTA

Vrednosti Pearsonovega korelacijskega

koeficienta so v razponu

–1 do +1

Pozitivni predznak kaže, da čim večji

je x, tem večji je tudi y.

Čim manjši je x tem manjši je tudi y.

V PRIMERU NEGATIVNEGA PREDZNAKA JE

TO RAZMERJE OBRATNO:

večjim x ustrezajo manjši y

manjšim x pa večji y.

MOČ POVEZANOSTI (KORELACIJE)

INTERPRETIRAMO GLEDE NA ŠTEVILSKO

VREDNOST KOEFICIENTA.

Pozor: pri interpretaciji moči povezanosti

predznak nima nobene vloge.

0 do 0,20 nebistvena korelacija, praktično ni

nobene povezanosti

0,20 do 0,40 nizka korelacija, pojava sta komaj

povezana

0,40 do 0,70 srednje močna korelacija

0,70 do 0,90 močna korelacija, zelo opazna

povezanost, x močno vpliva na y

0,90 do 1 Zelo močna korelacija, praktično

popolna povezanost (funkcija)

VZROČNOST IN

KORELACIJA

KORELACIJA RANGA

popolna pozitivna korelacija popolna negativna korelacija

R1 R2 R1 R2

1 1 1 5

2 2 2 4

3 3 3 3

4 4 4 2

5 5 5 1

močna

pozitivna korelacija

močna

negativna korelacija

R1 R2 R1 R2

1 2 1 5

2 1 2 4

3 3 3 3

4 5 4 1

5 4 5 2

IZRAČUNAVANJE SPEARMANOVEGA

KOEFICIENTA

1

61

2

2

21

NN

RR

ρ Spearmanov koeficient

Σ(R1-R2)2 vsota kvadratov razlik med rangi

Primer:

R1 R2 R1 - R2 (R1 - R2)2

1 7 -6 36

2 5 -3 9

3 6 -3 9

4 4 0 0

5 3 2 4

6 1 5 25

7 2 5 25

Σ(R1 - R2)2=108

93,01497

10861

1

61

2

2

21

NN

RR

KORELACIJSKO RAZMERJE

2

2

celotna

pojasnjena

Dosežki učencev na testu (y) in njihove ocene (x).

x y

zadostno 30 21 22 24 18 20 18 18 19 20 30

dobro 28 24 30 29 25 23 33 30 26 29 34

prav dobro 34 29 33 40 26 29 25 20

odlično 35 43 38 44 31 48 35 28

η = 0,77

PEARSONOV KORELACIJSKI KOEFICIENT:

DVE INTERVALNI SPREMENLJIVKI

npr.

TELESNA VIŠINA in TELESNA TEŽA

SPEARMANOV KORELACIJSKI KOEFICIENT:

DVE ORDINALNI SPREMENLJIVKI V

OBLIKI RANGOV

npr.

RANGI PO MOTIVACIJI in RANGI PO

USPEŠNOSTI

KORELACIJSKO RAZMERJE:

X ORDINALNA ALI NOMINALNA spr.

Y INTERVALNA SPREMENLJIVKA

npr.

X KAKO POGOSTO JE KRUH (ob vsakem obroku,

ob nekaterih obrokih, samo za malico, sploh ne je kruha)

Y TELESNA TEŽA (kp)

BISERIALNI KORELACIJSKI KOEFICIENT:

X ORDINALNA, KI IMA SAMO DVE

VREDNOSTI

Y INTERVALNA SPREMENLJIVKA

npr.

X tehnika teka (dobra – slaba)

Y dolžina skoka v daljavo (cm)

TOČKOVNI BISERIALNI KORELACIJSKI

KOEFICIENT:

X NOMINALNA SPREMENLJIVKA, KI IMA SAMO

DVE VREDNOSTI

Y ENA INTERVALNA SPREMENLJIVKA

Npr.

X tehnika skoka (prekoračna t. – tehnika flop)

Y skok v višino (cm)

TETRAKORIČNI KORELACIJSKI KOEFICIENT:

DVE ORDINALNI SPREMENLJIVKI, OBE

IMATA SAMO DVE VREDNOSTI

npr.

X motivacija (visoka – nizka) in

Y uspešnost (boljša – slabša)