LUAS DAERAH KURVA & NOTASI SIGMA

Muhammad Hajarul Aswad A MK: Kalkulus 2

Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan (FTIK)

Tadris Matematika

Konsep Luas

Daerah S adalah dibatasi oleh fungsi kontinu y = f(x)

dari a ke b dengan f(x) ≥ 0, garis x = a, garis x = b,

dan sumbu-x.

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 2

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 3

Contoh 1

Tentukan luas daerah S

seperti yang terlihat pada

gambar di samping.

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 4

Penyelesaian

Luas daerah di bawah kurva y = x2

adalah hasil penjumlahan dari S1 +

S2 + S3 + S4.

Lebar S1 = S2 = S3 = S4 = ¼;

Daerah S1, S2, S3, dan S4

dipandang sebagai suatu

rectangular / segiempat seperti

yang terlihat pada Gambar (b)

selanjutnya.

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 5

Penyelesaian

Gambar (b) disamping selanjutnya

disebut dengan bentuk rectangular and

right end-point dimana tinggi masing-

masing rectangular adalah nilai fungsi

f(x) = x2 pada titik sebelah kanan dari

sub-interval [0, ¼], [¼, ½], [½, ¾], dan

[¾, 1].

Sehingga:

R4 = ¼ (¼)2 + ¼ (½)2 + ¼ (¾)2 + ¼ (1)2

= 15/32

≈ 0,46875

Luas Aproksimasi A dari S < R4 atau A < 0,46875

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 6

Lanjutan...

Gambar disamping selanjutnya disebut

dengan rectangular and left end-point.

Lebar masing-masing poligon = ¼

tingginya adalah nilai fungsi f(x) = x2

pada titik sebelah kiri dari sub-interval

[0, ¼], [¼, ½], [½, ¾], dan [¾, 1]

Sehingga:

L4 = ¼ (0)2 + ¼ (¼)2 + ¼ (½)2 + ¼ (¾)2

= 7/32

≈ 0,21875

Luas Aproksimasi A dari S > L4 atau A

> 0,21875

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 7

Lanjutan...

Sehingga luas daerah aproksimasi A terhadap

S yakni

0,21875 < A < 0,46875

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 8

Perhatikan bahwa, nilai aproksimasi A dari S

dapat semakin mendekati nilai S apabila daerah

S dibagi ke dalam n poligon dengan n → ∞.

Lanjutan...

Berdasarkan tabel di

samping terlihat bahwa

nilai A ≈ 0,3333335

(nilai rata-rata dari Ln dan

Rn untuk n = 100)

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 9

∎

Contoh 2

Berdasarkan Contoh 1, tunjukkan bahwa

lim𝑛→∞

𝑅𝑛 =1

3

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 10

Penyelesaian

Masing-masing rectangular

memiliki lebar yang sama yakni

1/n dengan tinggi adalah nilai

dari fungsi f(x) = x2 pada titik 1/n,

2/n, 3/n, ..., n/n; dalam hal ini

(1/n)2, (2/n)2, (3/n)2, ..., (n/n)2.

Sehingga diperoleh Rn seperti

berikut:

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 11

Lanjutan ...

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 12

Perhatikan bahwa

Lanjutan ...

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 13

Sehingga bentuk (1) menjadi:

Sehingga:

Lanjutan ...

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 14

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa

lim𝑛→∞

𝑅𝑛 =1

3

Sehingga jelas bahwa

A = lim𝑛→∞

𝑅𝑛 = lim𝑛→∞

𝐿𝑛 =1

3

∎

• Contoh 1 dan 2

dapat diperluas

untuk

menghitung luas

daerah di bawah

kurva

• Perhatikan

gambar di

samping.

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 15

• Lebar interval [a, b] adalah b – a sehingga

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛

• Batas interval untuk masing-masing S1 s/d Sn adalah

• Jelas bahwa x0 = a dan xn = b.

• Titik sebelah kanan dari masing-masing sub-interval

tsb adalah

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 16

• Nilai aproksimasi S dengan melakukan pendekatan

berdasarkan poligon luar adalah

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 17

Definisi 1.

Luas wilayah aproksimasi A dari S yang terletak di

bawah kurva fungsi kontinu f adalah limit dari

jumlah seluruh wilayah aproksimasi yang berbentuk

rectangular;

atau

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 18

Perluasan dari Defenisi 1.

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 19

• Perhatikan notasi sigma berikut:

• Sehingga, bentuk

dapat ditulis dalam bentuk notasi sigma sebagai

berikut:

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 20

Contoh 3

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 21

Penyelesaian

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 22

∎

Notasi Sigma

Terdapat bentuk khusus yang menarik untuk

diperhatikan:

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 23

Pembuktiannya

ditinggalkan

sebagai latihan

Contoh 4

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 24

Penyelesaian

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 25

∎

S e l e s a i ...

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 26

Latihan

Tentukan formula yang tepat dari bentuk sigma

berikut:

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 27

Latihan

5. (a). Estimasi luas daerah di bawah kurva fungsi

kontinu f(x) = 1 + x2 dari x = -1 ke x = 2.

Gunakan pendekatan rectangular and right

end-point dengan membagi daerah kurva

menjadi 6 rectangular.

(b). Estimasi luas kurva tsb dengan menggunakan

pendekatan rectangular and left end-point

28/02/2017 email: as_wad82@yahoo.co.id 28