Post on 28-Jul-2015
Kwantum RuimtesDie Kwantum Torus
M. van den Worm1
1Department FisikaUniversiteit van Pretoria
Studentesimposium vir die Natuurwetenskappe
1 / 63
Motivering Historiese Agtergrond
Klassieke Meganika vs Kwantum Meganika.
Die Verskille
Klassiek KwantumKommutasie pq = qp [P,Q] = i~Algebra Continue Funksies B(H)Waarneembares f(x) Eiewaardes
2 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Definisie van die Kwantum TorusDie Kwantum Torus is die C∗-algebra voortgebring deur twee unitereoperatore U en V wat die kommutasie relasie
UV = e2πiθVU
vir ‘n seker irrationale θ. Verder word daar na die kwantum torusverwys as Aθ.
LiteratuurDaar word ook na die Kwantum torus as die irrationale rotasie algebraverwys. Die volgende voorbeeld stel die saak duidelik.
8 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Definisie van die Kwantum TorusDie Kwantum Torus is die C∗-algebra voortgebring deur twee unitereoperatore U en V wat die kommutasie relasie
UV = e2πiθVU
vir ‘n seker irrationale θ. Verder word daar na die kwantum torusverwys as Aθ.
LiteratuurDaar word ook na die Kwantum torus as die irrationale rotasie algebraverwys. Die volgende voorbeeld stel die saak duidelik.
9 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Voorbeeld
Klassieke torus T 2 = R2/2πZ2
Onderliggende Hilbert ruimte L2(T 2)
Laat f ∈ L2(T 2) en definieer die operatore
Uf (x , y) = eix f(
x , y − ~2
)Vf (x , y) = eiy f
(x +
~2, y)
Dit is maklik om aan te toon dat hierdie operatore aan onsdefinisie voldoen.
10 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Voorbeeld
Klassieke torus T 2 = R2/2πZ2
Onderliggende Hilbert ruimte L2(T 2)
Laat f ∈ L2(T 2) en definieer die operatore
Uf (x , y) = eix f(
x , y − ~2
)Vf (x , y) = eiy f
(x +
~2, y)
Dit is maklik om aan te toon dat hierdie operatore aan onsdefinisie voldoen.
11 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Voorbeeld
Klassieke torus T 2 = R2/2πZ2
Onderliggende Hilbert ruimte L2(T 2)
Laat f ∈ L2(T 2) en definieer die operatore
Uf (x , y) = eix f(
x , y − ~2
)Vf (x , y) = eiy f
(x +
~2, y)
Dit is maklik om aan te toon dat hierdie operatore aan onsdefinisie voldoen.
12 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Voorbeeld
Klassieke torus T 2 = R2/2πZ2
Onderliggende Hilbert ruimte L2(T 2)
Laat f ∈ L2(T 2) en definieer die operatore
Uf (x , y) = eix f(
x , y − ~2
)Vf (x , y) = eiy f
(x +
~2, y)
Dit is maklik om aan te toon dat hierdie operatore aan onsdefinisie voldoen.
13 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Voorbeeld
Klassieke torus T 2 = R2/2πZ2
Onderliggende Hilbert ruimte L2(T 2)
Laat f ∈ L2(T 2) en definieer die operatore
Uf (x , y) = eix f(
x , y − ~2
)Vf (x , y) = eiy f
(x +
~2, y)
Dit is maklik om aan te toon dat hierdie operatore aan onsdefinisie voldoen.
14 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Ons kan die definisie na enige dimensie toe uitbrei deur na ‘nversameling unitere operatore te kyk wat onderling die kommutasierelasie
UiUj = e2πiθUjUi
gehoorsaam, met θ irrationaal.
n-dimensionele kwantum torus
Klassieke n-torus T n = Rn/2πZ2
Onderliggende Hilbert ruimte L2(T n)
Unitere operatore Uj sodat
Uj f (x1, . . . , xn) = eixj f (x1 + zj , . . . , xn + zj)
Hierdie operatore voldoen aan ons vereistes.
15 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Ons kan die definisie na enige dimensie toe uitbrei deur na ‘nversameling unitere operatore te kyk wat onderling die kommutasierelasie
UiUj = e2πiθUjUi
gehoorsaam, met θ irrationaal.
n-dimensionele kwantum torus
Klassieke n-torus T n = Rn/2πZ2
Onderliggende Hilbert ruimte L2(T n)
Unitere operatore Uj sodat
Uj f (x1, . . . , xn) = eixj f (x1 + zj , . . . , xn + zj)
Hierdie operatore voldoen aan ons vereistes.
16 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Ons kan die definisie na enige dimensie toe uitbrei deur na ‘nversameling unitere operatore te kyk wat onderling die kommutasierelasie
UiUj = e2πiθUjUi
gehoorsaam, met θ irrationaal.
n-dimensionele kwantum torus
Klassieke n-torus T n = Rn/2πZ2
Onderliggende Hilbert ruimte L2(T n)
Unitere operatore Uj sodat
Uj f (x1, . . . , xn) = eixj f (x1 + zj , . . . , xn + zj)
Hierdie operatore voldoen aan ons vereistes.
17 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Ons kan die definisie na enige dimensie toe uitbrei deur na ‘nversameling unitere operatore te kyk wat onderling die kommutasierelasie
UiUj = e2πiθUjUi
gehoorsaam, met θ irrationaal.
n-dimensionele kwantum torus
Klassieke n-torus T n = Rn/2πZ2
Onderliggende Hilbert ruimte L2(T n)
Unitere operatore Uj sodat
Uj f (x1, . . . , xn) = eixj f (x1 + zj , . . . , xn + zj)
Hierdie operatore voldoen aan ons vereistes.
18 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
Kwantum Torus
Ons kan die definisie na enige dimensie toe uitbrei deur na ‘nversameling unitere operatore te kyk wat onderling die kommutasierelasie
UiUj = e2πiθUjUi
gehoorsaam, met θ irrationaal.
n-dimensionele kwantum torus
Klassieke n-torus T n = Rn/2πZ2
Onderliggende Hilbert ruimte L2(T n)
Unitere operatore Uj sodat
Uj f (x1, . . . , xn) = eixj f (x1 + zj , . . . , xn + zj)
Hierdie operatore voldoen aan ons vereistes.
19 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
K-Teorie van die Kwantum Torus
Ses term eksakte ryLaat
0 −→ J −→j A −→ϕ B −→ 0
‘n kort eksakte ry van C∗-algebras wees, dan is die volgende ses termry eksak
K0(J) −→j∗ K0(A) −→ϕ∗ K0(B)∂ ↑ ↓ ∂K1(B) ϕ∗ ←− K1(A) j∗ ←− K1(J)
met ∂ die konnekterende homomorfie.
20 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
K-Teorie van die Kwantum Torus
Aθ as ‘n kruis produk
Ons kan Aθ identifiseer met C(T )× Z
Ons ses term eksakte ry
21 / 63
Basiese Idees Die Kwantum Torus
K-Teorie van die Kwantum Torus
Aθ as ‘n kruis produk
Ons kan Aθ identifiseer met C(T )× Z
Ons ses term eksakte ry
22 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Die Eenvoudigste Geval.
Stelling 1[2, p. 3]
Kies Θ en θ in (0,1) beide irrationaal. Daar bestaan ‘n unitale*-homomorfie
ϕ : AΘ → Aθ
as en slegs as Θ = cθ + d vir c,d ∈ Z, c 6= 0. So ‘n homomorfie ϕ kangekies word om ‘n isomorfie na sy afbeelding te wees as en slegs asc = ±1.
ϕ
Konfigurasie Ruimte Ruimtetyd
24 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van stelling 1
FeiteK0(AΘ) ∼= Z + ΘZ [4]Beeld van τ op projeksien in AΘ is Z + ΘZ
⋂[0,1] [1, 4, 5]
ϕ induseer orde preserverende groep homomorfie [3]
ϕ∗ : K0(AΘ)→ K0(Aθ)
Sodatϕ∗([IAΘ
]) = [ϕ(IAΘ)] = [IAθ
]
25 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van stelling 1
FeiteK0(AΘ) ∼= Z + ΘZ [4]Beeld van τ op projeksien in AΘ is Z + ΘZ
⋂[0,1] [1, 4, 5]
ϕ induseer orde preserverende groep homomorfie [3]
ϕ∗ : K0(AΘ)→ K0(Aθ)
Sodatϕ∗([IAΘ
]) = [ϕ(IAΘ)] = [IAθ
]
26 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van stelling 1
FeiteK0(AΘ) ∼= Z + ΘZ [4]Beeld van τ op projeksien in AΘ is Z + ΘZ
⋂[0,1] [1, 4, 5]
ϕ induseer orde preserverende groep homomorfie [3]
ϕ∗ : K0(AΘ)→ K0(Aθ)
Sodatϕ∗([IAΘ
]) = [ϕ(IAΘ)] = [IAθ
]
27 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van stelling 1
FeiteK0(AΘ) ∼= Z + ΘZ [4]Beeld van τ op projeksien in AΘ is Z + ΘZ
⋂[0,1] [1, 4, 5]
ϕ induseer orde preserverende groep homomorfie [3]
ϕ∗ : K0(AΘ)→ K0(Aθ)
Sodatϕ∗([IAΘ
]) = [ϕ(IAΘ)] = [IAθ
]
28 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
Assosieer 1 ∈ Z + ΘZ met IAΘ
Beskou ϕ∗ as insluiting van K0(AΘ) in K0(Aθ), m.a.w
ϕ∗(g) = g
vir alle g ∈ Z + ΘZ.As ons veronderstel Θ genereer die groep K0(AΘ) kan ons skryf
Θ = cθ + d
vir c,d ∈ Z.
29 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
Assosieer 1 ∈ Z + ΘZ met IAΘ
Beskou ϕ∗ as insluiting van K0(AΘ) in K0(Aθ), m.a.w
ϕ∗(g) = g
vir alle g ∈ Z + ΘZ.As ons veronderstel Θ genereer die groep K0(AΘ) kan ons skryf
Θ = cθ + d
vir c,d ∈ Z.
30 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
Assosieer 1 ∈ Z + ΘZ met IAΘ
Beskou ϕ∗ as insluiting van K0(AΘ) in K0(Aθ), m.a.w
ϕ∗(g) = g
vir alle g ∈ Z + ΘZ.As ons veronderstel Θ genereer die groep K0(AΘ) kan ons skryf
Θ = cθ + d
vir c,d ∈ Z.
31 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
Andersom het ons die volgende:Acθ+d
∼= Acθ
Acθ+d word dus gegenereer deur unitere operatore U en VUV = e2πicθVUTerwyl Aθ deur unitere operatore u en v gegenereer worduv = e2πiθvu
32 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
Andersom het ons die volgende:Acθ+d
∼= Acθ
Acθ+d word dus gegenereer deur unitere operatore U en VUV = e2πicθVUTerwyl Aθ deur unitere operatore u en v gegenereer worduv = e2πiθvu
33 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
Andersom het ons die volgende:Acθ+d
∼= Acθ
Acθ+d word dus gegenereer deur unitere operatore U en VUV = e2πicθVUTerwyl Aθ deur unitere operatore u en v gegenereer worduv = e2πiθvu
34 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
Andersom het ons die volgende:Acθ+d
∼= Acθ
Acθ+d word dus gegenereer deur unitere operatore U en VUV = e2πicθVUTerwyl Aθ deur unitere operatore u en v gegenereer worduv = e2πiθvu
35 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
Andersom het ons die volgende:Acθ+d
∼= Acθ
Acθ+d word dus gegenereer deur unitere operatore U en VUV = e2πicθVUTerwyl Aθ deur unitere operatore u en v gegenereer worduv = e2πiθvu
36 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
Definieer nou ϕ op die unitere operatore
ϕ(U) := uc
ϕ(V ) := v
Daar word dan aan al ons vereistes voldoen.
37 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
Definieer nou ϕ op die unitere operatore
ϕ(U) := uc
ϕ(V ) := v
Daar word dan aan al ons vereistes voldoen.
38 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
c = ±1
ϕ(UV ) = ϕ(e2πicθVU)
ϕ(U)ϕ(V ) = e2πicθϕ(V )ϕ(U)
uv = e2πiθvu
ϕ is surjektief
|c| 6= 1
ϕ∗ kan nie surjektief wees nie.ϕ kan ook nie surjektief wees nie.
39 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
c = ±1
ϕ(UV ) = ϕ(e2πicθVU)
ϕ(U)ϕ(V ) = e2πicθϕ(V )ϕ(U)
uv = e2πiθvu
ϕ is surjektief
|c| 6= 1
ϕ∗ kan nie surjektief wees nie.ϕ kan ook nie surjektief wees nie.
40 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
c = ±1
ϕ(UV ) = ϕ(e2πicθVU)
ϕ(U)ϕ(V ) = e2πicθϕ(V )ϕ(U)
uv = e2πiθvu
ϕ is surjektief
|c| 6= 1
ϕ∗ kan nie surjektief wees nie.ϕ kan ook nie surjektief wees nie.
41 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
c = ±1
ϕ(UV ) = ϕ(e2πicθVU)
ϕ(U)ϕ(V ) = e2πicθϕ(V )ϕ(U)
uv = e2πiθvu
ϕ is surjektief
|c| 6= 1
ϕ∗ kan nie surjektief wees nie.ϕ kan ook nie surjektief wees nie.
42 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
c = ±1
ϕ(UV ) = ϕ(e2πicθVU)
ϕ(U)ϕ(V ) = e2πicθϕ(V )ϕ(U)
uv = e2πiθvu
ϕ is surjektief
|c| 6= 1
ϕ∗ kan nie surjektief wees nie.ϕ kan ook nie surjektief wees nie.
43 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Skets van die Bewys van Stelling 1
c = ±1
ϕ(UV ) = ϕ(e2πicθVU)
ϕ(U)ϕ(V ) = e2πicθϕ(V )ϕ(U)
uv = e2πiθvu
ϕ is surjektief
|c| 6= 1
ϕ∗ kan nie surjektief wees nie.ϕ kan ook nie surjektief wees nie.
44 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Meer Algemene Geval.
Stelling 2[2, p. 4]
Kies Θ en θ in (0,1) beide irrationaal en n ∈ N,n ≥ 1. Daar is ‘nunitale *-homomorfie
ϕ : AΘ → Mn(Aθ)
as en slegs as nΘ = cθ + d vir ‘n c,d ∈ Z en c 6= 0. So ‘n*-homomorfie kan gekies word as ‘n *-isomorfie na sy afbeelding as enslegs as n = 1 en c = 1.
45 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Mees Algemene Geval.
MonoidLaat M die onder monoid van GL(2,Z) wees wat bestaan uit matrikseM2(Z) met nie-nul determinant. M.a.w matrikse met heelgetalinskrywings wat inverse het met inskrywings wat nie noodwendigheelgetalle is nie.
Baan van ‘n groep
Laat G en X ondergroepe van H wees, die baan van G op elemente inX word gedefinieer as
Gx := {Ax : A ∈ G}
46 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Mees Algemene Geval.
MonoidLaat M die onder monoid van GL(2,Z) wees wat bestaan uit matrikseM2(Z) met nie-nul determinant. M.a.w matrikse met heelgetalinskrywings wat inverse het met inskrywings wat nie noodwendigheelgetalle is nie.
Baan van ‘n groep
Laat G en X ondergroepe van H wees, die baan van G op elemente inX word gedefinieer as
Gx := {Ax : A ∈ G}
47 / 63
Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse
Mees Algemene Geval.
Stelling 3
Kies Θ en θ in (0,1) beide irrationaal. Daar bestaan ‘n nie-nul*-homomorfie (nie noodwendig unitaal nie)
ϕ : AΘ → Mn(Aθ)
vir ‘n heelgetal n as en slegs as Θ en θ in dieselfde baan is onder dieaksie van die monoid M op R. Die moontlikhede van die spoorτ(ϕ(IAΘ
)) is presies die getalle
t = cθ + d ≥ 0
vir heelgetalle c end d so dat tΘ ∈ Z + θZ. Sodra t vasgestel is kanons n kies as enige heelgetal grotes as t .
48 / 63
Waarvoor Kan Hierdie Gebruik Word? String Teorie
Toepassings in String Teorie.
Polyakov Action
S(g) =∫
Σ ‖ 5 g(x)‖2dσ(x)
L(ϕ) := τ (δ1(ϕ(U))∗δ1(ϕ(U)) + δ2(ϕ(U))∗δ2(ϕ(U))+δ1(ϕ(V ))∗δ1(ϕ(V ))) + δ2(ϕ(V ))∗δ2(ϕ(V ))
δ1(u) = 2πiu, δ2(u) = 0, δ1(v) = 0, δ2(v) = 2πivOns kan daaraan dink as ons die energiee som van die unitereoperatore ϕ(U) and ϕ(V )
49 / 63
Waarvoor Kan Hierdie Gebruik Word? String Teorie
Toepassings in String Teorie.
Polyakov Action
S(g) =∫
Σ ‖ 5 g(x)‖2dσ(x)
L(ϕ) := τ (δ1(ϕ(U))∗δ1(ϕ(U)) + δ2(ϕ(U))∗δ2(ϕ(U))+δ1(ϕ(V ))∗δ1(ϕ(V ))) + δ2(ϕ(V ))∗δ2(ϕ(V ))
δ1(u) = 2πiu, δ2(u) = 0, δ1(v) = 0, δ2(v) = 2πivOns kan daaraan dink as ons die energiee som van die unitereoperatore ϕ(U) and ϕ(V )
50 / 63
Waarvoor Kan Hierdie Gebruik Word? String Teorie
Toepassings in String Teorie.
Polyakov Action
S(g) =∫
Σ ‖ 5 g(x)‖2dσ(x)
L(ϕ) := τ (δ1(ϕ(U))∗δ1(ϕ(U)) + δ2(ϕ(U))∗δ2(ϕ(U))+δ1(ϕ(V ))∗δ1(ϕ(V ))) + δ2(ϕ(V ))∗δ2(ϕ(V ))
δ1(u) = 2πiu, δ2(u) = 0, δ1(v) = 0, δ2(v) = 2πivOns kan daaraan dink as ons die energiee som van die unitereoperatore ϕ(U) and ϕ(V )
51 / 63
Waarvoor Kan Hierdie Gebruik Word? String Teorie
Toepassings in String Teorie.
Polyakov Action
S(g) =∫
Σ ‖ 5 g(x)‖2dσ(x)
L(ϕ) := τ (δ1(ϕ(U))∗δ1(ϕ(U)) + δ2(ϕ(U))∗δ2(ϕ(U))+δ1(ϕ(V ))∗δ1(ϕ(V ))) + δ2(ϕ(V ))∗δ2(ϕ(V ))
δ1(u) = 2πiu, δ2(u) = 0, δ1(v) = 0, δ2(v) = 2πivOns kan daaraan dink as ons die energiee som van die unitereoperatore ϕ(U) and ϕ(V )
52 / 63
Waarvoor Kan Hierdie Gebruik Word? String Teorie
Toepassings in String Teorie.
Polyakov Action
S(g) =∫
Σ ‖ 5 g(x)‖2dσ(x)
L(ϕ) := τ (δ1(ϕ(U))∗δ1(ϕ(U)) + δ2(ϕ(U))∗δ2(ϕ(U))+δ1(ϕ(V ))∗δ1(ϕ(V ))) + δ2(ϕ(V ))∗δ2(ϕ(V ))
δ1(u) = 2πiu, δ2(u) = 0, δ1(v) = 0, δ2(v) = 2πivOns kan daaraan dink as ons die energiee som van die unitereoperatore ϕ(U) and ϕ(V )
53 / 63
Waarvoor Kan Hierdie Gebruik Word? String Teorie
Toepassings in String Teorie.
Kritieke PunteDie kritieke punte van
L(ϕ) := τ (δ1(ϕ(U))∗δ1(ϕ(U)) + δ2(ϕ(U))∗δ2(ϕ(U))+δ1(ϕ(V ))∗δ1(ϕ(V ))) + δ2(ϕ(V ))∗δ2(ϕ(V ))
is harmoniese funksies
54 / 63
Waarvoor Kan Hierdie Gebruik Word? Vaste Toestand Fisika
Make Titles Informative.
Die Kwantum Hall EffekBrillion Sone van Kwantum Hall effekVoortgebring deur unitere operatore, U end V met
UV = e2πiθVU
met θ irrationaal.
55 / 63
Waarvoor Kan Hierdie Gebruik Word? Vaste Toestand Fisika
Make Titles Informative.
Die Kwantum Hall EffekBrillion Sone van Kwantum Hall effekVoortgebring deur unitere operatore, U end V met
UV = e2πiθVU
met θ irrationaal.
56 / 63
Waarvoor Kan Hierdie Gebruik Word? Vaste Toestand Fisika
Make Titles Informative.
Die Kwantum Hall EffekBrillion Sone van Kwantum Hall effekVoortgebring deur unitere operatore, U end V met
UV = e2πiθVU
met θ irrationaal.
57 / 63
Samevatting
Samevatting
Wanneer die konfigurasie ruimte nie-kommutatief word moetruimtetyd ook nie-kommutatief word.Eenvoudige voorbeeld waar nie-kommutatiewe gedrag voorkom isdie kwantum torus.Perhaps a third message, but not more than that.
Probleme wat voorleHoe gaan die kritieke punte van die aksie lyk?
58 / 63
Samevatting
Samevatting
Wanneer die konfigurasie ruimte nie-kommutatief word moetruimtetyd ook nie-kommutatief word.Eenvoudige voorbeeld waar nie-kommutatiewe gedrag voorkom isdie kwantum torus.Perhaps a third message, but not more than that.
Probleme wat voorleHoe gaan die kritieke punte van die aksie lyk?
59 / 63
Samevatting
Samevatting
Wanneer die konfigurasie ruimte nie-kommutatief word moetruimtetyd ook nie-kommutatief word.Eenvoudige voorbeeld waar nie-kommutatiewe gedrag voorkom isdie kwantum torus.Perhaps a third message, but not more than that.
Probleme wat voorleHoe gaan die kritieke punte van die aksie lyk?
60 / 63
Samevatting
Samevatting
Wanneer die konfigurasie ruimte nie-kommutatief word moetruimtetyd ook nie-kommutatief word.Eenvoudige voorbeeld waar nie-kommutatiewe gedrag voorkom isdie kwantum torus.Perhaps a third message, but not more than that.
Probleme wat voorleHoe gaan die kritieke punte van die aksie lyk?
61 / 63
Samevatting
Samevatting
Wanneer die konfigurasie ruimte nie-kommutatief word moetruimtetyd ook nie-kommutatief word.Eenvoudige voorbeeld waar nie-kommutatiewe gedrag voorkom isdie kwantum torus.Perhaps a third message, but not more than that.
Probleme wat voorleHoe gaan die kritieke punte van die aksie lyk?
62 / 63
Samevatting
Samevatting
Wanneer die konfigurasie ruimte nie-kommutatief word moetruimtetyd ook nie-kommutatief word.Eenvoudige voorbeeld waar nie-kommutatiewe gedrag voorkom isdie kwantum torus.Perhaps a third message, but not more than that.
Probleme wat voorleHoe gaan die kritieke punte van die aksie lyk?
63 / 63
Appendix For Further Reading
Kenneth R. Davidson.C*-Algebras by Example.The Fields Institute for Research in Mathematical Sciences.American Mathematical Society, 1996.
Vargese Mathai and Jonathan Rosenberg.A noncommutative sigma-model.arXiv:0903.4241v2 [hep-th], October 2009.
Gerard J. Murphy.C*-Algebras and Operator Theory.Acedemic Press, Inc, 1990.
M. Pimsner and D. Voiculescu.Imbedding the irrational rotation c*-algebra into an af-algebra.Journal of Operator Theory, 4:201–210, 1980.
64 / 63