Post on 24-Jul-2015
Realizando las operaciones en el lado derecho para poder hacer la inducción
Su resolución es la siguiente
…(1)
Verificamos que (1) se cumple para n=1
(1− 1n+1 )= 1
n+1
(1− 11+1 )= 1
1+1
(1−12 )=1212=12
Entonces se cumple para n=1
Suponemos que …(1) es valida para n=k
(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1− 1k+1 )= 1
k+1… (2 )Hipotesis
Si esto es verdadero entonces la expresión …(1) debe cumplirse cuando n=k+1
(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1− 1(k+1 )+1 )= 1
(k+1)+1
(1−12 )(1−13 )(1−14 )… (1− 1k+2 )= 1
k+2… (3 )Tesis
Si sustituimos ..(2) en ..(3) tenemos
1k+1 (1− 1
k+2 )= 1k+2
1k+1 (1− 1
k+2 )= 1k+2
1k+1 ( k+2−1k+2 )= 1
k+2
1k+1 ( k+1k+2 )= 1
k+2
k+1k+1(k+3)
= 1k+2
1k+2
= 1k+2
Con lo cual se cumple la expresión..(1) para todo n en el natural
…(1)
Verificamos que (1) se cumple para n=1
xn−1= xn−1x−1
x1−1= x1−1x−1
x0= x1−1x−1
1= x−1x−1
1=1
Entonces se cumple para n=1
Suponemos que …(1) es valida para n=k
1+x+x2+…xk−1= xk−1x−1
… (2 )Hipotesis
Si esto es verdadero entonces la expresión …(1) debe cumplirse cuando n=k+1
1+x+x2+…x(k+1)−1= xk+1−1x−1
1+x+x2+…xk= xk +1−1x−1
… (3 )Tesis
Si sustituimos ..(2) en ..(3) tenemos
xk−1x−1
+xk= xk+1−1x−1
xk−1+xk (x−1)x−1
= xk+1−1x−1
xk−1+xk+1−xk
x−1= x
k+1−1x−1
−1+ xk+1
x−1= x
k +1−1x−1
xk+1−1x−1
= xk+1−1x−1
Con lo cual se cumple la expresión..(1) para todo n en el natural
Desarrollando la sumatoria del lado izquierdo para demostrar la inducción matemática
…(1)
Verificamos que (1) se cumple para n=1
1n(n+1)
= nn+1
11(1+1)
= 11+1
11(2)
=12
12=12
Entonces se cumple para n=1
Suponemos que …(1) es valida para n=k
11(2)
+ 12(3)
+ 13(4)
…+ 1k (k+1 )
= kk+1
… (2 )Hipotesis
Si esto es verdadero entonces la expresión …(1) debe cumplirse cuando n=k+1
11(2)
+ 12(3)
+ 13(4)
…+ 1k+1((k+1)+1)
= k+1(k+1)+1
11(2)
+ 12(3)
+ 13(4)
…+ 1k+1 (k+2 )
= k+1k+2
… (3 )Tesis
Si sustituimos ..(2) en ..(3) tenemos
kk+1
+ 1k+1 ( k+2 )
= k+1k+2
k (k+2 )+1(k+1)(k+2)
= k+1k+2
k2+2k+1(k+1)(k+2)
= k+1k+2
(k+1)2
(k+1 ) (k+2 )= k+1k+2
(k+1)(k+1)(k+1)(k+2)
= k+1k+2
k+1k+2
= k+1k+2
Con lo cual se cumple la expresión..(1) para todo n en el natural
Desarrollando la sumatoria del lado izquierdo para demostrar la inducción matemática
2+2 (32 )+2 (33 )+…+2 (3n−1 )=3n−1…(1 )
Verificamos que (1) se cumple para n=1
2 (3n−1 )=3n−1
2 (31−1 )=31−1
2 (30 )=3−1
2 (1 )=2
2=2
Entonces se cumple para n=1
Suponemos que …(1) es valida para n=k
2+2 (32 )+2 (33 )+…+2 (3k−1 )=3k−1… (2 )Hipotesis
Si esto es verdadero entonces la expresión …(1) debe cumplirse cuando n=k+1
2+2 (32 )+2 (33 )+…+2 (3(k +1)−1 )=3k+1−1
2+2 (32 )+2 (33 )+…+2 (3k )=3k+1−1… (3 )Tesis
Si sustituimos ..(2) en ..(3) tenemos
3k−1+2 (3k )=3k+1−1
3k−1+6k=3k+1−1
9k−1=3k+1−1
(3¿¿ k)3−1=3k +1−1¿
3k +1−1=3k+1−1
Con lo cual se cumple la expresión..(1) para todo n en el natural
Desarrollando la sumatoria del lado izquierdo para demostrar la inducción matemática
1+2+…+n=(n+12 )
2
2… (1 )
Verificamos que (1) se cumple para n=1
n=(n+ 12 )
2
2
1=(1+ 12 )
2
2
1=( 32 )
2
2
1=
942
1=98
No se cumple para n=1 porque son valores distintos entonces para generalizar que se cumpla en los naturales se realiza lo siguiente
Suponemos que …(1) es valida para n=k
1+2+…+k=(k+ 12 )
2
2… (2 )Hipotesis
Si esto es verdadero entonces la expresión …(1) debe cumplirse cuando n=k+1
1+2+…+(k+1)=((k+1)+ 12 )
2
2… (3 )Tesis
Si sustituimos ..(2) en ..(3) tenemos
(k+12 )2
2+(k+1)=
((k+1)+ 12 )2
2
(k+12)2
+2(k+1)
2=
((k+1)+ 12 )2
2
(k 2+k+14)+2k+2
2=
((k+1)+ 12 )2
2
(k 2+k+2k+2)+14
2=
((k+1)+ 12 )2
2
¿¿
((k+1)+12 )2
2=
((k+1)+ 12 )2
2
Con lo cual se cumple la expresión..(1) para todo n en el natural
Sea S(n) una proposición abierta con las condiciones
a) Si S(1) es verdaderob) Siempre que S(k) es verdadera para algún n∈Z positivos entonces
S(K+1) es verdadera
Entonces sea F=¿ queremos mostrar que F=∅ asi para que obtengamos una contradicción entonces supongamos que F≠∅
Entonces por el principio del buen orden F tiene un elemento mínimo
Como S(1) es verdadera s≠1 por lo que s>1 y en consecuencia s−1∈Z+¿¿
Como s−1∉F tenemos que S(s−1) es verdadera
Asi por contradicción si siempre que S(k) sea verdadera para algún k entero positivo implica entonces S(k+1) es verdadera
Se sigue que S ( ( s−1 )+1 )=S(s) es verdadera lo que contradice que s∈F.
La contradicción surge de la hipótesis F≠∅ que por lo tanto es F=∅