MSCC – Revisão de Probabilidade e Estatística Sidney Lucena PPGI/UNIRIO 2015.1.

MSCC – Revisão de Probabilidade e Estatística

Sidney LucenaPPGI/UNIRIO

2015.1

Revisão de Probabilidade e Estatística

• Sumário da Revisão– Análise Combinatória– Probabilidade– Variáveis Aleatórias, Distribuições de Probabilidade– Funções de Variáveis Aleatórias– Medidas Estatísticas – Intervalo de Confiança

• Na sequência, teremos– Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuição marginal e probabilidade condicional• Correlação e Autocorrelação

Revisão P&E – Por quê?

• Apesar de óbvio, voltemos à ideia básica– É preciso SUMARIZAR dados– Mas também é preciso saber o que calcular• e como calcular!!!!

– E é preciso representar e exibir estes dados– Ferramentas nem sempre têm tudo que é

necessário para isso• É necessário conhecer bem os conceitos

Análise Combinatória

Análise combinatória, a arte de contar (Stewart)• É a parte da matemática que estuda métodos

de contagem– Importante para se calcular probabilidades!

• Exemplos:– Quantos números cabem em 2 bytes?– Ao se lançar os dados X e Y, em quantas

combinações X terá valor maior que Y?• Como fazer esta conta “sem contar”????


• Princípio fundamental da contagem (ex.):• Se X, Y e Z podem respectivamente assumir uma

quantidade k, m e n de valores, então o número total de possíveis combinações é (k x m x n)

– E se eu quiser desprezar as combinações que se repetem independente de ordem???• P/ex., (3,5) e (5,3) contando como uma combinação• Que cálculo seria este?? Vejamos os artefatos...


• Arranjo


• Arranjo c/ repetição


• Permutação– Um arranjo de itens, numa dada sequência

ordenada, é dito ser uma permutação destes itens• Ex: o conjunto ABC possui 6 permutações (3! = 6)

– ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

• Ex.: o conjunto OXO possui 3 permutações (porque um símbolo aparece 2 vezes– OXO, OOX, XOO– 3!/(2!1!) = 3– Por quê????


• Permutação

– Ex.: fila indiana com 8 pessoas– 8! = 40320

– Permutação circular• PCn = (n – 1)!

– Por quê?????• Ex.: Brincadeira de roda c/ 10 crianças

– 9! = 362880


• Permutação c/ elementos repetidos


• Combinação


• Combinação– Ex.: um jogador recebe 10 cartas de um baralho

de 40 cartas• Qual o número de combinações possíveis de cartas que

será recebido?


• Combinação

– Propriedades do coeficiente binomial:


• Coeficientes multinomiais


• Coeficientes multinomiais– E quando as partições são iguais?• Divide-se pelo número de permutações das partições


• Coeficientes multinomiais– E quando as partições são iguais?• Ex.: De quantas maneiras podemos alocar 12 pessoas

em 3 salas tendo cada grupo 4 pessoas?


• Coeficientes multinomiais

Probabilidade

• Definições importantes:

Probabilidade

• Espaço amostral de experimento: – Ex.: lançar 2 dados

– Ex. de evento: soma dos resultados ser par

Probabilidade

Probabilidade

• Probabilidade de um evento:

• Axiomas (verdades aceitas por todos):

Probabilidade

• Teoremas:

Probabilidade

• Probabilidade condicional:

Probabilidade


– Muito usada qdo há seq. de eventos relacionados entre si!

Probabilidade

Probabilidade

• Teorema de Bayes:

Probabilidade

• Eventos independentes:

Probabilidade• Eventos independentes:

Probabilidade

• Eventos independentes:

Variável Aleatória• Variável que representa o resultado de uma função

envolvendo experimentos aleatórios

Variável Aleatória• Classificações:

Variável Aleatória Discreta

Variável Aleatória Discreta• Função de Probabilidade de Massa (PMF):– Probabilidade da var. aleat. X assumir um dado valor x :• P [X = x] = p(x)

– A soma das probabilidades dos possíveis valores de X é 1:

Variável Aleatória Discreta• Função de Distribuição Cumulativa (CDF):– Probabilidade da v.a. X ser menor que a:• P [X <= a] = F(a)

Variável Aleatória Discreta• Medidas de Interesse:

Variável Aleatória Discreta• Seja Y a v.a. representada nos gráficos anteriores:

Variável Aleatória Discreta• Distribuições de Probabilidade mais comuns:

Variável Aleatória Discreta• Distribuição de Bernoulli:

Variável Aleatória Discreta• Distribuição Binomial:– Se a prob. de uma máquina dar defeito num lab. é p, qual

a prob. de i máquinas darem defeito?

Variável Aleatória Discreta• Distribuição Binomial:

Variável Aleatória Discreta• Distribuição Binomial:– Exemplos:

Variável Aleatória Discreta• Distribuição Geométrica:

Variável Aleatória Discreta• Distribuição Geométrica:– Exemplos:

Variável Aleatória Discreta• Distribuição de Poisson:

Variável Aleatória Discreta• Distribuição de Poisson:– Costuma ser usada para saber a probabilidade de um dado

número de ocorrências de um evento num dado intervalo de tempo• Ocorrências do evento devem ser aleatórias e

independentes• O valor médio de ocorrências é bem conhecido

(lambda)– Exemplo:• Probabilidade do número de pessoas que entram num

banco durante um certo intervalo de tempo ser igual a x

Variável Aleatória Discreta• Distribuição de Poisson:– Exemplos:

Variável Aleatória Discreta• Aproximação entre as Distribuições de Poisson e

Binomial:

Variável Aleatória Contínua• Uma variável aleatória é dita contínua quando o

conjunto de valores que ela pode assumir é incontável

• Exemplos:

Variável Aleatória Contínua• Função Densidade de Probabilidade (PDF):– Exemplo: P [a <= X <= b]

Variável Aleatória Contínua• Probabilidade e Medidas de Interesse:

Variável Aleatória Contínua• Distribuições de Probabilidade mais comuns:

Variável Aleatória Contínua• Distribuição Uniforme:

Variável Aleatória Contínua• Distribuição Exponencial:

Variável Aleatória Contínua• Distribuição de Erlang:– Corresponde a uma sequencia de n eventos com

distribuição exponencial

Variável Aleatória Contínua• Distribuição de Erlang:

Variável Aleatória Contínua• Distribuição de Erlang:– CDF (Função de Distribuição Cumulativa) p/ lambda = 0,5

Variável Aleatória Contínua• Distribuição de Erlang:– PDF para n = 5

Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:

Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:– Exemplo para Dist. Normal Padrão:

Variável Aleatória Contínua• Distribuição Normal:– Muito usada para representar variáveis aleatórias cuja

distribuição não é conhecida– Teorema do limite central: • A média calculada para variáveis aleatórias

independentes, que por sua vez se torna uma variável aleatória, possui distribuição normal• Ex.: erros de medição tendem a apresentar uma

distribuição próxima da normal

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