Post on 17-Nov-2015
description
Matematika Diskrit
Teori Himpunan
Materi1. Logika2. Teori Himpunan3. Matriks4. Relasi dan fungsi5. Induksi matematik6. Algoritma7. Teori Bilangan bulat8. Baris dan deret9. Teori Grup dan Ring10. Aljabar Boolean11. Kombinatorial12. Teori Peluang Diskrit13. Fungsi Pembangkit dan Analisa Rekurens14. Teori Graf (termasuk Tree)15. Kompleksitas Algoritma16. Pemodelan Komputasi (Otomata dan Teori Bahasa Formal)
Operasi Logika di dalam Komputer
Bahasa pemrograman untuk logika berupa tipeBoolean yang hanya mempunyai dua buahkonstanta nilai yaitu True dan False.
Operator boolean yang digunakan dalampemrograman adalah AND, OR, XOR dan NOT.
Operasi Boolean hanya menghasilkan nilai true atau false
Inferensi
Inferensi : proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi
1. Modus Ponen
p q (p (p q)) qp
q
Simbol dibaca sebagai jadi atau karena itu.
Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan implikasip q benar, maka konklusi q benar
Contoh :Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bil. Genap20 habis dibagi 2
20 adalah bil genap
Inferensi diatas adalah benar
Inferensi
2. Modus Tollen
p q (q (p q)) pq
p
Contoh :Jika n bil. Ganjil, maka n2 bernilai ganjiln2 bernilai genap
n bukan bil. Ganjil
Inferensi diatas adalah benar
Inferensi
3. Silogisme Hipotesis
p q [(p q) (q r)] (p r)q r
p r
Contoh :Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujianJika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah
Jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah
Inferensi diatas adalah benar
Inferensi
4. Silogisme Disjungtif
p q [(p q) p ] qp
q
5. Simplifikasi
p q (p q) q p
6. Penjumlahan
p p (p q) p q
Inferensi
7. Konjungsi
p [(p) (q)) (p q)q
(p q)
Argumen
Argumen adalah suatu deret proposisi yang ditulis sbb:A1 A1, A2, , An : HipotesisA2 B : konklusi..An
B
Sebuah argumen dikatakan valid jika konklusi benarbilamana semua hipotesisnya benar (termasuktautologi)
Sebuah argumen dikatakan invalid jika konklusi salahbilamana semua hipotesisnya salah
ArgumenContoh : Perhatikan argumen berikut
Jika air laut surut setelah gempa dilaut, maka tsunami datang.Air laut surut setelah gempa dilaut. Karena itu tsunami datang
p = air laut surut setelah gempa dilautq = tsunami datang
Argumen ditulis :A1 p q A2 pB q
Lihat pada baris 1.Hipotesis 1 (p q) bernilai THipotesis 2 (p) bernilai TKonklusi (q) bernilai T
Argumen diatas Valid
Baris 1Baris 2Baris 3Baris 4
Himpunan Terminologi dasar tentang sekumpulan objek diskrit Mengelompokkan objek secara bersama-sama Kumpulan objek-objek yang bebeda Kumplan objek tak tertentu
Penyajian Himpunan1. Enumerasi
menulis semua elemen himpunan yang bersangkutan dianatara dua buah tanda kurungkurawal.
Contoh :Himpunan A yang berisi empat anggota 1,2,3 dan 4 dilukis sebagai A = {1,2,3,4}.
Himpunan
x A : x anggota himpunan Ax A : x bukan anggota himpunan A
Contoh :A = {1, 2, 3, 4}R = {a, b, {a,b,c}, {a,c}}K = { {} }
3 A5 A{a,b,c} R
{a} Ra R{} K
Himpunan2. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bil. Bulat positif = {1,2,3, } N = himpunan bil. Asli = {1,2,} Z = himpunan bil. Bulat = {, -1, 0, 1, } Q = himpunan bil. Rasional R = himpunan bil. Riil C = himpunan bil. Kompleks U = himpunan universal (semesta)
Contoh :U = {1, 2, 3, 4, 5}A = {1, 3, 5}
A adalah himpunan bagian dari U
Himpunan
3. Notasi Bentuk HimpunanNotasi : { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}
dibaca : dimana atau sedemikian sehingga Tanda , dibaca sebagai dan
Contoh :A adalah himpunan bilangan genap positif yang lebihkecil atau sama dengan 8.A = {x|x adalah himpunan bil. Genap positif lebih
kecil atau sama dengan 8AtauA = {x| x/2 P, 2 x 8}
Himpunan
4. Diagram Venn
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A = {1, 2, 3, 5}B = {2, 5, 6, 8}
Himpunan
4. Diagram Venn
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A = {1, 2, 3, 5}B = {2, 5, 6, 8}
Kardinalitas
Kardinalitas : jumlah elemen berbeda di dalamhimpunan berhingga.
Notasi : n(A) atau |A|
Contoh :A = {x|x merupakan bil. Prima yang lebih kecil dari 20}|A| = 8
B = {kucing, a, Amir, 10, paku}|B| = 5
Himpunan Kosong
Himpunan kosong : himpunanyang tidak memiliki satupunelemen atau himpunan dengankardinalitas = 0
Notasi : atau {}
P = {Orang Indonesia yang pernah ke bulan}
|P| = 0
Himpunan Bagian(Subset)
Himpunan A dikatakan Subsetdari himpunan B, jika danhanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
B disebut superset dari A
Notasi : A B
Himpunan Yang Sama
Himpunan A dikatakan samadengan himpunan B jika danhanya jika keduanyamempunyai elemen yang sama.
Notasi :
A = B A B dan B A
Himpunan yang Ekuivalen
Himpunan A dikatakanEkuivalen dengan Himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan tersebutsama.
Notasi :
A ~ B |A| = |B|
Himpunan SalingLepas
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jikakeduanya tidak memilikielemen yang sama.
Notasi :
A // B
Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatuhimpunan yang elemennyamerupakan semua himpunanbagian dari A, termasukhimpunan kosong danhimpunan A sendiri
Notasi :
(A) atau 2A
Contoh : Jika A = {1,2}, maka(A) = { , {1}, {2}, {1,2}}
Irisan (Intersection)
Irisan (intersection) darihimpunan A dan B adalahhimpunan yang setiap elemennyamerupakan elemen dari himpunanA dan B
Notasi :
AB = {x|x A dan x B}
Gabungan (union)
Gabungan (union) dari himpunanA dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakananggota himpunan A atauhimpunan B
Notasi :
AB = {x|x A atau x B}
Operasi Terhadap Himpunan
Komplemen (complement)
Komplemen dari suatu himpunanA terhadap suatu himpunansemesta U adalah suatu himpunanyang elemennya merupakanelemen U yang bukan elemen A.
Notasi :
A = {x|x U dan x A}
Selisih (difference)
Selisih dari 2 himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemendari A tetapi bukan elemen dari B
Notasi :
A-B = {x|x A dan x B} = AB
Operasi Terhadap Himpunan
Beda Setangkup(Symmetric Difference)
Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunanyang elemennya ada padahimpunan A atau B, tetapi tidakpada keduanya.
Notasi :
AB =(AB)-(AB)= (A-B)(B-A)
Perkalian Kartesian(Cartesian product)
Perkalian kartesian dari himpunanA dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasanganberurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertamadari himpunan A dan komponenkedua dari himpunanB
Notasi :A x B = {(a,b)|a A dan b B}
Contoh :Misalkan C = {1,2,3} dan D ={a,b} maka perkalian kartesia C dan D adalahCxD = {(1,a),(1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}
Operasi Terhadap Himpunan
Perampatan (generalization) Operasi Himpunan
Contoh :A1 = { 0,2,3}A2 = {1,2,3,6}A3 = {-1,0,3,9}
Maka
=
=
=
= {, , , , , , }
Hukum-hokum Aljabar Himpunan
Prinsip Dualisme
Prinsip dualism menyakatan bahwa dua konsep yang berbedadapat dipertukarkan namun tetap memberi jawaban yang benar.
Prinsip Dualisme
Prinsip Inklusi - Eksklusi
Untuk dua himpunan A dan B:
A B = A + B A B
A B = A +B 2A B
Prinsip Inklusi - Eksklusi
Contoh :Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi3 atau 5?Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,A B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu
himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK Kelipatan Persekutuan Terkecil dari 3 dan 5, yaitu 15),
Yang ditanyakan adalah A B.
A = 100/3 = 33, B = 100/5 = 20, A B = 100/15 = 6A B = A + B A B = 33 + 20 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Prinsip Inklusi - Eksklusi
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
A B C = A + B + C A B A C B C + A B C
Untuk himpunan A1, A2, , Ar, berlaku:
A1 A2 Ar =
1
+
1
+ + 1 1 |1 2 |
Prinsip Inklusi - Eksklusi
Contoh :Di antara bilangan bulat antara 101 600 (termasuk 101 dan600 itu sendiri), berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagioleh 4 atau 5 namun tidak keduanya?
Penyelesaian: Diketahui:
U = 500 A = 600/4 100/4 = 150 25 = 125 B = 600/5 100/5 = 120 20 = 100 A B = 600/20 100/20 = 30 5 = 25
Ditanya : ? ?
Hitung terlebih dahulu A B = A + B 2 A B = 125 + 100 50 = 175
Untuk mendapatkan : = U A B = 500 175 = 325
Partisi
Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunanbagian tidak kosong A1, A2, dari A sedemikian sehingga:A1 A2 = A, dan Ai Aj = untuk i j
Contoh. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka{ {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
Himpunan Ganda
Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalahjumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitashimpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikanelemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
Himpunan GandaOperasi Antara Dua Buah Multiset:
1. Misalkan P dan Q adalah multiset:P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya samadengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunanP dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }
2. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya samadengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunanP dan Q.
Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } P Q = { a, a, c }
Himpunan Ganda
3. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennyasama dengan: multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangimultiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif 0, jika selisihnyanol atau negatif.
Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } maka P Q = { a, e }
4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buahhimpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitaselemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elementersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }
Pembuktian Proposisi Perihal Himpunan
Proposisi himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
Proposisi dapat berupa:1. Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan A (B C) = (A B) (A C)
2. ImplikasiContoh: Buktikan bahwa Jika A B = danA (B C) maka selalu berlaku bahwa A C.
Pembuktian Proposisi Perihal Himpunan
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh :Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwaA (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn. Bukti:
A (B C) (A B) (A C)
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C).
Pembuktian ProposisiPerihal Himpunan
Diagram Venn hanya dapat digunakan jikahimpunan yang digambarkan tidak banyakjumlahnya.
Metode ini mengilustrasikan ketimbangmembuktikan fakta.
Diagram Venn tidak dianggap sebagai metodeyang valid untuk pembuktian secara formal.
Pembuktian ProposisiPerihal Himpunan
Diagram Venn hanya dapat digunakan jikahimpunan yang digambarkan tidak banyakjumlahnya.
Metode ini mengilustrasikan ketimbangmembuktikan fakta.
Diagram Venn tidak dianggap sebagai metodeyang valid untuk pembuktian secara formal.
2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan
Contoh 27. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikanbahwa A (B C) = (A B) (A C).
Bukti:
Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama, maka A (B C) = (A B) (A C).
A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.
Contoh
Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa
(A B) (A B) = A
Bukti:
(A B) (A B) = A (B B) (Hukum distributif)
= A U (Hukum komplemen)
= A (Hukum identitas)
Contoh
Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa
A (B A) = A B
Bukti:
A (B A) = A (B A) (Definisi operasi selisih)
= (A B) (A A) (Hukum distributif)
= (A B) U (Hukum komplemen)
= A B (Hukum identitas)
Contoh
Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa
(i) A (A B) = A B dan
(ii) A (A B) = A B
Bukti:
(i) A ( A B) = ( A A) (A B) (H. distributif)
= U (A B) (H. komplemen)
= A B (H. identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
A (A B) = (A A) (A B) (H. distributif)
= (A B) (H. komplemen)
= A B (H. identitas)
4. Pembuktian dengan menggunakan definisi
Metode ini digunakan untuk membuktikan
pernyataan himpunan yang tidak berbentuk
kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk
implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut
terdapat notasi himpunan bagian ( atau ).
Contoh
Misalkan A dan B himpunan. Jika A B = dan A (B C)
maka A C. Buktikan!
Bukti:
(i) Dari definisi himpunan bagian, P Q jika dan hanya jika
setiap x P juga Q. Misalkan x A. Karena A (B C),
maka dari definisi himpunan bagian, x juga (B C).
Dari definisi operasi gabungan (), x (B C) berarti x B
atau x C.
(ii) Karena x A dan A B = , maka x B
Dari (i) dan (ii), x C harus benar. Karena x A juga berlaku
x C, maka dapat disimpulkan A C .
Misalkan A adalah himpunan bagian dari
himpunan semesta (U). Tuliskan hasil dari operasi
beda-setangkup berikut?
(a) A U (b) A A (c) A U
Penyelesaian:
(a) A U = (A U) (U A) (Definisi operasi beda setangkup)
= () (A) (Definisi opearsi selisih)
= A (Hukum Identitas)
(b) A A = (A A ) ( A A) (Definisi operasi beda setangkup)
= (A A) (A A ) (Definisi operasi selisih)
= A A (Hukum Idempoten)
= U (Hukum Komplemen)
(c) A U = ( A U) ( A U) (Definisi operasi beda setangkup)
= U A (Hukum Null dan Hukum Identitas)
= A (Definisi operasi selisih)
Tipe Set dalam Bahasa Pascal
Bahasa Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang
bernama set. Tipe set menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal
(integer, character).
Contoh:
type
HurufBesar = A..Z;{ enumerasi }
Huruf = set of HurufBesar;
var
HurufKu : Huruf;
HurufKu:=[A, C, D];
HurufKu:=[M];
HurufKu:=[]; { himpunan kosong }
Tipe Set dalam Bahasa Pascal
Operasi yang dapat dilakukan pada tipe himpunan
adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih seperti
pada contoh berikut:
{gabungan} HurufKu:=[A, C, D] + [C, D, E];
{irisan}
HurufKu:=[A, C, D] * [C, D, E];
{selisih}
HurufKu:=[A, C, D] - [C, D, E];
Tipe Set dalam Bahasa Pascal
Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan
dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti
contoh berikut:
if A in HurufKu then ...
Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering
digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya
himpunan icon untuk window:
type
TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize, biMaximaze);
Huruf = set of TBoderIcon;