LA MATEMATICA DELL’INFINITOStefano Baratella

Realizzazione PowerPoint di Michele Avancini

Possiamo distinguere 2 tipi di infinito

INFINITO

potenziale(l’infinito dei greci antichi)

…׀׀׀ ׀׀׀

1 2 3 … n …

attuale(l’infinito della matematica moderna)

…

C’è - in realtà - una gerarchia illimitata di infiniti attuali

׀…׀׀׀

Achille e la tartaruga

8m

Achille Tartaruga

8 m/sec 4 m/sec

Distanza da 0 (in m)

Achille Tartaruga Differenza

0 0 8 8

1 8 12 4

12 14 2

14 15 1

15 15,5 0,5

Tem

po

(in

sec

)

.

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Achille e la tartaruga – Zenone di Elea

Il ragionamento dei greci:

ERRORE !

Inoltre:

Infatti, dopo due secondi, Achille raggiunge la Tartaruga.

«Siccome ad ogni istante Achille è sempre dietro alla Tartaruga e siccome la somma (di termini positivi) all’aumentare di assume valori arbitrariamente grandi, allora, in ogni istante di tempo futuro, Achille sarà dietro alla Tartaruga, quindi Achille non raggiungerà mai la Tartaruga!!!»

Nel corso dei secoli:

• ~1450 Nicola Cusano “La dotta ignoranza”

… all’infinito tutto diventa uguale …un triangolo infinito è uguale a una retta,

ad un cerchio infinito …

• ~1600 Giordano Bruno “La cena delle ceneri”

… una gerarchia di infiniti …

Anche Galileo mette in discussione il concetto di infinito elaborato dai greci.

Egli afferma la possibilità di dividere un segmento in infiniti elementi ● primi (primitivi); ● non quanti (senza estensione); ● indivisibili.

Di fronte all’infinito attuale, Galileo si ferma perché si rende conto di alcuni “paradossi”…

Il “paradosso” dei quadrati:

(Galileo) … queste son delle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a gl’infiniti, dandogli quelli

attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che siainconveniente …

Galileo si rende conto che l’insieme dei numeri naturali è in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio: quello dei quadrati dei numeri naturali.

•

•

Corrispondenza biunivoca (biiezione)

 

con le seguenti proprietà: •

•

•

• •

•

 

   

   

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

è una biiezione, quindi è infinito.

• Un insieme è finito se non è infinito.

Esempi:

1.

2.

i numeri naturali pari

i numeri reali positivi

Un sottoinsieme di un insieme è proprio se

(Dedekind)

• Un insieme è infinito se esistono un sottoinsieme proprio di ed una corrispondenza biunivoca

è una biiezione, quindi è infinito.

• È possibile confrontare la grandezza di insiemi infiniti?

• Se sì, esiste un infinito più grande di tutti gli altri?

• È possibile fare operazioni aritmetiche (somma, prodotto, …) su “numeri” infiniti?

… la teoria dei “numeri transfiniti”. Tale teoria è, a mio parere, il più bel risultatodel genio matematico ed una delle maggiori conquiste dell’attività umanapuramente intellettuale.

Volendo caratterizzare in breve la nuova concezione dell’infinito introdotta daCantor si potrebbe dire: nell’analisi [matematica] ci si occupa dell’infinitamentegrande e dell’infinitamente piccolo solo in quanto concetti-limite, come qualcosa che diviene, che nasce, che si forma, cioè in quanto “infiniti potenziali”. Ma non è questo l’infinito vero e proprio.

Lo si ha invece quando si considera la totalità dei numeri 1, 2, 3, … come unatotalità conclusa o si considerano i punti di un intervallo come una totalità di oggetti che esistono tutti in una volta. Questo tipo di infinito prende il nome di“infinito attuale”.

Nessuno potrà cacciarci dal paradiso che Cantor ha creato per noi.

David Hilbert

David Hilbert

Quindi e , ad esempio, sono insiemi infiniti dello stesso ordine di grandezza, anche se è un sottoinsieme proprio di .

Due insiemi si dicono equipotenti se esiste una corrispondenza biunivoca

Per confrontare la grandezza di insiemi (infiniti), Georg Cantor propone di usare la relazione di equipotenza

Si dice che due insiemi equipotenti hanno la stessa cardinalità.

Intuitivamente, “avere la stessa cardinalità” vuol dire “stare allo stesso livello nella gerarchia che misura l’ordine di grandezza degli insiemi”.

Georg Cantor

𝑛+12

… anche e hanno la stessa cardinalità!

… potrebbe venire il sospetto che tutti gli insiemi infiniti abbiano la stessa cardinalità,ma non è così!

Domande di questo genere se le poneva anche Cantor, arrivando spesso a risposte inattese!

se è pari

se è dispari?

?

𝑓 (𝑛)={1234

−𝑛2

Può una superficie (diciamo un quadrato che include il bordo)

essere messa in corrispondenza biunivoca con una retta (diciamo un segmento di retta che include gli estremi)

così che per ogni punto sulla superficie c’è un corrispondente punto sulla retta e, viceversa, per ogni punto della retta c’è un punto corrispondente sulla superficie?

Penso che rispondere a una tale domanda non sia affatto facile, nonostante il fattoche la risposta sembra essere così chiaramente “no” che una dimostrazione appare inutile. Lettera a Dedekind, gennaio 1874

Lo vedo, ma non ci credo!Lettera a Dedekind, 1877, dopo aver provato che esiste una corrispondenza biunivoca tra e

Dopo Kant ha acquistato cittadinanza tra i filosofi la falsa idea che il limite ideale del finito sia l’assoluto, mentre in verità tale limite può venir pensato solo come transfinito… e più precisamente come il minimo di tutti i transfiniti…

Georg Cantor, 1845 - 1918

(0,1)x(0,1)  •

 

•

 

(0,1)

Alla coppia   associamo  

La soluzione di Cantor

𝑃 ′ ≡𝑧

0 ,𝑧 1𝑧 2𝑧 3…

(0 ,91735…,0 ,8431…)

(0 ,7 4 57 0 10 4… )

Esempio:

 

quindi

 

e se mi viene chiesto di quale coppia di punti il punto

è immagine, la risposta è:

𝑃 ≡ (0 ,75000…,0 ,4714… )

𝑄 ′ ≡0,981473315…

L’ albergo di Hilbert

Ha infinite stanze così numerate:

0 1 2 3 4 5 n…

Il giorno 1 tutte le stanze sono occupate.

Si presenta un nuovo cliente. È possibile trovargli posto?

0 1 2 3 4 5 n… n+1

Il giorno 2 tutte le stanze sono di nuovo occupate.

Arrivano 12 nuovi clienti con prenotazione. È possibile trovare loro posto? ?

0 1 … … …11 12 13 n n+12

Il sig. Hilbert sa che un tasso di occupazione «del 50%» è insufficiente per la direzione.

Il giorno 3 tutte le stanze sono occupate.

Arrivano un numero infinito di clienti (tanti quanti i numeri naturali). È possibile trovare loro posto?

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Il giorno 4 tutti i clienti arrivati il giorno 3 se ne vanno.

Si può far sì che il tasso di occupazione salga «al 100%»? ?Il giorno 5 al sig. Hilbert viene comunicato che gli infiniti alberghi (tanti quanti i numeri naturali) della catena a cui il suo appartiene chiuderanno tutti – tranne il suo – e che dovrà trovare una stanza per tutti i clienti di tutti gli alberghi.

0 1 3 6

2

5

9

4 7

8

 

• L’albergo di Hilbert ha tante stanze quante .

«Matematizziamo» il problema:

C’è una biiezione tra e ?

Per voi:

Provate che definisce una corrispondenza

biunivoca

 

 

 

 

   

 

P’

P

Q’

Q

R’

R

C●

●

● ●

●

●

●

 

 

(questo è un esercizio per voi!)Dato che e

La relazione di equipotenza è transitiva, cioè se e allora .

allora

… ma non è equipotente ad !

(basta far vedere che perché già sappiamo che ).

(Procedimento diagonale di Cantor)

 

NON esiste un insieme di cardinalità maggiore o uguale alla cardinalità di ogni altro insieme.

Infatti:

 (Cantor)

 

Ricordiamo:

 

 

 

(Cantor)

quindi:

   

 

 

 

 

 

 

 

 

|𝐴|<|𝒫( 𝐴)|<|𝒫𝒫(𝐴)|<…<|𝐵|<|𝒫 (𝐵 )|<|𝒫𝒫 (𝐵 )|<…

 

insiemi infiniti

   

tutti gli insiemi con 37 elementi

 

tutti gli insiemi con 1 elemento

insiemi finiti

 

aleph-con-zero

Livello  

 

… the conquest of actual infinity may be considered an expansion of our scientific hotizon no less revolutionary than the Copernican system or than the theory of relativity, or even quantum theory and nuclear physics.

Abraham Fraenkel, Abstract set theory, North Holland, Amsterdam 1961