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8/17/2019 lógica proposiconal : formas normais
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LógicaProposicional
Formas Normais
e Resolução
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Formas normais e {¬,v,^}
Um literal é um símboloproposicional ou sua negação
Um bom conjunto completo é{¬,v,^}
Formas normais são obtidas apartir desse conjunto deconectivos
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Forma normal disjuntiva Uma !rmula est" na orma normal
disjuntiva #nd ou $NF, em ingl%s& se
é uma disjunção de conjunç'es deliterais F é da orma F( v F) v *** v Fn, onde
Fi é uma conjunção #da orma +( ^ +)^ *** ^ +n & e
+i é um literal -. /0#¬1^2& v #¬R^¬2^1& v #1^3&
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Forma normal conjuntiva Uma !rmula est" na orma normal
conjuntiva #nc ou 4NF, em ingl%s& se
é uma conjunção de disjunç'es deliterais F é da orma F( ^ F) ^ *** ^ Fn, onde
Fi é uma disjunção #da orma +( v +)v *** v +n & e
+i é um literal -. 50#¬1v2& ^ #¬Rv¬2v1& ^ #1v3&
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6btenção de ormas
normais 6bserve 7ue / e 5 são parecidos
/0#¬1^2& v #¬R^¬2^1& v #1^3&, $NF 50#¬1v2& ^ #¬Rv¬2 v1& ^ #1v3&, 4NF
1ara obt%8las a partir de !rmulas7uais7uer usam8se algoritmos
duais 6s mesmos, trocando8se 9 por F
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+lgoritmos usando leis
#repetidamente& ( 8:eis de eliminação
1→2 0 #¬1v2&
1↔
2 0 #1→
2&^#2→
1& ) 8:ei da negação ¬#¬/& ↔ /
) 8:eis de $e ;organ
¬#1v2& 0 ¬1 ^ ¬2 ¬#1^2& 0 ¬1 v ¬2
< 8:eis distributivas. F v #5^/& 0 #Fv5& ^ #Fv/& F ^ #5v/& 0 #F^5& v #F^/&
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-ercícios 6bter $NF de #1 v ¬2& →R
0 ¬#1v¬2& v R #eliminação de →& 0 #¬1 ^ ¬#¬2&& v R #$e ;organ& 0 #¬1 ^ 2& v R #negação&
6bter 4NF de #1^#2→R&&→3
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-ercícios de obtenção de
ormas normais 6bter $NF de ¬#1 ^2& →R 6bter 4NF de ¬#1 ^2& →R
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Notação na orma de
conjuntos /0#1v¬2vR&^#1v¬2&^#1v1& Representação na orma de
conjuntos. /0{=1,¬2,R>,=1,¬2>,=1>} Note 7ue
#1v¬2vR& 0 =1,¬2,R> #1v1&0=1> Não é necess"rio representar duplicidade na
orma de conjuntos
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4l"usulas e literais
complementares 4l"usula em l!gica proposicional é
uma disjunção de literais Usando a notação de conjuntos. 4(0{1,¬2,R}, 4)0{1,¬2}, 4<0{1}
$ois literais são complementares7uando um é a negação do outro
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Resolvente de ) cl"usulas 3upondo ) cl"usulas 4(0{+(,***, +n}
e 4)0{?(, ***, ?n}, com literais
complementares +, um conjunto de literais em 4(, tal 7ue 8+, um conjunto de literais
complementares a +, estão em 4) Resolvente de 4( e 4). Res#4(,4)&0#4(8+&U#4)8 8+& Res#4(,4)& pode ser {}
Resolvente va@io ou trivial
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-emplo de resolvente 4(0{1,¬2,R} e 4)0{¬1,R} Res #4(,4)& 0 {¬2,R}, 7ue
também é uma cl"usula $(0{1,¬2} e $)0{¬1,2}
Res #$(,$)& 0 {}, 7ue também éuma cl"usula
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3istema com Resolução +labeto da :!gica 1roposicional 4onjunto de cl"usulas da :!gica
1roposicional + regra de resolução
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Regra de Resolução 3upondo ) cl"usulas 4(0{+(,***,
+n} e 4)0{?(, ***, ?n}, a Regra de
Resolução aplicada a 4( e 4) é. $edu@ir Res#4(,4)&
1ara veriAcar satisabilidade mpregar v"rias ve@es até obter a
cl"usula va@ia -pansão por resolução
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-pansão por resolução {=¬1,2,R>,=1,R>,=1,¬R>} (* =¬1,2,R> )* =1,R> <* =1,¬R> B* =2,R> Res #(,)& C* =2,1> Res #<,B& D* =1> Res #),<& #Não conseguimos obter a cl"usula
va@ia***&
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-emplo de e-pansão por
resolução {=¬1,2>,=1,R>,=1,¬2>,=¬2,¬R>} (* =¬1,2>
)* =1,R> <* =1,¬2> B* =¬2,¬R> C* =2,R> Res #(,)& D* =1,R> Res #<,C& E* =2,R> Res #(,D& * {} Res#B,E& -pansão ecGada H contém a cl"usula
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Forma clausal $ada uma !rmula /, a orma
clausal associada a / é Uma !rmula /c, uma conjunção de
cl"usulas e7uivalente a / 9oda !rmula proposicional possui
uma orma clausal associada
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-ercício +cGar a a orma clausal associada
a. #/^#5v/&& ↔#/^5&v#/^/& ¬#/ ↔ 5& ↔#¬/ ↔ 5& ¬
#¬
#/&↔
/
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1rova por resolução $adas uma !rmula / e ¬/c, a
orma clausal associada a ¬/ Uma 1rova de / por resolução é
uma e-pansão ecGada sobre ¬/c / é um teorema do sistema de
resolução
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-emplo de 1rova por
resolução /0##1(v1)v1<&^#1(→1B&^#1)→1B&^#1<→1B&& → 1B
$eterminar ¬/c associada a ¬/ ¬/c0¬###1(v1)v1<&^#1(→1B&^#1)→1B&^
#1<→1B&& →1B&& 0¬#¬##1(v1)v1<&^#1(→1B&^#1)→1B&^#1<→
1B&&v1B& 0#1(v1)v1<&^#¬1(v1B&^#¬1)v1B&^#¬1<v1B&^ ¬1B
0{=1(,1),1<>,=¬1(,1B>,=¬1),1B>,=¬1<,1B>,
=¬1B>}
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-emplo de 1rova por
resolução #cont*& (* =1(,1),1<> )* =¬1(,1B> <* =¬1),1B> B* =¬1<,1B> C* =¬1B>
D* =1),1<,1B> Res#(,)& E* =1<,1B> Res#<,D& * =1B> Res#B,E& J* {} Res#C,&
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-ercício /0##1(v1)&^#1(→1B&^#1)→1B&^
#1<→1B&& → 1< $eterminar ¬/c associada a ¬/ Fa@er a e-pansão por resolução
+berta ou ecGadaK
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4onse7L%ncia l!gica na
resolução $ada uma !rmula / e um conjunto de Gip!tesesβ0{/(,/),***/n},
então / é conse7L%ncia l!gica deβ por resolução
se e-iste uma prova por resolução de #/(^/)^***^/n& → /
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Notação de 4onse7L%ncia
:!gica por Resolução $ada uma !rmula /, se / é
conse7L%ncia l!gica de um
conjunto de Gip!tesesβ0{/(,/),***/n} por resolução,di@8se 7ue. β M / ou {/(,/),***/n} M /
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-ercício de 4onse7L%ncia
:!gica por Resolução 5uga é determinado 5uga é inteligente 3e 5uga é determinado, ele não é umperdedor 5uga é um atleta se é amante do t%nis 5uga é amante do t%nis se é inteligente
5uga não é um perdedorO éconse7L%ncia l!gica das aArmaç'es
acimaKK
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3olução 1rovar
/0#1^2^##1^R&→1(&^#2(→R&^#2→2(&
& →¬1( ;ostrando 7ue ¬/ é absurdo ¬#1^2^##1^R&→1(&^#2(→R&^#2→2(&&→¬1(& gera uma e-pansão por resoluçãoecGada a partir da sua orma clausalK
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Resolução e 9ableau- 2uais as relaç'es entre elesKK
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Resolução e 9ableau-
=Fitting (JJP> ;étodos por negação Qmplement"veis
Resolução =ulia Robinson (JDC> 1rolog =4olmerauer (JE)>
Uma e-pansão ecGada porresolução e7uivale a um tableauecGado
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Resolução - 9ableau- 6lGa para o signiAcado
da !rmula Uma disjunção
mantém8se numacl"usula Uma conjunção
biurcaO cl"usulas :inGas de resoluç'es 1ega8se uma
conjunção dedisjunç'es e tenta8sesimpliAc"8la
6lGa para o valor da!rmula
+s regras disjuntivasbiurcam tableau- 3ão usadas "rvores
Representamnaturalmente
disjunç'es entreramos
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m resolução*** Na 4NF, para converter uma
!rmula para a orma clausal, os
SvTs criam cl"usulas se7Lenciais eos S^Ts separam os termos -s. +v? 0 {=+,?>} +^? 0{=+>,=?>} o 7ue, na pr"tica, vira uma biurcação Resolução ocorre sobre 4NFs
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-ercícios de Formali@ação + proposta de au-ílio est" no
correio* 3e os "rbitros a
receberem até se-ta8eira, eles aanalisarão* 1ortanto, eles aanalisarão por7ue se a proposta
estiver no correio, eles a receberãoaté se-ta8eira* #4, 3, +&
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3olução + proposta de au-ílio est" no correio* 3e os"rbitros a receberem até se-ta8eira, elesa analisarão* 1ortanto, eles a analisarão
por7ue se a proposta estiver no correio,eles a receberão até se-ta8eira*
4. + proposta de au-ílio est" no correio*
3. 6s "rbitros recebem a proposta até 3e-ta8eira*+. 6s "rbitros analisarão a proposta*
{C, S A, C S} |-- A
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-ercício /oje é 3"bado ou $omingo* 3e
Goje é 3"bado então é um Am de
semana* 3e Goje é $omingo entãoé um Am de semana* 1ortanto,Goje é um Am de semana*
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-ercício 3e Goje é 2uinta8eira, então
amanGã ser" se-ta8eira* 3e
amanGã or se-ta8eira, entãodepois de amanGã ser" s"bado*4onse7Lentemente, se Goje or
7uinta8eira, então depois deamanGã ser" s"bado*