Domaine d’application des opérateurs de mécanique de la rupture et conseils d’utilisation

8/16/2019 Domaine d’application des opérateurs de mécanique de la rupture et conseils d’utilisation

1/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : 1/!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

Domaine d’application des opérateurs demécanique de la rupture et conseils d’utilisation

Résumé :

La caractérisation de l’état des pièces fissurées s’appuie sur la détermination du taux de restitution d’énergie etdes facteurs d’intensité de contraintes, bases de nombreux critères en mécanique de la rupture (amorçage enfond de fissure, propagation de défauts, méthodes simplifiées).

Ce document présente les fonctionnalités disponibles dans +ode)ster , indique leur domaine de alidité etdonne des conseils d’utilisation. !n éoque les calculs élastiques (linéaires ou non linéaires) etélastoplastiques (formulations GTP en ductile et Gp en fragile). "n reanche, on n#aborde pas le calcul desdériées du taux de restitution d#énergie.

La lecture de ce document peut se faire $ deux nieaux %

• pour un nouel utilisateur en mécanique de la rupture, oulant conna&tre les méthodes utilisées et lescommandes du +ode)ster nécessaires $ la réalisation de son étude,

• pour un utilisateur plus aerti, $ la recherche de conseils d’utilisation pour résoudre certains points délicatset désireux de prendre connaissances de traaux de recherches récents.

'l est fait constamment référence aux anuels d#tilisation et de *éférence, dont la lecture demeureindispensable. La bibliographie doit également permettre au lecteur d’approfondir le su+et qui l’intéresse.

anuel dutilisation 3ascicule u2.0, : écanique de la rupture et de lendommaement

Document diusé sous licence %'* 3D5 7ttp://888.nu.or/cop9let/dl.7tml


2/32


Table des matières

-énéralités ..........................................................................................................................................

. !b+ectif d#une étude en mécanique de la rupture .........................................................................

./ 0aramètres caractéristiques de la mécanique élastique linéaire de la rupture en quasi1statique

./. 2acteurs d#intensité des contraintes ....................................................................................

././ 3aux de restitution d#énergie ...............................................................................................

.4 "xtension $ l#élastoplasticité ......................................................................................................... 5

.4. 6lasticité non linéaire .......................................................................................................... 5

.4./ 7pproche -p (rupture fragile) .............................................................................................. 5

.4.4 7pproche -30 (rupture ductile) ........................................................................................... 8

.4. 7utres approches ................................................................................................................. 8

/ Cadre d’utilisation des fonctionnalités de mécanique de la rupture dans Code97ster ....................... :

/. *appel des méthodes de calcul disponibles ................................................................................. :

/.. éthode th;ta ...................................................................................................................... :

/../ Calcul par extrapolation du champ de déplacements ........................................................ <

/./ =omaine de alidité en général .................................................................................................. /

/./. odèle ............................................................................................................................... /

/././ Caractéristiques du matériau ............................................................................................. /

/./.4 *elation de comportement utilisée en post1traitement de mécanique de la rupture ........ 4

/./. Chargement ....................................................................................................................... /./.5 6tat initial ...........................................................................................................................

/./.> Contact ?frottement ............................................................................................................ 5

/.4 @alidité du calcul de - en non1linéaire ....................................................................................... 5

/.4. 3hermo1élasticité non linéaire ........................................................................................... 5

/.4./ 3hermo1élastoplasticité ..................................................................................................... 5

4 ise en Aure d#une étude de mécanique de la rupture .................................................................. >

4. aillage ...................................................................................................................................... >

4.. Cas d#une fissure maillée ................................................................................................... >

4../ Cas d#une fissure non maillée ............................................................................................ 84./ Calcul élastique linéaire .............................................................................................................. :

4./. Cas d#une fissure maillée ................................................................................................... :

4././ Cas d#une fissure non maillée ............................................................................................ :

4./.4 tilisation des résultats ...................................................................................................... :

4.4 Calcul non1linéaire ...................................................................................................................... B

4.4. Calcul du paramètre -30 *8.


3/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : !/!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

.. Conditions $ respecter ...................................................................................................... /

../ Conseil sur le choix des couronnes *inf et *sup .............................................................. /

..4 0roblème de la discrétisation en 4= .................................................................................. //

./ éthodes d’interpolation en 4= .................................................................................................. /4./. Cadre général .................................................................................................................... /4

././ éthodes de lissage de - et 3h;ta ................................................................................... /

./.4 *emarques et conseils ...................................................................................................... /

.4 Conseils pour les calculs aec 0!E39F9F/9F4 ...................................................................... />

. Gormalisation, sHmétries ............................................................................................................ />

.. /= contraintes planes et déformations planes ................................................................... />

../ 7xisHmétrie ........................................................................................................................ /8

..4 4= ...................................................................................................................................... /8

.. EHmétrie du modèle .......................................................................................................... /85 Conclusions ....................................................................................................................................... /:

> =ocumentation du Code97ster relatie $ la mécanique de la rupture ............................................. /B

8 Iibliographie ..................................................................................................................................... 4




4/32


1 Généralités

1.1 Objectif d'une étude en mécanique de la rupture

L#ob+ectif d#une étude est généralement d#étudier le risque d#amorçage d#un défaut existant et ? ou saitesse de propagation bib,bib


5/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : ,/!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

Le taux de restitution d#énergie G correspond $ l’approche énergétique de la rupture de -riffith bibBD.

'l est défini par l#opposé de la dériée de l#énergie potentielle $ l’équilibre W u par rapport audomaine %

G=−∂ W u

∂

aec % W u =∫

u , T d −∫

f ud −∫S

g ud

!n rappelle que le taux de restitution d#énergie est équialent $ l#intégrale de *ice en élasticitélinéaire bib>D.

"n élasticité linéaire plane, les coefficients d#intensité de contraintes sont reliés au taux de restitutiond#énergie par la formule d#'rMin %

G=1−2

E

K I 2 K II

2 en déformations planes

G=1

E K I

2 K II 2 en contraintes planes

G=1−2

E K I

2 K II 2

K III 2

2 aec =

E

2 1, en 4=

1.& $tension ( l'élastoplasticité

1.&.1 )lasticité non linéaire

Les définitions précédentes ne sont rigoureuses qu’en thermoélasticité linéaire mais des extensions

sont possibles aux problèmes non linéaires. "n particulier, il est possible de définir et de calculer letaux de restitution d#énergie en élasticité non linéaire, $ condition que le chargement reste radial etmonotone.

L’application de l’approche globale en dehors de son domaine de alidité conduit $ des résultats nonsatisfaisants % problèmes de J transférabilité K d’éprouettes $ structures (effet petit défaut bib4D),mauaise prise en compte de l#histoire du chargement (effet de pré1chargement $ chaud bibD), ...

1.&. *pproc+e Gp ,rupture fra%ile-

L’approche énergétique Gp a été déeloppée par "=2 *N= pour dépasser les limites de l#approcheglobale classique dans le cadre de la rupture fragile par cliage. !n part de la théorie de 2rancfortarigo en élasticité bib8D. Cette théorie est une généralisation du critère de -riffith pour les

matériaux élastiques fragiles.!n applique le principe de minimisation de l’énergie, pour prédire l’initiation ou la propagation d’unefissure de surface S d’une surface créée dS . !n définit, $ partir de l’énergie élastique, unparamètre Gel , taux de restitution de l’énergie en élasticité bib/D par la formule suiante %

Gel =−[We dS −We 0] / Aire dS

oO We est l#énergie élastique.

!n étend ensuite cette approche $ la plasticité, en faisant l’hHpothèse que la dissipation plastique etla dissipation liée $ la rupture sont indépendantes.

!n peut alors définir un paramètre G plastique, noté Gp , comme un taux de restitution de l’énergieen plasticité incrémentale bib5:D par la formule suiante %

Gp=−[W dS −W 0]/ AiredS

oO W est l’énergie totale (énergie libre P énergie d’écrouissage P énergie dissipée plastiquement).




6/32


ais on se retroue alors confronté $ / paradoxes de la théorie de -riffith bib//D %

• le paradoxe de *ice (qui stipule qu#en élastoplasticité le taux de restitution d#énergie est nul),

• les effets d’échelle de la théorie de 2rancfort1arigo induits par l’hHpothèse de -riffith.

On fait alors le c+oi$ de modéliser le défaut sous forme d’entaille et non de fissure bib/4D.!n définit un taux de restitution d’énergie Gp applicable $ une fissure représentée en entaille, ens’appuHant sur la formulation de 2rancfort1arigo et sur la mécanique continue de l’endommagement,moHennant quelques hHpothèses supplémentaires.

Remarque :

*ne autre alternati-e consiste ; s’orienter -ers une t7éorie de 3rancort comme celui de ?aren#latt c. mod=les ; @ones co7ési-es[".02.11]> A 1.!.4 .

!n suppose que cette entaille a la forme d’un cigare, le fond d’entaille ( ) étant représenté par un

demi1cercle de raHon r . La Qone correspondant $ la propagation de l’entaille est notée Ze l (Rone endommagée) et dépend de l , distance propagée, conformément $ la figure ci1dessous %

Le paramètre Gp est défini par la formule suiante %

Gp=max l [ ∫ Entaillel we . dS / l ]

oO w e est l’énergie élastique.

Ce paramètre permet de prédire %

• la propagation progressie de l’entaille (quand le maximum est obtenu pour l =0 )

• la propagation brutale de l’entaille (quand le maximum est obtenu pour l ≠0 ).

!n peut utiliser Gp pour analHser des situations de rupture fragile par cliage, quand l’approcheG−thêta n’est pas alide. 'l peut s’agir de problèmes aec %

• décharges bib:Dbib/


7/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : /!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

L’approche GTP est une généralisation de l’approche classique en G *8.


8/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : /!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

4adre d’utilisation des fonctionnalités de mécanique de larupture dans Code_Aster

.1 Rappel des mét+odes de calcul disponibles

.1.1 3ét+ode t+5ta

Calcul du taux de restitution d'énergieLa difficulté du calcul du taux de restitution d’énergie ient de la dériation par rapport au domained’une intégrale dépendant de ce m;me domaine. ne méthode rigoureuse est la méthode th;ta, quiest une méthode lagrangienne de dériation de l#énergie potentielle bibDbib5Dbib>D. "lle consiste$ introduire un champ et $ considérer des transformations F

:MM M du domaine de

référence en un domaine qui correspondent $ des propagations de la fissure. Cestransformations ne doient pas modifier les bords du domaine hormis le fond de fissure.

Cette méthode est détaillée dans *8.


9/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : B/!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

Ei l’on tient compte des déformations initiales i%0 et des contraintes initiales i%

0 , il faut a+outer le

terme %

∫

[i%−

1

2

!i%

!i% , & −

i%−i%

th−1

2

!i%

! i% , &

]& d .

'l semblerait que cette expression ne permette pas d#imposer $ la fois déformations initiales etcontraintes initiales (m;me si les champs sont en équilibre). 'l n#est donc pas possible pour le momentd#imposer $ la fois déformations initiales et contraintes initiales (oir /./.5).

0our un problème thermo1élastoplastique l’expression de G retenue dans +ode)ster est %

G =∫

i% ui , & & , %− " & , & − ∂ "∂T T , & R ' p ,& ∂ "

∂ #i%#i % , & −i% i% ,&

p & d aec %

" l#énergie mécanique totale,

p le tenseur des déformations plastiques,

p la ariable interne scalaire d#écrouissage isotrope (déformation plastique cumulée),

# une ou plusieurs ariables tensorielles ou scalaires d#écrouissage cinématique,

' la limite d#élasticité linéaire initiale,

R le raHon de la surface de charge pour l’écrouissage isotrope.

0our un chargement radial et monotone % i% i % , & p = R ' p , &

∂ "

∂#i%#i % , & et on retroue

l#expression de G en thermo1élasticité non linéaire *8.


10/32


et K III =2 . ( u ,u S III en 4=

Ce calcul est possible dans +ode)ster aec l#option CALC_K_G de l#opérateur CALC_G.

Calcul local – calcul global "n dimension /, le fond de fissure 0 se ramène $ un point. n seul champ suffit pour calculer letaux de restitution d#énergie (option CALC_G) ou les facteurs d#intensité des contraintes (optionCALC_K_G).

"n dimension 4 la dépendance de G is1$1is du champ sur le fond de fissure est pluscomplexe. =ans +ode)ster , on peut calculer %

le taux de restitution global G correspondant $ une progression uniforme de la fissure (optionCALC_G_GLOB) Sle taux de restitution d#énergie local %s solution de l#équation ariationnelle précédente (optionCALC_G). Les champs i nécessaires $ la résolution de l’équation ariationnelle et au calcul de

G s sont décrits dans le ./.

.1. 4alcul par e$trapolation du c+amp de déplacementsLa méthode de calcul des facteurs d’intensité des contraintes par extrapolation du déplacement,déeloppée dans l#opérateur POST_K1_K2_K3, est basée sur le déeloppement asHmptotique duchamp de déplacement en fond de fissure *8.


11/32


fond de fissure en , situé sur une des lères.

3rois méthodes d#extrapolation sont disponibles *8. on sait que K) doit tre nul.

. Domaine de 0alidité en %énéral

Comme cela sera déeloppé dans le chapitre suiant, la fissure peut ;tre maillée (calcul classique) ounon maillée (utilisation de la méthode V12"). Eauf indication contraire, les informations suiantessont alables dans les deux cas.



€

€

€

€ €

€

€

€ €

€

€

€ €

2ond de

GAuds au quart

GAud du fond defissure considéré

F faux si F

#i%ure .1."a : arsoum et contact


12/32


..1 3odèle

Fissure maillée : les opérateurs CALC_G et POST_K1_K2_K3 sont disponibles pour toutes lesmodélisations des milieux continus /= et 4= % déformations planes, contraintes planes, /=axisHmétrique et 4=.Ces modélisations correspondent pour un milieu bidimensionnel $ des triangles $ 4 ou > nAuds, desquadrangles $ , : ou B nAuds et des segments $ / ou 4 nAuds, pour un milieu tridimensionnel $ deshexaèdres $ :, /< nAuds ou /8 nAuds, des pentaèdres $ > ou 5 nAuds, des tétraèdres $ ou <nAuds, des pHramides $ 5 ou 4 nAuds, des faces $ , : ou B nAuds.

Fissure non maillée (XF!"# : les opérateurs CALC_G et POST_K1_K2_K3 sont disponibles pourtoutes les modélisations des milieux continus /= et 4= (déformations planes, contraintes planes et4=) $ l#exclusion du /= axisHmétrique.3ous les tHpes géométriques de mailles sont disponibles.0our plus d#informations spécifiques concernant V12", on pourra se référer $ /.


13/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : 1!/!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

#i%ure &.1"a : imatériau : 1er cas

nd cas : !n a un bimatériau oO la pointe de fissure est $ l#interface, cf. 2igure 4.1b. U ce +our, seuleles options de calcul du taux de restitution d#énergie (options CALC_G_GLOB et CALC_G) sontdisponibles. Le calcul de coefficients d#intensité de contraintes n#est pas possible dans ce cas.

#i%ure &.1"b : imatériau : nd cas

..& Relation de comportement utilisée en post"traitement de mécanique de larupture

Logiquement, la relation de comportement utilisée lors du post1traitement en mécanique de la ruptureest celle qui a seri lors du calcul mécanique.

!n rappelle que le calcul du taux de restitution de l#énergie est possible dans les cas suiants (pourplus de détails, oir le 3ableau /./.41) %

• thermoélasticité linéaire,• thermoélasticité non linéaire (hHperélasticité),• thermoélastoplasticité (critère de @on ises aec écrouissage isotrope ou cinématique).

Le calcul des coefficients d’intensité de contraintes n#est quant $ lui possible uniquement en

thermoélasticité linéaire dans l’hHpothèse des petites déformations. =ans ces cas de figures, il n#H a donc aucune raison pour choisir une relation de comportementdifférente entre le calcul mécanique et le post1traitement. =ans ce cas, il ne faut donc pas renseignerCOMP_ELAS/COMP_INCR sous CALC_G. Ei ni COMP_ELAS ni COMP_INCR n#est présent sous CALC_Galors, le post1traitement sera exécuté aec la relation de comportement du calcul mécanique.

Le mot1clé facteur COMP_ELAS/COMP_INCR sous CALC_G ne sert que dans les cas très particuliersoO l#on souhaite réaliser le post1traitement aec une loi de comportement différente de celle qui aseri au calcul mécanique. Ce mot1clé doit ;tre utilisé aec une extr;me prudence.

RELATION CALC_G CALC_K_G POST_K1_K2_K3COMP_ELAS 'ELAS' • • •

'ELAS_VMIS_LINE' • 1 1'ELAS_VMIS_TRAC' • 1 1COMP_INCR 'ELAS' • • •

'VMIS_ISOT_TRAC' • 1 1anuel dutilisation 3ascicule u2.0, : écanique de la rupture et de lendommaement



14/32


'VMIS_ISOT_LINE' • 1 1

'VMIS_CINE_LINE' 1XXX 1 1

DEFORMATION 'PETIT' • • •

'GROT_GDEP' • (hors V12") 1 1Tableau ..&"1 : 6ois de comportement compatibles pour le post"traitement en mécanique de la

rupture

../ 4+ar%ement

Certains chargements sont associés $ des termes supplémentaires dans l#expression du taux derestitution d#énergie ou des facteurs d#intensité des contraintes selon la méthode th;ta. Leschargements qui sont supportés actuellement pour le calcul en mécanique de la rupture sont lessuiants %

• =ilatation thermique (transmise ia les ariables de commande) S• 2orces olumiques % FORCE_INTERNE, PESANTEUR, ROTATION S• 2orces surfaciques sur les lères de la fissure % PRES_REP , FORCE_CONTOUR , FORCE_FACE

S• =éformation initiale (fissure maillée uniquement) % EPSI_INIT .

'l n#est pas possible de prendre en compte un déplacement imposé sur les lères de la fissure (DDL_IMPO ou FACE_IMPO) ou une force nodale sur celles1ci.

Les chargements sont transmis pour le post1traitement aec le mot clé EXCIT de CALC_G. 0ar défaut(mot clé EXCIT absent), tous les chargements du calcul mécanique sont utilisés dans le post1traitement en mécanique de la rupture. C#est donc la méthode conseillée. Ei le mot clé EXCIT estprésent aec une partie seulement des chargements, un message d#alarme est émis.

'l est important de noter que les seuls chargements qui ont une influence dans un calcul demécanique de la rupture aec la méthode sont ceux appliqués sur les éléments $ l#intérieur de la

couronne (entre Rin" et Rsup pour un comportement thermo1élastique linéaire ou non linéaire*8.


15/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : 1,/!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

Le calcul des grandeurs de mécanique de la rupture dans +ode)ster n’est pas 0alide s’il H a contactaec frottement entre les faces de la fissure. "n effet le calcul du taux de restitution d’énergie neprend pas en compte les phénomènes dissipatifs."n reanche si les éléments de contact frottant sont au del$ de la couronne définie entre Rin" et

Rsup les calculs de

G,

G s , K)

et K*

sont alides.

0ar contre, il est possible pour le calcul de G et de G s seulement de prendre en compte desconditions de contact sans frottement pour éiter l’interpénétration des lères de la fissure.

.& alidité du calcul de G en non"linéaire

Le problème essentiel dans les situations non linéaires proient de la difficulté de séparer lesdifférentes contributions énergétiques. 'l faut considérer deux classes de problèmes très distinctes %

• celle oO, malgré les non linéarités géométriques ou de comportement, on peut exhiber unpotentiel pour les actions intérieures et extérieures (élasticité non linéaire ou hHperélasticité),

• celle oO un tel potentiel n’existe pas (thermo1élastoplasticité).0our la première classe, on peut étendre le critère de -riffith en utilisant l’énergie potentielle $

l’équilibre, et calculer le taux de restitution d’énergie comme en thermo1élasticité linéaire.0our la seconde classe de problème, la difficulté essentielle ient du fait que la dissipation n’est pasuniquement due $ la propagation de la fissure elle1m;me. !n ne peut plus distinguer quelle part del’énergie restituée sert $ la propagation et quelle part est directement utilisée par un autre phénomènedissipatif (la plasticité en l’occurrence).

.&.1 T+ermo"élasticité non linéaire

$on linéarité de com%ortement : la relation de comportement élastique non linéaire est décrite en*5.


16/32


ais les conditions de chargements proportionnels et monotones, indispensables pour assurer lacohérence du modèle aec le matériau réel, conduisent $ des restrictions importantes du champ desproblèmes $ m;me d#;tre traités par cette méthode (la thermique en particulier peut conduire $ desdécharges locales).

.&.. *pproc+e GTP

La formulation de G pour une relation thermo1élastoplastique (approche GTP ) n#est alable que pourun solide entaillé et pas pour un solide fissuré % la difficulté principale dans l#établissement de cetteformulation est l#impossibilité de démontrer l#existence de la dériée de l#énergie mécanique totalepour un domaine comportant une fissure, et ceci principalement par l#absence de connaissance dessingularités des champs en plasticité. 'l est important de noter que les termes pris en compte dans uncalcul thermo1élastoplastique aec la méthode th;ta sont ceux supportés par les éléments entre lapointe de fissure et Rsup (par opposition au calcul en thermo1élasticité non1linéaire oO seuls les

termes entre Rin" et Rsup sont non nuls).

& 3ise en ;u0re d'une étude de mécanique de la rupture

&.1 3ailla%e

&.1.1 4as d'une fissure maillée

Conditions res%ecter : il n#H a aucune condition a respecter a priori sur le tHpe de maillage en fondde fissure. Cependant, de la qualité du maillage dépend la qualité numérique des résultats issus ducalcul mécanique (déplacements et contraintes) et par conséquence de la qualité des grandeurs enmécanique de la rupture.

La définition de la fissure par l#opérateur DEFI_FOND_FISS nécessite des groupes de mailles relatifs %

• aux mailles du fond de fissure (mailles linéiques en 4=, maille point en /=),• aux mailles des lères de la fissure (maillage surfaciques en 4=, mailles linéiques en /=).

emar&ues et conseils :

• Les calculs des grandeurs de mécanique de la rupture sont alides pour des élémentslinéaires ou quadratiques, mais il est fortement conseillé d’utiliser des éléments quadratiques,en particulier en 4=. Le calcul de ces grandeurs nécessite en effet de déterminer aec unebonne approximation les champs de contrainte et de déformation qui arient fortement auoisinage du fond de fissure. !r, $ nombre de nAuds identique, les éléments quadratiquesdonnent de meilleurs résultats que les éléments linéaires.

•

n maillage raHonnant en fond de fissure n’est pas obligatoire % les raHons Rin" et Rsup nesont pas liés au maillage et la couronne peut ;tre J $ cheal K sur plusieurs éléments.Géanmoins la pratique montre qu’un maillage raHonnant en fond de fissure donne de bonsrésultats numériques.

• Le mailleur -'I' comporte une procédure automatique paramétrée qui permet de conceoirdes maillages de blocs fissure en 4=. Cette procédure a été déeloppée par "=21*N= et aété alidée pour assurer la bonne qualité du maillage. !n obtient un maillage au format -'I'que peut reconna&tre +ode)ster (commande PRE_GIBI). L’utilisateur renseigne un certainnombre de paramètres géométriques (dimensions de fissure, taille de bloc,...) ou topologiques(modélisation du tore de fond de fissure en couronnes, secteurs et tranches, déraffinement,nombre d’éléments,...) et le logiciel génère un bloc fissure, qui peut ensuite ;tre intégré dansune autre structure. ne procédure similaire est en cours de déeloppement dans la plate1forme Ealomé et derait ;tre disponible fin /


17/32


tHpe d#éléments dans un maillage quadratique existant par le mot clé MODI_MAILLE (option'NOEUD_&UART') de la commande MODI_MAILLAGE ./4.


18/32


•"n /= pour toutes les options et en 4= pour le calcul de G % opérateur DEFI_FOND_FISS.:/.


19/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : 1B/!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

3ailla%e : le défaut doit ;tre modélisé par une entaille et non pas par une fissure. !n rappelle que lanormale au défaut doit ;tre définie dans DEFI_FOND_FISS. =e plus, il est nécessaire d’utiliser unmaillage fin aec des éléments quadratiques au oisinage du fond de l’entaille pour aoir desrésultats fiables dans les cas de décharge.

L’entaille peut aoir la forme d’un cigare ou d’une fissure prolongée d’un cercle en son extrémité, cf.figure ci1dessous. ne telle modélisation en 4= peut ;tre délicate et conduire $ des temps de calculimportants.

#i%ure &.&.1"1 : #ormesd'entaille possibles

=ans le cadre de la méthode th;ta on considère que l’entaille se propage en gardant la m;me forme

(m;me si cela n’a pas de signification phHsique pour une entaille de tHpe pastille).Le tHpe de l’entaille et le raHon en fond d’entaille n’ont pas d’influence sur les aleurs de GTP $condition que l’épaisseur de l’entaille soit faible par rapport aux dimensions de la structure.

'l est impératif de ne pas calculer GTP sur une entaille pointue (fissure classique) car les résultatsseront faux _ "n effet, les termes de gradient des déformations plastiques sont mal calculésnumériquement.

4alcul : le calcul mécanique se fait de manière classique, aec l#opérateur STAT_NON_LINE, enutilisant une loi de comportement élasto1plastique (mot clé facteur COMP_INCR). 'l est nécessaire derécupérer ensuite les champs des tenseurs de déformation plastique par l’opérateur CALC_ELEM.:.


20/32


7ttention $ l#interprétation des indicateurs de décharge et de perte de radialité % la aleur donnée autemps t i correspond au diagnostic de ce qui se passe entre t i et t i1 . 7insi, la aleur calculée audernier pas de temps n#a pas de sens. L#indicateur de décharge est négatif pour indiquer une déchargelocale, et l#indicateur de radialité aut < pour un tra+et radial.

Remarque :

5interprétation de lindicateur de perte de radialité nest pas aisée. Cn ne sait en particulier pasdéinir de seuil ; partir duquel le calcul nest plus -alide.*ne solution alternati-e peut consister ; comparer en post


21/32


/ Recommandations d’utilisation

/.1 Antroduction du c+amp t+5ta

/.1.1 4onditions ( respecter

Le champ est un champ de ecteurs, défini sur le solide fissuré, qui représente la transformationdu domaine lors d#une propagation de fissure. Ce champ doit érifier les conditions suiantes %

• la transformation ne doit modifier que la position du fond de fissure et pas le bord du domaine

∂ . Le champ doit donc ;tre tangent $ ∂ (en particulier les lères de la fissure), i.e.en notant n la normale $ ∂ % .n=0 sur ∂ .

• Le champ doit ;tre localement dans le plan tangent aux lères de la fissure et en 4=normal $ l#ar;te $ laquelle il appartient. Ceci correspond $ la direction de propagation de lafissure.

•

Le champ doit également ;tre continu sur .

/.1. 4onseil sur le c+oi$ des couronnes Rinf et Rsup

=ans Code97ster, le choix a été fait de définir le champ de la façon suiante %• la direction du champ est colinéaire $ la direction de propagation de la fissure. "n 4=, on

prend la direction locale de la pro+ection du nAud considéré sur le fond de fissure S• la norme de est définie $ partir de deux couronnes (ou tores en 4=) , de raHon Rinf et

Rsup . "n deç$ de Rinf , le module du champ th;ta est constant, au del$ il est nul et il estlinéaire entre les deux, cf. 2igure ../1.

La construction du champ théta est décrite précisément dans *8.


22/32


• le module ∣0∣ en fond de fissure (uniquement pour le calcul de G global sinon les P champs i nécessaires $ la résolution de l’équation ariationnelle et au calcul de G s sontcalculés automatiquement selon la famille de fonctions d’interpolation choisie, oir /4).

Les directions du champ th;ta hors extrémités sont calculés automatiquement $ partir des lères de lafissure, mais l’utilisateur peut éentuellement les définir lui1m;me en utilisant le mot clé DIRE_THETA.

Remarque :

•5es c7amps de déplacement et de contrainte sont sinuliers en ond de issure K la précisiondu calcul est donc moins #onne au -oisinae du ond. Cn note que la orme du c7amp t7ta

c7oisie .m constant entre 0 et Rinf permet Gustement dannuler la contri#ution duterme classique de G ; lintérieur de la premi=re couronne terme en

∫ [ u :∇ u .∇−u div ] d . •'e pas ou#lier que les c7arements appliqués au


23/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : 2!/!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

TAN_EXTR de DEFI_FOND_FISS (pour le calcul de G sur une fissure maillée) et?ou de CALC_G

(calcul de K et fissures non maillées).

#issure débouc+ante de faCon non perpendiculaire % $ l’extrémité débouchante du fond de fissure,

le champ ne peut pas simultanément ;tre normal $ l#ar;te $ laquelle il appartient (dans le plantangent des lères de la fissure) et érifier la condition .n=0 sur ∂ .

La solution conseillée est d#imposer comme direction de propagation aux extrémités (mots clésDTAN_ORIG et DTAN_EXTR) la moHenne de la normale au fond de fissure en ce point 1 et de la

tangente $ l#ar;te 2 .

!n peut également définir la direction du champ sur tous les nAuds du fond de fissure aec lemot clé DIRE_THETA dans les commandes CALC_THETA ou CALC_G. 7u oisinage de l’extrémitédébouchante, on choisit comme direction la moHenne de la normale au fond de fissure en ce point

1 et de la tangente $ l#ar;te 2 .

#i%ure /.1.&"1: Direction de propa%ation au$ e$trémités de la fissure

/. 3ét+odes d’interpolation en &D

/..1 4adre %énéral

Le taux de restitution d#énergie local G s est solution de l#équation ariationnelle

∫ 0 G s s .m s ds=G , ∀∈ .0our résoudre cette équation %

on décompose le champ scalaire G s sur une base que nous notons p % s 1( %( 0 . Eoit G % les

composantes de G s dans cette base % G s = ) %=1

0

G % p % s .

on se donne une base de fonctions tests pour en choisissant P champs i indépendants pour la

trace du champ sur le fond de fissure 0 % * i s 1(i( P .

Les G % sont déterminés en résolant le sHstème linéaire $ P équations et 0 inconnues %

) %=1

0

ai% G %=1i , i=1, P



n

θ 1

θ 2


24/32


aec a i%=)& =1

& i∫2 p % sq& s.m sds

1i

=G i

Ce sHstème a une solution si on choisit P champs i indépendants tels que % P 0 ≥ et si 0 ≥ .

'l peut comporter plus d#équations que d#inconnues, auquel cas il est résolu au sens des moindrescarrés.

/.. 3ét+odes de lissa%e de G et T+5ta

=ans +ode)ster , on a choisi deux familles de bases (cf. /./D) %

• les polHnmes de L"-"G=*" + % s de degré % ( 0= % =7 ),

• les fonctions de forme du nAud & de 0 % ( )ϕ & s ( 1 =& = 002 ` nombre de nAuds de

0 ) (de degré pour les éléments linéaires et de degré / pour les éléments quadratiques).

Ces familles de bases et les sHstèmes linéaires $ résoudre sont décrits précisément dans ladocumentation de référence *8.


25/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : 2,/!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

de degré 8 passant par < points). 7u del$ d’une ingtaine de nAuds en fond de fissure on peut utiliserdes degrés allant +usqu’$ 8. L’expérience montre que le choix d’un degré égal $ 5 donne de bons résultatsdans la plupart des cas (cf. remarque ci1dessous).

• 4as des fissures fermées : si le fond de fissure est une courbe fermée, des problèmes de continuité dela solution au point arbitrairement choisi comme abscisse curiligne origine interdisent l’emploi des

polHnmes de Legendre. Ei le fond de fissure a été déclaré J fermé K dans DEFI_FOND_FISS , on doitutiliser les fonctions de forme (Lagrange) pour décrire les fonctions G et Th/ta .

• !roblème du non respect de la sBmétrie : si on ne modélise que la moitié du solide par rapport $ lafissure, on doit en principe aoir une courbe G s dont la pente de la tangente est nulle $ l’interface dela sHmétrie. Ceci n’est pas respecté par les deux méthodes. Les aleurs de G s obtenues auxextrémités du fond de fissure doient tou+ours ;tre interprétées aec prudence, surtout si la fissure estdébouchante de façon non perpendiculaire (oir // ).

• !roblème des oscillations a0ec 6a%ran%e : des oscillations peuent appara&tre aec la méthodeLagrange, en particulier si le maillage comporte des éléments quadratiques. Ces oscillations sont liées $un profil radial du champ th;ta qui est différent sur les nAuds sommet et sur les nAuds milieu. n lissagede tHpe 'LAGRANGE_NO_NO' ou .LAGRANGE_REGU, permet de limiter ces oscillations. 0ar ailleurs, si lemaillage est raHonnant en fond de fissure (fissure maillée), on rappelle qu#il est recommandé de définir des

couronnes R_INF et R_SUP concidant aec les frontières des éléments.• 4as des mailla%es libres (en particulier fissures non maillées) % quand le maillage n#est pas régulier lelong du fond de fissure (taille et répartition des éléments ariables), de fortes oscillations peuentapparaitre aec la méthode Lagrange. n lissage de tHpe 'LAGRANGE_NO_NO' ou .LAGRANGE_REGU,limite ces oscillations, mais peut ;tre insuffisant en particulier pour les calculs V12". =ans ce cas, il estrecommandé d#utiliser l#opérande NB_POINT_FOND de CALC_G pour garantir une équi1répartition despoints de calculs en fond de fissure. Le choix d#un rapport de l#ordre de entre le nombre de points total enfond de fissure ($ cherche dans les informations imprimées dans le fichier message par la commandeDEFI_FISS_XFEM ) et le nombre de points de calcul semble approprié pour limiter les oscillations aec laméthode 3h;ta % Lagrange.

)llustration des %robl*mes d'oscillations a+ec ,egendre : soit un cas de figure oO la solution est constante

sur le fond de fissure Gexact

s

=+0 s

. Ei le terme deant le polHnme de Legendre de degré sept est mal

calculé, $ un facteur près (mais tous les autres coefficients deant les autres polHnmes alent exactement


26/32


#i%ure /..&"1 : rapport de l’erreur relati0e sur la précisionen fonction de l’abscisse cur0ili%ne normée

/.& 4onseils pour les calculs a0ec POST_K1_K2_K3

•4+oi$ de la distance d'e$trapolation : la distance d#extrapolation ABSC_CURV_MAXI est le seul paramètreutilisateur. 3Hpiquement, on prend cette distance égale $ 4 $ 5 fois la taille des éléments au oisinage du fondde fissure.•4as des fissures maillées % le maillage doit ;tre de préférence quadratique et comporter suffisamment de

nAuds perpendiculairement au fond de fissure. =’autre part, les résultats sont nettement améliorés si, dans lecas oO le maillage est composé d’éléments quadratiques, on déplace les nAuds milieux (des ar;tes quitouchent le fond de fissure), au quart de ces ar;tes en les rapprochant du fond de fissure. Ceci est rendupossible par le mot clé MODI_MAILLE (option 'NOEUD_&UART') de la commande MODI_MAILLAGE./4.


27/32


G=G ∀ ∈

/./. *$isBmétrie

"n axisHmétrique il faut normaliser la aleur G obtenue aec +ode)ster pour les optionsCALC_G, G_MAX et G_BILI %

G=1

R G

oO " est la distance du fond de fissure $ l’axe de sHmétrie *8.


28/32


7 4onclusions

Les points $ retenir sont les suiants %• L#étude d#une fissure en élasticité (linéaire ou non) peut se faire sur une fissure maillée comme

sur une fissure non maillée. =ans les deux cas le maillage doit ;tre suffisamment fin auoisinage du fond de fissure pour capter correctement la singularité des contraintes.

• Les calculs sont possibles sur une fissure non plane, mais l#utilisateur doit eiller $ ce qu#ellereste suffisamment régulière pour que les hHpothèses de calcul soient alides % il ne faut pasaoir une singularité géométrique sur le fond ou sur les lères. 3Hpiquement, le calcul est licitepour une fissure axisHmétrique, mais pas pour un coin.

• "n élasticité linéaire, plusieurs opérateurs (CALC_G, POST_K1_K2_K3) et plusieurs méthodes(d#extrapolation, de lissage, ...) sont disponibles. 'l est indispensable de comparer lesrésultats des des différentes méthodes et opérateurs pour s#assurer de la bonne qualités dumodèle. 'l est également recommandé d#éaluer la sensibilité du résultat au choix desparamètres des opérateurs (raHons d#intégration) et au raffinement du maillage.

• "n élastoplasticité, la fissure doit ;tre représentée par une entaille. "n rupture fragile,l#opérateur POST_GP permet de calculer le paramètre Gp . Cette approche a dé+$ été alidéesur plusieurs cas par comparaison $ des résultats expérimentaux S et appliquée sur des casindustriels. "n rupture ductile, l#opérateur CALC_G permet de calculer le paramètre GTP . Lecritère de rupture associé $ ce paramètre reste encore $ préciser.




29/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : 2B/!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,

8 Documentation du Code_Aster relati0e ( la mécanique dela rupture

=ocuments de *éférence %

*8.


30/32

Code_Aster Version 10 Titre : Domaine d’application des opérateurs de mécanique [...] Date : 26/04/2012 Pae : !0/!2 "esponsa#le : $amuel %&'()*T +lé : *2.0,.01 "é-ision : 6,




31/32


> iblio%rap+ie

) I' Y.=., écanique de la rupture fragile, asson, B88

/) I' Y.=., 7"E3!W ., =7G- @7G F., =éiation infinitésimale d#une fissure dans une directionarbitraire, C.*. 7cad. EC. 0aris, t. /:B, série I, Go :, pBB, B8B

4) ="I!E3 '., [7='"* W. % 7pplication de l’approche énergétique $ l’interprétation de l’effet petitdéfaut. 0remière partie % modèle de défaut de tHpe fissure. Gote Y'18?


32/32


/) [7='"* W., L!*"G3R "., J 3he energetic approach of elastic1plastic fracture mechanicsapplied to the problem of unloading K. E'*3 >1/1/

Domaine d’application des opérateurs de mécanique de la rupture et conseils d’utilisation

Documents

Transcript of Domaine d’application des opérateurs de mécanique de la rupture et conseils d’utilisation