Post on 31-Oct-2015
1Karnaugh MAP (K-Map)
Pokok Bahasan :1. K-map 2 variabel2. K-map 3 variabel3. K-map 4 variabel4. Penyederhanaan rangkaian dengan k-map
Tujuan Instruksional Khusus :1.Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara
membuat k-map 2, 3, 4 variabel.2.Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara
peng-cover-an minterm dalam sebuah k-map..3.Mahasiswa dapat menyederhanakan persamaan logika
melalui metode k-map.
2Karnaugh Map (K-Map)
Suatu peralatan grafis yang digunakan untuk menyederhanakanpersamaan logika atau mengkonversikan sebuah tabel kebenaran menjadi sebuah rangkaian logika.
Salah satu metode yang paling mudah untuk penyederhanaan Rangkaian Logika.
3Map Value A B Y0 0 0 AB
1 0 1 AB
2 1 0 AB
3 1 1 AB
Karnaugh Map 2 Variabel : ( A dan B )
Tabel Kebenaran
A
AB3
AB1
AB2
AB0
0
1
0
1
B
Model II
AB3
AB2
AB1
AB0
0
1
0
1
AB
Model I
Map Value
4Desain Pemetaan K- Map 2 Variabel
0
1
0
1
AB
A A
B
B
5Karnaugh Map 2 Variabel : dengan minterm-mintermnya
x y F0 0 10 1 11 0 01 1 0
0 1y
x0
1
1
0 0
1
0 1y
x0
1
xy
xy xy
xy
x
y F = (m0,m1) = xy + xy
60A
1 01
B 0 101
F=AB +AB 0A
1 11
B 0 101
F=AB +AB +AB
0A
1 01
B 0 101
F=AB +AB 0A
1 11
B 0 101 F=A+B
F=AB +AB +AB
7Contoh : 1
1 0
02
01
13
AB 0
Tabel Kebenaran 1
0Map Value A B Y0 0 0 11 0 1 02 1 0 03 1 1 1
1AB
AB0
01
02
AB3
0
1
AB 0
1AB
Jadi Y = AB + AB
8Contoh : 2
1 0
11
02
03
AB 0
Tabel Kebenaran 1
0Map Value A B Y0 0 0 11 0 1 12 1 0 03 1 1 0
1AB
AB
AB0
AB1
02
03
0
1
AB 0
1
Jadi Y = A
9 0 kotak terlingkupi = 0 (Low) 1 kotak terlingkupi = 2 variabel output 2 kotak terlingkupi = 1 variabel output 4 kotak terlingkupi = 1 (High) Melingkupinya harus posisi Horisontal
atau vertikal , yang dilingkupi digit 1 dan jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n (1, 2,4,8,16, ...)
Catatan untuk K-Map 2 Variabel
1
110 1
1
0
AB
B A
0 1
1
0
A
1
1 AB
AB
Y = AB + AB
Y = B + A
10
Contoh 3:Dari Tabel Kebenaran dibawah, tulis persamaan logikanya dengan menggunakan K-map :
11
1
0
1
0
1
AB
A A
B
B
Map Value A B Y0 0 0 11 0 1 12 1 0 03 1 1 1 0
1
0
1
AB
A A
B
B
1
1 1 Jadi Y = A + B
Sederhanakan persamaan logika :Y = A + AB + AB Menggunakan K- map :
Contoh 4 :
0
1
0
1
AB
A A
B
B1
1
111
1
0
1
0
1
AB
A A
B
B
Jadi Y = A + B
11
12
Karnaugh Map 3 Variabel : ( A, B dan C )
11170116101500141103010210010000
YCBAMap Value
Tabel Kebenaran
A
00 01 11
ABC5
ABC7
ABC3
ABC1
ABC4
ABC6
ABC2
ABC0
Model IIAB
00 01 11
ABC6
ABC7
ABC5
ABC4
ABC2
ABC 3
ABC1
ABC0
10
0
1
10
0
Model IBC
C
Map Value
1
13
Tabel Kebenaran
11170116101500141103010210010000
YCBAMap ValueModel III Model IV
ABC7
ABC6
ABC5
ABC4
ABC3
ABC2
ABC1
ABC0
0 1
00
01
10
11
A BC
ABC7
ABC3
ABC6
ABC2
ABC5
ABC1
ABC4
ABC0
0 1
00
01
10
11
B CA
Map Value
14
Desain Pemetaan K- Map 3 Variabel
00 01 11
0
1
10ABC
C
C
BB
A
A
15
0 kotak terlingkupi = 0 (Low) 1 kotak terlingkupi = 3 variabel output 2 kotak terlingkupi = 2 variabel output 4 kotak terlingkupi = 1 variabel output 8 kotak terlingkupi = 1 (High) Melingkupinya harus posisi Horisontal
atau vertikal , yang dilingkupi digit 1 dan jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n (1, 2, 4, 8, ... )
Catatan untuk K- Map3 Variabel
00 01 110
1 111110
00 01 110
1 1111
10BC
A
A
A
B
00 01 11
0
1 11
110A
+ ABC+ ABCY = ABC
16
Contoh pengcoveran
00 01AB
C0
1
11 10
C
B
A
cab
00 01 11 1001
0 0 1 00 1 1 1
cout = ab + bc + ac
F(A,B,C) = m(0,4,5,7)
G(A,B,C) = 0 0
0 0
1 1
1 1CB
A
1 0
0 0
0 1
1 1CB
A
A
= AC + BC
cab
00 01 11 1001
0 0 1 10 0 1 1
f = a
17
0A
1 11
00 0101
BC
01 1
111 10
F=ABC +AB C +ABC +ABC + ABC + ABC
A B C F0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1
+
F=A+B C +BC 0
A
1 11
00 0101
BC
01 1
111 10
F=ABC +AB C +ABC +ABC + ABC + ABC
18
Contoh 1 :Tabel Kebenaran Diketahui Tabel Kebenaran seperti disamping :
Cari persamaan logikanya :
1111710116110150001401103001021100110000YCBAMap Value
00 01 11
0
1
1 1
1 1 1
10BC
A
AB
AB
AC
Jadi Y = AC + AB + AB
19
Contoh 2 :
A
Diketahui Persamaan Boolean :D = ABC + ABC + ABC + ABC + ABCSederhanakan dengan metode K-map
00 01 11
0
1
1 1
1 1 1
10BCABC
ABC
ABC
ABCABC
00 01 11
0
1
1 1
1 1 1
10ABC
B
ACJadi D = B + AC
20
ABCD10
ABCD14
ABCD6
ABCD2
ABCD11
ABCD15
ABCD7
ABCD3
ABCD9
ABCD13
ABCD5
ABCD1
ABCD8
ABCD12
ABCD4
ABCD0
ABCD 00 01 11 10
00
01
11
10
ABCD10
ABCD11
ABCD9
ABCD8
ABCD14
ABCD15
ABCD13
ABCD12
ABCD6
ABCD7
ABCD5
ABCD4
ABCD2
ABCD3
ABCD1
ABCD0
CDAB 00 01 11 10
00
01
11
10
Map Value
A B C D Y
0 0 0 0 0
1 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 0 1 1 18 1 0 0 09 1 0 0 110 1 0 1 011 1 0 1 112 1 1 0 013 1 1 0 114 1 1 1 015 1 1 1 1
Model 1
Model 2
Tabel KebenaranKarnaugh Map 4 Variabel :
( A, B, C dan D )
21
Dengan wxyz input
22
Desain Pemetaan K- Map 4 Variabel
ABCD 00 01 11 10
00
01
11
10
A
D
C
B
C
D
A
B
23
Catatan untuk K-Map4 Variabel
0 kotak terlingkupi = 0 (Low) 1 kotak terlingkupi = 4 variabel output 2 kotak terlingkupi = 3 variabel output 4 kotak terlingkupi = 2 variabel output 8 kotak terlingkupi = 1 variabel output 16 kotak terlingkupi = 1 (High) Melingkupinya harus posisi Horisontal
atau vertikal , yang dilingkupi digit 1 dan jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n ( 1,2, 4, 8, 16, ... )
111111
11111111
ABCD 00 01 11 10
00
01
11
10
11
1111
ABCD 00 01 11 10
00
01
11
10
AC
A
ACD
BC
ABCDABCD
24
Contoh pengcoveran :
A' B' D + A' C + B' C D
B C' D' + A C' + A B D'
LT =EQ =GT =
K-map untuk LT K-map untuk GT
0 0
1 0
0 0
0 0D
A
1 1
1 1
0 1
0 0B
C
K-map untuk EQ
1 0
0 1
0 0
0 0D
A
0 0
0 0
1 0
0 1B
C
0 1
0 0
1 1
1 1D
A
0 0
0 0
0 0
1 0B
C
A'B'C'D' + A'BC'D + ABCD + AB'CD
25
Contoh pengcoveran :
F= ABC +ACD +ABC+AB CD +ABC +AB CCD
0AB
1 10
00 010001
00 1
111 10
11 0
11110
11 1
1F=BC +CD + AC+ AD
26
C + BD
Kalau digambarkan dengan system coordinate
Contoh 1 F(A,B,C,D) =
m(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)F =
D
A
B
AB
CD
0000
1111
1000
01111 0
0 1
0 1
0 0
1 1
1 1
1 1
1 1C
+ ABD
27
111111
1
AB00 01 11 10
00
01
11
10
CDA
D
C
BAC
ABCD
ABD
Contoh 2 : Diketahui Tabel Kebenaran , cari persamaan logikanya.
Jadi Y = AC + ABD + ABCD
C12 1
113 111
10
AB00 01 11 10
00
01
11
10
CDA
D
B
Map Value
A B C D Y
0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 02 0 0 1 0 13 0 0 1 1 14 0 1 0 0 05 0 1 0 1 06 0 1 1 0 17 0 1 1 1 18 1 0 0 0 09 1 0 0 1 110 1 0 1 0 011 1 0 1 1 112 1 1 0 0 113 1 1 0 1 014 1 1 1 0 015 1 1 1 1 0
28
111111
11
WXYZ 00 01 11 10
00
01
11
10
Z
111111
11
WXYZ 00 01 11 10
00
01
11
10
W
Y
Z
Y
Y
X
W
WXYZ
YZ
WXZ
WXZ
Contoh 3 : Lingkarilah danTulis Persamaan Logikanya.
Jadi M = WXYZ + WXZ + WXXZ + YZ
29
Physical Implementasi
A B C D
EQ
Step 1: Truth table Step 2: K-map Step 3: Minimized sum-of-
products Step 4: Implementasi dengan
gates
K-map untuk EQ
1 0
0 1
0 0
0 0D
A
0 0
0 0
1 0
0 1B
C
30
Poin-poin penggunaan K-map
Tulis persamaanlogika hasil peng-coveran.
Buat persamaan kebentuk SOP (melaluitabel kebenaran).
Minterm-mintermnyamasukkan ke k-map ( sesuaikan jumlah kotakatau variabel input).
Lingkari (pe-ngcover-an) yang benar.
31
Dont Care Kondisi dont care merupakan kondisi dimana ada beberapa
kombinasi variable input yang tidak selalu dapat dinyatakan nilaioutputnya.
Keadaan dimana nilai outputnya tersebut bisa berlogic 1 atauberlogic 0 yang disimbulkan dengan X atau d.
Kegunaan dari kondisi dont care pada penyederhanaan fungsidapat dinyatakan pada fakta bahwa dapat diset dengan logic 1atau logic 0, berdasar kegunaannya untuk format kelompoklogic 1 yang lebih besar.
32
Karnaugh maps: dont cares (contd) f(A,B,C,D) = m(1,3,5,7,9) + d(6,12,13)
f = A'D + B'C'D tanpa don't cares f = AD + CD dengan don't cares
0 0
1 1
X 0
X 1D
A
1 1
0 X
0 0
0 0B
C
C f0 00 11 01 10 00 11 X100110011
D0101010101010101
10100XX00
A0000000011111111
+
B0000111100001111
+
33
Pengcoveran dengan Dont Cares
0AB
x x1
00 01
00
01
CD
0x 1
011 10
1x 0
11110
11 1
x
F=ACD+B+AC
34
Bentuk ilustrasi pengkoveran
0 X
1 1
1 0
1 0D
A
1 0
0 0
1 1
1 1B
C
6 prime implicants:A'B'D, BC', AC, A'C'D, AB, B'CD
minimum cover: AC + BC' + A'B'D
essential
minimum cover: 3 essential implicants
0 0
1 1
1 0
1 0D
A
0 1
0 1
1 1
0 0B
C
5 prime implicants:BD, ABC', ACD, A'BC, A'C'D
minimum cover: 4 essential implicants
essential
minimum cover: ABC+ACD+ABC+ACD
35
Aplikasi K-mapPada Rangkaian Full Adder
Adder
Cin
Cout
SB
A
A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1
+
S = ABCin + ABCin + ABCin + ABCin
Cout = ABCin + A BCin + ABCin + ABCin
= ABCin + ABCin + ABCin + ABCin + ABCin + ABCin
= BCin + ACin + AB
= (A + A)BCin + (B + B)ACin + (Cin + Cin)AB= 1BCin + 1 ACin + 1 AB
Metode Aljabar Boole
36
Aplikasi K-mapPada Rangkaian Full Adder
Adder
Cin
Cout
SB
A
A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1
+A
B
Cin
0
0
0
1 1 1
01Pengisiaan digit 1 ke K-map
Karnaugh Map for Cout
37
Aplikasi K-mapPada Rangkaian Full Adder
A
B
Cin
Adder
Cin
Cout
SB
A
A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1
+
0
0
0 01
1 1 1Pengcoveran pertama.
Cout = ACinKarnaugh Map untuk Cout
38
Aplikasi K-mapPada Rangkaian Full Adder
A
B
Cin
Adder
Cin
Cout
SB
A
A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1
+
0
0
0 01
1 1 1Pengcoveran kedua.
Cout = Acin + ABKarnaugh Map for Cout
39
Aplikasi K-mapPada Rangkaian Full Adder
A
B
Cin
Adder
Cin
Cout
SB
A
A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1
+
0
0
0 01
1 1 1
Karnaugh Map untuk Cout
Pengcoveran ketiga (seluruhnya)
Cout = ACin + AB + BCin
40
Aplikasi K-mapPada Rangkaian Full Adder
A
B
Cin
Adder
Cin
Cout
SB
A
A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1
+
0
1
1 10
0 1 0
S = ABCinKarnaugh Map untuk S
41
Aplikasi K-mapPada Rangkaian Full Adder
A
B
Cin
Adder
Cin
Cout
SB
A
A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1
+
0
1
1 10
0 1 0
S = ABCin + ABCinKarnaugh Map untuk S
42
Aplikasi K-mapPada Rangkaian Full Adder
A
B
Cin
Adder
Cin
Cout
SB
A
A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1
+
0
1
1 10
0 1 0
S = ABCin + ABCin + ABCinKarnaugh Map untuk S
43
Aplikasi K-mapPada Rangkaian Full Adder
Coba anda gambar rangkaian diagramnya ?
A
B
Cin
Adder
Cin
Cout
SB
A
A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1
+
0
1
1 10
0 1 0
S = ABCin + ABCin + ABCin + ABCinKarnaugh untuk S Tidak bisa direduksi
44
Latihan Soal 1:
Gambarlah K-map untuk setiap ekspresi logika dibawahserta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar :
1. AB + BC + AB2. AC + ACB + BC + BC3. XY + XZ + YZ4. XY +YZ + XZ +XY
45
Latihan Soal 2 :
Gambarlah K-map untuk setiap ekspresi logika dibawahserta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar :
1. A(BC + C) + B(A + AC)2. (AC + ACB). (BC + BC)3. Z(XY + XZ) . YZ(X+ Z)
Catatan : cari minterm-mintermnya dulu (rubah kebentuk SOP)