Mechanics of Materialschaosuan.me.engr.tu.ac.th/chaosuan2/Handouts_ME210... ·...

กลศาสตรวัสดุMechanics of Materials

รองศาสตราจารย์ ดร. ชาวสวน กาญจโนมัยภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์

มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

1

Thursday, February 27, 14

2

สัปดาหที่ เนื้อหา เอกสาร (หนา)

8 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด 1 1 - 14



11ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับภาระผสม การวิเคราะหตำแหนงวิกฤติ

49 - 78

12การวิเคราะหขนาดและทิศทางของความเคนตั้งฉากสูงสุดและความเคนเฉือนสูงสุด

49 - 78

13 ทฤษฎีความเสียหายเบ้ืองตน 49 - 78

14 การวัดความเคนและความเครียด 49 - 78

15 สอบปลายภาค

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

แผนการบรรยาย


3

ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับภาระผสม การวิเคราะหตำแหนงวิกฤติ



• ความเคนแบบระนาบ (plane stress)

• ความเคนหลัก (principal stress)

• ความเคนเฉือนสูงสุด (maximum shear stress)

• วงกลมมอรกรณีความเคนแบบระนาบ (Mohr’s circle for plane stress)

• ภาระรวมแบบระนาบความเคน (combined loadings - plane stress)

• กฎของฮุกกรณีความเคนสามแกน (Hooke’s law for triaxial stress)

4


หัวขอบรรยาย


5


• เราสามารถคำนวณหาความเคนที่เกิดบนหนาตัดเนื่องจากภาระประเภทตางๆ ที่เกิดบนโครงสรางได เชน แรงตามแนวแกน (axial loading), แรงบิด (torsion), แรงเฉือน (shear force), และโมเมนตดัด (bending moment)

• แตถาตองการทราบความเคนที่เกิดบนระนาบใดๆ จำเปนที่จะตองเปล่ียนความเคนบนหนาตัดใหเปล่ียนไปตามทิศทางที่ตองการ ซึ่งเรียกวิธีนี้วา “การเปล่ียนรูปความเคน (stress transformation)”


6


• ความเคนระนาบ (plane stress) เปนกรณีที่ชิ้นสวนความเคน (stress element) มีความเคนเกิดขึ้นที่หนา x และ y เทานั้น โดยที่หนา z จะไมมีความเคน


7


• ความเคนเฉือน (shear stress) และความเคนตั้งฉาก (normal stress) บน stress element เปน

• จากสมการสมดุลพบวา หรือ


8


• ถาตัดชิ้นสวนความเคนดวยระนาบเอียง (inclined section) เราสามารถแสดงความเคนที่เกิดบนระนาบเอียงไดโดย

• x1 คือ ความเคนตั้งฉากที่กระทำบนแกน x1 ที่ทำมุม θ กับแกน x

• x1y1 คือ ความเคนตั้งฉากที่กระทำบนหนา x1 ที่ทำมุม θ กับแกน x

• x1y1 = y1x1


9


• กำหนดพื้นที่บนหนา -x เปน Ao, หนา -y เปน Ao tanθ, และ บนระนาบเอียงเปน Ao secθ จากสมการสมดุล สามารถคำนวณแรงบนระนาบเอียงเปน


10


• พิจารณาสมการสมดุลในทิศทาง x1


11


• พิจารณาสมการสมดุลในทิศทาง y1


12


• การเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

τ x1y1 = −σ x −σ y

2sin2θ +τ xy cos2θ


13


• ความเคนตั้งฉากที่กระทำบนหนา y1 บนระนาบเอียง สามารถแทน θ ดวย θ + /2 ดังนั้น

τ x1y1 = −σ x −σ y



14


• พบวา σx + σy = σx1 + σy1 หรือ ผลรวมของความเคนตั้งฉากที่กระทำบนหนาคูใดๆ ที่ตั้งฉากกันในชิ้นสวนความเคนแบบระนาบจะคงที่ โดยไมขึ้นกับมุม θ

τ x1y1 = −σ x −σ y



15


• กรณีแรงในแนวแกน (uniaxial stress)

• σy = 0, xy = 0

τ x1y1 = −σ x −σ y



16


• กรณีแรงเฉือน (pure shear)

• σx = 0, σy = 0

τ x1y1 = −σ x −σ y



17


ตัวอยางที่ 6.1 ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ซึ่งทำมุม θ = 30o กับแกน x โดยมีภาระมากระทำดังรูป จงหาความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนที่เกิดขึ้น เม่ือหนาทั้งคูของชิ้นสวนความเคนแบบระนาบอยูในทิศทางขนานกับแกน x และแกน y


18









19




20


• เนื่องจากขนาดของ σx1, σy1, x1y1 มีการเปล่ียนแปลงตามแกนที่หมุนไปเปนมุม θ ตางๆ

• ขนาดที่มากที่สุดของความเคนตั้งฉาก (normal stress) และความเคนเฉือน (shear stress) เปนคาที่ใชในการออกแบบหรือใชวิเคราะหโครงสรางที่ถูกใชงาน

• โดยสามารถเรียกคาสูงสุดและต่ำสุดของความเคนตั้งฉากนี้วา “ความเคนหลัก (principal stress)”


21


• ความเคนหลักเกิดขึ้นเม่ือ

• มุม θp คือมุมที่ระนาบซึ่งเกิดความเคนหลัก (principal stress) กระทำกับแกน x โดยเรียกระนาบนี้วาระนาบหลัก (principal plane)

τ x1y1 = −σ x −σ y



22


• คาของ 2θp มี 2 คา โดยมีความแตกตางกัน 90 องศา


23


• ดังนั้น θp ทั้งสองคามีความแตกตางกัน π/2


24


• มุม θp คาหนึ่งจะทำใหเกิดความเคนหลักสูงสุด (maximum principal stress) และอีกคาหนึ่งจะทำใหเกิดความเคนหลักต่ำสุด (minimum principal stress)

• ความเคนหลักทั้งสองจะเกิดบนระนาบซึ่งตั้งฉากซึ่งกันและกัน

• คาของความเคนหลักสามารถคำนวณไดโดยแทน θp ทั้งสองในสมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)


25



26


• แทนคา cos 2θp และ sin 2θp ในสมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

• พบวาความเคนหลัก (1) เปน


27


• แตเนื่องจากความเคนหลักสูงสุดและต่ำสุดเกิดบนระนาบที่ตั้งฉากกันสงผลใหผลรวมของความเคนหลักสูงสุดและต่ำสุดจะคงที่ ดังนั้น

• 1 คือ ความเคนหลักสูงสุด

• 2 คือ ความเคนหลักต่ำสุด

และ


28


• แทนคา cos 2θp และ sin 2θp ในสมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

• พบวาความเคนเฉือน (x1y1) เปนศูนย,

• ความเคนเฉือนมีขนาดเปนศูนยที่ระนาบหลัก (principal plane)

τ x1y1 = −σ x −σ y



29


• กรณีความเคนในแนวแกน (uniaxial stress)

• σy = 0, xy = 0

σ1 =σ x

σ2 = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

= 0

θp1 = 0, θp2 =π2


30



• σy = 0, xy = 0

σ1 =σ x

σ2 = 0τ x1y1 = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

= 0

θp1 = 0, θp2 =π2

τ x1y1 = −σ x −σ y



31


• กรณีความเคนในระนาบ (biaxial stress)

• xy = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

= 0

θp1 = 0, θp2 =π2


32


• กรณีความเคนในระนาบ (biaxial stress)

• xy = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

= 0

θp1 = 0, θp2 =π2

σ1 =σ x

σ2 =σ y

τ x1y1 = 0τ x1y1 = −σ x −σ y



33


• กรณีความเคนเฉือนลวน (pure shear)

• σx = σy = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

= ∞

θp1 =π4

, θp2 =π2+ π

4= 3π

4

σ1 = τ xyσ2 = −τ xy


34



• σx = σy = 0

tan2θp =2τ xy

σ x −σ y

= ∞

θp1 =π4

, θp2 =π2+ π

4= 3π

4

σ1 = τ xyσ2 = −τ xyτ x1y1 = 0

τ x1y1 = −σ x −σ y



35


ตัวอยางที่ 6.2 ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป มี σx = -81 MPa, σy = 129 MPa, และ xy = -36 MPa จงหาขนาดและทิศทางของความเคนหลัก


36



37



38









39




40


• ความเคนเฉือนสูงสุดเกิดขึ้นเม่ือ

• มุม θs คือ มุมที่ระนาบซึ่งเกิดความเคนเฉือนสูงสุดกระทำกับแกน x โดยเรียกระนาบนี้วาระนาบความเคนเฉือนสูงสุด (plane of maximum shear stress)

τ x1y1 = −σ x −σ y



41


• มุม θs ที่ไดมีสองคาเชนเดียวกับ θp และมีความแตกตางกัน 90o เชนกัน

โดยทำใหเกิด max และ min ที่มีขนาดเทากัน แตมีทิศทางแตกตางกัน

• ระนาบของความเคนเฉือนสูงสุดทำมุม 45o เม่ือเทียบกับระนาบหลัก θs1 =θp1 −

π4

, θs2 =θp1 +π4


42


sin2θs1 =−σ x +σ y

2R


43


• แทนคา cos 2θs และ sin 2θs ในสมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

• โดย


2R


44


• ความเคนเฉือนสูงสุดมีคาเปนคร่ึงหนึ่งของผลรวมระหวางความเคนหลักสูงสุดและต่ำสุด


45


• ระนาบความเคนเฉือนสูงสุด (θs) มีความเคนตั้งฉากเฉล่ีย (ave) เกิดขึ้นเสมอ


2R


46



• σy = 0, xy = 0

tan2θs = −σ x −σ y

2τ xy= ∞

θs1 =π4

, θs2 =3π4

τmax =σ x

2

τmin = −σ x

2

σave =σ x

2


47



• σx = σy = 0

τmax = τ xyτmin = −τ xyσave = 0

tan 2θs = −σ x −σ y

2τ xy= 0

θs1 = 0, θs2 =π2


48


ตัวอยางที่ 6.3 ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป มี σx = -81 MPa, σy = 129 MPa, และ xy = -36 MPa จงหาขนาดและทิศทางของความเคนเฉือนสูงสุด


49



50









51




52


• จากสมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ

• ยกกำลังสองและรวมกัน


53


• ซึ่งก็คือวงกลมรัศมี R โดยมีจุดศูนยกลางที่ (ave, 0) หรือ วงกลมของ มอรกรณีความเคนแบบระนาบ (Mohr’s circle for plane stress)

• กำหนดให และ


54


• กำหนดให x1 เปนแกนนอน และ x1y1 เปนแกนตั้ง (ทิศลงเปนบวก)

• กำหนดจุดศูนยกลางที่ x1 = ave และ x1y1 = 0

• กำหนดจุด A ซึ่งก็คือหนา x โดย θ = 0 ซึ่ง x1 = x และ x1y1 = xy

• กำหนดจุด B ซึ่งก็คือหนา y โดย θ = 90o ซึ่ง x1 = y และ x1y1 = -xy

• ลากเสน AB จะผานจุดศูนยกลาง (C) เพื่อแสดงถึงระนาบที่ตั้งฉากกัน และวาดวงกลมโดยใหมีรัศมี R

การสรางวงกลมของมอร A B


55


A

B

R

(tension)


56


R

σ1 =σave +Rσ2 =σave − R

(tension)


57


R

τmax = Rτmin = −R

(tension)


58


DD’

R

(tension)


59


A

B

R

(tension)


60


• คูณทั้งสองสมการแรกดวย cos 2θ และสมการที่สองดวย sin 2θ:


61


• บวกและลบทั้งสองสมการเขาดวยกัน

(1)

(2)

(1) + (2)

(1) - (2)


62


• ผลที่ได คือ สมการการเปล่ียนรูปความเคนแบบระนาบ


63


ตัวอยางที่ 6.4 ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป มี σx = -81 MPa, σy = 129 MPa, และ xy = -36 MPa จงหาขนาดและทิศทางของความเคนเฉือนสูงสุด โดยใชวงกลมของมอร


64


(tension)


65


(tension)


66


(tension)








67




68


• ชิ้นสวนความเคน A มีความเคนเกิดขึ้นดังนี้

ความเคนดัดของจุด A มีคามากที่สุด ที่จุดยึดหรือปลายดานซายสุดของโครงสราง

ความเคนเฉือนของจุด A จะมีคามากที่สุดที่ผิวของโครงสราง


69


• ชิ้นสวนความเคน B มีความเคนเกิดขึ้นดังนี้

ความเคนเฉือนจากแรงเฉือน

ความเคนเฉือนจากแรงบิด

ความเคนเฉือนจากแรงบิด


70


• เนื่องจากไมสามารถเลือกทุกจุดบนโครงสรางมาคำนวณหาความเคนหลักและ

ความเคนเฉือนสูงสุดได

• ดังนั้นจึงควรเลือกจุดที่นาจะมีความเคนสูงที่สุดหรือจุดวิกฤต (critical point)

โดยอาศัยพื้นฐานความรูดานโครงสรางที่รับแรงในแนวแกน โครงสรางรับแรง

บิด และโครงสรางรับโมเมนตดัด


71


ตัวอยางที่ 6.5 โครงสรางรูปตัวแอลทำจากอลูมิเนียมผสม 6061-T651 โดยรูปรางและภาระที่มากระทำแสดงดังรูป ถาอลูมิเนียมผสมนี้มีความเคนคราก (σY ) เปน 275 MPa อยากทราบวาโครงสรางนี้จะเกิดความเสียหายหรือไม


72


• บริเวณที่มีความเคนมากระทำอยางรุนแรงหรือจุดวิกฤติ (critical point)

คือ บริเวณสวนลางสุดของโครงสราง ดังนั้นจึงแยกพิจารณาแรง P ที่ทำใน

แนว y (Py) และแรง P ที่ทำในแนว z (Pz)


73


1) ความเคนจากแรง Py = Pcos30o = 0.866 kN เปน


74



75


2) ความเคนจาก Pz = Psin30o = 0.5 kN เปน


76



77


รวมชิ้นสวนความเคน

จากแรง Py และ Pz


78



79


ตัวอยางที่ 6.6 โครงสรางรูปตัว L ดังรูป มีระยะ AB 0.5 ม. และระยะ BC 0.75 ม. ถาไมคิดน้ำหนักของโครงสราง จงคำนวณหาความเคนเคนดึงสูงสุด (σt), ความเคนอัดสูงสุด (σc) และความเคนเฉือนสูงสุด (max) ที่จุด A


80



81









82




83


• กำหนดใหชิ้นสวนความเคนมีขนาดเล็กมากๆ ดังนั้น


84


• ถาวัสดุแสดงพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน เราสามารถหาความเคน (stress) จากความเครียด (strain) จากกฎของฮุก:

• กฎของฮุกในกรณีความเคนแบบระนาบ (Hooke’s law for plane stress)


85


ตัวอยางที่ 6.7 อุปกรณวัดความเครียด (strain gage) A และ B ถูกติดตั้งอยูบนแผนโลหะบางซึ่งรับความเคน ดังรูป ถา x = 480x10-6, y = 130x10-6

และ E = 200 GPa, = 0.3 จงคำนวณหา σx และ σy


86



87


• กฎของฮุกในกรณีความเคนสามแกน


88


• กำหนดใหชิ้นสวนความเคนมีความยาวดานละหนึ่งหนวย

• การเปล่ียนแปลงปริมาตรหนึ่งหนวย (e)

~0~0~0~0

• e คือ ความเครียดโดยปริมาตร (volumetric strain) หรือ dilatation


89


ตัวอยางที่ 6.8 แผนโลหะหนา t รับความเคน σx = 90 MPa และ σy = -20 MPa จงคำนวณหา (a) ความเคนเฉือนสูงสุด (max) และ (b) การเปล่ียนแปลงความ

หนา (t) และการเปล่ียนแปลงปริมาตร (V) ถา t = 20 มม., b = 800 มม., h

= 400 มม., E = 200 GPa, และ = 0.3


90



91



92



93


• ความเคนหลักในกรณีความเคนใน

สามมิติ (1, 2, 3) สามารถหาไดจากรากทั้งสามของสมการ

• โดย stress invariants (A, B, C)


94


• ความเคนเฉือนสูงสุดคำนวณจากความเคนหลัก

• คาที่มากที่สุดของทั้ง 3 คานี้ คือความเคนเฉือนสูงสุดสัมบูรณ

1

2

3

1

2

3


95


การบาน 17

1) แผนโลหะบางซึ่งมีขนาดและรับภาระ ดังรูป จงหาความเคนตังฉาก (w)

และความเคนเฉือน (w) ที่เกิดบนรอยเชื่อม (weld)


96


2) ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ทำมุม = 30o กับแกน x โดยมีภาระ

มากระทำ ดังรูป จงหาความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนที่เกิดขึ้น เม่ือ

หนาทั้งคูของชิ้นสวนความเคนแบบระนาบอยูในทิศทางขนานกับแกน x

และแกน y


97


3) ที่จุดหนึ่งของโครงสรางในกรณีความเคนแบบระนาบ ทิศทางและขนาด

ของความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนสามารถแสดง ดังรูป (a) โดยเม่ือ

หมุนระนาบไปเปนมุม ทิศทางและขนาดของความเคนตั้งฉากและ

ความเคนเฉือนเปล่ียนไปเปนรูป (b) จงคำนวณหามุม


98


5) ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบซึ่งตัดมาจากชิ้นสวนเคร่ืองจักรกล มีทิศทาง

และขนาดของความเคน ดังรูป จงหา (a) ขนาดและทิศทางของความเคนหลัก

และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนเฉือนสูงสุด รวมถึงขนาดของ

ความเคนตั้งฉากที่เกิดขึ้น


99


การบาน 18

6) ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป มี x = 52 MPa, xy = -20 MPa โดย

ความเคนหลักคาหนึ่งเปน 58 MPa (แรงดึง) จงหา (a) ความเคนตั้งฉากในแนว

แกน y (y) และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนหลักทั้งหมด (1,2)

กำหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร


100


7) ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป มี xy = -20 MPa, y เปนความเคน

อัด, ความเคนหลักคาหนึ่งเปน 52 MPa (แรงดึง) และ ความเคนเฉือนสูงสุด

เปน 38 MPa จงหา (a) x และ y และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคน

หลักทั้งหมด กำหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร


101


8) แผนโลหะบางซึ่งมีขนาดและรับภาระ ดังรูป จงหาความเคนตังฉาก (w)

และความเคนเฉือน (w) ที่เกิดบนรอยเชื่อม (weld) กำหนดใหแกปญหาโดย

ใชวงกลมของมอร


102


9) ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ทำมุม = 30o กับแกน x โดยมีภาระมาก

ระทำ ดังรูป จงหาความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนที่เกิดขึ้น เม่ือหนาทั้งคู

ของชิ้นสวนความเคนแบบระนาบอยูในทิศทางขนานกับแกน x และแกน y

กำหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร


103


การบาน 1919) ปายและทอซึ่งมีเสนผาศูนยกลางภายใน 80 มม. เม่ือมีแรงดันลม

P = 1.8 kPa มากระทำบนปาย จงคำนวณหาความเคนเฉือนสูงสุด

ที่มากระทำที่จุด A, B และ C


104


21) เพลาขนาด d = 63 มม. ยึดติดกับจานโลหะหนัก 2 kN ซึ่งคลองกับ

สายพานซึ่งมีแรงดึง 5.3 kN และ 0.9 kN ดังรูป จงคำนวณหาความเคนเคนดึง

สูงสุด (max) และความเคนเฉือนสูงสุด (max) ในเพลาที่ต่ำแหนงของแบร่ิงตัว

แรก 150 มม. จากจานหมุน


105


22) ถังความดันรับแรงบิดและแรงดึง ดังรูป ถารัศมีของถัง r = 50 มม. ความ

หนาของถัง t = 3 มม. ความดันภายใน p = 5.3 MPa ความเคนสูงสุดที่วัสดุ

สามารถรับได all = 72 MPa และแรงบิด T = 450 N.m จงคำนวณหาแรง P

สูงสุดที่ไมทำใหถังความดันเสียหาย


106


23) ทอคร่ึงวงกลมเสนผาศูนยกลาง d มีน้ำหนักตอหนึ่งหนวยความยาว q

และมีจุดศูนยกลางมวลที่จุด C ซึ่งหางจากจุด O เปนระยะ c = 2R/ ดังรูป

จงหาความเคนเคนดึงสูงสุด (t), ความเคนอัดสูงสุด (c) และความเคน

เฉือนสูงสุด (max) ที่จุด B


จบการบรรยาย

107



Mechanics of Materialschaosuan.me.engr.tu.ac.th/chaosuan2/Handouts_ME210... ·...

Documents

Transcript of Mechanics of Materialschaosuan.me.engr.tu.ac.th/chaosuan2/Handouts_ME210... ·...