METODE ELEMEN HINGGA

Metode elemen hingga adalah prosedur numerik untuk memecahkan masalah mekanika kontinum dengan ketelitian yang dapat diterima oleh rekayasawan

Pada umumnya metode elemen hingga dapat digunakan untuk memperoleh suatu solusi numerik. Banyak masalah dalam analisis tegangan, transfer panas, aliran fluida, medan listrik dan sebagainya yang telah diselesaikan dengan menggunakan metode elemen hingga. Keberhasilan dalam pemanfaatan metode elemen hingga sangat tergantung pada program komputer yang dibuat. Keunggulan metode elemen hingga adalah adanya arti fisik yang cukup dekat antara jaring elemen dengan struktur aktualnya.

Jaring elemen yang dimaksud bukan merupakan abstrak matematis yang divisualisasikan. Metode elemen hingga juga memiliki kekurangan. Hasil yang diperoleh dengan metode ini untuk masalah tertentu adalah berupa hasil numerik. Selain itu struktur yang dianalisa dapat mempunyai bentuk, beban dan kondisi batas yang sembarang. Jaring-jaring elemen dapat terdiri atas elemen yang berbeda jenis, bentuk dan besaran fisiknya

Prinsip Utama dari Metode Elemen Hingga adalah “PROSES DISKRITASI”

“PROSES DISKRITASI” adalah Proses pembagian benda utuh (kontinum) menjadi elemen kecil (mesh).

Elemen segi empat

Gambar 1. Diskritasi elemen

Gambar 1 memperlihatkan sebuah elemen balok yang dianalisis menurut mesh elemen segi empat. Titik hitam adalah titik simpul (node) di mana elemen yang satu berhubungan dengan lainnya. Suatu jaring (mesh) adalah susunan titik simpul dan elemen. Bentuk jaring pada gambar tersebut di atas juga dapat berupa bilinear rectangle. Untuk memformulasikan suatu elemen, kita harus menghitung gaya-gaya titik simpul (nodal forces yang menghasilkan berbagai ragam deformasi elemen). Peralihan atau rotasi sumbu titik kumpul disebut sebagai derajat kebebasan (degree of freedom)

UNIVERSITAS MALIKUSSALEH Menginovasi Mencapai Kebenaran dan Kejayaan

Balok

Titik node/nodal

1

2

3

4

Titik node/nodal

Elemen Batang/ Bar Element

Metode Elemen Hingga

UNIVERSITAS MALIKUSSALEH Menginovasi Mencapai Kebenaran dan Kejayaan

Gaya nodal/nodal force

δ2

Peralihan nodal/nodal displacement

1

2

3

4

P1P3

P2 P4

Gaya nodal/nodal force

12

3

4

δ1

δ4

δ3

Peralihan nodal/nodal displacement

Metode Elemen Hingga

UNIVERSITAS MALIKUSSALEH Menginovasi Mencapai Kebenaran dan Kejayaan

1

2

3

4Body force

Metode Elemen Hingga

UNIVERSITAS MALIKUSSALEH Menginovasi Mencapai Kebenaran dan Kejayaan

Tinjaulah Elemen Balok dengan panjang L, Momen Inersia I dan Modulus Elastisitas E. P adalah gaya yang bekerja pada titik nodal dan δ adalah peralihan titik nodal

1

2

3

4

P1, δ1 P3, δ3

P2, δ2 P4, δ4

L

Elemen Balok

Metode Elemen Hingga

UNIVERSITAS MALIKUSSALEH Menginovasi Mencapai Kebenaran dan Kejayaan

δ : peralihan titik nodal

kP

P : gaya yang bekerja pada titik nodal

k : matrik kekakuan

Di mana :

Metode Elemen Hingga

UNIMAL

UNIMAL

UNIMAL

UNIMAL

Bentuk jaring elemen yang digunakan dalam suatu analisa metode elemen hingga dapat berupa :Constant-Strain triangle (CST), linear-strain triangle (LST), bilinear rectangle (Q4), bilinear rectangle-imcompatible mode (Q6), quadratic rectangle (Q8, Q9) dan isoparametric elemen.

Bentuk jaring elemen

Segi-3

CST

Segi-4

Q4

Segi-4 Q8

Segi-3

LST

Segi-4 Q9

Isoparametrik elemen

CA

B

O D

E

L = 3000 mm

y

b

a

a

q = 10 N/mm

500 mm

500 mm

1500 mm 1500 mm1 mm

h = 1000 mm

E = 200 GPa = 0.3

x

Gambar 5. Balok kantilever sebagai model analitis

rdk

k d r

: matrik kekakuan elemen

: vektor peralihan titik simpul elemen;

: vektor beban titik simpul

ρ = 0.032

Bentuk jaring elemen

Segi-3

CST

Constan Strain Triangle (CST)

Constan strain triangle yang mempunyai 6 derajat kebebasan untuk setiap elemen. CST memiliki fungsi peralihan baik dalam arah sumbu x maupun sumbu y.

Tegangan dan regangan elemen dapat dihitung dengan menggunakan persamaan :

dBE

B E

: tegangan elemen

: matrik hubungan tegangan-regangan

: matrik modulus elastisitas

Untuk isotropik elemen dan ν adalah poisson rasio, matrik modulus elastisitas diberikan oleh persamaan :

2

100

1

01

1 2 v

EE

Matrik hubungan tegangan regangan diberikan oleh persamaan :

2 3 3 1 1 2

3 2 1 3 2 1

3 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2

0 0 01

0 0 02 t

Y Y Y Y Y Y

B X X X X X XAX X Y Y X X Y Y X X Y Y

Matrik N untuk elemen CST diberikan oleh persamaan :

321

321

000

000

NNN

NNNN

233223321 2

1yxyxxxyyyx

AN

t

311331132 2

1yxyxxxyyyx

AN

t

122112213 2

1yxyxxxyyyx

AN

t

Sebuah balok kantilever seperti tergambar dibebani beban momen M. Hitunglah tegangan dengan menggunakan rumus {σ}=[E][B]{d} pada masing-masing elemen :(a) CST dengan nodal ADF(b) CST dengan nodal AFC

C

A

B

F

D

Ec

c

L

y,v

x,u

M

Element # 1

NODE A NODE D NODE F

X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3

0 0 L 0 L 2c

2 3 3 1 1 2

3 2 1 3 2 1

3 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2

0 0 01

0 0 02 t

Y Y Y Y Y Y

B X X X X X XAX X Y Y X X Y Y X X Y Y

Hitung Shape Function

0 2 0 2 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0

20 2 0 2 0 0 0 0

c c

B L L L LLC

L L c L c L

Matrix Modulus Elastisitas, [E]

2

1 0

1 01

10 0

2

EE

Untuk = 0,

2

0100

010

001

01 2

EE

2

100

010

001

EE

EI

ML

EI

ML

v

u

v

u

v

u

d

F

F

D

D

A

A

2

02

0

0

0

2

2

Tegangan pada elemen # 1

{σ}=[E][B]{d}

EI

ML

EI

ML

cLcL

cc

LL

EE

E

2

02

0

0

0

02

11

2

110

2

10

2

1000

0001

01

200

00

00

2

2

I

MLYX

Y

X

4

0

0