Matematické modelování

Dopravní nehoda

7.1.2008 Bc.Ondřej Tyc

tyc.o@seznam.czObor: Stavba výr. strojů

2

Obsah práce

Zadání řešeného problémuStanovení funkce chladnutí motocykluUrčení času ustálení teplotyVyvrácení výpovědi podezřelého o vzdál.Souhrn časů událostíUrčení velikosti rádiusu pro ukrytí lupuPotřebná vzdálenost bezpeč. zastaveníČas bezpeč. zastavení

3

Zadání řešeného problému

- Dopravní nehoda motocyklu Jawa 350 typ 18

- Řidič zázrakem bez zranění

- Řidič byl otřesen a nedomyslel že už je hledaná osoba za krádež peněz v bance

- Ve výpovědi chtěl odvrátit podezření, proto vypověděl:

- jede z domova (4,7km)

- město kde byla vykradena banka nezná a nikdy tam nebyl

- policii volal ihned po nehodě

4

Zadání řešeného problému

Zjištěné hodnoty z havárie:

- teplota okolí R = 20 st.Celsia

- teplota motoru při příjezdu policie 50 st.Celsia

- po čase jedné hodiny měl motor teplotu 30 st.Celsia

Tabulkové hodnoty motocyklu:

- ustálená teplota při ohřátí motoru je 100 st.Celsia

- teplota motoru při popsaném umístění motocyklu

před startem je T(00)= 22 st.Celsia

- motor po uvedení do provozu má za 6 min. teplotu 50 st.Celsia

5

Při řešení bude zjištěno

jakou vzdálenost ujel

po jaké době byla zavolána policie po havárii

dobu za kterou se motor ohřeje na 100°C

maximální možná teplota motoru dle výpovědi

časový harmonogram událostí

místo odkud podezřelý vyjel určení možného prostoru pro ukrytí lupu

času potřebného pro bezpeč. zastavení motocyklu

brzdné dráhy bezpeč. zastavení motocyklu

6

Motocykl podezřelého

Pozn.: Foto ilustrativní, kdyby měl podezřelý tento motocykl, tak by nemusel krást

Motocykl Jawa 350 pérák typ 18

7

Stanovení funkce chladnutí

λt

λt

etT

k

k

ek

3020

30

130

2050

0 R);tk(T(t)

dt

tdT

T(0) = 50 st.C

1,09830

10lnλ

30

10e

30e10

30e2030

λ

λ

λ1

T(t) = 20+30exp-1,098t

Proces ochlazování se bude řídit zákonem:

Počáteční teplota:

Stanov. fce chladnutí:

Stanov. koef. chladnutí:

8

Čas ustálení teploty motoru

T(t2)=100st.C Ustálená teplota motoru:

min53

893,0

30

80ln

098,1

130

80

3020100

2

2

2

098,1

098,1

2

2

t

t

t

e

e

t

tUrčení času ustálení motoru na teplotě:

Předkládá se tedy otázka, co vlastně téměř hodinu dělal???

9

Vyvrácení výpovědi o vzdálenosti

T(00)=22st.C, R=20st.C, T (0,1)=50st.C, S2=80km

Hodnoty při výjezdu:

t

t

etT

k

ke

ke

220)(

2

2

20220.

Stanovení funkce ohřevu:

10

Vyvrácení výpovědi o vzdálenosti

27t2e20T(t)

27

15ln.10

12

30

22050

1,0

e

e tStanovení koeficientu ohřevu :

Ohřev motoru na teplotu 1000C :

8,14mint te27220100

Motor se na 100st.Celsia ohřeje za 8,14 minut.

11

Vyvrácení výpovědi o vzdálenosti

Podezřelý tvrdí že jel minimálně 50km/h a proto zřejmě havaroval.Pro nás z toho ale plyne:

min64,5sec6,38888,13

4700

v

st50km/h

CT

eT

34,45)09,0(

220)09,0( 09,027

Z určeného času plyne:

Je zřejmé, že by se za dobu která by odpovídala podmínkám z výpovědi podezřelého motor ani neohřál na teplotu po příjezdu policie, což je velmi

podezřelé!!!

12

Souhrn časů událostí

- Po předložení časového harmonogramu a důkazů podezřelému se přiznal ke krádeži peněžního obnosu

- Kde však tento obnos je odmítl zloděj prozradit (zřejmě si tento obnos chtěl vyzvednout po letech strávených ve vězení).

13

Rádius možného ukrytí lupu

-průměrná rychlost při pohybu podezřelého vp = 9,5 km/h

kmtvsv

st p 2.42/)88,05,9(

Vzhledem k tomu, že hledal místo ukrytí se musel pohybovat rychlostí o něco menší než rychlostí průměrnou, proto volím rádius možného pohybu přibližně 3,5km.

14

Nákres místa nehody

15

Potřebná vzdál. bezpečného zastavení

- pro výpočet provedu zjednodušení pohybu motocyklu na pohyb hmotného bodu- určení pohybové rce hmotného bodu:

rovnicepohybamF

amdt

vmd

dt

vdmamFF i

..................0

)(

- zavedením D’Alambertova principu:

- zavedeme myšlenou setrvačnou sílu

D = - m . a, pak má pohyb. rce tvar:

F + D = 0

16

Potřebná vzdál. bezpečného zastavení

- Určení dráhy l :

fg

dx

vda

2

2

mg

l

gf

v

a

vlalv

adxvd

adxvd

v

l

6.2555.02

6.16

222

2

2

2

20

202

0

0

0

2

2

20

a jde proti x, proto je před derivací -

Brzdná dráha pro bezpečné zastavení je tedy 25.6m.

f = 0.55 pro styk suchý asfalt-pneumatika

v0 = 60km/h - prům. rychlost motocyklu

17

Čas pro bezpečné zastavení

sg

t

fg

vttfgv

dtfgdv

fgdt

dva

t

v

1.355.0

6.16

00

0

0

0

Čas potřebný k bezpečnému zastavení motocyklu z průměrné rychlosti je t = 3.1 sekundy.

Určení času t :

18

Souhrn zjištěných hodnot Podezřelý havaroval o 53 minut dříve než volal policii

Ohřev motoru na ustálenou hodnotu je 8,14min.

Doba kterou měl podezřelý dle výpovědi jet je 5,64min.

Teplota motoru by za tuto dobu musela být 45,64st.Celsia, což je méně než při příjezdu policie

Harmonogram časů

Rádius možného ukrytí peněz určen z průměrné rychlosti 4,2 km, ale volím 3,5km

Brzdná dráha pro bezpečné zastavení motocyklu je 25,4m

Čas potřebný pro bezpečné zastavení je 3,1 sekundy

Harmonogram časů

19

Literatura

[1] Přednášky z předmětu Mechanika 2 Dynamika (MECH2) 2007, ZČU Plzeň

[2] Přednášky z předmětu Mechanika 1 Kinematika (MECH1) 2006, ZČU Plzeň

[3] Přednášky z předmětu Matematické modelování (MM) 2007, ZČU Plzeň

[4] O. Janeček, V. Zeman. Technická dynamika, Ediční středisko VŠSE Plzeň, 1985.

Děkuji za pozornost