1 BCC 101 –Matemática Discreta Regras de Inferência BCC101 - Matemática Discreta I.
Regras de Inferência Como gerar na Lógica Proposicional formas válidas de argumento? Regras de...
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Regras de Inferência Como gerar na Lógica Proposicional
formas válidas de argumento? Regras de Inferência permitem gerar
formas de argumentos numa série de etapas simples e precisas de raciocínio chamada prova ou derivação.
Cada etapa numa derivação é uma instância de uma das regras de inferência.
Existem 10 regras básicas: uma para incluir e outra para excluir cada um dos operadores lógicos.
Ex: {C, SA, CS} |-- A 1. C P 2. SA P 3. CS P 4. S 1 e 3 MP 5. A 2 e 4 MP
Derivação Uma derivação (prova) de uma
forma de argumento é uma seqüência de enunciados <e1, e2, .... en>, onde:
en é a conclusão Cada e1, e2, .... en pode ser:
Uma premissa ou O resultado da aplicação de uma
regra à enunciados anteriores.
Derivação No exemplo, temos que a
seqüência de fórmulas (que representam os enunciados). 1, 2, ....5 é uma derivação ou uma prova da forma indicada.
A regra utilizada MP chama-se Modus Ponens (modo afirmativo).
Modus Ponens (MP): de um condicional e de seu
antecedente, podemos inferir o seu conseqüente.
α α β β
Ex: {~P(QR), ~P, Q} |-- R1. ~P(QR) P2. ~P P3. Q P4. QR 1 e 2 MP5. R 3 e 4 MP
Eliminação da negação (~E): de uma fórmula da forma ~~α,
podemos inferir α.
~~α α
Ex: {~P ~~Q, ~~~P} |-- Q1. ~P ~~Q P2. ~~~P P3. ~P 2 ~E4. ~~Q 1 e 3 MP5. Q 4 ~E
Introdução de conjunção (^I): de quaisquer fórmulas α e β.
podemos inferir a conjunção α e β.
α β α ^ β
Eliminação de conjunção (^E): de uma conjunção podemos
inferir qualquer um dos seus componentes.
α ^ β α ^ β α β
Ex:{P(Q^R), P} |-- P ^ Q 1. P(Q^R) P 2. P P 3. Q^R 1 e 2 MP 4. Q 3 ^E 5. P ^ Q 2 e 4 ^I
Ex:{(P^Q)(R^S),~~P, Q} |-- S 1. (P^Q)(R^S) P 2. ~~P P 3. Q P 4. P 2 ~E 5. P ^ Q 3 e 4 ^I 6. R^S 1 e 5 MP 7. S 6 ^E
Introdução de disjunção (νI) : de uma fórmula α, podemos inferir
a disjunção de α com qualquer fórmula β.
α . α v β
Ex:{P |-- (PvQ) ^ (PvR)} 1. P P 2. PvQ 1 vI 3. PvR 1 vI 4. (PvQ) ^ (PvR) 2 e 3 ^I
Ex:{P, ~~(PQ) |--(R^S)vQ} 1. P P 2. ~~(PQ) P 3. PQ 2 e ~E 4. Q 1 e 3 MP 5. (R^S)vQ 4 e vI
Eliminação de disjunção (vE): De quaisquer fórmulas da forma
α v β, αγ, βγ , podemos inferir γ.
α v β αγ βγ γ
Exemplo: Hoje é Sábado ou Domingo. Se
hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.
{SvD, SF, DF} |-- F
Introdução do Bicondicional (): de quaisquer fórmulas da forma α β e β α, podemos inferir
αβ.
α β β α αβ
Eliminação do Bicondicional (E): de qualquer fórmula da forma
αβ, podemos inferir as fórmulas α β ou β α.
αβ , αβαβ βα
Exemplos: Hoje é um fim de semana se e
somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado.
{F(SvD), S} |-- F
{F(SvD), S} |-- F 1. F(SvD) P 2. S P 3. SvD 2 vI 4. (SvD)F 1 E 5. F 2 e 4 MP
{PQ, (PQ)(QP)} |-- PQ 1. PQ P 2. (PQ)(QP) P 3. QP 1 e 2 MP 4. PQ 1 e 3 I
Regras Hipotéticas Introdução do condicional e da
negação empregam raciocínio hipotético:
Raciocínio baseado em hipóteses.
As hipóteses não são consideradas como verdadeiras, elas são "artifícios lógicos" (estratégia de prova).
Exemplo: Um atleta machucou o tornozelo uma
semana antes de um campeonato de corrida e seu técnico procura convencê-lo a parar alguns dias para que seu tornozelo sare totalmente:
O técnico argumenta:"Se você continuar a correr, você não estará apto para disputar o campeonato".
O atleta não se convence e diz: "Prove isso".
Solução A maneira mais comum de provar um
condicional é colocar o seu antecedente como hipótese (admiti-lo como verdadeiro) e provar que a partir dele seu consequente se verifica.Para esse exemplo, equivale a raciocinar do seguinte modo:
Solução "Olhe, suponhamos que você continue
correndo, o seu tornozelo está muito inchado. Se ele está muito inchado e você continuar correndo, ele não sarará em uma semana. Se ele não sarar em uma semana, então você não estará apto para disputar o campeonato. Deste modo, você não estará apto para disputar o campeonato."
Solução O novo argumento emprega três
suposições afirmadas como verdadeiras:1) Seu tornozelo está muito inchado.2) Se o seu tornozelo está muito inchado e
você continuar correndo, ele não irá sarar em uma semana.
3) Se o seu tornozelo não sarar em uma semana, então você não estará apto a disputar o campeonato.
Solução O argumento hipotético demonstra que
se a hipótese "você continuar correndo" é verdadeira, então a conclusão do argumento "você não estará apto para disputar o campeonato", se verifica.
Assim, fica provada a verdade do condicional:
"Se você continuar correndo, você não estará apto a disputar o campeonato".
Formalizando: Suposições desse argumento hipotético:1. I Tornozelo está inchado2. (I ^ C)~S Se tornozelo inchado e continuar
correndo, então não irá sarar.3. ~S~ASe seu tornozelo não sarar você não
estará apto para o Campeonato. Conclusão a ser provada: C~A Se você continuar correndo agora, você
não estará apto para Campeonato.
Formalizando: Forma do novo argumento:
{I, (I ^ C)~S, ~S~A} |-- C~A
Derivação:{I, (I ^ C)~S, ~S~A} |-- C~A 1. I P 2. (I ^ C)~S P 3. ~S~A P 4. | C H p/ PC 5. | I ^ C 1 e 4 ^I 6. | ~S 2 e 5 MP 7. | ~A 3 e 6 MP 8. C~A 4 e 7 PC
Prova do Condicional (PC): Dada uma derivação de uma fórmula
a partir de uma hipótese , podemos descartar a hipótese e inferir
{} ├
Em relação ao exemplo da corrida, é C e é ~A.
Outros exemplos: Ex. 1: {P Q, Q R} ├ P R
1. P Q P 2. Q R P 3. | P H p/PC 4. | Q 1 e 3 MP 5. | R 2 e 4 MP 6. P R 3 e 5 PC
Outros exemplos: Ex. 2: {(P ^ Q) R} ├ P (Q R)
1. (P ^ Q) R P 2. | P H p/PC 3. | | Q H p/PC 4. | | P ^ Q 2 e 3 ^I 5. | | R 1 e 4 MP 6. | Q R 3 e 5 PC 7. P (Q R) 2 e 6 PC
Outros exemplos: Ex. 3: {(P ^ Q) v (P ^ R)} ├ P ^ (Q v R) 1. (P ^ Q) v (P ^ R) P 2. | P ^ Q H 3. | P 2 p/ ^E 4. | Q 2 p/ ^E 5. | Q v R 4 p/ vI 6. | P ^ (Q v R) 3 e 5 ^I 7. (P ^ Q) P ^ (Q v R) 2 e 6 PC 8. | P ^ R H 9. | P 8 p/ ^E 10. | R 8 p/ ^E 11. | Q v R 10 p/ vI 12. | P ^ (Q v R) 9 e 11 ^I 13. (P ^ R) P ^ (Q v R) 8 e 12 PC 14. P ^ (Q v R) 1 e 7 e 13 vE
Redução ao Absurdo (RAA): Dada uma derivação de uma contradição a
partir de uma hipótese , podemos descartar a hipótese e inferir ~.
{} ├ ^ ~ ~ Obs: Uma contradição é qualquer fórmula da forma
^ ~, onde pode ser qualquer fórmula.
Ex: {P Q, ~Q} ├ ~P 1. P Q P 2. ~Q P 3. | P H p/RAA 4. | Q 1 e 3 MP 5. | Q ^ ~Q 2 e 4 ^I 6. ~P 3 e 5 RAA
Ex: {(~P P)} ├ P 1. ~P P P 2. |~P H p/RAA 3. |P 1 e 2 MP 4. |P ^ ~P 2 e 3 ^I 5. ~~P 2 e 4 RAA 6. P 5 ~E
Regras Derivadas 1- Modus Tollens (MT): (modo negação)
{P Q, ~Q} ├ ~P Derivação:
1. P Q P2. ~Q P3. | P H p/ RAA4. | Q 1e 3 MP5. | Q ^ ~Q 2e 4 ^I6. ~P 3e 5 RAA
Regras Derivadas 2 – Contradição (CONTRAD):
{P, ~P} ├ Q Derivação:
1. P P2. ~P P3. | ~Q H4. | P ^ ~P 1 e 2 ^I5. ~~Q 3 e 4 RAA6. Q 5 p/ ~E
Regras Derivadas 3 - Silogismo Disjuntivo (SD):
{P v Q, ~P} ├ Q Solução:1. P v Q P2. ~P P3. | P H p/PC4. | Q 2 e 3 CONTRAD5. P Q 3 e 4 PC6. | Q H p/PC7. Q Q 6 e 6 PC8. Q 1 e 5 e 7 vE
Exercício: Mostre que os seguintes
argumentos são válidos: Se este argumento for incorreto e
válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.
Solução: Identificando as Sentenças:
P: as premissas deste argumento são verdadeiras.
S: este argumento é correto. V: este argumento é válido.
Formalizando:{(~S ^ V) ~P, P, V} ├ S
Prova:{(~S ^ V) ~P, P, V} ├ S1. (~S ^ V) ~PP2. P P3. V P4. | ~S H p/RAA5. | ~S ^ V 3 e 4 ^I6. | ~P 1 e 5 MP7. | P ^ ~P 2 e 6 ^I8. ~~S 4 e 7 RAA9. S 8 ~E
Exercício: Deus não existe. Pois, se Deus
existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado.
{D V, ~V} ├ ~D Derivação:
1. D V P2. ~V P3. | D H4. | V 1 e 3 MP5. | V ^ ~V 2 e 4 ^I6. ~D 3 e 5 RAA
ou então:{D V, ~V} ├ ~D
1. D V P2. ~V P3. ~D 1 e 2 MT
Exercício: Se hoje é Quinta-feira, então
amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sexta-feira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.
{Q X, X S} ├ Q S
Prova:{Q X, X S} ├ Q S
1. Q X P2. X S P3. | Q H4. | X 1e 3 MP5. | S 2e 4 MP6. Q S 3e 5 PC