Kwantum Ruimtes

Kwantum RuimtesDie Kwantum Torus

M. van den Worm1

1Department FisikaUniversiteit van Pretoria

Studentesimposium vir die Natuurwetenskappe

1 / 63

Motivering Historiese Agtergrond

Klassieke Meganika vs Kwantum Meganika.

Die Verskille

Klassiek KwantumKommutasie pq = qp [P,Q] = i~Algebra Continue Funksies B(H)Waarneembares f(x) Eiewaardes

2 / 63

Motivering Vorige Werk

Make Titles Informative.

3 / 63

Basiese Idees Grafiese Voorstelling

τ

σ

x

y

t

4 / 63


Grafiese Voorstelling

σ

τ

5 / 63



σ

τ

6 / 63



σ

τ

7 / 63

Basiese Idees Die Kwantum Torus

Kwantum Torus

Definisie van die Kwantum TorusDie Kwantum Torus is die C∗-algebra voortgebring deur twee unitereoperatore U en V wat die kommutasie relasie

UV = e2πiθVU

vir ‘n seker irrationale θ. Verder word daar na die kwantum torusverwys as Aθ.

LiteratuurDaar word ook na die Kwantum torus as die irrationale rotasie algebraverwys. Die volgende voorbeeld stel die saak duidelik.

8 / 63


Kwantum Torus

Definisie van die Kwantum TorusDie Kwantum Torus is die C∗-algebra voortgebring deur twee unitereoperatore U en V wat die kommutasie relasie

UV = e2πiθVU

vir ‘n seker irrationale θ. Verder word daar na die kwantum torusverwys as Aθ.

LiteratuurDaar word ook na die Kwantum torus as die irrationale rotasie algebraverwys. Die volgende voorbeeld stel die saak duidelik.

9 / 63


Kwantum Torus

Voorbeeld

Klassieke torus T 2 = R2/2πZ2

Onderliggende Hilbert ruimte L2(T 2)

Laat f ∈ L2(T 2) en definieer die operatore

Uf (x , y) = eix f(

x , y − ~2

)Vf (x , y) = eiy f

(x +

~2, y)

Dit is maklik om aan te toon dat hierdie operatore aan onsdefinisie voldoen.

10 / 63


Kwantum Torus

Voorbeeld




Uf (x , y) = eix f(

x , y − ~2

)Vf (x , y) = eiy f

(x +

~2, y)


11 / 63


Kwantum Torus

Voorbeeld




Uf (x , y) = eix f(

x , y − ~2

)Vf (x , y) = eiy f

(x +

~2, y)


12 / 63


Kwantum Torus

Voorbeeld




Uf (x , y) = eix f(

x , y − ~2

)Vf (x , y) = eiy f

(x +

~2, y)


13 / 63


Kwantum Torus

Voorbeeld




Uf (x , y) = eix f(

x , y − ~2

)Vf (x , y) = eiy f

(x +

~2, y)


14 / 63


Kwantum Torus

Ons kan die definisie na enige dimensie toe uitbrei deur na ‘nversameling unitere operatore te kyk wat onderling die kommutasierelasie

UiUj = e2πiθUjUi

gehoorsaam, met θ irrationaal.

n-dimensionele kwantum torus

Klassieke n-torus T n = Rn/2πZ2

Onderliggende Hilbert ruimte L2(T n)

Unitere operatore Uj sodat

Uj f (x1, . . . , xn) = eixj f (x1 + zj , . . . , xn + zj)

Hierdie operatore voldoen aan ons vereistes.

15 / 63


Kwantum Torus


UiUj = e2πiθUjUi








16 / 63


Kwantum Torus


UiUj = e2πiθUjUi








17 / 63


Kwantum Torus


UiUj = e2πiθUjUi








18 / 63


Kwantum Torus


UiUj = e2πiθUjUi








19 / 63


K-Teorie van die Kwantum Torus

Ses term eksakte ryLaat

0 −→ J −→j A −→ϕ B −→ 0

‘n kort eksakte ry van C∗-algebras wees, dan is die volgende ses termry eksak

K0(J) −→j∗ K0(A) −→ϕ∗ K0(B)∂ ↑ ↓ ∂K1(B) ϕ∗ ←− K1(A) j∗ ←− K1(J)

met ∂ die konnekterende homomorfie.

20 / 63



Aθ as ‘n kruis produk

Ons kan Aθ identifiseer met C(T )× Z

Ons ses term eksakte ry

21 / 63



Aθ as ‘n kruis produk

Ons kan Aθ identifiseer met C(T )× Z

Ons ses term eksakte ry

22 / 63


Velde op die kwantum torus

Natuurlike keuse

23 / 63

Resultate Afbeeldings Tussen Kwantum Torusse

Die Eenvoudigste Geval.

Stelling 1[2, p. 3]

Kies Θ en θ in (0,1) beide irrationaal. Daar bestaan ‘n unitale*-homomorfie

ϕ : AΘ → Aθ

as en slegs as Θ = cθ + d vir c,d ∈ Z, c 6= 0. So ‘n homomorfie ϕ kangekies word om ‘n isomorfie na sy afbeelding te wees as en slegs asc = ±1.

ϕ

Konfigurasie Ruimte Ruimtetyd

24 / 63


Skets van die Bewys van stelling 1

FeiteK0(AΘ) ∼= Z + ΘZ [4]Beeld van τ op projeksien in AΘ is Z + ΘZ

⋂[0,1] [1, 4, 5]

ϕ induseer orde preserverende groep homomorfie [3]

ϕ∗ : K0(AΘ)→ K0(Aθ)

Sodatϕ∗([IAΘ

]) = [ϕ(IAΘ)] = [IAθ

]

25 / 63




⋂[0,1] [1, 4, 5]


ϕ∗ : K0(AΘ)→ K0(Aθ)

Sodatϕ∗([IAΘ

]) = [ϕ(IAΘ)] = [IAθ

]

26 / 63




⋂[0,1] [1, 4, 5]


ϕ∗ : K0(AΘ)→ K0(Aθ)

Sodatϕ∗([IAΘ

]) = [ϕ(IAΘ)] = [IAθ

]

27 / 63




⋂[0,1] [1, 4, 5]


ϕ∗ : K0(AΘ)→ K0(Aθ)

Sodatϕ∗([IAΘ

]) = [ϕ(IAΘ)] = [IAθ

]

28 / 63


Skets van die Bewys van Stelling 1

Assosieer 1 ∈ Z + ΘZ met IAΘ

Beskou ϕ∗ as insluiting van K0(AΘ) in K0(Aθ), m.a.w

ϕ∗(g) = g

vir alle g ∈ Z + ΘZ.As ons veronderstel Θ genereer die groep K0(AΘ) kan ons skryf

Θ = cθ + d

vir c,d ∈ Z.

29 / 63





ϕ∗(g) = g


Θ = cθ + d

vir c,d ∈ Z.

30 / 63





ϕ∗(g) = g


Θ = cθ + d

vir c,d ∈ Z.

31 / 63



Andersom het ons die volgende:Acθ+d

∼= Acθ

Acθ+d word dus gegenereer deur unitere operatore U en VUV = e2πicθVUTerwyl Aθ deur unitere operatore u en v gegenereer worduv = e2πiθvu

32 / 63




∼= Acθ


33 / 63




∼= Acθ


34 / 63




∼= Acθ


35 / 63




∼= Acθ


36 / 63



Definieer nou ϕ op die unitere operatore

ϕ(U) := uc

ϕ(V ) := v

Daar word dan aan al ons vereistes voldoen.

37 / 63



Definieer nou ϕ op die unitere operatore

ϕ(U) := uc

ϕ(V ) := v

Daar word dan aan al ons vereistes voldoen.

38 / 63



c = ±1

ϕ(UV ) = ϕ(e2πicθVU)

ϕ(U)ϕ(V ) = e2πicθϕ(V )ϕ(U)

uv = e2πiθvu

ϕ is surjektief

|c| 6= 1

ϕ∗ kan nie surjektief wees nie.ϕ kan ook nie surjektief wees nie.

39 / 63



c = ±1



uv = e2πiθvu

ϕ is surjektief

|c| 6= 1


40 / 63



c = ±1



uv = e2πiθvu

ϕ is surjektief

|c| 6= 1


41 / 63



c = ±1



uv = e2πiθvu

ϕ is surjektief

|c| 6= 1


42 / 63



c = ±1



uv = e2πiθvu

ϕ is surjektief

|c| 6= 1


43 / 63



c = ±1



uv = e2πiθvu

ϕ is surjektief

|c| 6= 1


44 / 63


Meer Algemene Geval.

Stelling 2[2, p. 4]

Kies Θ en θ in (0,1) beide irrationaal en n ∈ N,n ≥ 1. Daar is ‘nunitale *-homomorfie

ϕ : AΘ → Mn(Aθ)

as en slegs as nΘ = cθ + d vir ‘n c,d ∈ Z en c 6= 0. So ‘n*-homomorfie kan gekies word as ‘n *-isomorfie na sy afbeelding as enslegs as n = 1 en c = 1.

45 / 63


Mees Algemene Geval.

MonoidLaat M die onder monoid van GL(2,Z) wees wat bestaan uit matrikseM2(Z) met nie-nul determinant. M.a.w matrikse met heelgetalinskrywings wat inverse het met inskrywings wat nie noodwendigheelgetalle is nie.

Baan van ‘n groep

Laat G en X ondergroepe van H wees, die baan van G op elemente inX word gedefinieer as

Gx := {Ax : A ∈ G}

46 / 63



MonoidLaat M die onder monoid van GL(2,Z) wees wat bestaan uit matrikseM2(Z) met nie-nul determinant. M.a.w matrikse met heelgetalinskrywings wat inverse het met inskrywings wat nie noodwendigheelgetalle is nie.

Baan van ‘n groep

Laat G en X ondergroepe van H wees, die baan van G op elemente inX word gedefinieer as

Gx := {Ax : A ∈ G}

47 / 63



Stelling 3

Kies Θ en θ in (0,1) beide irrationaal. Daar bestaan ‘n nie-nul*-homomorfie (nie noodwendig unitaal nie)

ϕ : AΘ → Mn(Aθ)

vir ‘n heelgetal n as en slegs as Θ en θ in dieselfde baan is onder dieaksie van die monoid M op R. Die moontlikhede van die spoorτ(ϕ(IAΘ

)) is presies die getalle

t = cθ + d ≥ 0

vir heelgetalle c end d so dat tΘ ∈ Z + θZ. Sodra t vasgestel is kanons n kies as enige heelgetal grotes as t .

48 / 63

Waarvoor Kan Hierdie Gebruik Word? String Teorie

Toepassings in String Teorie.

Polyakov Action

S(g) =∫

Σ ‖ 5 g(x)‖2dσ(x)

L(ϕ) := τ (δ1(ϕ(U))∗δ1(ϕ(U)) + δ2(ϕ(U))∗δ2(ϕ(U))+δ1(ϕ(V ))∗δ1(ϕ(V ))) + δ2(ϕ(V ))∗δ2(ϕ(V ))

δ1(u) = 2πiu, δ2(u) = 0, δ1(v) = 0, δ2(v) = 2πivOns kan daaraan dink as ons die energiee som van die unitereoperatore ϕ(U) and ϕ(V )

49 / 63



Polyakov Action

S(g) =∫

Σ ‖ 5 g(x)‖2dσ(x)



50 / 63



Polyakov Action

S(g) =∫

Σ ‖ 5 g(x)‖2dσ(x)



51 / 63



Polyakov Action

S(g) =∫

Σ ‖ 5 g(x)‖2dσ(x)



52 / 63



Polyakov Action

S(g) =∫

Σ ‖ 5 g(x)‖2dσ(x)



53 / 63



Kritieke PunteDie kritieke punte van


is harmoniese funksies

54 / 63

Waarvoor Kan Hierdie Gebruik Word? Vaste Toestand Fisika


Die Kwantum Hall EffekBrillion Sone van Kwantum Hall effekVoortgebring deur unitere operatore, U end V met

UV = e2πiθVU

met θ irrationaal.

55 / 63




UV = e2πiθVU

met θ irrationaal.

56 / 63




UV = e2πiθVU

met θ irrationaal.

57 / 63

Samevatting

Samevatting

Wanneer die konfigurasie ruimte nie-kommutatief word moetruimtetyd ook nie-kommutatief word.Eenvoudige voorbeeld waar nie-kommutatiewe gedrag voorkom isdie kwantum torus.Perhaps a third message, but not more than that.

Probleme wat voorleHoe gaan die kritieke punte van die aksie lyk?

58 / 63

Samevatting

Samevatting



59 / 63

Samevatting

Samevatting



60 / 63

Samevatting

Samevatting



61 / 63

Samevatting

Samevatting



62 / 63

Samevatting

Samevatting



63 / 63

Appendix For Further Reading

Kenneth R. Davidson.C*-Algebras by Example.The Fields Institute for Research in Mathematical Sciences.American Mathematical Society, 1996.

Vargese Mathai and Jonathan Rosenberg.A noncommutative sigma-model.arXiv:0903.4241v2 [hep-th], October 2009.

Gerard J. Murphy.C*-Algebras and Operator Theory.Acedemic Press, Inc, 1990.

M. Pimsner and D. Voiculescu.Imbedding the irrational rotation c*-algebra into an af-algebra.Journal of Operator Theory, 4:201–210, 1980.

64 / 63

Appendix For Further Reading

Marc A. Rieffel.C*-algebras associated with irrational rotations.Pacific Journal of Mathematics, 93(2):415–429, 1981.

65 / 63

Kwantum Ruimtes

Documents

Transcript of Kwantum Ruimtes