Post on 26-Mar-2021
Kvantummechanika II.
8. és 9. előadás
KVANTUMMECHANIKA
„NINCS KIRÁLYI ÚT!”
Axiómák
A. A Schrödinger-egyenlet
B. annak a valószínűségét adja, hogy a
pontszerű elektron az helyvektor dV
környezetében megtalálható.
dVtr2
,
C. Az állapotok szuperpozíciójának az elve.
Hullámokra ”működik”…
…és részecskékre?…
Állapotok szuperpozíciója I.
2112 III Inkoherens hullámokra:
Koherens hullámokra: cos2 212112 IIIII
EMH-ra láttuk:21 EEE
2211 cc
C60 molekula
átalgsebesség 200 m/s
rés szélessége 50nmA C60 molekulával végzett
kétréses kísérlet interferencia képe.
Állapotok szuperpozíciója II.
2211 cc
rrrrP2
22112211
2ccccP
21212
22
22
12
1 Re ccccP
21212
2
21
2
1 ccRePcPcP
Interferencia
Állapotok szuperpozíciója III.
A hullámfüggvény matematikai tulajdonságai
xExxVxm
2
2
ExVm
)(2
2
A harmonikus oszcillátor I.A ”kvantummechanika” Max Planck – al kezdődött (1900) hE
Klasszikus harmonikus oszcillátor:
222
2
1
2
1xmxmE
tatx sin)(
tatx cos)(
22
2
1amE
A klasszikus oszcillátor energiája folytonosan változhat!!!
A harmonikus oszcillátor II.
Exmdx
d
m
22
2
22
2
1
2
2
1nESCH
n
nullponti energia=alapállapoti energia
A harmonikus oszcillátor III.
Alkalmazás: molekula rezgés, kristályrács rezgései, stb.
Az egydimenziós potenciáldoboz
V xV x x L
x L
0 0
0 0
ha < é s >
ha
0x ha x < 0 vagy x > L
L
x
2
2
22222
222n
mLm
k
m
pE
2nEE o kxAxAxo sin2
sin
Em
02
2
2k
xxL
nL
xxxP nx
22
sin2
Megtalálási valószínűség:
Miért sárga a sárgarépa?
Karotin molekula hossza kb. 2-3 nm
2nEE on
oo EEEEE 3)14(1221 03Ehv
03Ehc
03E
hc 2
22
2mLEo
nmL 2 eVE 2 nm500
A fehér fényből ezt nyeli el.
3D potenciáldoboz és az állapotok
grafikus ábrázolása I.
E
xyxm
2
2
2
2
2
22
2
z
L
ny
L
nx
L
n
Lzyx zyx
sinsinsin8
,,3
n n nx y z, , , , ,...12 3 222
2
22
2zyx nnn
mLE
a
b
c
2
2
2
2
2
222
2 c
n
b
n
a
n
mE zyx
z
c
ny
b
nx
a
n
abczyx zyx
sinsinsin8
,,
3D potenciáldoboz és az állapotok
grafikus ábrázolása II.
nx ny nz E
1111 1 1 3E0
2112 1 1 6E0
1211 2 1 6E0
1121 1 2 6E0
1221 2 2 9E0
2122 1 2 9E0
2212 2 1 9E0
3113 1 1 11E0
1311 3 1 11E0
1131 1 3 11E0
2222 2 2 12E0 222
zyxo nnnEE
A kétdimenziós elektrongáz
Fizikai Nobel Díj 2010
„ … a kétdimenziós „grafénnel”
kapcsolatos úttörő kísérleti
munkásságukért.”
Andre Geim
1958
Konstantin Novoselov
1974
2
2
2
2
2
222
2 c
n
b
n
a
n
mE zyx
bac , E
A szabadon mozgó elektron hullámfüggvénye
kxAxAx sin2
sin
Dobozba zárt részecske:
Szabad részecske: L
ikxAex ~
)(1 ,~ tkxitiikx AeeAetx
)(2 ,~ tkxitiikx AeeAetx
ikxikxti eeAetxtxtx ,~,~,~21
kxAP 222sin L Értelmezés???
tiextx ,~ 22,~ xtx
Az alagúteffektus I. x dx
x2
01
2
02
x
dxx
)( tkxiAe
)( tkxiBe
)( tkxiCe
2
A
CR
2
A
BT
Az alagúteffektus II.
0E
0E
Hidegemisszió Lézer-indukált ionizáció
Elektromos tér
Az alagúteffektus III.
STM
Leo Esaki (1925-)
Nobel-díj:1973Egyetemi Tanulmányit Tokióban végezte. Doktori
dolgozata a Sony cégnél, 1957-ben folytatott kísérleti
munkájának a feldolgozása és értékelése volt. Ez az
erősen adalékolt germánium p-n átmenetében létrehozott
alagúteffektusról szólt. Ezek az eredmények alapozták
meg az „alagútdióda” létrejöttét.
A megosztott Nobel díjat:
„a félvezetőkben lévő alagút-jelenségekkel
kapcsolatos kísérleti felfedezésekért”kapta 1973-ban.
Partnerei (I.Giaever és B.D.Josephson)a szupravezetőkben zajló alagúteffektusokkal kapcsolatos
kísérleti és elméleti munkát végeztek. Walter Hermann
Schottky
Német kutató fizikus
(1886-1976)
Fém-félvezető dióda
1938
fém fémszigetelőpotenciálgát = szigetelő
A H-atom I.
Kémia 9. oszt.
A H-atom II.
Er
e
m
1
42 0
22
2,,6.13
n
eVEnmln
)1,...(2 ,1 ,0 nl 1 llL
Lz mL lml ,...2 ,1 ,0
21,3,4)( rP
Az elektronspinStern–Gerlach-kísérlet
smlnmln ,,,,,
A Heisenberg-féle határozatlansági reláció
2
px Δx
2
tE
Gerjesztés élettartama → nívó kiszélesedése
Mikroszkóp felbontása:
sin
61.0x
A foton által meglökött elektron
impulzusbizonytalansága:
sinsinh
pp
Csak szemléltetés, nem bizonyítás!!!
Isten nem kockázik…
De igen…!!!
Koherens fény 1.
Napfény:
Na-gőz lámpa:(Spektrál lámpa,
véletlen fázis)
Lézer nyaláb:(monokromatikus és
a fázis rögzített)
Koherens fény 2.
Rögzített fázis!Véletlen fázis!
Discrét spektrum!
1fc
Koherens fény 3. Burkoló függvény: f(t)
t
Int(t)
Δt
Gauss imp.
F(ω)
Δω
ωΔtΔf 1
Lézerimpulzus (”egy lövés”)
cc c
c: fénysebesség
Folytonos spektrum
The light absorption and emission, the two-lewel system
Bohr-model:
absorption emission
In the process of spontaneous
emission an electron
"spontaneously” (i.e. without
any outside influence) decays
from a higher energy level
to a lower one.
Absorption is the process
by which a photon is absorbed
by the atom, causing an
electron to jump from a lower
energy level to a higher one.
The distribution of energy
An example:
It is admitted, that the temperature of the air is constant. Let’s determine the
density of particles as a function of altitude!
P(h)
P(h+h)
hh
h+h
Let’s consider a thin air layer with top and bottom
area of A and thickness of h. The net force by
the pressure: )( )()( hhPhPAF
The air layer is in equilibrium, because:
)( hmgnAF
Where m is the mass of a molecule and n is the
density of particles. It comes from (+) and (++),
(and we can use the ideal gas law, too: P=nkT):
nkT
mg
dh
dn
The solution: kTmghoenn /
The general form:
kTEo
potenn/
The black-body radiation III.
1D resonator:
(Lecture 3.)
2D resonator:
tkxEtxE cossin2, 0
... 3, 2, 1,n where a
πnk
x
y
yn
bsinxn
acosE2y,xE yx0x
a
b
yn
bcosxn
asinE2y,xE yx0y
a
b
and b
πnk
a
πnk yyxx
mirrors
... 3, 2, 1,n and n whereb
n
a
n yx2
2y
2
2x k
22 yx kkk 3D resonator:
2
2z
2
2y
2
2x
c
n
b
n
a
n k
... 3, 2, 1,n,n ,n where zyx
The black-body radiation IV.
2
2z
2
2y
2
2x
c
n
b
n
a
n k
a=b=c
2z
2y
2x nnn
ak
2z
2y
2x nnn n
Degree of freedom:
na
k
cc
kcn
a
2
c
an
2
3
333
3
82
3
4
8
1
c
anVn
dcV
dn
olume3
28
equipartition
theorem
kTcd
dE
3
28
continuous variable !!!
1 n
polarization statesEquipartition theorem:
½kT (energy/degree of freedom)
(++)
kTcd
dE
3
28
The black-body radiation V.
Rayleigh-Jeans law:
?
hE
Solution (1900):
Max Planck
(Nobel-prize, 1918)
, ..., , nnhEn 321
The energy of a mode with
frequency :
The energy-distribution :
1exp
3
Tk
h
hAg
B
The respective
definite unit, , of
energy should be
proportional to the
respective
characteristic
oscillation frequency
of the hypothetical
oscillator ( =h ).
The energy of a
mode is quantized!!
The black-body radiation VI.
N
E
N1
N2
E1
E2
kT
EE
eN
N12
1
2
We have seen:
(lecture 2.)
kT
EE
eNN
NN12
/
/
1
2
Probability of occupation (of energy
level): P2=N2/N & P1=N1/N & (N1+N2=N)
Let’s admit, that the energy of an EMW mode:
3,... 2, 1,n : where)( onE
The average energy of an EMW mode:
n
nkT
EE
j
i pep
pji
1 & More levels:
n
kTn-
n
kTn-
o
n
kT-
n
kT-
n
e
e
e
e
)(o
o
n
n
n
kT-
n
kTn-
e1
1e
o
o
Geometric progression:
The black-body radiation VII.
2
kT-
kT-
n
kTn-
n
kTn-
o
e-1
ee
)/1(e
o
ooo
o
kTd
dn
1e
)(kT
o
o
kT
ooo
o
1e
lim)(limkT00
(++: unit volume)kTcd
dE
3
28
classical physics
Quantum physics: hkT o & )(
Vd
ce
hdE
KTh 3
28
1
Max Planck did not speak about
quantized photon energy!!! Einstein did!!!
Stefan–Boltzmann law Wien's law
A lézer: kétnívós rendszer
N1
N2
EE
abszorpció
N1
N2
spontán emisszió
N1
N2
E
indukált emisszió
dtNgBdN 11212 dtNANd 22121 dtNgBNd 22121
Termikus egyensúly: 212112 NdNddN
1exp
3
Tk
h
hAg
B
3
3
12
21
c
h
B
A
2112 BB
Nagy energiájú fotonok esetén a
spontán emisszió dominál!
kT
h
eN
N
1
2
Einstein együtthatók:
Indukált emisszió: 1917
Einstein
211221 ,, BBALehetetlen lézert
építeni?
112
21 gB
A
The maser
Maser: Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation
H-maser:frequency = 1,420,405,752 Hz
112
21 gB
A
kT
h
gB
A
12
21
Maser oscillations rely on the stimulated
emission between two hyperfine energy levels
of atomic hydrogen. The hydrogen maser
which is currently used as an atomic frequency
standard. (The first ammonia maser: 1953.)
N
E
N1
N2
E1
E2
kT
EE
eN
N12
1
2
The probability of stimulated emission is greater
than the probability of spontaneous emission.
The ammonia (NH3) maser 1.
(The first ammonia maser was demonstrated in 1953.)
p
p
p
The electric dipole moment of the ammonia molecule:
The ammonia (NH3) maser 2.
pEsindqEsinM EpM
Electric dipole moment:
qp +q -q
Couple of forces acting on the electric dipole moment
in uniform electric field:
The torque of F1 and F2 (couple of forces) acting on the electric dipole moment:
The ammonia (NH3) maser 3.
The work done on the electric dipole moment as it was rotated at the angle of φ from
the equilibrium position:
dM0
)(WGeneral formula:
)cos1(cossinW 0
0
pEEpdEp
The work done (on the dipole moment) is the change in potential energy of the
electric dipole moment. The zero point of the potential energy can be chosen
arbitrary, so the potential energy of an electric dipole moment in uniform electric
field can be given by the following formula:
EpU
(scalar product!)
The ammonia (NH3) maser 4.
p
p
E
Electric field
E
N1E1
E
N2E2
absorption
emission
The reflection of electromagnetic wave
x
y
z
1E
2E
netE
???
conductor
plate
The electric field inside of the conductor is zero (the volume net charge is zero).
Boundary cond.:
tt EE 21
tE1
tE2
The reflected wave has a phase-shift of rad.
The resonator (of electromagnetic wave)
Two electromagnetic waves are traveling to the opposite direction:
Boundary conditions: E(x=0)=0 és E(x=L)=0
x
Linear superposition of waves: standing wave
tkxEkxtEkxtE cossin2sinsin 000
... 3, 2, 1,n where a
πnk
mirrorsThe fundamental mode:
L
ccfL
2 and 2 11
The n-th (harmonic wavelength and frequency) mode:
12
and 2
nfL
cn
cf
n
L
nnn
f
IL
cf
2
The laser 1.
Laser: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation
112
21 gB
A
kT
h
gB
A
12
21
N
E
N1
N2
E1
E2
kT
EE
eN
N12
1
2
We have seen:
dtNgBdN 11212
dtNgBNd 22121
Absorption:
Stimulated emission:
The conditions of the light amplification by stimulated emission:
1. Population inversion: 12 NN 2. Three (or more) level system:
E1
E3
E2
The laser 2. The detailed investigation has shown, that in
the stimulated emission the induced photon
has the same frequency and phase as the
incident photon.
The population inversion is required for laser
operation, but it cannot be achieved by the
group of atoms with two energy-levels when
they are in thermal equilibrium.
To achieve non-equilibrium conditions, an
indirect method of populating the excited
state must be used.
The solution:
32
243 ,
(three level system)
(four level system)
Lifetime of the atom on energy level(s) E2, E3 and E4: 432 ,,
laserpump hh
The laser 3.
Optical cavities are surrounding
the gain medium and providing
feedback of the laser light.
Light confined in the (stable) cavity
reflect multiple times producing
standing waves for certain
resonance frequencies.
The laser 4.
”The Nobel Prize for physics is in
1964. given for the invention of the
maser and the laser. Maser stands
for microwave amplification by
stimulated emission of radiation,
and the word laser is obtained
by replacing microwave by light.”
(The Nobel-prize winners: N. G. Basov,
A. Prokhorov, C. H. Townes)The energy level system of ruby
Holography 1.
1st step: Exposition*or
*roro EEEEIII
Interference pattern (on holoplate):
Holography: lensless photography
2nd step: developement
(chemical process)
y)I(x,thy)h(x, o
The transmission of the hologram:
Ref: reference beam
(plane wave of spherical wave)
Obj: object wave
(reflected from the 3D object)
Hologram:
the recorded
interference
pattern
Holography 2.
Object wave!!!y)I(x,thy)h(x, o
Amplitude transmission:
Reconstruction:
*o
2r
2
rororror EEEE)It(IEEhhE
Off axis holography:
Real, virtual, undiffracted waves
are spatially separated
*or
*roro EEEEIII
Interference pattern (on holoplate):
3rd step: Reconstruction
Real image
Virtual image
+ =
CameraChip
type
Number of
pixels
Pixel size
[m2]
Frames per
second
Dynamic
range
max for
=633nm
Roper Sci.
MegaPlus 1.4iFT
1017*
10356.8 * 6.8 6.9 8 bit 2.7°
Roper Sci.
Megaplus 16.8iFT
4096*
40969 * 9 0.47 8 bit 2.0°
Roper Sci.
Megaplus ES 1.0IT
1008*
10189 * 9 30 8 or 10 bit 2.0°
Roper Sci.
Megaplus 4.0IT
2048*
20487.4 * 7.4 30 8 or 12 bit 2.45°
Hamamatsu
C8484-01PSI
1344*
10246.45 * 6.45 8.3 12 bit 2.81°
Duncan
DT1100PS
1392*
10404.65 * 4.65 12 8 or 12 bit 3.9°
FT: full frame: interline transfer, PSI: progressive scan interline, PS: progressive scan
The resolution of a holographic plate: 5000 lines/mm
Holography 3. Digital holography 1.
”In-line” arrangement
Digital holography 2.
3D shape measurement:
Holography 4.
Digital holography 3.Holography 5.
Gábor Dénes (Dennis Gabor): a Hungarian electrical engineer and
physicist, he invented the holography.
He received the 1971 Nobel Prize in Physics.
Digital holography 4.Holography 6.
A computer-generated hologram:
Holography 7.
X-ray, neutron, electron holography
Source: an atom
Source: atom
Reference wave: primary wave
(the original wave)
Object wave: secondary waves
scattered from the neighbor atomsComputer generated reconstruction
Az első lézer
Első lézer: 1960
gáz-lézer
félvezető-lézer
szilárdtest-lézer
Lézerintenzitás:
1960: 1010 W/cm2
1980: 1015 W/cm2
2000: 1020 W/cm2
2015: ELI 1025 W/cm2
Legrövidebb
impulzus: 5fs
attoszekundumos imp.
A kvantumradír
D1
D2
P1
P2
D1
D2
D1
D2
P1
P2
D1
D2
P1
P2
Lézer
polarizátorok
tükör
tükörB.S.
B.S.
Detektorok
B.S.: nyalábosztó (beam splitter)
o45
o45
LézerB.S.
tükör
B.S.
Polarizáció-beállító
(polarizáció-sík forgató)nyalábtágító
Lézer-tápegység