Post on 16-Sep-2018
Mathématiques pour la mécanique de la rupturesingularités, analyse asymptotique, calcul numérique
Grégory Vial
Institut Camille Jordan, École Centrale de Lyon
Colloque Inter’actions 2016
ENS Lyon, 23–27 mai 2016
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureContexte
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureContexte
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureContexte
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureContexte
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureContexte
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.
I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?
I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?
I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
!
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•!(t)
I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétique
I Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétique
I Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétique
I Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.
I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .
I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I AxiomesI Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.
I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I AxiomesI Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .
I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I AxiomesI Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k`
; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes.
Il y a unicité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
I W strict. convexe sur [`0, L].
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
L
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
I W strict. convexe sur [`0, L].
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
L
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
I W strict. convexe sur [`0, L].
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
L
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
I W strict. convexe sur [`0, L].
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
L
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
t2W (0) ≤ t2W (`) + k`.
I W strict. convexe sur [`0, L].
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
L
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
W (`) ≥W (0)− kt2
`.
I W strict. convexe sur [`0, L].
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
W (0) •
•
`0
•L•
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
W (`) ≥W (0)− kt2
`.
I W strict. convexe sur [`0, L].
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
W (0) •
•
`0
•L•
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
W (`) ≥W (0)− kt2
`.
I W strict. convexe sur [`0, L].
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
W (`) ≥W (0)− kt2
`.
I W strict. convexe sur [`0, L].
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureModèles mathématiques étudiés
I Comment calculer l’énergie W (`) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureModèles mathématiques étudiés
I Comment calculer l’énergie W (`) ?
I Cadre réaliste : élasticité linéaire 3DI ~u(x1, x2, x3) : vecteur déplacement (inconnue).
I ~f (x1, x2, x2) : vecteur chargement (connu).
I EDP : « L~u = ~f », avec L opérateur linéaire.I Conditions aux limites.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureModèles mathématiques étudiés
I Comment calculer l’énergie W (`) ?
I Problème « jouet » (∆ = ∂2
∂x21
+ ∂2
∂x22
)
x1
x2
Ω
Γ `•0•
−∆u(x) = f (x) dans Ω,
u(x) = 0 sur ∂Ω \ Γ,
∂u∂x2
(x) = 0 sur Γ,
etW (`) = −
∫Ω
|∇u|2.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureModèles mathématiques étudiés
I Comment calculer l’énergie W (`) ?
I Problème « jouet » (∆ = ∂2
∂x21
+ ∂2
∂x22
)
x1
x2
Ω
Γ `•0•
−∆u(x) = f (x) dans Ω,
u(x) = 0 sur ∂Ω \ Γ,
∂u∂x2
(x) = 0 sur Γ,
etW (`) = −
∫Ω
|∇u|2.
Question : relier W (`) au comportement de u en front de fissure ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat :
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ C k (Ω), alors f = −∆u ∈ C k−2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I OK dans Rd :
I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I OK dans Rd :
Hk (Rd) =
u ∈ L2(Ω) ;
(1 + |ξ|2
) k2 u ∈ L2(Rd)
.
I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I OK dans Rd :
Hk (Rd) =
u ∈ L2(Ω) ;
(1 + |ξ|2
) k2 u ∈ L2(Rd)
.
Si u ∈ L2 et −∆u ∈ L2, alors u −∆u ∈ L2
I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I OK dans Rd :
Hk (Rd) =
u ∈ L2(Ω) ;
(1 + |ξ|2
) k2 u ∈ L2(Rd)
.
Si u ∈ L2 et −∆u ∈ L2, alors u −∆u ∈ L2 et
F [u −∆u](ξ) = (1 + |ξ|2)u(ξ),
I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I OK dans Rd :
Hk (Rd) =
u ∈ L2(Ω) ;
(1 + |ξ|2
) k2 u ∈ L2(Rd)
.
Si u ∈ L2 et −∆u ∈ L2, alors u −∆u ∈ L2 et
F [u −∆u](ξ) = (1 + |ξ|2)u(ξ),
donc u ∈ H2(Rd).
I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Soit u(r , θ) = η(r)s(r , θ), avec s(t , θ) =√
r sin(θ2
),
et η = 1 pour r < r∗ et η = 0 pour r > r∗.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Soit u(r , θ) = η(r)s(r , θ), avec s(t , θ) =√
r sin(θ2
),
et η = 1 pour r < r∗ et η = 0 pour r > r∗.
∆u = η∆s + 2∇η · ∇s + ∆ηs
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Soit u(r , θ) = η(r)s(r , θ), avec s(t , θ) =√
r sin(θ2
),
et η = 1 pour r < r∗ et η = 0 pour r > r∗.
∆u = 2∇η · ∇s + ∆ηs
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Soit u(r , θ) = η(r)s(r , θ), avec s(t , θ) =√
r sin(θ2
),
et η = 1 pour r < r∗ et η = 0 pour r > r∗.
∆u = 2∇η · ∇s + ∆ηs ∈ C∞(Ω) ⊂ L2(Ω).
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Soit u(r , θ) = η(r)s(r , θ), avec s(t , θ) =√
r sin(θ2
),
et η = 1 pour r < r∗ et η = 0 pour r > r∗.
∆u = 2∇η · ∇s + ∆ηs ∈ C∞(Ω) ⊂ L2(Ω).
Pourtant u /∈ H2(Ω).
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème de Dirichlet
I Dans un polygone
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angleω, alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = πω
.
Remarque. rα sin(αθ) ∈ H2(Ω) ssi α > 1.
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème de DirichletI Dans un ouvert régulier
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω est de classe C 2, alors lasolution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u ∈ H2(Ω).
I Dans un polygone
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angleω, alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = πω
.
Remarque. rα sin(αθ) ∈ H2(Ω) ssi α > 1.
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème de DirichletI Dans un polygone
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angleω, alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = πω
.
Remarque. rα sin(αθ) ∈ H2(Ω) ssi α > 1.
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème de DirichletI Dans un polygone
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angleω, alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = πω
.
Remarque. rα sin(αθ) ∈ H2(Ω) ssi α > 1.
Ω
θ
r
0•
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème de DirichletI Dans un polygone
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angleω, alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = πω
.
Remarque. rα sin(αθ) ∈ H2(Ω) ssi α > 1.
Ω
θ
r
0•
Le gradient du déplacementn’est pas borné :
∇u'0
r−13
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
λ : facteur d’intensité de contrainte (SIF).
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
λ : facteur d’intensité de contrainte (SIF).
Lien avec le taux de restitution d’énergie :
W ′(`) = −λ2 π
4.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
−∆u = f
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
∀v ∈ H −∆u v = f v
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
∀v ∈ H −∫
Ω
∆u v =
∫Ω
f v
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
∀v ∈ H −∫∂Ω
∂νu v +
∫Ω
∇u · ∇v =
∫Ω
f v
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
∀v ∈ H
∫Ω
∇u · ∇v =
∫Ω
f v (P)
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀vn ∈ Hn
∫Ω
∇un · ∇vn =
∫Ω
f vn (Pn)
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀vn ∈ Hn
∫Ω
∇un · ∇vn =
∫Ω
f vn (Pn)
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀vn ∈ Hn
n∑j=1
αj
∫Ω
∇φj · ∇vn =
∫Ω
f vn
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀i = 1, . . . ,n,n∑
j=1
αj
∫Ω
∇φj · ∇φi =
∫Ω
f φi
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀i = 1, . . . ,n,n∑
j=1
αjKi j =
∫Ω
f φi
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀i = 1, . . . ,n,n∑
j=1
αjKi j = Bi
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
Kα = B
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
Ki j =
∫Ω
∇φj · ∇φi Bi =
∫Ω
fφi .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
Kα = B
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
Ki j =
∫Ω
∇φj · ∇φi Bi =
∫Ω
fφi .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finisI Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u
Calculs pour h ' 0.01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un
Calculs pour h ' 0.01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.01 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 9 · 10−4
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 2.7 · 10−4
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 8 · 10−5
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u
Calculs pour h ' 0.01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un
Calculs pour h ' 0.01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.01 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 0.22
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 3.3 · 10−2
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 2.6 · 10−2
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
I But = construire des méthodes pour pallier ce défaut.
I Méthodes de raffinement de maillage.
I Méthodes d’adjonction de singularité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
I But = construire des méthodes pour pallier ce défaut.
I Méthodes de raffinement de maillage.
I Méthodes d’adjonction de singularité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
I But = construire des méthodes pour pallier ce défaut.
I Méthodes de raffinement de maillage.
I Méthodes d’adjonction de singularité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
I But = construire des méthodes pour pallier ce défaut.
I Méthodes de raffinement de maillage.
I Méthodes d’adjonction de singularité.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Comment calculer le SIF pour des petites fissures ?
I Problème modèle :
Ωεε
0••0ε
−∆uε(x) = f (x) dans Ωε,
uε(x) = 0 sur ∂Ωε
Pour ε > 0,
uε(x) = uεreg + λε√
rε sin(θε2
).
Question. Asymptotique de λε pour ε→ 0 ?
I Méthode : construire un développement asymptotique de uε.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Comment calculer le SIF pour des petites fissures ?
I Problème modèle :
Ωεε
0••0ε
−∆uε(x) = f (x) dans Ωε,
uε(x) = 0 sur ∂Ωε
Pour ε > 0,
uε(x) = uεreg + λε√
rε sin(θε2
).
Question. Asymptotique de λε pour ε→ 0 ?
I Méthode : construire un développement asymptotique de uε.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Comment calculer le SIF pour des petites fissures ?
I Problème modèle :
Ωεε
0••0ε
−∆uε(x) = f (x) dans Ωε,
uε(x) = 0 sur ∂Ωε
Pour ε > 0,
uε(x) = uεreg + λε√
rε sin(θε2
).
Question. Asymptotique de λε pour ε→ 0 ?
I Méthode : construire un développement asymptotique de uε.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Comment calculer le SIF pour des petites fissures ?
I Problème modèle :
Ωεε
0••0ε
−∆uε(x) = f (x) dans Ωε,
uε(x) = 0 sur ∂Ωε
Pour ε > 0,
uε(x) = uεreg + λε√
rε sin(θε2
).
Question. Asymptotique de λε pour ε→ 0 ?
I Méthode : construire un développement asymptotique de uε.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Comment calculer le SIF pour des petites fissures ?
I Problème modèle :
Ωεε
0••0ε
−∆uε(x) = f (x) dans Ωε,
uε(x) = 0 sur ∂Ωε
Pour ε > 0,
uε(x) = uεreg + λε√
rε sin(θε2
).
Question. Asymptotique de λε pour ε→ 0 ?
I Méthode : construire un développement asymptotique de uε.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c ε23 K(xε
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c ε23 K(xε
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c ε23 K(xε
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c ε23 K(xε
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
K (X) 'X=01
b√|X− 01| sin
(θ
2
)
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c b ε23
√∣∣∣xε− 01
∣∣∣ sin(θ1
2
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
K (X) 'X=01
b√|X− 01| sin
(θ
2
)
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c b ε23
√∣∣∣∣xε − 0εε
∣∣∣∣ sin(θ1
2
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
K (X) 'X=01
b√|X− 01| sin
(θ
2
)
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c b ε23−
12
√|x− 0ε| sin
(θε2
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
K (X) 'X=01
b√|X− 01| sin
(θ
2
)
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
K (X) 'X=01
b√|X− 01| sin
(θ
2
)
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I Décomposition au voisinage de 0ε
uε(x) ' uεreg + λε
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I D’où l’asymptotique
λε = c b ε16 .
En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.
Ωεε
0••0ε
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I Décomposition au voisinage de 0ε
uε(x) ' uεreg + λε
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I D’où l’asymptotique
λε = c b ε16 .
En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.
Ωεε
0••0ε
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I Décomposition au voisinage de 0ε
uε(x) ' uεreg + λε
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I D’où l’asymptotique
λε = c b ε16 .
En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.
Ωεε
0• •0ε
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I Décomposition au voisinage de 0ε
uε(x) ' uεreg + λε
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I D’où l’asymptotique
λε = c b ε16 .
En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.
Ωεε
0• •0ε
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I Décomposition au voisinage de 0ε
uε(x) ' uεreg + λε
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I D’où l’asymptotique
λε = c b ε16 .
En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.
Ωεε
0• •0ε
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.