Mechanics of Materialschaosuan.me.engr.tu.ac.th/chaosuan2/Handouts_ME210... ·...

กลศาสตรวัสดุMechanics of Materials

รองศาสตราจารย์ ดร. ชาวสวน กาญจโนมัยภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์

มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

Thursday, February 27, 14

สัปดาหที่ เนื้อหา เอกสาร (หนา)

8 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด 1 1 - 14

11ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับภาระผสม การวิเคราะหตำแหนงวิกฤติ

49 - 78

12การวิเคราะหขนาดและทิศทางของความเคนตั้งฉากสูงสุดและความเคนเฉือนสูงสุด

49 - 78

13 ทฤษฎีความเสียหายเบ้ืองตน 49 - 78

14 การวัดความเคนและความเครียด 49 - 78

15 สอบปลายภาค

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

แผนการบรรยาย

ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับภาระผสม การวิเคราะหตำแหนงวิกฤติ

• ความเคนแบบระนาบ (plane stress)

• ความเคนหลัก (principal stress)

• ความเคนเฉือนสูงสุด (maximum shear stress)

• วงกลมมอรกรณีความเคนแบบระนาบ (Mohr’s circle for plane stress)

• ภาระรวมแบบระนาบความเคน (combined loadings - plane stress)

• กฎของฮุกกรณีความเคนสามแกน (Hooke’s law for triaxial stress)

หัวขอบรรยาย

• เราสามารถคำนวณหาความเคนที่เกิดบนหนาตัดเนื่องจากภาระประเภทตางๆ ที่เกิดบนโครงสรางได เชน แรงตามแนวแกน (axial loading), แรงบิด (torsion), แรงเฉือน (shear force), และโมเมนตดัด (bending moment)

• แตถาตองการทราบความเคนที่เกิดบนระนาบใดๆ จำเปนที่จะตองเปล่ียนความเคนบนหนาตัดใหเปล่ียนไปตามทิศทางที่ตองการ ซึ่งเรียกวิธีนี้วา “การเปล่ียนรูปความเคน (stress transformation)”

• ความเคนระนาบ (plane stress) เปนกรณีที่ชิ้นสวนความเคน (stress element) มีความเคนเกิดขึ้นที่หนา x และ y เทานั้น โดยที่หนา z จะไมมีความเคน

• ความเคนเฉือน (shear stress) และความเคนตั้งฉาก (normal stress) บน stress element เปน

• จากสมการสมดุลพบวา หรือ

• ถาตัดชิ้นสวนความเคนดวยระนาบเอียง (inclined section) เราสามารถแสดงความเคนที่เกิดบนระนาบเอียงไดโดย

• x1 คือ ความเคนตั้งฉากที่กระทำบนแกน x1 ที่ทำมุม θ กับแกน x

• x1y1 คือ ความเคนตั้งฉากที่กระทำบนหนา x1 ที่ทำมุม θ กับแกน x

• x1y1 = y1x1

• กำหนดพื้นที่บนหนา -x เปน Ao, หนา -y เปน Ao tanθ, และ บนระนาบเอียงเปน Ao secθ จากสมการสมดุล สามารถคำนวณแรงบนระนาบเอียงเปน

• พิจารณาสมการสมดุลในทิศทาง x1

• พิจารณาสมการสมดุลในทิศทาง y1

• การเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

τ x1y1 = −σ x −σ y

2sin2θ +τ xy cos2θ

• ความเคนตั้งฉากที่กระทำบนหนา y1 บนระนาบเอียง สามารถแทน θ ดวย θ + /2 ดังนั้น

τ x1y1 = −σ x −σ y

• พบวา σx + σy = σx1 + σy1 หรือ ผลรวมของความเคนตั้งฉากที่กระทำบนหนาคูใดๆ ที่ตั้งฉากกันในชิ้นสวนความเคนแบบระนาบจะคงที่ โดยไมขึ้นกับมุม θ

τ x1y1 = −σ x −σ y

• กรณีแรงในแนวแกน (uniaxial stress)

• σy = 0, xy = 0

τ x1y1 = −σ x −σ y

• กรณีแรงเฉือน (pure shear)

• σx = 0, σy = 0

τ x1y1 = −σ x −σ y

ตัวอยางที่ 6.1 ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ซึ่งทำมุม θ = 30o กับแกน x โดยมีภาระมากระทำดังรูป จงหาความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนที่เกิดขึ้น เม่ือหนาทั้งคูของชิ้นสวนความเคนแบบระนาบอยูในทิศทางขนานกับแกน x และแกน y

• เนื่องจากขนาดของ σx1, σy1, x1y1 มีการเปล่ียนแปลงตามแกนที่หมุนไปเปนมุม θ ตางๆ

• ขนาดที่มากที่สุดของความเคนตั้งฉาก (normal stress) และความเคนเฉือน (shear stress) เปนคาที่ใชในการออกแบบหรือใชวิเคราะหโครงสรางที่ถูกใชงาน

• โดยสามารถเรียกคาสูงสุดและต่ำสุดของความเคนตั้งฉากนี้วา “ความเคนหลัก (principal stress)”

• ความเคนหลักเกิดขึ้นเม่ือ

• มุม θp คือมุมที่ระนาบซึ่งเกิดความเคนหลัก (principal stress) กระทำกับแกน x โดยเรียกระนาบนี้วาระนาบหลัก (principal plane)

τ x1y1 = −σ x −σ y

• คาของ 2θp มี 2 คา โดยมีความแตกตางกัน 90 องศา

• ดังนั้น θp ทั้งสองคามีความแตกตางกัน π/2

• มุม θp คาหนึ่งจะทำใหเกิดความเคนหลักสูงสุด (maximum principal stress) และอีกคาหนึ่งจะทำใหเกิดความเคนหลักต่ำสุด (minimum principal stress)

• ความเคนหลักทั้งสองจะเกิดบนระนาบซึ่งตั้งฉากซึ่งกันและกัน

• คาของความเคนหลักสามารถคำนวณไดโดยแทน θp ทั้งสองในสมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

• แทนคา cos 2θp และ sin 2θp ในสมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

• พบวาความเคนหลัก (1) เปน

• แตเนื่องจากความเคนหลักสูงสุดและต่ำสุดเกิดบนระนาบที่ตั้งฉากกันสงผลใหผลรวมของความเคนหลักสูงสุดและต่ำสุดจะคงที่ ดังนั้น

• 1 คือ ความเคนหลักสูงสุด

• 2 คือ ความเคนหลักต่ำสุด

และ

• แทนคา cos 2θp และ sin 2θp ในสมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

• พบวาความเคนเฉือน (x1y1) เปนศูนย,

• ความเคนเฉือนมีขนาดเปนศูนยที่ระนาบหลัก (principal plane)

τ x1y1 = −σ x −σ y

• กรณีความเคนในแนวแกน (uniaxial stress)

• σy = 0, xy = 0

σ1 =σ x

σ2 = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

θp1 = 0, θp2 =π2

• σy = 0, xy = 0

σ1 =σ x

σ2 = 0τ x1y1 = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

θp1 = 0, θp2 =π2

τ x1y1 = −σ x −σ y

• กรณีความเคนในระนาบ (biaxial stress)

• xy = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

θp1 = 0, θp2 =π2

• กรณีความเคนในระนาบ (biaxial stress)

• xy = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

θp1 = 0, θp2 =π2

σ1 =σ x

σ2 =σ y

τ x1y1 = 0τ x1y1 = −σ x −σ y

• กรณีความเคนเฉือนลวน (pure shear)

• σx = σy = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

θp1 =π4

, θp2 =π2+ π

4= 3π

σ1 = τ xyσ2 = −τ xy

• σx = σy = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

θp1 =π4

, θp2 =π2+ π

4= 3π

σ1 = τ xyσ2 = −τ xyτ x1y1 = 0

τ x1y1 = −σ x −σ y

ตัวอยางที่ 6.2 ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป มี σx = -81 MPa, σy = 129 MPa, และ xy = -36 MPa จงหาขนาดและทิศทางของความเคนหลัก

• ความเคนเฉือนสูงสุดเกิดขึ้นเม่ือ

• มุม θs คือ มุมที่ระนาบซึ่งเกิดความเคนเฉือนสูงสุดกระทำกับแกน x โดยเรียกระนาบนี้วาระนาบความเคนเฉือนสูงสุด (plane of maximum shear stress)

τ x1y1 = −σ x −σ y

• มุม θs ที่ไดมีสองคาเชนเดียวกับ θp และมีความแตกตางกัน 90o เชนกัน

โดยทำใหเกิด max และ min ที่มีขนาดเทากัน แตมีทิศทางแตกตางกัน

• ระนาบของความเคนเฉือนสูงสุดทำมุม 45o เม่ือเทียบกับระนาบหลัก θs1 =θp1 −

, θs2 =θp1 +π4

sin2θs1 =−σ x +σ y

• แทนคา cos 2θs และ sin 2θs ในสมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

• โดย

• ความเคนเฉือนสูงสุดมีคาเปนคร่ึงหนึ่งของผลรวมระหวางความเคนหลักสูงสุดและต่ำสุด

• ระนาบความเคนเฉือนสูงสุด (θs) มีความเคนตั้งฉากเฉล่ีย (ave) เกิดขึ้นเสมอ

• σy = 0, xy = 0

tan2θs = −σ x −σ y

2τ xy= ∞

θs1 =π4

, θs2 =3π4

τmax =σ x

τmin = −σ x

σave =σ x

• σx = σy = 0

τmax = τ xyτmin = −τ xyσave = 0

tan 2θs = −σ x −σ y

2τ xy= 0

θs1 = 0, θs2 =π2

ตัวอยางที่ 6.3 ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป มี σx = -81 MPa, σy = 129 MPa, และ xy = -36 MPa จงหาขนาดและทิศทางของความเคนเฉือนสูงสุด

• จากสมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ

• ยกกำลังสองและรวมกัน

• ซึ่งก็คือวงกลมรัศมี R โดยมีจุดศูนยกลางที่ (ave, 0) หรือ วงกลมของ มอรกรณีความเคนแบบระนาบ (Mohr’s circle for plane stress)

• กำหนดให และ

• กำหนดให x1 เปนแกนนอน และ x1y1 เปนแกนตั้ง (ทิศลงเปนบวก)

• กำหนดจุดศูนยกลางที่ x1 = ave และ x1y1 = 0

• กำหนดจุด A ซึ่งก็คือหนา x โดย θ = 0 ซึ่ง x1 = x และ x1y1 = xy

• กำหนดจุด B ซึ่งก็คือหนา y โดย θ = 90o ซึ่ง x1 = y และ x1y1 = -xy

• ลากเสน AB จะผานจุดศูนยกลาง (C) เพื่อแสดงถึงระนาบที่ตั้งฉากกัน และวาดวงกลมโดยใหมีรัศมี R

การสรางวงกลมของมอร A B

(tension)

σ1 =σave +Rσ2 =σave − R

(tension)

τmax = Rτmin = −R

(tension)

• คูณทั้งสองสมการแรกดวย cos 2θ และสมการที่สองดวย sin 2θ:

• บวกและลบทั้งสองสมการเขาดวยกัน

(1) + (2)

(1) - (2)

• ผลที่ได คือ สมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ

ตัวอยางที่ 6.4 ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป มี σx = -81 MPa, σy = 129 MPa, และ xy = -36 MPa จงหาขนาดและทิศทางของความเคนเฉือนสูงสุด โดยใชวงกลมของมอร

(tension)

• ชิ้นสวนความเคน A มีความเคนเกิดขึ้นดังนี้

ความเคนดัดของจุด A มีคามากที่สุด ที่จุดยึดหรือปลายดานซายสุดของโครงสราง

ความเคนเฉือนของจุด A จะมีคามากที่สุดที่ผิวของโครงสราง

• ชิ้นสวนความเคน B มีความเคนเกิดขึ้นดังนี้

ความเคนเฉือนจากแรงเฉือน

ความเคนเฉือนจากแรงบิด

• เนื่องจากไมสามารถเลือกทุกจุดบนโครงสรางมาคำนวณหาความเคนหลักและ

ความเคนเฉือนสูงสุดได

• ดังนั้นจึงควรเลือกจุดที่นาจะมีความเคนสูงที่สุดหรือจุดวิกฤต (critical point)

โดยอาศัยพื้นฐานความรูดานโครงสรางที่รับแรงในแนวแกน โครงสรางรับแรง

บิด และโครงสรางรับโมเมนตดัด

ตัวอยางที่ 6.5 โครงสรางรูปตัวแอลทำจากอลูมิเนียมผสม 6061-T651 โดยรูปรางและภาระที่มากระทำแสดงดังรูป ถาอลูมิเนียมผสมนี้มีความเคนคราก (σY ) เปน 275 MPa อยากทราบวาโครงสรางนี้จะเกิดความเสียหายหรือไม

• บริเวณที่มีความเคนมากระทำอยางรุนแรงหรือจุดวิกฤติ (critical point)

คือ บริเวณสวนลางสุดของโครงสราง ดังนั้นจึงแยกพิจารณาแรง P ที่ทำใน

แนว y (Py) และแรง P ที่ทำในแนว z (Pz)

1) ความเคนจากแรง Py = Pcos30o = 0.866 kN เปน

2) ความเคนจาก Pz = Psin30o = 0.5 kN เปน

รวมชิ้นสวนความเคน

จากแรง Py และ Pz

ตัวอยางที่ 6.6 โครงสรางรูปตัว L ดังรูป มีระยะ AB 0.5 ม. และระยะ BC 0.75 ม. ถาไมคิดน้ำหนักของโครงสราง จงคำนวณหาความเคนเคนดึงสูงสุด (σt), ความเคนอัดสูงสุด (σc) และความเคนเฉือนสูงสุด (max) ที่จุด A

• กำหนดใหชิ้นสวนความเคนมีขนาดเล็กมากๆ ดังนั้น

• ถาวัสดุแสดงพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน เราสามารถหาความเคน (stress) จากความเครียด (strain) จากกฎของฮุก:

• กฎของฮุกในกรณีความเคนแบบระนาบ (Hooke’s law for plane stress)

ตัวอยางที่ 6.7 อุปกรณวัดความเครียด (strain gage) A และ B ถูกติดตั้งอยูบนแผนโลหะบางซึ่งรับความเคน ดังรูป ถา x = 480x10-6, y = 130x10-6

และ E = 200 GPa, = 0.3 จงคำนวณหา σx และ σy

• กฎของฮุกในกรณีความเคนสามแกน

• กำหนดใหชิ้นสวนความเคนมีความยาวดานละหนึ่งหนวย

• การเปล่ียนแปลงปริมาตรหนึ่งหนวย (e)

~0~0~0~0

• e คือ ความเครียดโดยปริมาตร (volumetric strain) หรือ dilatation

ตัวอยางที่ 6.8 แผนโลหะหนา t รับความเคน σx = 90 MPa และ σy = -20 MPa จงคำนวณหา (a) ความเคนเฉือนสูงสุด (max) และ (b) การเปล่ียนแปลงความ

หนา (t) และการเปล่ียนแปลงปริมาตร (V) ถา t = 20 มม., b = 800 มม., h

= 400 มม., E = 200 GPa, และ = 0.3

• ความเคนหลักในกรณีความเคนใน

สามมิติ (1, 2, 3) สามารถหาไดจากรากทั้งสามของสมการ

• โดย stress invariants (A, B, C)

• ความเคนเฉือนสูงสุดคำนวณจากความเคนหลัก

• คาที่มากที่สุดของทั้ง 3 คานี้ คือความเคนเฉือนสูงสุดสัมบูรณ

การบาน 17

1) แผนโลหะบางซึ่งมีขนาดและรับภาระ ดังรูป จงหาความเคนตังฉาก (w)

และความเคนเฉือน (w) ที่เกิดบนรอยเชื่อม (weld)

2) ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ทำมุม = 30o กับแกน x โดยมีภาระ

มากระทำ ดังรูป จงหาความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนที่เกิดขึ้น เม่ือ

หนาทั้งคูของชิ้นสวนความเคนแบบระนาบอยูในทิศทางขนานกับแกน x

และแกน y

3) ที่จุดหนึ่งของโครงสรางในกรณีความเคนแบบระนาบ ทิศทางและขนาด

ของความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนสามารถแสดง ดังรูป (a) โดยเม่ือ

หมุนระนาบไปเปนมุม ทิศทางและขนาดของความเคนตั้งฉากและ

ความเคนเฉือนเปล่ียนไปเปนรูป (b) จงคำนวณหามุม

5) ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบซึ่งตัดมาจากชิ้นสวนเคร่ืองจักรกล มีทิศทาง

และขนาดของความเคน ดังรูป จงหา (a) ขนาดและทิศทางของความเคนหลัก

และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนเฉือนสูงสุด รวมถึงขนาดของ

ความเคนตั้งฉากที่เกิดขึ้น

การบาน 18

6) ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป มี x = 52 MPa, xy = -20 MPa โดย

ความเคนหลักคาหนึ่งเปน 58 MPa (แรงดึง) จงหา (a) ความเคนตั้งฉากในแนว

แกน y (y) และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนหลักทั้งหมด (1,2)

กำหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร

7) ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป มี xy = -20 MPa, y เปนความเคน

อัด, ความเคนหลักคาหนึ่งเปน 52 MPa (แรงดึง) และ ความเคนเฉือนสูงสุด

เปน 38 MPa จงหา (a) x และ y และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคน

หลักทั้งหมด กำหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร

8) แผนโลหะบางซึ่งมีขนาดและรับภาระ ดังรูป จงหาความเคนตังฉาก (w)

และความเคนเฉือน (w) ที่เกิดบนรอยเชื่อม (weld) กำหนดใหแกปญหาโดย

ใชวงกลมของมอร

9) ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ทำมุม = 30o กับแกน x โดยมีภาระมาก

ระทำ ดังรูป จงหาความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนที่เกิดขึ้น เม่ือหนาทั้งคู

ของชิ้นสวนความเคนแบบระนาบอยูในทิศทางขนานกับแกน x และแกน y

กำหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร

การบาน 1919) ปายและทอซึ่งมีเสนผาศูนยกลางภายใน 80 มม. เม่ือมีแรงดันลม

P = 1.8 kPa มากระทำบนปาย จงคำนวณหาความเคนเฉือนสูงสุด

ที่มากระทำที่จุด A, B และ C

21) เพลาขนาด d = 63 มม. ยึดติดกับจานโลหะหนัก 2 kN ซึ่งคลองกับ

สายพานซึ่งมีแรงดึง 5.3 kN และ 0.9 kN ดังรูป จงคำนวณหาความเคนเคนดึง

สูงสุด (max) และความเคนเฉือนสูงสุด (max) ในเพลาที่ต่ำแหนงของแบร่ิงตัว

แรก 150 มม. จากจานหมุน

22) ถังความดันรับแรงบิดและแรงดึง ดังรูป ถารัศมีของถัง r = 50 มม. ความ

หนาของถัง t = 3 มม. ความดันภายใน p = 5.3 MPa ความเคนสูงสุดที่วัสดุ

สามารถรับได all = 72 MPa และแรงบิด T = 450 N.m จงคำนวณหาแรง P

สูงสุดที่ไมทำใหถังความดันเสียหาย

23) ทอคร่ึงวงกลมเสนผาศูนยกลาง d มีน้ำหนักตอหนึ่งหนวยความยาว q

และมีจุดศูนยกลางมวลที่จุด C ซึ่งหางจากจุด O เปนระยะ c = 2R/ ดังรูป

จงหาความเคนเคนดึงสูงสุด (t), ความเคนอัดสูงสุด (c) และความเคน

เฉือนสูงสุด (max) ที่จุด B

จบการบรรยาย

Mechanics of Materialschaosuan.me.engr.tu.ac.th/chaosuan2/Handouts_ME210... ·...

Documents

Transcript of Mechanics of Materialschaosuan.me.engr.tu.ac.th/chaosuan2/Handouts_ME210... ·...

Plane problems in linear isotropic elasticitylmafsrv1.epfl.ch/Laurent/Fracture Mechanics/CH_4-Elasticity.pdf · Chapter 4 Plane problems in linear isotropic elasticity 4.1 Introduction

· Web view1.3 ความเค นแรงเฉ อน (Shear stress) ล กษณะของแรงท กระทำต อพ นท หน าต ด ท ขนานก

madhuvable.orgmadhuvable.org/wp-content/uploads/2013/12/IMOM-Slides... · 2013-12-22 · Interm ediate Mechanics of Materials: Chapter 8 Equilibrium equations Plane Stress Cartesian

Fluid Mechanics: Dec’17 - irfansir.in · Fluid Mechanics: Dec’17 Sem ... What is Kutzbach’s criterion for degree of freedom of plane mechanism? In what ways it differs from

คลื่นกล (Mechanical Wave) - rmutphysics.com · สมบัติความย ืดหยุ น (Elastic Property) • ความเค น (Stress) คือ

Answers to Homework 23 point possible Plane QUXT, plant QUVR Plane TSRQ, plane TSWX Plane XTQU, plane XTSW Plane VWXU, plane VWSR 2 points each.

CITY AND GUILDS 9210 Unit 130 MECHANICS OF … · of moment of plane areas; parallel axis theorem. ... Draw Mohrs' circle of stress and determine the stresses on a plane 20o to the

2 Plane Elasticity - Home | Scholars at Harvard · · 2014-07-08ES240 Solid Mechanics Fall 2009 9/26/11 Linear Elasticity-1 2. Plane Elasticity Problems Main Reference: Theory of

Critical Plane Analysis of Fatigue Crack Nucleation Under ......•Mechanics of Tension, Shear and Compression •Critical plane analysis of crack nucleation •Lessons learned Body

Introduction to Mechanics of Materialsocw.snu.ac.kr/sites/default/files/NOTE/Chapter 8_2.pdf · 2020. 10. 7. · 8 Plane stress FIGURE 8.1 (a) Thin plate with in-plane loads; (b)

Material in Mechanical Designpioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103320 Des Mach...Stress-strain curve (1) Ductile material pl: Proportional limit ความเค น-ความเคร

3.1 FLUID MECHANICS - Longowal · PDF file1.2 Fluid Mechanics, Hydrostatics, Hydrodynamics, Hydraulics 2. ... 4.3 Equilibrium of a body lying on a horizontal plane, equilibrium of

6 Plane Stress Analysis - Rice University · Plane stress analysis is the 2D stress state that is usually covered in undergraduate courses on mechanics of materials. It is based on

กลศาสตร ของแข็ง 2 - t U · 2012-11-05 · 2.5 ความเค นบนพ ื้ี่ าตนทัหนี่เอดที ยง 4 5 2.6 พลังงานความเครี

2. Plane Elasticity Problems - Mechanics Elasticity_1.pdf10/11/07 Linear Elasticity-1 2. Plane Elasticity Problems Main Reference: Theory of Elasticity, by S.P. Timoshenko and J.N.

Mechanics - Centroid of Plane Figures

Homogeneous Multivariate Polynomials with the …oxley/ycjoasdw.pdfHomogeneous Multivariate Polynomials with the Half-Plane Property ... electrical circuit theory and statistical mechanics.

Fluid Mechanics - Recently Added | An-Najah Videos · PDF file[3] Fall –2010 –Fluid Mechanics Dr. Mohammad N. Almasri [3-2] Fluid Statics Hydrostatic Forces on Submerged Plane

Orbital Mechanics - Webmae-nas.eng.usu.edu › MAE_5540_Web › propulsion_systems › section2 › sectio… · Orbital Mechanics: Conservation of Angular Momentum and the In-plane

Stretchable Electronics: In‐Plane Deformation Mechanics for …rogersgroup.northwestern.edu/files/2017/nonbucklingam.pdf · Stretchable electronics represents a relatively recent