Post on 07-Apr-2016
MSCC – Revisão de Probabilidade e Estatística
Sidney LucenaPPGI/UNIRIO
2015.1
Revisão de Probabilidade e Estatística
• Sumário da Revisão– Análise Combinatória– Probabilidade– Variáveis Aleatórias, Distribuições de Probabilidade– Funções de Variáveis Aleatórias– Medidas Estatísticas – Intervalo de Confiança
• Na sequência, teremos– Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuição marginal e probabilidade condicional• Correlação e Autocorrelação
Revisão P&E – Por quê?
• Apesar de óbvio, voltemos à ideia básica– É preciso SUMARIZAR dados– Mas também é preciso saber o que calcular• e como calcular!!!!
– E é preciso representar e exibir estes dados– Ferramentas nem sempre têm tudo que é
necessário para isso• É necessário conhecer bem os conceitos
Análise Combinatória
Análise combinatória, a arte de contar (Stewart)• É a parte da matemática que estuda métodos
de contagem– Importante para se calcular probabilidades!
• Exemplos:– Quantos números cabem em 2 bytes?– Ao se lançar os dados X e Y, em quantas
combinações X terá valor maior que Y?• Como fazer esta conta “sem contar”????
Análise Combinatória
• Princípio fundamental da contagem (ex.):• Se X, Y e Z podem respectivamente assumir uma
quantidade k, m e n de valores, então o número total de possíveis combinações é (k x m x n)
– E se eu quiser desprezar as combinações que se repetem independente de ordem???• P/ex., (3,5) e (5,3) contando como uma combinação• Que cálculo seria este?? Vejamos os artefatos...
Análise Combinatória
• Arranjo
Análise Combinatória
• Arranjo c/ repetição
Análise Combinatória
• Permutação– Um arranjo de itens, numa dada sequência
ordenada, é dito ser uma permutação destes itens• Ex: o conjunto ABC possui 6 permutações (3! = 6)
– ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
• Ex.: o conjunto OXO possui 3 permutações (porque um símbolo aparece 2 vezes– OXO, OOX, XOO– 3!/(2!1!) = 3– Por quê????
Análise Combinatória
• Permutação
– Ex.: fila indiana com 8 pessoas– 8! = 40320
– Permutação circular• PCn = (n – 1)!
– Por quê?????• Ex.: Brincadeira de roda c/ 10 crianças
– 9! = 362880
Análise Combinatória
• Permutação c/ elementos repetidos
Análise Combinatória
• Combinação
Análise Combinatória
• Combinação– Ex.: um jogador recebe 10 cartas de um baralho
de 40 cartas• Qual o número de combinações possíveis de cartas que
será recebido?
Análise Combinatória
• Combinação
– Propriedades do coeficiente binomial:
Análise Combinatória
• Coeficientes multinomiais
Análise Combinatória
• Coeficientes multinomiais– E quando as partições são iguais?• Divide-se pelo número de permutações das partições
Análise Combinatória
• Coeficientes multinomiais– E quando as partições são iguais?• Ex.: De quantas maneiras podemos alocar 12 pessoas
em 3 salas tendo cada grupo 4 pessoas?
Análise Combinatória
• Coeficientes multinomiais
Análise Combinatória
• Coeficientes multinomiais
Probabilidade
• Definições importantes:
Probabilidade
• Espaço amostral de experimento: – Ex.: lançar 2 dados
– Ex. de evento: soma dos resultados ser par
Probabilidade
Probabilidade
Probabilidade
Probabilidade
• Probabilidade de um evento:
• Axiomas (verdades aceitas por todos):
Probabilidade
• Teoremas:
Probabilidade
• Teoremas:
Probabilidade
• Teoremas:
Probabilidade
• Probabilidade condicional:
Probabilidade
• Probabilidade condicional:
– Muito usada qdo há seq. de eventos relacionados entre si!
Probabilidade
Probabilidade
• Probabilidade condicional:
Probabilidade
• Probabilidade condicional:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Teorema de Bayes:
Probabilidade
• Eventos independentes:
Probabilidade• Eventos independentes:
Probabilidade
• Eventos independentes:
Probabilidade
• Eventos independentes:
Variável Aleatória• Variável que representa o resultado de uma função
envolvendo experimentos aleatórios
Variável Aleatória• Classificações:
Variável Aleatória Discreta
Variável Aleatória Discreta• Função de Probabilidade de Massa (PMF):– Probabilidade da var. aleat. X assumir um dado valor x :• P [X = x] = p(x)
– A soma das probabilidades dos possíveis valores de X é 1:
Variável Aleatória Discreta• Função de Distribuição Cumulativa (CDF):– Probabilidade da v.a. X ser menor que a:• P [X <= a] = F(a)
Variável Aleatória Discreta• Medidas de Interesse:
Variável Aleatória Discreta• Seja Y a v.a. representada nos gráficos anteriores:
Variável Aleatória Discreta• Distribuições de Probabilidade mais comuns:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição de Bernoulli:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição de Bernoulli:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição Binomial:– Se a prob. de uma máquina dar defeito num lab. é p, qual
a prob. de i máquinas darem defeito?
Variável Aleatória Discreta• Distribuição Binomial:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição Binomial:– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição Binomial:– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição Binomial:– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição Geométrica:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição Geométrica:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição Geométrica:– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição Geométrica:– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição de Poisson:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição de Poisson:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição de Poisson:– Costuma ser usada para saber a probabilidade de um dado
número de ocorrências de um evento num dado intervalo de tempo• Ocorrências do evento devem ser aleatórias e
independentes• O valor médio de ocorrências é bem conhecido
(lambda)– Exemplo:• Probabilidade do número de pessoas que entram num
banco durante um certo intervalo de tempo ser igual a x
Variável Aleatória Discreta• Distribuição de Poisson:– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta• Distribuição de Poisson:– Exemplos:
Variável Aleatória Discreta• Aproximação entre as Distribuições de Poisson e
Binomial:
Variável Aleatória Contínua• Uma variável aleatória é dita contínua quando o
conjunto de valores que ela pode assumir é incontável
• Exemplos:
Variável Aleatória Contínua• Função Densidade de Probabilidade (PDF):– Exemplo: P [a <= X <= b]
Variável Aleatória Contínua• Probabilidade e Medidas de Interesse:
Variável Aleatória Contínua• Distribuições de Probabilidade mais comuns:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Uniforme:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Uniforme:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Uniforme:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Uniforme:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Exponencial:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Exponencial:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Exponencial:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Exponencial:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição de Erlang:– Corresponde a uma sequencia de n eventos com
distribuição exponencial
Variável Aleatória Contínua• Distribuição de Erlang:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição de Erlang:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição de Erlang:– CDF (Função de Distribuição Cumulativa) p/ lambda = 0,5
Variável Aleatória Contínua• Distribuição de Erlang:– PDF para n = 5
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:– Exemplo para Dist. Normal Padrão:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:– Muito usada para representar variáveis aleatórias cuja
distribuição não é conhecida– Teorema do limite central: • A média calculada para variáveis aleatórias
independentes, que por sua vez se torna uma variável aleatória, possui distribuição normal• Ex.: erros de medição tendem a apresentar uma
distribuição próxima da normal
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:
Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal: