Post on 28-Nov-2015
description
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA
Seminarski rad iz predmeta
PRIMJENA NUMERIČKIH POSTUPAKA
Newton-Cotesove formule numeričke integracije
Domagoj Palata
Zagreb, rujan 2003.
Sadržaj
1 Uvod.........................................................................................................................................1
2 Newton-Cotesove formule.....................................................................................................4
2.1 Trapezoidno pravilo.................................................................................................................4
2.2 Analiza pogreške......................................................................................................................5
2.3 Simpsonovo pravilo.................................................................................................................6
2.4 Pravila sa više točaka...............................................................................................................6
2.5 Složene formule.......................................................................................................................8
2.6 Rombergova Integracija.........................................................................................................10
3 Primjena Newton-Cotesovih formula numeričke integracije..........................................13
4 Praktični rad.........................................................................................................................15
5 Zaključak..............................................................................................................................16
6 Literatura..............................................................................................................................17
I
1 Uvod
Značenje integrala nalazimo u površini koju čini funkcija f(x) u odnosu na x os
koordinatnog sustava. Određeni integral sa granicama a i b čini površina ispod krivulje u granicama
od a do b, vidi sliku 1.
Y
f(x)
a h b X
Slika 1: Značenje određenog integrala u granicama od a do b
Numerička integracija je način izračunavanja određenih integrala uz pomoć numeričkih metoda i
algoritama. Jedan od načina numeričke integracije je da se funkcija f(x) na intervalu a,b, podijeli na
n jednakih dijelova takvih da je fn=f(xn) i h=(b-a)/n. Zatim se pronađu polinomi koji aproksimiraju
tako podijeljenu funkciju i integriraju da se izračuna površina ispod krivulje. Da se pronađu
odgovarajuči polinomi koriste se Lagrangeovi interpolacijski polinomi.
Lagrangeov interpolacijski polinom je polinom stupnja n-1 koji prolazi kroz n točaka y1=f(x1),
y2=f(x2), y3=f(x3), ..., yn=f(xn). Moze se prikazati formulom:
gdje je
Pisano eksplicitno imamo
1
Dobivene formule se nazivaju Newton-Cotesove formule ili Kvadraturne formule.
Dakle, ako se izvrši supstitucija funkcije f(x) polinomom
i izvrši integracija, određeni integral se može prikazati izrazom
i pritom je pogreška
,
gdje je a = x0 x1... xM = b i wk težinski faktor i pritom je .
Nakon sređivanja dobivamo izraz za aproksimirani integral funkcije f(x) na svakom intervalu x0,xd,
koristeći interpolacijski polinom d-tog stupnja, koji se može prikazati kao
gdje su
2
d c a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 Global Err 1 2 1 1 O(h2) 2 6 1 4 1 O(h4) 3 8 1 3 3 1 O(h4) 4 90 7 32 12 3 7 O(h6) 5 288 19 75 50 50 75 19 O(h6) 6 840 41 216 27 272 27 216 41 O(h8) 7 17280 751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751 O(h8)
Opisana metoda se naziva Newton-Cotesova metoda ukoliko je interval a,b podijeljen na n jednakih
dijelova, u suprotnom se radi o Kvadraturnoj metodi (dopušta nejednake podintervale).
3
2 Newton-Cotesove formule
2.1 Trapezoidno pravilo
Y
f(x)
a h b X
Slika 2: Izračun uz pomoć trapezoidnog pravila
uz x1 = x0 + h dobivamo
kada izvršimo integraciju na intervalu a,b dobivamo
4
2.2 Analiza pogreške
Sa trapezoidnim pravilom aproksimiramo funkciju f(x) koristeći linearnu interpolaciju
između uzastopnih točaka i zatim integriramo interpolant. Funkcija se u potpunom obliku može
prikazati kao:
izvršimo integraciju i zamjenu t=x-x0:
Na sličan način dobivamo pogrešku za Newton-Cotesove formule sa više točaka.
5
2.3 Simpsonovo pravilo
Pravilo sa tri točke poznato je kao Simpsonovo pravilo.
Integriramo izraz da bi dobili aproksimaciju integrala
Uvrstimo li supstituciju t=(x-x0)/h, dt=dx/h, x1=x0+h, x2=x0+2h dobivamo
2.4 Pravila sa više točaka
Pravilo sa četiri točke je Simpsonovo 3/8 pravilo,
Pravilo sa pet točaka je Booleovo pravilo,
6
Pravila višeg reda uključuju pravilo sa šest točaka,
pravilo sa sedam točaka,
pravilo sa osam točaka,
Generalno, postoji analitički izraz za pravilo sa više točaka,
gdje je
Zatvorena proširena pravila koriste višestruke izraze nižeg reda da bi se izgradila pravila
višeg reda. Pravilnim odabirom procesa mogu se dobiti pravila lijepih karakteristika. Kao primjer
može se spomenuti Rombergova intergracija.
7
Otvorena Newton-Cotesova pravila koriste točke izvan intervala nad kojim se vrši
integracija, koristeći jednu ili više točaka.
Koristeći jednu točku dobiva se
Koristeći dvije točke dobiva se
Koristeći tri točke dobiva se
Koristeći četiri točke dobiva se
2.5 Složene formule
Želimo li integrirati integral , interval a,b prisjetimo se osnovnog svojstva određenih
integrala , gdje je acb. Određeni integral možemo
podijeliti na M podintervala xk, xk+1 takvih da je xk=a+h*xk-1. Izvršimo li integraciju koristeći
trapezoidno pravilo dobivamo:
8
Složeno Trapezoidno pravilo
Pogreška u ovom pristupu se može prikazati kao suma individualnih pogrešaka oblika O(h3)
za neki zi iz (xi,xi+1). Ta suma se može pojednostavniti u O(h2) gdje je z neka točka iz
intervala (a,b).
Sličan pristup kao kod složenog Trapezoidnog pravila možemo primjeniti i za Simpsonovo
pravilo. Pošto Simpsonova metoda zahtjeva 3 točke, svaki interval mora uključivati točku u središtu
intervala. Kao rezultat imamo da je broj intervala djeljiv sa 2 (recimo da je broj intervala 2M gdje je
h=(b-a)/(2M)).
Složeno Simpsonovo pravilo
9
Na sličan način kao kod složenog Trapezoidnog pravila pogreška u ovom pristupu se može prikazati
kao: za neki z iz (a,b).
2.6 Rombergova Integracija
Složeno Trapezoidno pravilo ima oblik pogreške koji nam omogućava primjenu Richarsonovog
izvoda. Ideja je da se uzastopno prepolavlja veličina podintervala (h) i zatim primjeni složeno
Trapezoidno pravilo. To će rezultirati serijom vrijednosti za različite vrijednosti h. Rezultate možemo
koristiti u Richarsonovom izvodu da bi povečali točnost rezultata. U nastavku će biti prikazan zapis
koji se koristi za tabelarni prikaz.
U prvom koraku primjenjujemo Trapezoidno pravilo na originalni integral. Neka je područje
integracije širine h1 = b-a. Koristeći Rombergov zapis imamo:
R1,1 = (h1/2)(f(a) + f(b)) što će se u Richardsonovom izvodu zvati N1(h)
U drugom koraku imamo h2 = h1/2 i primjenimo složeno Trapezoidno pravilo:
Rombergova “kratica”
10
Ako nastavimo djeliti područje integracije, pronalaziti nove rezultate i prikazivati ih algebarski u
prethodno prikazanom obliku, u slijedećem koraku za h3 = h2/2 dobiti ćemo:
Za izraze višeg reda vrijedi generalna formula:
Ovo još nije Richardsonov izvod, samo smo prikazali integral koristeći različite veličine područja
integracije.
Sada možemo primjeniti Richardsonovu Metodu da bi generirali dodatne elemente u tablici.
Generalno imamo:
11
Iz izvedenih formula dobiva se tablica koeficijenata. Tablica Simpsonovih koeficijenata ima
vrlo prikladan uzorak:
a b step
1 4 1 1
1 4 2 4 1 2
1 4 2 4 2 4 2 4 1 3
1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 4
i pritom je pogreška proporcionalna sa nh5. Pogreška se smanjuje za oko 1/16 u svakom
idućem koraku (n se udvostručuje i h prepolavlja).
12
3 Primjena Newton-Cotesovih formula numeričke integracije
Značenje integrala nalazimo u površini koju čini funkcija f(x) u odnosu na x os
koordinatnog sustava. Kao što je već spomenuto numerička integracija je način izračunavanja
određenih integrala uz pomoć numeričkih metoda i algoritama. Praktične primjene numeričke
integracije nalazimo prilikom automatizacije obrade podataka i računskih problema uz pomoč
računalnih programa gotovo u svim područjima prirodoslovnih znanosti.
Da bi se omogučilo korištenje numeričkih metoda za izračunavanje određenih integrala
koristimo se aproksimacijama. Uvođenjem aproksimacija neizbježno unosimo pogrešku u izračun.
Prikladnost primjene Newton-Cotesovih formula numeričke integracije ovisi o prihvatljivosti
pogreške koja se unosi numeričkim izračunom.
Kao sto je već spomenuto u poglavlju 1, izraz za aproksimirani integral funkcije f(x) na svakom
intervalu x0,xd, koristeći interpolacijski polinom d-tog stupnja, može se prikazati kao
gdje su
d Glob. Err 1 O(h2) 2 O(h4) 3 O(h4) 4 O(h6) 5 O(h6) 6 O(h8) 7 O(h8)
Iako je globalna pogreška za dva raličita uzastopna stupnja proporcionalna, formule parnog
stupnja su nešto točnije nego iduća formula neparnog stupnja. Na primjer, iako je u oba slučaja
globalna greška proporcionalna sa O(h4), Simpsonovo pravilo je točnije od Simpsonovog 3/8 pravila.
Uzmimo na primjer izraz , čija je vrijednost 145.6949.
13
Trapezoidna metoda daje (4/2)(e1 + e5) = 302.2629 sa pogreškom 107%.
Simpsonova metoda daje (2/3)(e1 + 4e3 + e5) = 154.3157 sa pogreškom 6%.
Simpsonova 3/8 metoda daje (4/8)(e1+3e7/3+3e11/3+e5) = 149.716 sa pogreškom 3%.
Nijedna od ovih aproksimacija ne daje odlične rezultate imajući u vidu da integriramo jednostavnu
funkciju na intervalu umjerene veličine. Iz tog razloga koristi se složene formule, “veliko” područje
integracije se razlomi na nekoliko podintervala i primjeni se spomenuta aproksimacija na integral na
svakom području posebno. U našem primjeru razlomimo interval [1,5] na četiri podintervala:
,
zatim primjenimo Trapezoidno pravilo za svaki od tih integrala:
(1/2)([e1+ e2] + [e2+e3] + [e3+e4] + [e4+e5])= 157.6385
Pogreška je sada 8% - naprema 107% kada smo primjenili jednostavno Trapezoidno pravilo. U praksi,
kao kompromis kompleksnosti i točnosti najčešće se koristi složena Simpsonova metoda.
Za usporedbu možemo pogledati rezultate različitih metoda za izraz , gdje je N
broj podintervala:
N Trapezoidno pravilo – O(h2) Simpsonovo pravilo – O(h4) n=4 – O(h6)
4 1.00250110798165 1.00000499159078 1.000000056412908 1.00062551160333 1.00000031281055 1.0000000008918716 1.00015639257365 1.00000001956376 1.0000000000139832 1.00003909906062 1.00000000122294 1.00000000000022
14
4 Praktični rad
Program izračunava vrijednost određenog integrala unesene funkcije sa granicama koje isto tako unosi
korisnik (unesena funkcija mora biti u formatu programa Mathematika). Program se izvodi u
programskom paketu Mathematika (minimalno verzija 4.0). Izvodjenje se pokreće evaluacijom
notebooka u Kernelu. Sučelje prema korisniku za unos je realizirano preko prozora dok je ispis
rezultata direktno u notebook. Program nudi dvije opcije: Izračunavanje pomoću jednostavnih ili
složenih formula. Ukoliko se odaberu jednostavne formule korisnik odabire broj točaka koje će
program koristiti za izračun. Ukoliko se odabiru složene formule, korisniku se nudi izbor izračuna
složenom Trapeznom ili Simpsonovom formulom. Program ne dopušta unos nedozvoljenih vrijednosti
prilikom izbora vrste formula za izračun (složene ili jednostavne formule, Simpsonova složena ili
Trapezna složena formula, te broj točaka za izbor jednostavne formule prema broju točaka), međutim
u program nije ugrađena kontrola za unesenu funkciju te granice određenog integrala. Za složene
formule korisnik može odabrati broj podintervala integracije određenih integrala (preporuča se
maksimalni broj podintervala međutim program neće odbiti izvršenje ukoliko korisnik unese neku
drugu vrijednost. Program vrši izračun i ispis kako slijedi:
-učitanu funkciju
-gornju granicu integrala
-doljnju granicu integrala
-korišteno pravilo (formulu)
-broj podintervala funkcije
-izračun odabranom metodom numeričke integracije
-izračun ugrađenom funkcijom programa Mathematika
-pogrešku numeričke metode u odnosu na vrijednost izračunatu ugrađenom funkcijom programa
Mathematica
Za ponovno izvršenje programa treba ponovno pokrenuti evaluaciju notebooka u Kernelu.
15
5 Zaključak
U ovom radu su opisane Newton-Cotesove formule numeričke integracije i pogreške koje se
unose korištenjem aproksimacija. Newton-Cotesove formule su najizravnija tehnika za izračunavanje
određenih integrala numeričkim metodama. Newton-Cotesova metoda aproksimira funkciju na
zadanom intervalu ili nizu jednakih intervala polinomima različitog stupnja. Najčešće korištene
Newton–Cotesove formule su Trapezoidna (aproksimacija Lagrangeovim polinomom koji prolazi
kroz dvije točke) i Simpsonova metoda (aproksimacija Lagrangeovim polinomom koji prolazi kroz tri
točke).
Nadalje, opisane su složene Newton-Cotesove formule, čija svrha je povečanje točnosti
opisanih metoda, a da se pritom ne poveča kompleksnost odnosno stupanj polinoma prilikom
uvođenja aproksimacija.
16
6 Literatura
[1] M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and
Mathematical Tables, New York, 1972.
[2] F.B. Hildebrand, Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, pp.160-161,
1956.
[3] P.J. Davis and P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd ed. New York: Academic
Press, 1984.
[4] E.T. Whittaker and G. Robinson, "The Newton-Cotes Formulae of Integration." 76 in The
Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover,
pp.152-156, 1967.
[5] http://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html
17