Post on 14-Apr-2018
Constitutive equation of elastic solid
( )( ) ( )νμνν
νλ+
=−+
=12
,211
EELame’s constant
ijkkijij μεεδλσ 2 +=
Hooke’s law
klijklij E εσ =linear elastic solid
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線形弾性体線形弾性体
線形弾性体
応力テンソル σとひずみテンソル εの各成分が線形関係を
有する固体.
応力テンソル σとひずみテンソル εの各成分が線形関係を
有する固体.
εkl
σij
O
E ijkl
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
εεεεεεεεε
ε
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
σσσσσσσσσ
σ応力テンソル
ひずみテンソル
線形弾性体の構成式線形弾性体の構成式
εEσ :=
klijklij E εσ =指標表現
シンボリック表現
11111111 εσ E=
σ21
σ31
σ22
σ32
σ13
σ23
σ33
ε21
ε31
ε22
ε32
ε13
ε23
ε33
σ11 ε11
E1123E1122E1121
E1113E1112
E1133E1132E1131 E3323E3322E3321
E3313E3312E3311
E3333E3332E3331
E1111
12121212 εσ E=σ12 ε12E1212
ε11
σ11
O
E 1111
ε12
σ12
OE1212
9成分 9成分81成分
= :
弾性係数テンソル
( l = n )
弾性係数テンソルの階数弾性係数テンソルの階数
εEσ :=
klijklij E εσ =指標表現
シンボリック表現
テンソル積
E
ε
縮約
4階のテンソル
6(=4+2)階のテンソル
mnijklE ε 縮約
4(=6-2)階のテンソル
2(=4-2)階のテンソル
( k = m ) knijklE ε klijklE ε2階のテンソル
テンソルの商法則により E は4階
のテンソルであることがわかる.
ひずみエネルギー密度関数の存在の仮定
ひずみの定義式
弾性係数テンソル内の独立成分弾性係数テンソル内の独立成分
σ11
σ21
σ31
σ12
σ22
σ32
σ13
σ23
σ33
σ11
σ12
σ31
σ12
σ22
σ23
σ31
σ23
σ33
ε11
ε21
ε31
ε12
ε22
ε32
ε13
ε23
ε33
ε11
ε12
ε31
ε12
ε22
ε23
ε31
ε23
ε33
E1123E1122E1121
E1113E1112
E1133E1132E1131
E1111
E3323E3322E3321
E3313E3312E3311
E3333E3332E3331
9成分 9成分
81成分
6成分(対称テンソル)
6成分(対称テンソル)
角運動量保存則
36成分
21成分
2成分(直交異方性であれば9成分)
応力とひずみの対称性
等方性
ijlkijkl
jiklijkl
EE
EE
=
=
応力テンソル ひずみテンソル
klijijkl EE =
任意の座標変換において不変
一般化フックの法則(ひずみから応力を計算)一般化フックの法則(ひずみから応力を計算)
tr211
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
+= Iεεσ
νν
νE
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
+= ijkkijij
E δεν
νεν
σ211
指標表現
シンボリック表現
展開表現 ( )( ) ( ) ( ){ }
LL
LL
==+
=
==++−−+
=
31231212
332233221111
,,1
,,1211
σσεν
σ
σσεενεννν
σ
E
E
( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡++
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100010001
211 332211
332331
232212
311211
332331
232212
311211
εεεν
ν
εεεεεεεεε
νσσσσσσσσσ
E
Εと νが独立な2成分
縦弾性係数
ポアソン比
等方線形弾性体の構成式
一般化フックの法則と弾性係数テンソルの対応一般化フックの法則と弾性係数テンソルの対応
klijklij E εσ =
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 332211
3322111111
2112112111
2111
ενν
νενν
νενν
ν
εεενν
νεν
σ
−++
−++
−+−
=
++−+
++
=
EEE
EE1212 1ε
νσ
+=
E
1133E
011131112 === LEEこれら以外の 成分は0.klE11 012131211 === LEE
と 以外の
成分は0.klE121122E1111E
12122E
E1123E1122E1121
E1113E1112
E1133E1132E1131
E1111
E3323E3322E3321
E3313E3312E3311
E3333E3332E3331klE11klE12
一般化フックの法則
弾性係数テンソル
1212E 1221E121212
211221
12121212
2 εεεσ
EEE
=+=
一般化フックの法則の式(左上)では,σijに対するεji成分(この例ではσ12に対するε21)の項がすでに消去されている.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
+= ijkkijij
E δεν
νεν
σ211
弾性コンプライアンス係数テンソル弾性コンプライアンス係数テンソル
σCε :=
klijklij C σε =指標表現
シンボリック表現
弾性係数テンソルEと同様に弾性コンプライアンス係数テンソル C も4階のテンソルである.
弾性コンプライアンス係数テンソル
εkl
σij
O
E ijkl
εij
σklO
Cijkl
弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの関係(その1)
弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの関係(その1)
ijklijkl E
C 1≠
333312121111 εεεεσ ijklijklijijij EEEE +++++= LL
333312121111 σσσσε ijklijklijijij CCCC +++++= LL
εij
σklO
Cijkl
εkl
σij
O
E ijkl
弾性コンプライアンス係数テンソル
弾性係数テンソル
例えば
2121111 ybybx +=
弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの関係(その2)
弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの関係(その2)
の関係は,以下のaijとbijの関係と同じである.の関係は,以下のaijとbijの関係と同じである.
ijklijkl E
C 1≠
2121111 xaxay +=
2221212 xaxay += 2221212 ybybx +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
2
1 xx
aaaa
yy
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
1121
1222
211222112
1 1yy
aaaa
aaaaxx
ijij b
a 1≠
22
21122211
1111
1a
aaaab
a −=≠
一般化フックの法則(応力からひずみを計算)一般化フックの法則(応力からひずみを計算)
tr1 IσσεEEνν
−+
=
ijkkijij EEδσνσνε −
+=
1指標表現
シンボリック表現
展開表現 ( ){ }
LL
LL
==+
=
==+−=
31231212
332233221111
,,1
,,1
εεσνε
εεσσνσε
E
E
( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡++−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100010001
1332211
332331
232212
311211
332331
232212
311211
σσσν
σσσσσσσσσ
ν
εεεεεεεεε
EE
Εと νが独立な2成分
等方線形弾性体の構成式
縦弾性係数
ポアソン比
と 以外の
成分は0.
C1123C1122C1121
C1113C1112
C1133C1132C1131
C1111
C3323C3322C3321
C3313C3312C3311
C3333C3332C3331
一般化フックの法則と弾性コンプライアンス係数テンソルの対応一般化フックの法則と弾性コンプライアンス係数テンソルの対応
klijklij C σε =
( )
332211
3322111111
1
1
σνσνσ
σσσνσνε
EEE
EE
−−=
++−+
= 12121 σνε
E+
=
1133C
011131112 === LCCこれら以外の 成分は0.klC11
012131211 === LCC
1122C1111C
12122C
klC11klC12
一般化フックの法則
弾性コンプライアンス係数テンソル
ijkkijij EEδσνσνε −
+=
1
klC121212C 1221C
121212
211221
12121212
2 σσσε
CCC
=+=
一般化フックの法則の偏差応力と偏差ひずみを用いた表現一般化フックの法則の偏差応力と偏差ひずみを用いた表現
GE
ij
ij 21
=+
=′
′
νεσ
指標表現
シンボリック表現
展開表現
GE
GE
m
m
m
m
m
m 21
21
31
31
23
23
12
12
33
33
22
22
11
11
31
31
23
23
12
12
33
33
22
22
11
11
=+
====−−
=−−
=−−
=+
=′′
=′′
=′′
=′′
=′′
=′′
νεσ
εσ
εσ
εεσσ
εεσσ
εεσσ
νεσ
εσ
εσ
εσ
εσ
εσ
GE 21
=+
=′′
νεσ
kkijijij σδσσ31
−=′ kkijijij εδεε31
−=′
Iεεε tr31
−=′Iσσσ tr31
−=′
偏差応力 偏差ひずみ
平均垂直ひずみ 平均垂直応力
ラメ(Lamé)の定数ラメ(Lamé)の定数
εIεσ 2 tr μλ +=
ijijkkij μεδλεσ 2+=指標表現
シンボリック表現
展開表現 ( )( )( )
313123231212
3333221133
2233221122
1133221111
2,2,2222
μεσμεσμεσμεεεελσμεεεελσμεεεελσ
===+++=+++=+++=
( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡++=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
332331
232212
311211
332211
332331
232212
311211
2100010001
εεεεεεεεε
μεεελσσσσσσσσσ
( )( )νννλ
211 −+=
E
( ) GE=
+=
νμ
12ラメの定数
λと μが独立な2成分
V
σm
V+dV
σm σm
σm
σm
σm
εv=dV/V
体積弾性係数体積弾性係数
体積弾性係数
( )ν213 −=
EK
vm K εσ =
332211 εεεεε
++== kkv
( )3322113131
σσσ
σσ
++=
= kkm
平均応力
体積ひずみ
平均応力と体積ひずみの関係式
材料を単位の体積ひずみだけ変形させるのに要する平均応力
G K E ν μ λ
G and K G K KGGK
39+
( )KGGK
3223
+−
G GK32
−
E and ν ( )ν+12E ( )ν213 −
E E ν ( )ν+12E ( )( )νν
ν211 −+
E
μ and λ μ μλ32
+ ( )μλμλμ
++ 23 ( )μλ
λ+2
μ λ
弾性係数間の関係弾性係数間の関係
等方弾性体では独立な弾性係数は2つ
等方弾性体における各弾性係数間の関係
構成式の行列表現構成式の行列表現
εEσ :=
klijklij E εσ =指標表現
シンボリック表現
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
12
31
23
33
22
11
121212311223123312221211
311231313123313331223111
231223312323233323222311
331233313323333333223311
221222312223223322222211
111211311123113311221111
12
31
23
33
22
11
222
εεεεεε
σσσσσσ
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
行列表現
4階のテンソルである弾性係数テンソルは,本来であれば行列で表現することはできないが,応力テンソルとひずみテンソルを列行列の形に並べ替えることにより行列表現が可能となる.
klijijkl EE =
Voigtの表記Voigtの表記
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
12
31
23
33
22
11
1212
31123131
231223312323
3312333133233333
22122231222322332222
111211311123113311221111
12
31
23
33
22
11
222
sym.εεεεεε
σσσσσσ
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE行列表現
( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
6
5
4
3
2
1
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
6
5
4
3
2
1
sym.sym.εεεεεε
εεεεεε
σσσσσσ
ccccccccccccccccccccc
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
行列表現(Voigtの表記)
Voigtの表記に
基づく添字の変更
612531423 2,2,2 εεεεεε ===
612531423333222111
→→→→→→
εi (i = 4 ~ 6):工学せん断ひずみ(γyz, γzx, γxy)と同じ
物体の対称性物体の対称性
物体(結晶,格子)をある軸周りに回転させたとき,2π/n [rad]で元と重なるとき,その物体は,n回の回転対称であると言い,また,その回転軸をn回対称軸と言う.
物体(結晶,格子)をある軸周りに回転させたとき,2π/n [rad]で元と重なるとき,その物体は,n回の回転対称であると言い,また,その回転軸をn回対称軸と言う.
Axis of rotation(n=6)
2回回転対称 3回回転対称
4回回転対称 6回回転対称
独立な弾性係数の個数(その1)独立な弾性係数の個数(その1)
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
66
5655
464544
36353433
2625242322
161514131211
6
5
4
3
2
1
sym.εεεεεε
σσσσσσ
ccccccccccccccccccccc一般の線形弾性体 独立な成分は21個
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
66
55
44
33
2322
131211
6
5
4
3
2
1
0sym.00000000000
εεεεεε
σσσσσσ
cc
ccccccc直交異方線形弾性体
(斜方晶系単結晶体)独立な成分は9個
互いに直交する3本の2回対称軸を有する.
独立な弾性係数の個数(その2)独立な弾性係数の個数(その2)
立方対称線形弾性体(立方晶系単結晶体)
独立な成分は3個
六方対称線形弾性体(六方晶系単結晶体)
独立な成分は5個
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
44
44
44
11
1211
121211
6
5
4
3
2
1
0sym.00000000000
εεεεεε
σσσσσσ
cc
ccccccc
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
1211
44
44
33
1311
131211
6
5
4
3
2
1
2
0sym.00000000000
εεεεεε
σσσσσσ
ccc
ccccccc
互いに直交する3本の4回対称軸を有する.
6回対称軸を有する.
等方線形弾性体
独立な成分は2個
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
6
5
4
3
2
1
1211
1211
1211
11
1211
121211
6
5
4
3
2
1
2
02
sym.
002
000000000
εεεεεε
σσσσσσ
cc
cc
cccccccc
構成式の行列表現(工学的表記, ひずみから応力を計算)構成式の行列表現(工学的表記, ひずみから応力を計算)
( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−
−+−+
−+−+−
−+
−+−+−+−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
zx
yz
z
y
x
xy
zx
yz
z
y
x
GG
G
EEE
EEE
EEE
γγγεεε
ννν
ννν
ννν
ννν
ννν
ννν
ννν
ννν
ννν
τττσσσ
000000000000000
000211
1211211
000211211
1211
000211211211
1
行列表現(工学的表記)
xyzxyzzyx τστστσσσσσσσ ====== 123123332211 ,,,,,
2,
2,
2,,, 312312332211
zxyzxyzyx
γεγ
εγ
εεεεεεε ======
ひずみ(応力)テンソルの各成分と工学ひずみ(応力)の関係
( )ν+=12EG Εと G と νの
うち独立なのは2つ
横弾性係数と縦弾性係数,ポアソン比の関係
構成式の行列表現(工学的表記, 応力からひずみを計算)構成式の行列表現(工学的表記, 応力からひずみを計算)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
zx
yz
z
y
x
xy
zx
yz
z
y
x
G
G
G
EEE
EEE
EEE
τττσσσ
νν
νν
νν
γγγεεε
100000
010000
001000
0001
0001
0001
行列表現(工学的表記)
xyzxyz
zyx
τστστσ
σσσσσσ
===
===
123123
332211
,,
,,,
2,
2,
2
,,,
312312
332211
zxyzxy
zyx
γεγ
εγ
ε
εεεεεε
===
===
ひずみ(応力)テンソルの各成分と工学ひずみ(応力)の関係
( )ν+=12EG
Εと G と νのうち独立なのは2つ
横弾性係数と縦弾性係数,ポアソン比の関係
各種等方材料の縦弾性係数とポアソン比各種等方材料の縦弾性係数とポアソン比
ジュラルミン:Al-Cu-Mg系アルミニウム合金
物質名 縦弾性係数
E (GPa) ポアソン比
ν
アルミニウム(Al) 70.3 0.345
金(Au) 78.0 0.44
銅(Cu) 129.8 0.343
鉄(軟鉄,Fe) 211.4 0.293
白金(Pt) 168.0 0.377
チタン(Ti) 115.7 0.321
ジュラルミン 71.5 0.335
ガラス(フリント) 80.1 0.27
ゴム(弾性) 0.0015 − 0.0050 0.46 − 0.49
ポリエチレン 0.4 − 1.3 0.458
ポリスチレン 2.7 − 4.2 0.340
金属材料の代表的な結晶格子(結晶系)と座標系金属材料の代表的な結晶格子(結晶系)と座標系
体心立方格子(立方晶系)
面心立方格子(立方晶系)
密六方格子(六方晶系)x1
x2
x3
fcc
hcp
x1x2
x3
各種単結晶金属材料の弾性係数各種単結晶金属材料の弾性係数
物質名 結晶系 温度 T(K)
c11 (GPa)
c33 (GPa)
c44 (GPa)
c66 (GPa)
c12 (GPa)
c13 (GPa)
アルミニウム
(Al) 立方晶 300 106.8 (=c11) 28.2 (=c44) 60.7 (=c12)
金
(Au) 立方晶 300 192.3 (=c11) 42.0 (=c44) 163.1 (=c12)
銅
(Cu) 立方晶 300 168.4 (=c11) 75.4 (=c44) 121.4 (=c12)
マグネシウム
(Mg) 六方晶 298 59.7 61.7 16.4 (=(c11−c12)/2) 26.2 21.7
チタン
(Ti) 六方晶 298 162.4 180.7 46.7 (=(c11−c12)/2) 92.0 69.0
独立な成分は3個
独立な成分は5個
ijijkkijij TE δβδεν
νεν
σ 211
Δ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
+=
等方線形熱弾性体の構成式(ひずみと温度変化幅からひずみを計算)等方線形熱弾性体の構成式(ひずみと温度変化幅からひずみを計算)
指標表現
シンボリック表現
ijijijkkij T δβμεδλεσ 2 Δ−+=
IεIεσ 2 tr TΔ−+= βμλ
(ラメの定数を用いた表現)
(ラメの定数を用いた表現)
IIεεσ tr211
TEΔ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
+= β
νν
ν
(応力)= (力学的ひずみによって生じる応力)+ (熱ひずみによって生じる応力)
温度変化幅
等方線形熱弾性体の構成式(応力と温度変化幅からひずみを計算)等方線形熱弾性体の構成式(応力と温度変化幅からひずみを計算)
指標表現
シンボリック表現 IIσσε tr1 T
EEΔ+−
+= ανν
ijijkkijij TEE
δαδσνσνε 1Δ+−
+=
μλβα
23 +=線膨張係数
(ひずみ)=(力学的応力によって生じるひずみ) +(熱によって生じるひずみ)
温度変化幅
物体の温度が1K上昇した
ときに生じるひずみ
dTdl
l⋅=
1α
各種材料の線膨張係数各種材料の線膨張係数
物質名 線膨張係数 α (×10-6 K-1)
アルミニウム(Al) 23.1
金(Au) 14.2
銅(Cu) 16.5
鉄(Fe) 11.8
白金(Pt) 8.8
チタン(Ti) 8.6
ジュラルミン 21.6
ガラス(フリント) 8 − 9
ゴム(弾性) 77
ポリエチレン 100 − 200
ポリスチレン 34 − 210
Rigid body
Heat
Constraint direction 1
熱応力(1軸拘束)熱応力(1軸拘束)
1軸拘束
ET
ασ−=
ΔΔ :1Kの温度変動によって
生じる熱応力TΔΔσ
( )
( )TE
TEE
Δ−=
=Δ+−+
=
ασ
ασνσνε
11
111111 0 1
ΔTが正(温度上昇)のときに発生する応力は負(圧縮)
熱応力(2軸拘束)熱応力(2軸拘束)
2軸拘束
ET
αν
σ−
−=ΔΔ
11
( ) ( )
( )TE
TEE
Δ−
−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=Δ++−+
=
νασ
σσ
ασσνσνε
1
0 1
11
2211
22111111
Rigid body
Heat
Constraint direction 1
Constraint direction 2
3軸拘束
熱応力(3軸拘束)熱応力(3軸拘束)
ET
αν
σ21
1−
−=ΔΔ
( ) ( )
( )TE
TEE
Δ−
−=
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
=Δ+++−+
=
νασ
σσσ
ασσσνσνε
21
0 1
11
332211
3322111111
Rigid bodyHeat
Constraint direction 1
Constraint direction 2Constraint
direction 3
0.01 0.1 1 10 100 10000.1
1
10
100
1000
10000
E
-6-1 E=constant
Lower thermal stressHigher thermal stress
Al
TiPt
CuAu
PEPS
線膨張係数と縦弾性係数の関係線膨張係数と縦弾性係数の関係
等しい熱応力を生じさせるα-E関係