SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA

Seminarski rad iz predmeta

PRIMJENA NUMERIČKIH POSTUPAKA

Newton-Cotesove formule numeričke integracije

Domagoj Palata

Zagreb, rujan 2003.

Sadržaj

1 Uvod.........................................................................................................................................1

2 Newton-Cotesove formule.....................................................................................................4

2.1 Trapezoidno pravilo.................................................................................................................4

2.2 Analiza pogreške......................................................................................................................5

2.3 Simpsonovo pravilo.................................................................................................................6

2.4 Pravila sa više točaka...............................................................................................................6

2.5 Složene formule.......................................................................................................................8

2.6 Rombergova Integracija.........................................................................................................10

3 Primjena Newton-Cotesovih formula numeričke integracije..........................................13

4 Praktični rad.........................................................................................................................15

5 Zaključak..............................................................................................................................16

6 Literatura..............................................................................................................................17

I

1 Uvod

Značenje integrala nalazimo u površini koju čini funkcija f(x) u odnosu na x os

koordinatnog sustava. Određeni integral sa granicama a i b čini površina ispod krivulje u granicama

od a do b, vidi sliku 1.

Y

f(x)

a h b X

Slika 1: Značenje određenog integrala u granicama od a do b

Numerička integracija je način izračunavanja određenih integrala uz pomoć numeričkih metoda i

algoritama. Jedan od načina numeričke integracije je da se funkcija f(x) na intervalu a,b, podijeli na

n jednakih dijelova takvih da je fn=f(xn) i h=(b-a)/n. Zatim se pronađu polinomi koji aproksimiraju

tako podijeljenu funkciju i integriraju da se izračuna površina ispod krivulje. Da se pronađu

odgovarajuči polinomi koriste se Lagrangeovi interpolacijski polinomi.

Lagrangeov interpolacijski polinom je polinom stupnja n-1 koji prolazi kroz n točaka y1=f(x1),

y2=f(x2), y3=f(x3), ..., yn=f(xn). Moze se prikazati formulom:

gdje je

Pisano eksplicitno imamo

1

Dobivene formule se nazivaju Newton-Cotesove formule ili Kvadraturne formule.

Dakle, ako se izvrši supstitucija funkcije f(x) polinomom

i izvrši integracija, određeni integral se može prikazati izrazom

i pritom je pogreška

,

gdje je a = x0 x1... xM = b i wk težinski faktor i pritom je .

Nakon sređivanja dobivamo izraz za aproksimirani integral funkcije f(x) na svakom intervalu x0,xd,

koristeći interpolacijski polinom d-tog stupnja, koji se može prikazati kao

gdje su

2

d c a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 Global Err 1 2 1 1 O(h2) 2 6 1 4 1 O(h4) 3 8 1 3 3 1 O(h4) 4 90 7 32 12 3 7 O(h6) 5 288 19 75 50 50 75 19 O(h6) 6 840 41 216 27 272 27 216 41 O(h8) 7 17280 751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751 O(h8)

Opisana metoda se naziva Newton-Cotesova metoda ukoliko je interval a,b podijeljen na n jednakih

dijelova, u suprotnom se radi o Kvadraturnoj metodi (dopušta nejednake podintervale).

3

2 Newton-Cotesove formule

2.1 Trapezoidno pravilo

Y

f(x)

a h b X

Slika 2: Izračun uz pomoć trapezoidnog pravila

uz x1 = x0 + h dobivamo

kada izvršimo integraciju na intervalu a,b dobivamo

4

2.2 Analiza pogreške

Sa trapezoidnim pravilom aproksimiramo funkciju f(x) koristeći linearnu interpolaciju

između uzastopnih točaka i zatim integriramo interpolant. Funkcija se u potpunom obliku može

prikazati kao:

izvršimo integraciju i zamjenu t=x-x0:

Na sličan način dobivamo pogrešku za Newton-Cotesove formule sa više točaka.

5

2.3 Simpsonovo pravilo

Pravilo sa tri točke poznato je kao Simpsonovo pravilo.

Integriramo izraz da bi dobili aproksimaciju integrala

Uvrstimo li supstituciju t=(x-x0)/h, dt=dx/h, x1=x0+h, x2=x0+2h dobivamo

2.4 Pravila sa više točaka

Pravilo sa četiri točke je Simpsonovo 3/8 pravilo,

Pravilo sa pet točaka je Booleovo pravilo,

6

Pravila višeg reda uključuju pravilo sa šest točaka,

pravilo sa sedam točaka,

pravilo sa osam točaka,

Generalno, postoji analitički izraz za pravilo sa više točaka,

gdje je

Zatvorena proširena pravila koriste višestruke izraze nižeg reda da bi se izgradila pravila

višeg reda. Pravilnim odabirom procesa mogu se dobiti pravila lijepih karakteristika. Kao primjer

može se spomenuti Rombergova intergracija.

7

Otvorena Newton-Cotesova pravila koriste točke izvan intervala nad kojim se vrši

integracija, koristeći jednu ili više točaka.

Koristeći jednu točku dobiva se

Koristeći dvije točke dobiva se

Koristeći tri točke dobiva se

Koristeći četiri točke dobiva se

2.5 Složene formule

Želimo li integrirati integral , interval a,b prisjetimo se osnovnog svojstva određenih

integrala , gdje je acb. Određeni integral možemo

podijeliti na M podintervala xk, xk+1 takvih da je xk=a+h*xk-1. Izvršimo li integraciju koristeći

trapezoidno pravilo dobivamo:

8

Složeno Trapezoidno pravilo

Pogreška u ovom pristupu se može prikazati kao suma individualnih pogrešaka oblika O(h3)

za neki zi iz (xi,xi+1). Ta suma se može pojednostavniti u O(h2) gdje je z neka točka iz

intervala (a,b).

Sličan pristup kao kod složenog Trapezoidnog pravila možemo primjeniti i za Simpsonovo

pravilo. Pošto Simpsonova metoda zahtjeva 3 točke, svaki interval mora uključivati točku u središtu

intervala. Kao rezultat imamo da je broj intervala djeljiv sa 2 (recimo da je broj intervala 2M gdje je

h=(b-a)/(2M)).

Složeno Simpsonovo pravilo

9

Na sličan način kao kod složenog Trapezoidnog pravila pogreška u ovom pristupu se može prikazati

kao: za neki z iz (a,b).

2.6 Rombergova Integracija

Složeno Trapezoidno pravilo ima oblik pogreške koji nam omogućava primjenu Richarsonovog

izvoda. Ideja je da se uzastopno prepolavlja veličina podintervala (h) i zatim primjeni složeno

Trapezoidno pravilo. To će rezultirati serijom vrijednosti za različite vrijednosti h. Rezultate možemo

koristiti u Richarsonovom izvodu da bi povečali točnost rezultata. U nastavku će biti prikazan zapis

koji se koristi za tabelarni prikaz.

U prvom koraku primjenjujemo Trapezoidno pravilo na originalni integral. Neka je područje

integracije širine h1 = b-a. Koristeći Rombergov zapis imamo:

R1,1 = (h1/2)(f(a) + f(b)) što će se u Richardsonovom izvodu zvati N1(h)

U drugom koraku imamo h2 = h1/2 i primjenimo složeno Trapezoidno pravilo:

Rombergova “kratica”

10

Ako nastavimo djeliti područje integracije, pronalaziti nove rezultate i prikazivati ih algebarski u

prethodno prikazanom obliku, u slijedećem koraku za h3 = h2/2 dobiti ćemo:

Za izraze višeg reda vrijedi generalna formula:

Ovo još nije Richardsonov izvod, samo smo prikazali integral koristeći različite veličine područja

integracije.

Sada možemo primjeniti Richardsonovu Metodu da bi generirali dodatne elemente u tablici.

Generalno imamo:

11

Iz izvedenih formula dobiva se tablica koeficijenata. Tablica Simpsonovih koeficijenata ima

vrlo prikladan uzorak:

a b step

1 4 1 1

1 4 2 4 1 2

1 4 2 4 2 4 2 4 1 3

1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1 4

i pritom je pogreška proporcionalna sa nh5. Pogreška se smanjuje za oko 1/16 u svakom

idućem koraku (n se udvostručuje i h prepolavlja).

12

3 Primjena Newton-Cotesovih formula numeričke integracije

Značenje integrala nalazimo u površini koju čini funkcija f(x) u odnosu na x os

koordinatnog sustava. Kao što je već spomenuto numerička integracija je način izračunavanja

određenih integrala uz pomoć numeričkih metoda i algoritama. Praktične primjene numeričke

integracije nalazimo prilikom automatizacije obrade podataka i računskih problema uz pomoč

računalnih programa gotovo u svim područjima prirodoslovnih znanosti.

Da bi se omogučilo korištenje numeričkih metoda za izračunavanje određenih integrala

koristimo se aproksimacijama. Uvođenjem aproksimacija neizbježno unosimo pogrešku u izračun.

Prikladnost primjene Newton-Cotesovih formula numeričke integracije ovisi o prihvatljivosti

pogreške koja se unosi numeričkim izračunom.

Kao sto je već spomenuto u poglavlju 1, izraz za aproksimirani integral funkcije f(x) na svakom

intervalu x0,xd, koristeći interpolacijski polinom d-tog stupnja, može se prikazati kao

gdje su

d Glob. Err 1 O(h2) 2 O(h4) 3 O(h4) 4 O(h6) 5 O(h6) 6 O(h8) 7 O(h8)

Iako je globalna pogreška za dva raličita uzastopna stupnja proporcionalna, formule parnog

stupnja su nešto točnije nego iduća formula neparnog stupnja. Na primjer, iako je u oba slučaja

globalna greška proporcionalna sa O(h4), Simpsonovo pravilo je točnije od Simpsonovog 3/8 pravila.

Uzmimo na primjer izraz , čija je vrijednost 145.6949.

13

Trapezoidna metoda daje (4/2)(e1 + e5) = 302.2629 sa pogreškom 107%.

Simpsonova metoda daje (2/3)(e1 + 4e3 + e5) = 154.3157 sa pogreškom 6%.

Simpsonova 3/8 metoda daje (4/8)(e1+3e7/3+3e11/3+e5) = 149.716 sa pogreškom 3%.

Nijedna od ovih aproksimacija ne daje odlične rezultate imajući u vidu da integriramo jednostavnu

funkciju na intervalu umjerene veličine. Iz tog razloga koristi se složene formule, “veliko” područje

integracije se razlomi na nekoliko podintervala i primjeni se spomenuta aproksimacija na integral na

svakom području posebno. U našem primjeru razlomimo interval [1,5] na četiri podintervala:

,

zatim primjenimo Trapezoidno pravilo za svaki od tih integrala:

(1/2)([e1+ e2] + [e2+e3] + [e3+e4] + [e4+e5])= 157.6385

Pogreška je sada 8% - naprema 107% kada smo primjenili jednostavno Trapezoidno pravilo. U praksi,

kao kompromis kompleksnosti i točnosti najčešće se koristi složena Simpsonova metoda.

Za usporedbu možemo pogledati rezultate različitih metoda za izraz , gdje je N

broj podintervala:

N Trapezoidno pravilo – O(h2) Simpsonovo pravilo – O(h4) n=4 – O(h6)

4 1.00250110798165 1.00000499159078 1.000000056412908 1.00062551160333 1.00000031281055 1.0000000008918716 1.00015639257365 1.00000001956376 1.0000000000139832 1.00003909906062 1.00000000122294 1.00000000000022

14

4 Praktični rad

Program izračunava vrijednost određenog integrala unesene funkcije sa granicama koje isto tako unosi

korisnik (unesena funkcija mora biti u formatu programa Mathematika). Program se izvodi u

programskom paketu Mathematika (minimalno verzija 4.0). Izvodjenje se pokreće evaluacijom

notebooka u Kernelu. Sučelje prema korisniku za unos je realizirano preko prozora dok je ispis

rezultata direktno u notebook. Program nudi dvije opcije: Izračunavanje pomoću jednostavnih ili

složenih formula. Ukoliko se odaberu jednostavne formule korisnik odabire broj točaka koje će

program koristiti za izračun. Ukoliko se odabiru složene formule, korisniku se nudi izbor izračuna

složenom Trapeznom ili Simpsonovom formulom. Program ne dopušta unos nedozvoljenih vrijednosti

prilikom izbora vrste formula za izračun (složene ili jednostavne formule, Simpsonova složena ili

Trapezna složena formula, te broj točaka za izbor jednostavne formule prema broju točaka), međutim

u program nije ugrađena kontrola za unesenu funkciju te granice određenog integrala. Za složene

formule korisnik može odabrati broj podintervala integracije određenih integrala (preporuča se

maksimalni broj podintervala međutim program neće odbiti izvršenje ukoliko korisnik unese neku

drugu vrijednost. Program vrši izračun i ispis kako slijedi:

-učitanu funkciju

-gornju granicu integrala

-doljnju granicu integrala

-korišteno pravilo (formulu)

-broj podintervala funkcije

-izračun odabranom metodom numeričke integracije

-izračun ugrađenom funkcijom programa Mathematika

-pogrešku numeričke metode u odnosu na vrijednost izračunatu ugrađenom funkcijom programa

Mathematica

Za ponovno izvršenje programa treba ponovno pokrenuti evaluaciju notebooka u Kernelu.

15

5 Zaključak

U ovom radu su opisane Newton-Cotesove formule numeričke integracije i pogreške koje se

unose korištenjem aproksimacija. Newton-Cotesove formule su najizravnija tehnika za izračunavanje

određenih integrala numeričkim metodama. Newton-Cotesova metoda aproksimira funkciju na

zadanom intervalu ili nizu jednakih intervala polinomima različitog stupnja. Najčešće korištene

Newton–Cotesove formule su Trapezoidna (aproksimacija Lagrangeovim polinomom koji prolazi

kroz dvije točke) i Simpsonova metoda (aproksimacija Lagrangeovim polinomom koji prolazi kroz tri

točke).

Nadalje, opisane su složene Newton-Cotesove formule, čija svrha je povečanje točnosti

opisanih metoda, a da se pritom ne poveča kompleksnost odnosno stupanj polinoma prilikom

uvođenja aproksimacija.

16

6 Literatura

[1] M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and

Mathematical Tables, New York, 1972.

[2] F.B. Hildebrand, Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, pp.160-161,

1956.

[3] P.J. Davis and P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd ed. New York: Academic

Press, 1984.

[4] E.T. Whittaker and G. Robinson, "The Newton-Cotes Formulae of Integration." 76 in The

Calculus of Observations: A Treatise on Numerical Mathematics, 4th ed. New York: Dover,

pp.152-156, 1967.

[5] http://mathworld.wolfram.com/Newton-CotesFormulas.html

17