Smart Solution Luas Daerah Dan Volume Benda Putar

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 270 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

5. 4. Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral.

Aplikasi Integral

Luas Daerah Volume Benda Putar

Luas Daerah Dibatasi Kurva Diputar Mengelilingi Sumbu X

Diputar Mengelilingi Sumbu Y

Volume Benda Antara Dua Kurva

Luas Daerah Dibatasi Dua Kurva

𝐿 = ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑦

𝑥 = 𝑎

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥 𝑥 = 𝑏

𝐿 = − ∫ 𝑓(𝑦)

𝑑

𝑐

𝑑𝑦

𝑥

𝑥 = 𝑓(𝑦) 𝑦

𝑦 = 𝑑

𝑦 = 𝑐

𝐿 = − ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏

𝐿 = ∫ 𝑓(𝑦)

𝑑

𝑐

𝑑𝑦

𝑦 = 𝑑

𝑥 = 𝑓(𝑦)

𝑥

𝑦

𝑦 = 𝑐

𝐿 = − ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)

𝑐

𝑏

𝑑𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑥 = 𝑎

𝑥 = 𝑏

𝑥 = 𝑐

𝐿 = ∫[𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)]

𝑑

𝑐

𝑑𝑦

𝑦 = 𝑐

𝑦 = 𝑑

𝑥1 = 𝑓(𝑦)

𝑥

𝑦 𝑥2 = 𝑔(𝑦)

𝐿 = ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏

𝑦1 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑦2 = 𝑔(𝑥)

𝑥 = 𝑎

𝑉 = 𝜋 ∫(𝑓(𝑥))2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑥 = 𝑏

𝑉 = 𝜋 ∫(𝑓(𝑦))2

𝑑

𝑐

𝑑𝑦 𝑦 = 𝑐

𝑦 = 𝑑

𝑥 = 𝑓(𝑦)

𝑥

𝑦

𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑓(𝑥))2

− (𝑔(𝑥))2

]

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

𝑥 = 𝑎

𝑦1 = 𝑓(𝑥)

𝑥

𝑦

𝑥 = 𝑏

𝑦2 = 𝑔(𝑥)

𝑦 = 𝑐

𝑥2 = 𝑔(𝑦)

𝑥

𝑦

𝑦 = 𝑑

𝑥1 = 𝑓(𝑦)

𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑓(𝑥))2

− (𝑔(𝑥))2

]

𝑑

𝑐

𝑑𝑥

http://pak-anang.blogspot.com/

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 271

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Luas Daerah)

Luas Daerah

Dibatasi Diketahui Garis Memotong Dua Kurva Lebar dan Tinggi Kurva di Titik Puncak

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Persamaan kuadrat tersebut diperoleh dari persekutuan kedua kurva.

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2

𝐿 =2

3× Lebar × Tinggi

Lebar

Tinggi

𝐿 =1

6× Lebar × Tinggi

Lebar

Tinggi

𝐿𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 =1

3𝑎𝑏

𝐿𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 =2

3𝑎𝑏

𝑎

𝑏

X

Y

X

Y

X

Y

(𝑎 , 𝑏)

𝐿𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 =1

6𝑎𝑏

𝐿𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 =1

2𝑎𝑏

𝑎

𝑏

X

Y (𝑎 , 𝑏)



Contoh Soal 1a:

Luas daerah yang dibatasi parabola 𝑦 = 8 − 𝑥2 dan garis 𝑦 = 2𝑥 adalah ....

a. 36 satuan luas

b. 411

3 satuan luas

c. 412

3 satuan luas

d. 46 satuan luas

e. 462

3 satuan luas

Pembahasan:

Sketsa grafik dari soal adalah sebagai berikut:

Titik potong parabola dengan garis adalah: 𝑦1 = 𝑦2

⇒ 2𝑥 = 8 − 𝑥2

⇔ 2𝑥 − (8 − 𝑥2) = 0

⇔ 2𝑥 − 8 + 𝑥2 = 0⇔ 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0⇔ (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 + 4 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −4 atau 𝑥 = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik 𝑥 = −4 dan 𝑥 = 2. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari luas daerah.

Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

𝐿 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥2

−4

Nah, sekarang kita menentukan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥). Pada interval batas integrasi −4 ≤ 𝑥 ≤ 2, berlaku 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:

𝑓(𝑥) = 8 − 𝑥2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥

Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

𝐿 = ∫ [(8 − 𝑥2) − (2𝑥)] 𝑑𝑥2

−4

Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.

𝐿 = ∫ [(8 − 𝑥2) − (2𝑥)] 𝑑𝑥2

−4

= ∫ (−𝑥2 − 2𝑥 + 8) 𝑑𝑥2

−4

= [−1

3𝑥3 − 𝑥2 + 8𝑥]

−4

2

= (−1

3(2)3 − (2)2 + 8(2)) + (−

1

3(−4)3 − (−4)2 + 8(−4))

= (−8

3− 4 + 16) − (

64

3− 16 − 32)

= (−8 − 12 + 48

3) − (

64 − 48 − 96

3)

=28

3− (−

80

3)

=28

3+

80

3

=108

3= 36 satuan luas

X

Y 𝑦1 = 2𝑥

𝑦2 = 8 − 𝑥2



Contoh Soal 1b:

Luas daerah yang dibatasi parabola 𝑦 = 8 − 𝑥2 dan garis 𝑦 = 2𝑥 adalah ....

a. 36 satuan luas

b. 411

3 satuan luas

c. 412

3 satuan luas

d. 46 satuan luas

e. 462

3 satuan luas

Pembahasan TRIK SUPERKILAT:

Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kedua kurva. Titik potong parabola dengan garis adalah:

𝑦1 = 𝑦2

⇒ 2𝑥 = 8 − 𝑥2

⇔ 2𝑥 − (8 − 𝑥2) = 0

⇔ 2𝑥 − 8 + 𝑥2 = 0⇔ 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0⇔ (𝑥 + 4)(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 + 4 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −4 atau 𝑥 = 2

Dari persamaan kuadrat 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0, diperoleh nilai diskriminan:

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ⇒ 𝐷 = (2)2 − 4(1)(−8)= 4 + 32= 36

Sehingga luas daerah bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2=

36√36

6(1)2=

36 × 6

6= 36 satuan luas

Stop sampai sini aja. Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.



Contoh Soal 2a:

Luas daerah yang dibatasi kurva 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥 + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah ....

a. 2

3 satuan luas

b. 4

3 satuan luas

c. 6

3 satuan luas

d. 8

3 satuan luas

e. 10

3 satuan luas

Pembahasan:



⇒ 𝑥2 = 𝑥 + 2⇔ 𝑥2 − (𝑥 + 2) = 0

⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0⇔ (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 + 1 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik 𝑥 = −1 dan 𝑥 = 2. Batas integrasi untuk mencari luas daerah adalah garis 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 2.

Jadi rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

𝐿 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥2

0

Nah, sekarang kita menentukan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥). Pada interval batas integrasi 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, berlaku 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥). Maka dengan melihat sketsa grafik, jelas terlihat bahwa:

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2

Sehingga rumus integral untuk mencari luas daerah adalah sebagai berikut:

𝐿 = ∫ [(𝑥 + 2) − (𝑥2)] 𝑑𝑥2

0

Oke, sekarang kita hitung luasnya menggunakan konsep integral tertentu.

𝐿 = ∫ [(𝑥 + 2) − (𝑥2)] 𝑑𝑥2

0

= ∫ (−𝑥2 + 𝑥 + 2) 𝑑𝑥2

0

= [−1

3𝑥3 +

1

2𝑥2 + 2𝑥]

0

2

= (−1

3(2)3 +

1

2(2)2 + 2(2)) + (−

1

3(0)3 +

1

2(0)2 + 2(0))

= (−8

3+ 2 + 4) − (0)

=−8 + 6 + 12

3

=10

3 satuan luas

X

Y

𝑦2 = 𝑥 + 2 𝑦1 = 𝑥2



Contoh Soal 2b:

Luas daerah yang dibatasi kurva 𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥 + 2 , sumbu Y di kuadran I adalah ....

a. 2

3 satuan luas

b. 4

3 satuan luas

c. 6

3 satuan luas

d. 8

3 satuan luas

e. 10

3 satuan luas




⇒ 𝑥2 = 𝑥 + 2⇔ 𝑥2 − (𝑥 + 2) = 0

⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0⇔ (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 + 1 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = −1 atau 𝑥 = 2

Jadi, kita bisa menggunakan TRIK SUPERKILAT untuk menyelesaikan soal tersebut, dengan langkah berikut:

= −

{Luas daerah arsir} = {2

3 luas segiempat, alas 2 dan tinggi 4} – {luas segitiga, alas 2 dan tinggi 4 − 2 = 2}

𝐿𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 =2

3𝐿□ − 𝐿∆

=2

3(2)(4) −

1

2(2)(2)

=16

3− 2

=16 − 6

3

=10

3 satuan luas

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral ini….

Y

X

𝑦2 = 𝑥 + 2

2

4

2

𝑦1 = 𝑥2

2

4

2

Y

X

2

4

2

Y

X

2

4

2

Y

X



http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html


TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Integral (Volume Benda Putar)

Volume Benda Putar

Dibatasi Kurva dan Garis Sumbu

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 adalah nilai diskriminan persamaan kuadrat: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Persamaan kuadrat tersebut adalah persamaan kurva pada soal.

X

𝐿 =𝐷2√𝐷

30𝑎3 𝜋



Contoh Soal 1a:

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....

a. 8

15𝜋 satuan volume

b. 12


c. 16


d. 20


e. 24


Pembahasan:


Titik potong parabola dengan sumbu X adalah: 𝑦 = 0

⇒ 𝑥2 − 2𝑥 = 0⇔ 𝑥(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 2

Jadi titik potong parabola dengan garis adalah di titik 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 2. Titik potong tersebut merupakan batas integrasi untuk mencari volume benda putar.

Jadi rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:

𝐿 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥2

0

Nah, karena hanya dibatasi sebuah kurva maka jelas bahwa: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥

Sehingga rumus integral untuk mencari volume benda putar adalah sebagai berikut:

𝐿 = 𝜋 ∫ [(𝑥2 − 2𝑥)]2 𝑑𝑥2

0

Oke, sekarang kita hitung volumenya menggunakan konsep integral tertentu.

𝐿 = 𝜋 ∫ [(𝑥2 − 2𝑥)]2 𝑑𝑥2

0

= 𝜋 ∫ (𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2) 𝑑𝑥2

0

= 𝜋 [1

5𝑥5 − 𝑥4 +

4

3𝑥3]

0

2

= 𝜋 [(1

5(2)5 − (2)4 +

4

3(2)3) + (

1

5(0)5 − (0)4 +

4

3(0)3)]

= 𝜋 [(32

5− 16 +

32

3) − (0)]

= 𝜋 [96 − 240 + 160

15]

=16


X

Y 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥



Contoh Soal 1b:

Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X adalah ....

a. 8


b. 12


c. 16


d. 20


e. 24



Langkahnya seperti cara mencari titik potong atau titik persekutuan kurva dengan sumbu putar. Titik potong parabola dengan garis adalah:

𝑦 = 0

⇒ 𝑥2 − 2𝑥 = 0⇔ 𝑥(𝑥 − 2) = 0⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 − 2 = 0⇔ 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 2

Dari persamaan kuadrat 𝑥2 − 2𝑥 = 0, diperoleh nilai diskriminan:

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ⇒ 𝐷 = (2)2 − 4(1)(0)= 4

Sehingga volume benda putar bisa dihitung menggunakan rumus cepat berikut:

𝐿 =𝐷2√𝐷

30𝑎3 𝜋 =

(4)2√4

30(1)3 𝜋 =

16 × 2

30𝜋 =

16

15𝜋 satuan volume.

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Integral ini….

Stop sampai sini aja. Persamaan kuadrat ini yang akan dicari nilai diskriminannya.

15



http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_20.html


Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 342 xxy dan xy 3 adalah ....

A. 6

41 satuan luas

B. 3

19 satuan luas

C. 2

9 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 6

11 satuan luas

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 432 xxy dan xy 1 adalah ....

A. 3

2 satuan luas

B. 3

4 satuan luas

C. 4

7 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 3

15 satuan luas

3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 342 xxy dan 1 xy adalah ....

A. 6

41 satuan luas

B. 3

19 satuan luas

C. 2

9 satuan luas

D. 3

8 satuan luas

E. 6

11 satuan luas

TRIK SUPERKILAT: 𝑦1 = 𝑦2

⇒ 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 3 − 𝑥⇔ 𝑥2 − 3𝑥 = 0

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 9

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2=

9√9

6 ∙ 12

=27

6

=9

2 satuan luas

Luas daerah diarsir:

𝐿 = ∫ 𝑦1 − 𝑦2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

= ∫ (3 − 𝑥) − (𝑥2 − 4𝑥 + 3)3

0

𝑑𝑥

= ∫ (−𝑥2 + 3𝑥)3

0

𝑑𝑥

= [−1

3𝑥3 +

3

2𝑥2]

0

3

= (−1

3(3)3 +

3

2(3)2) − (−

1

3(0)3 +

3

2(0)2)

= (−9 +27

2) − (0)

=9

2 satuan luas

TRIK SUPERKILAT: Pembahasan masih dilanjutkan dan akan diupdate setiap saat. Temukan update terbarunya dan selalu kunjungi http://pak-anang.blogspot.com

Y

X 3 1

3

𝑦 = 3 − 𝑥

𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3


⇒ 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 𝑥 − 1⇔ 𝑥2 − 5𝑥 + 4 = 0

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 9

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2=

9√9

6 ∙ 12

=27

6

=9

2 satuan luas


𝐿 = ∫ 𝑦1 − 𝑦2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

= ∫ (𝑥 − 1) − (𝑥2 − 4𝑥 + 3)4

1

𝑑𝑥

= ∫ (−𝑥2 + 5𝑥 − 4)4

1

𝑑𝑥

= [−1

3𝑥3 +

5

2𝑥2 − 4𝑥]

1

4

= (−1

3(4)3 +

5

2(4)2 − 4(4)) − (−

1

3(1)3 +

5

2(1)2 − 4(1))

= (−64

3+

80

2− 16) − (−

1

3+

5

2− 4)

=9

2 satuan luas

Y

X 4

3

3

𝑦 = 𝑥 − 1

𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

-1 1


⇒ 𝑥2 + 3𝑥 + 4 = 1 − 𝑥⇔ 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 4

𝐿 =𝐷√𝐷

6𝑎2=

4√4

6 ∙ 1

=8

6

=4

3 satuan luas


𝐿 = ∫ 𝑦1 − 𝑦2

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

= ∫ (1 − 𝑥) − (𝑥2 + 3𝑥 + 4)−1

−3

𝑑𝑥

= ∫ (−𝑥2 − 4𝑥 − 3)−1

−3

𝑑𝑥

= [−1

3𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥]

−3

−1

= (−1

3(−1)3 − 2(−1)2 − 3(−1)) − (−

1

3(−3)3 − 2(−3)2 − 3(−3))

= (1

3− 2 + 3) − (9 − 18 + 9)

=4

3 satuan luas

Y

X

4

-1 -3 𝑦 = 1 − 𝑥

𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 + 4

2

1




4. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy dan 34 xy diputar 360°

mengelilingi sumbu X adalah ....

A. π15

1113 satuan volume

B. π15

413 satuan volume

C. π15

1112 satuan volume

D. π15

712 satuan volume

E. π15

412 satuan volume

5. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy dan xy 2 diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....

A. π15

113 satuan volume

B. π15

44 satuan volume

C. π15

46 satuan volume

D. π15

66 satuan volume

E. π15

117 satuan volume

6. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy dengan xy 2 diputar

mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah ....

A. π2 satuan volume

B. π15

13 satuan volume

C. π15

44 satuan volume

D. π15

412 satuan volume

E. π15

214 satuan volume

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

Y

X

𝑦 = 4𝑥 − 3

𝒚 = 𝟑 − 𝒙

𝑦 = 𝑥2

𝒚

= 𝒙𝟐

− 𝟒𝒙 + 𝟑

Volume benda putar

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦12 − 𝑦2

2𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ (4𝑥 − 3)2 − (𝑥2)23

1

𝑑𝑥

= 𝜋 ∫ (4𝑥 − 3)2 − (𝑥2)23

1

𝑑𝑥

= 𝜋 ∫ (−𝑥4 + 16𝑥2 − 24𝑥 + 9)3

1

𝑑𝑥

= [−1

5𝑥5 +

16

3𝑥3 − 12𝑥2 + 9𝑥]

1

3

= (−1

5(3)5 +

16

3(3)3 − 12(3)2 + 9(3))

− (−1

5(1)5 +

16

3(1)3 − 12(1)2 + 9(1))

= (−243

5+ 144 − 108 + 27)

− (−1

5+

16

3− 12 + 9)

= (216

15) − (

32

15)

=184

15= 12

4

5 satuan volume

3 1

Volume benda putar

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦12 − 𝑦2

2𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = − 𝜋 ∫ (−𝑥2)2 − (−2𝑥)22

0

𝑑𝑥

= − 𝜋 ∫ (𝑥4 − 4𝑥2)2

0

𝑑𝑥

= −𝜋 [1

5𝑥5 −

4

3𝑥3]

0

2

= −𝜋 [(1

5(2)5 −

4

3(2)3) − (

1

5(0)5 −

4

3(0)3)]

= −𝜋 (32

5−

32

3)

= −𝜋 (96 − 160

15)

=64

15𝜋 = 4

4


Y

X

𝑦 = −2𝑥

𝒚 = 𝟑 − 𝒙

𝑦 = −𝑥2

𝒚

= 𝒙𝟐

− 𝟒𝒙 + 𝟑

2

-4

Volume benda putar

𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦12 − 𝑦2

2𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = − 𝜋 ∫ (2𝑥)2 − (𝑥2)22

0

𝑑𝑥

= − 𝜋 ∫ (4𝑥2 − 𝑥4)2

0

𝑑𝑥

= −𝜋 [4

3𝑥3 −

1

5𝑥5]

0

2

= −𝜋 [(4

3(2)3 −

1

5(2)5) − (

4

3(0)3 −

1

5(0)5)]

= −𝜋 (32

5−

32

3)

= −𝜋 (96 − 160

15)

=64

15𝜋 = 4

4


Y

X

𝑦 = 𝑥2

𝒚 = 𝟑 − 𝒙

𝑦 = 2𝑥

𝒚

= 𝒙𝟐

− 𝟒𝒙 + 𝟑

2

4


http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

Smart Solution Luas Daerah Dan Volume Benda Putar

Documents

Transcript of Smart Solution Luas Daerah Dan Volume Benda Putar