Post on 10-Mar-2019
Kalkulus IIFungsi Transenden
Oleh:Tim Dosen Kalkulus II
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITK
1 Pebruari 2018
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
2 Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi TransendenFungsi Logaritma Alami
Pendahuluan
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
3 Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi TransendenMateri
2.1 Fungsi Logaritma Alami2.2 Fungsi Invers dan Turunannya2.3 Fungsi Eksponen Alami2.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum2.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen2.6 Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya2.7 Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
4 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi TransendenFungsi Logaritma Alami
Fungsi Logaritma Alami
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
5 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiDefinisi 2.1.1
Dx (x2
2 ) = x1,Dx (x) = x0,Dx (??) = x−1,
Dx (−1x ) = x−2,Dx (−
x−22 ) = x−3
Definisi 2.1.1Fungsi Logaritma Alami, dinyatakan oleh ln, didefinisikan oleh
f (x) = ln x =
∫ x
1
1t dt, x > 0
Daerah asal fungsi logaritma alami adalah himpunan bilangan realpositif.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
6 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiTurunan Fungsi Algoritma Alami
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus Pertama, kita dapatkan
Dx
∫ x
1
1t dt = Dx ln x =
1x , x > 0
Hasil tersebut dapat dikombinaskan dengan Aturan Rantai.Misalkan u = f (x) > 0 dan f terdeferensialkan, maka
Dx ln u =1u Dx u
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
7 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiContoh 2.1.1
contoh 2.1.1Carilah Dx ln(x2 − x − 2)PenyelesaianSoal ini bisa diselesaikan jika x2 − x − 2 > 0Karena x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) > 0 maka x < −1 atau x > 2Jadi daerah asal ln(x2 − x − 2) adalah (−∞,−1)
⋃(2,∞).
Pada daerah asal ini
Dx ln(x2 − x − 2) = 1x2 − x − 2Dx (x2 − x − 2) = 2x − 1
x2 − x − 2
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
8 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiTeorema 2.1.1
Teorema 2.1.1
Dx ln |x | =1x , x 6= 0
Setiap rumus diferensiasi, terdapat rumus integrasi yangberpadanan, yaitu∫ 1
x dx = ln |x |+ C , x 6= 0
BuktiPembuktiannya akan terbagi menjadi 2 kasus. Kita mulai dengankasus I yaitu x > 0, Dx ln |x | = Dx ln x = 1
x .Selanjutnya, untuk kasus II yakni x < 0,Dx ln |x | = Dx ln(−x) = 1
−x (−1) =1x �
Teorema ini menjawab∫
x r dx = x r+1/(r + 1) kecuali untukpangkat r = −1.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
9 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiContoh 2.1.2
Contoh 2.1.2Carilah
∫ x2−xx+1 dx
Jawab
x2 − xx + 1 = (x − 2) + 2
x + 1∫ x2 − xx + 1 dx =
∫(x − 2)dx + 2
∫ 1x + 1dx
=x2
2 − 2x + 2∫ 1
x + 1dx
=x2
2 − 2x + 2 ln |x + 1|+ C
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
10 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiTeorema 2.1.2
Teorema 2.1.2Sifat-Sifat Logaritma AlamiJika a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilanganrasional, maka(i) ln 1 = 0 (ii) ln ab = ln a + ln b
(iii) ln ab = ln a − ln b (iv) ln ar = r ln a
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
11 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiContoh 2.1.3
Contoh 2.1.3Dapatkan turunan dari y = ln 3
√(x−1
x2 x > 1Jawab menggunakan sifat logaritma alami untukmenyederhanakan y .
y = ln(x − 1x2 )1/3 =
13 ln(x − 1
x2 )
y =13 [ln(x − 1)− ln x2] =
13 [ln(x − 1)− 2 ln x ]
jadi,
dydx =
13 [
1x − 1 −
2x ] =
2− x3x(x − 1)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
12 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiContoh 2.1.4
Contoh 2.1.4Dapatkan turunan dari y =
√1−x2
(x+1)2/3
Jawab Berdasarkan sifat logaritma alami didapatkan
ln y =12 ln(1− x2)− 2
3 ln(x + 1)
kemudian kita deferensialkan secara implisit terhadap x
1y
dydx =
−2x2(1− x2)
− 23(x + 1) =
−(x + 2)3(1− x2)
sehinggadydx = − y(x + 2)
3(1− x2)=−√1− x2(x + 2)
3(x + 1)2/3(1− x2)
=−(x + 2)
3(x + 1)2/3(1− x2)1/2
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
13 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiGrafik Logaritma Alami
Telah kita ketahui bahwa daerah asal dari f (x) = ln x adalahDf = {x > 0|x ∈ R} dan daerah hasilnya adalah Rf = R.Akibatnya, Dx ln x = 1
x > 0 dan D2x ln x = − 1
x2 < 0 pada (0,∞).lim
x→∞ln x =∞ dan lim
x→0+ln x = −∞
Gambar :
ddx ln |x | =
1x , x 6= 0;
∫ dxx = ln |x |+ C , x 6= 0
ddx ln |u(x)| =
u′(x)u(x) ,dengan syarat u(x) 6= 0 dan u terdiferensialkan
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
14 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiIntegral Trigonometri
Contoh 2.1.5Hitunglah
∫tan x dx
Jawab karena tan x = sinxcosx sehingga dapat membuat substitusi
u = cos x , du = − sin x dx untuk memperoleh∫tan x dx =
∫ sin xcos x dx =
∫−1cos x (− sin x dx) = − ln | cos x |+C
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
15 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiLatihan 2.1
nomor 1.Carilah turunan fungsi ln berikut dengan mengasumsikan dalamsetiap fungsi bahwa x dibatasi sehingga fungsi ln terdefinisia. Dx ln
√x
b. Dx ln(x2 + 3x + π)
c. Dx ln(x − 4)3
d. dydx jika y = sin(ln 2x)
d. dydx jika y = ln(sin 2x)
e. dydx jika y = ln 1−x2
1+x2
f. dydx jika y = x2 ln x2 + (ln x)3
g. dydx jika y = ln x
x2 ln x2 + (ln 1x )
3
h. dydx jika y = ln(x +
√x2 + 1)
i. dydx jika y = ln(x +
√x2 − 1)
j. f ′(81) jika f (x) = ln 3√
xk. f ′(π4 ) jika f (x) = ln cos x
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
16 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiLatihan 2.1
nomor 2.Carilah integral-integral berikuta.∫ 6v+9
3v2+9v dvb.∫ −1
x(ln x)2 dx
c.∫ 30
x4
2x5+π dx
d.∫ π/30 tan x dx
e.∫ 10
t+12t2+4t+3 dt
f.∫ cos x
1+sin x dx
g.∫ x2
x−1 dx
h.∫ x2+x
2x−1 dx
i.∫ x4
x+4 dx
j.∫ x3+x2
x+2 dx
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
17 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiLatihan 2.1
nomor 3.Tuliskan ekspresi berikut sebagai logaritma suatu besaran tunggala. 2 ln(x + 1)− ln xb. 1
2 ln(x − 9) + 12 ln x
c. ln(x − 2)− ln(x + 2) + 2 ln xd. ln(x2 − 9)− 2 ln(x − 3)− ln(x + 3)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
18 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiLatihan 2.1
nomor 4.Carilah dy
dx dengan menggunakan diferensiasi logaritmika. y = x+11√
x3−4
b. y = (x2 + 3x)(x − 2)(x2 + 1)
c. y = (x2+3)2/3(3x+2)2√x+1
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
19 Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Logaritma AlamiLatihan 2.1
nomor 5.Manfaatkan grafik fungsi y = ln x yang telah diketahui untukmensketsakan grafik persamaan-persamaan berikuta. 2 ln |x |b. ln 1
xc. ln
√x
d. ln(x − 2)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
20 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi TransendenFungsi Invers dan Turunannya
Fungsi Invers dan Turunannya
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
21 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan Turunannya
Salah satu cara mengkonstruksi fungsi baru dari fungsi yang telahada adalah mem-"balik" (melakukan inversi) fungsi tersebut.Suatu fungsi f mengambil suatu nilai x dari daerah asalnya D danmemadankannya dengan nilai tunggal y dari daerah hasilnya R.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
22 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan Turunannya
Gambar :
Perhatikan bahwa daerah asal f −1 adalah R dan daerah hasilnyaadalah D. Fungsi ini disebut fungsi invers (fungsi balikan) f .Gambar diatas adalah y = f (x) = 2x , maka x = f −1(y) = 1
2y .Begitu pula jika y = f (x) = x3 − 1, maka x = f −1(y) = 3
√y + 1.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
23 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaKeberadaan Fungsi Invers
Teorema 2.2.1Jika f monoton murni pada daerah asal, maka f mempunyaiinvers.Bukti Misalkan x1 dan x2 adalah dua bilangan dalam daerah asalf , dengan x1 < x2. Karena f monoton, f (x1) < f (x2) atauf (x1) > f (x2). Bagaimanapun f (x1) 6= f (x2). Jadi x1 6= x2 berartif (x1) 6= f (x2) yang bermakna bahwa f adalah fungsi satu-satudan karenanya mempunyai invers.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
24 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaKeberadaan Fungsi Invers
Berdasarkan Teorema sebelumnya kita mempunyai cara mudahuntuk menentukan apakah fungsi f monoton murni dengan cukupmemeriksa tanda f ′ serta kita perlu membatasi daerah asal fungsiagar fungsi tersebut monoton murni pada daerah tersebut,sehingga terdapat fungsi invers.
Contoh 2.2.1Perhatikan bahwa f (x) = x5 + 2x + 1 memiliki invers.Jawab f ′(x) = 5x4 + 2 > 0 untuk semua x . jadi f naik padaseluruh garis real (domainnya) sehingga f memiliki invers.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
25 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaKeberadaan Fungsi Invers
Terdapat cara untuk membuat suatu fungsi memiliki invers darisuatu fungsi yang awalnya tidak memiliki invers dalam daerahasalnya karena tidak monoton, kita cukup membatasi daerahasalnya pada suatu himpunan sehingga fungsi tersebut pada selangdaerah asal yang baru akan turun atau akan naik saja (monoton).Misalnya untuk y = f (x) = x2 kita dapat membatasi pada daerahasal x ≥ 0 atau x ≤ 0 sedangkan untuk y = g(x) = sin x , kitadapat membatasi pada interval [−π/2, π/2]
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
26 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaKeberadaan Fungsi Invers
Contoh 2.2.2Perhatikan bahwa f (x) = 2x + 6 memiliki invers, cari rumus untukf −1(y) dan periksa kebenarannya.Jawab oleh karena f fungsi naik, maka mempunyai invers. Untukmencari f −1(y), kita memecahkan f (x) = 2x + 6 untuk x ,sehingga x = (y − 6)/2 = f −1(y).
f −1(f (x)) = f −1(2x + 6) = (2x + 6)− 62 = x
f (f −1(y)) = f (y − 62 ) = 2(y − 6
2 ) + 6 = y
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
27 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaGrafik Fungsi Invers
Misalkan f memiliki invers, maka
x = f −1(y) ⇔ y = f (x).
Akibatnya y = f (x) dan x = f −1(y) menentukan pasangan (x , y)yang sama, sehingga memiliki grafik yang identik. Dapat kitabayangkan bahwa dengan menukar peranan x dan y pada grafiktidak lain merupakan hasil pencerminan grafik terhadap garisy = x . Jadi grafik y = f −1(x) adalah gambar cermin grafiky = f (x) terhadap garis y = x
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
28 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaGrafik Fungsi Invers
Gambar :
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
29 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaGrafik Fungsi Invers
Dari y = f (x) ⇔ x = f −1(y), aturan fungsi invers dapatditentukan dengan tiga langkah berikut
1 Selesaikan persaman y = f (x) untuk x dalam bentuk y .2 Gunakan f −1(y) untuk menamai ekpresi yang dihasilkandalam y .
3 Gantikan y dengan x untuk mendapat rumus untuk f −1(x)Perhatikan bahwa pada saat y = f (x) = x2 didapatkan x = ±√y ,yang segera memperlihatkan bahwa f −1 tidak ada, tentu sajaterkecuali kita membatasi daerah asal untuk menghilangkan salahsatu tanda (+) atau (-)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
30 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaGrafik Fungsi Invers
contoh 2.2.3Carilah f −1 jika y = f (x) = x
1−xJawabLangkah 1
y =x
1− x(1− x)y = x
y − xy = xx + xy = y
x(1+ y) = y
x =y
1+ y
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
31 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaGrafik Fungsi Invers
contoh 2.2.3Langkah 2
f −1(y) = y1+ y
Langkah 3
f −1(x) = x1+ x
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
32 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaTurunan Fungsi Invers
Teorema 2.2.2Teorema Fungsi InversMisalkan f adalah fungsi yang dapat diturunkan dan monotonmurni pada interval I. Jika f ′(x) 6= 0 di suatu x tertentu dalam I,maka f −1 dapat diturunkan di titik yang berpadanan y = f (x)dalam daerah hasil f dan
(f −1)′(y) = 1f ′(x)
Kesimpulan Teorema diatas seringkali dituliskan dalam
dxdy =
1dy/dx
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
33 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaTurunan Fungsi Invers
Contoh 2.2.4Tentukan turunan dari invers y = x3
Jawab Gunakan relasi
y = x3 ⇔ x = 3√y = y1/3
maka
dxdy =
1dydx
=13x2 =
13(y1/3)2
=1
3y2/3 =1
3 3√
y2
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
34 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaTurunan Fungsi Invers
Contoh 2.2.5Misalkan y = f (x) = x5 + 2x + 1, carilah (f −1)′(4)Jawab perhatikan bahwa y = 4 berpadanan dengan x = 1, dankarena f ′(x) = 5x4 + 2Berdasarkan Teorema Fungsi Invers maka,
(f −1)′(4) = 1f ′(1) =
15+ 2 =
17
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
35 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaLatihan 2.2
nomor 1Dalam setiap kasus dalam gambar 4, tentukan apakah fmempunyai invers.
Gambar :
[!h]
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
36 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaLatihan 2.2
nomor 2Perlihatkan bahwa f memiliki invers dengan memperlihatkan fmonoton murni.a. f (x) = −x5 − x3
b. cos θ, 0 ≤ θ ≤ πc. cot x = cos x
sin x , 0 < x ≤ π2
d. f (z) = (z − 1)2, z ≥ 1e. f (x) = x7 + x5
f. f (x) = x2 + x − 6, x ≥ 2
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
37 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaLatihan 2.2
nomor 3Carilah rumus untuk f −1(x)a. f (x) = x + 1b. f (x) = − x
3 + 1c. f (x) =
√x + 1
d. f (x) = −√1− x
e. f (x) = − 1x−3
f. f (x) =√
1x−2
g. f (x) = 4x2, x ≤ 0h. f (x) = (x − 3)2, x ≥ 3i. f (x) = (x − 1)3j. f (x) = x 5
2
k. f (x) = x−1x+1
l. f (x) = ( x−1x+1 )
3
m. f (x) = x3+2x3+1
n. f (x) = ( x3+2x3+1 )
5
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
38 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaLatihan 2.2
nomor 4Batasi daerah asal f , agar f memiliki invers, tetapi tetapmempertahankan daerah hasil seluas mungkin. Kemudian carilahf −1(x) dengan menggambar f terlebih dahulua. f (x) = 2x2 + x − 4b. f (x) = x2 − 3x + 1
nomor 5Hitunglah (f −1)′(b) jika f (x) = x3 + x + 1 dan b = 1
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
39 Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers dan TurunannyaLatihan 2.2
nomor 6Sketsakan grafik y = f −1(x)dan estimasi nilai (f −1)′(3).
Gambar :
[!h]
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
40 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi TransendenFungsi Eksponensial Alami
Fungsi Eksponensial Alami
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
41 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial Alami
Fungsi logaritma alami adalah fungsi yang diferensiabel (karenanyaia kontinu) dan naik pada domain D = (0,∞); dengan daerahhasil R = (−∞,∞). Fungsi yang demikian telah kita pelajari padasubbab 2.2, dan karenanya y = f (x) = ln x memiliki invers ln−1dengan domain (−∞,∞) dan daerah hasil (0,∞).
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
42 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial Alami
Gambar :
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
43 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial AlamiDefinisi 2.3.1
Definisi 2.3.1Invers dari ln disebut fungsi eksponensial alami dan dinotasikansebagai exp. Dengan demikian,
x = exp y ⇔ y = ln x
Berdasarkan definisi tersebut, kita dapatkan1. exp(ln x) = x , x > 02. ln(exp y) = y , untuk semua y
Karena exp dan ln adalah fungsi yang saling invers, maka grafikdari y = exp x adalah grafik y = ln x yang dicerminkan terhadapgaris y = x .
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
44 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial Alami
Gambar :
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
45 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial AlamiSifat-Sifat Fungsi Eksponensial
Definisi 2.3.2Huruf e menotasikan suatu bilangan real positif dan tunggalsedemikian sehingga terpenuhi ln e = 1.
Pendefinisian bilangan Euler e sering muncul dalam banyak versi,di antaranya adalah
I e = ln−1 1I e = limh→0(1+ h) 1
h
I e = limn→∞(1+ 1
1! +12! + · · ·+
1n!)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
46 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial AlamiSifat-Sifat Fungsi Eksponensial
Teorema 2.3.1Misalkan a dan b adalah sebarang bilangan real, makaeaeb = ea+b dan ea/eb = ea−b.
Bukti Untuk membuktikannya, pertama kita tulis
eaeb = exp(ln eaeb) persamaan (1)= exp(lnea + ln eb) Teorema sebelumnya= exp(a + b) persamaan (2)’= ea+b karena exp x = ex
Bagian kedua dibuktikan dengan cara yang hampir sama.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
47 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial AlamiTurunan dari ex
Karena exp dan ln adalah dua buah fungsi yang saling invers,maka exp x = ex dapat diturunkan.
x = ln ykita turunkan kedua sisi terhadap x . Dengan menggunakanAturan Rantai, diperoleh:
1 =1y Dx y
Dengan demikian,Dx y = y = ex
Kita telah membuktikan fakta bahwa ex adalah turunan bagidirinya sendiri; yaitu
Dx ex = ex
Dengan demikian, y = ex adalah solusi bagi persamaan diferensialy ′ = y . Jika u = f (x) dapat diturunkan, maka Aturan Rantaimenghasilkan
Dx eu = euDx u
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
48 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial AlamiTurunan dari ex
Contoh 2.3.1Dapatkan Dx e
√x
Jawab Dengan memisalkan u =√
x , kita dapatkan
Dx e√
x = e√
x Dx√
x = e√
x · 12x−1/2 = e√
x
2√
x
Contoh 2.3.2Dapatkan Dx ex2 ln x
Jawab
Dx ex2 ln x = ex2 ln x Dx (x2 ln x)
= ex2 ln x(
x2 · 1x + 2x ln x))
= xex2 ln x (1+ ln x2)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
49 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial AlamiTurunan dari ex
Contoh 2.3.3Hitung
∫e−4x dx
Jawab Misalkan u = −4x , maka du = −4 dx . Selanjutnya kitaperoleh∫
e−4x dx = −14
∫eudu = −1
4eu + C = −14e−4x + C
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
50 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial AlamiTurunan dari ex
Contoh 2.3.4Hitung
∫ 21
6e1/x
x2 dxJawab Dengan memisalkan u = 1/x , kita dapatkandu = (−1/x2)dx . Selanjutnya, u = 1 untuk x = 1 dan u = 1/2untuk x = 2. Kemudian,∫ 2
1
6e1/x
x2 dx =
∫ 1/2
1−6eudu
=
∫ 1
1/26eudu
= [6eu]11/2
= 6(e −√
e)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
51 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial AlamiLatihan 2.3
nomor 1Dengan menggunakan kalkulator, dapatkan nilai-nilai berikut:(a) e3 (b) e2,1
(c) e√2 (d) ecos(ln 4)
nomor 2Sederhanakan ekspresi berikut:(a) e3 ln x (b) e−2 ln x
(c) ln ecos x (d) ln(x3e−3x )
(e) e ln 3+2 ln x (f) e ln x2−y ln x
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
52 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial AlamiLatihan 2.3
nomor 3Dapatkan Dx y(a) y = ex+2 (b) y = e2x2−x
(c) y = e√
x+2 (d) y =√
ex2 + e√
x2
(e) y = e1/x2+ 1/ex2 (f) y = ex3 ln x
(g) exy + xy = 2 Hint: Gunakan turunan implisitnomor 4Dapatkan daerah asal fungsi f yang diberikan. Kemudiantentukan selang di mana daerah asal naik, turun, cekung ke atas,dan cekung ke bawah. Identifikasi semua nilai ekstrim dan titikbeloknya. Kemudian sketsakan grafiknya(a) f (x) = e2x (b) f (x) = ln(x2 + 1)(c) f (x) = ln(2x − 1) (d) f (x) = e1−x2
(e) f (x) =∫ x0 e−t2dt (f) f (x) =
∫ x0 te−tdt
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
53 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial AlamiLatihan 2.3
nomor 5Hitung masing-masing integral berikut:(a)
∫e3x+1dx (b)
∫xex2−3dx
(c)∫ ex
ex−1dx (d)∫ e−1/x
x2 dx(e)
∫ x+ex
e dx (f)∫(x + 3)ex2+6x dx
(g)∫ 10 e2x+3dx (h)
∫ 21
e3/x
x2 dx
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
54 Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponensial AlamiLatihan 2.3
nomor 6Dapatkan volume benda padat yang didapatkan dengan caramemutar daerah yang dibatasi kurva y = ex , y = 0, x = 0, danx = ln 3 terhadap sumbu−xnomor 7Daerah yang dibatasi oleh y = e−x2 , y = 0, x = 0, dan x = 1diputar terhadap sumbu−y . Dapatkan volume benda padat yangdihasilkan.nomor 8Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = e−x dan garisyang melalui titik (0, 1) dan (1, 1/e).nomor 9Tunjukkan bahwa f (x) = x
ex−1 − ln(1− e−x ) turun pada x > 0.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
55 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Fungsi Eksponen dan LogaritmaUmum
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
56 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
ar = exp(ln ar ) = exp(r ln a) = er ln a
Definisi 2.4.1Untuk sebarang a > 0 dan sebarang bilangan real x ,
ax = ex ln a
Selanjutnya, berdasarkan definisi di atas, kita dapatkan sifatsebagai berikut:
ln(ax ) = ln(ex ln a) = x ln a
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
57 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Sifat-Sifat ax
Teorema 2.4.1Sifat-sifat eksponenMisalkan a > 0, b > 0 dan x dan y adalah bilangan real, maka
(i) ax ay = ax+y
(ii) ax
ay = ax−y
(iii) (ax )y = axy
(iv) (ab)x = ax bx
(v)( a
b)x
= ax
bx
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
58 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Bukti(ii)
ax
ay = e ln(ax/ay ) = e ln ax−ln ay
= ex ln a−y ln a = e(x−y) ln a = ax−y
(iii) (ax )y = ey ln ax= eyx ln a = ayx = axy
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
59 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Aturan Fungsi Eksponen
Teorema 2.4.2
Dx ax = ax ln a∫ax dx =
(1ln a
)ax + C , a 6= 1
buktiDx ax = Dx (ex ln a) = ex ln aDx (x ln a) = ax ln a
Pembuktian formula integral secara langsung mengikuti dariformula turunan
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
60 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Contoh 2.4.11. Dapatkan Dx (3
√x )
2. Dapatkan dy/dx jika y = (x4 + 2)5 + 5x4+2
3. dapatkan∫2x3x2dx
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
61 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Contoh 2.4.1Jawab1. Dengan Aturan Rantai dan misalkan u =
√x ,
Dx (3√
x ) = 3√
x ln 3 · Dx√
x
=3√
x ln 32√
x
2.
dydx =
d[(x4 + 2)5 + 5x4+2
]dx
= 5(x4 + 2)4 · 4x3 + 5x4+2 ln 5 · 4x3
= 20x3[(x4 + 2)4 + 5x4+1 ln 5
]
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
62 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Contoh 2.4.1Jawab Misalkan u = x3 maka du = 3x2 dx , sehingga∫
2x3x2dx =
∫ 132
udu
=13
(1ln 2
)2u + C
=13
(1ln 2
)2x3
+ C
=2x3
3 ln 2 + C
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
63 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Fungsi loga
Definisi 2.4.2Misalkan a adalah bilangan positif selain 1. Maka
y = loga x ⇔ x = ay
Secara umum, jika logaritma tersebut memiliki basis 10, maka kitasebut sebagai logaritma biasa. Namun, dalam kalkulus maupunilmu matematika lanjut, basis signifikan yang dipakai adalah e.Perhatikan bahwa loge adalah invers dari f (x) = ex yangmerupakan bentuk lain dari ln; yaitu
loge x = ln x
Misalkan y = loga x , sehingga x = ay , maka
ln x = y ln a
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
64 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Dengan demikian, kita simpulkan bahwa
loga x =ln xln a
Dari bentuk di atas, terlihat bahwa loga memenuhi sifat-sifat yangberhubungan dengan logaritma. Akibatnya, kita peroleh
Dx loga x =1
x ln a
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
65 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
contoh 2.4.2jika y = log10(x4 + 13), dapatkan dy
dx
jawab Misalkan u = x4 + 13, maka du = 4x3 dx dan denganAturan Rantai,
dydx =
1(x4 + 13) ln 10 · 4x3 =
4x3
(x4 + 13) ln 10
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
66 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Fungsi ax , xa, dan x x Turunan dari fungsi eksponensial y = ax
dan fungsi pangkat y = xa masing- masing adalah
Dx (ax ) = ax ln a
dan
Dx (xa) = Dx (e ln xa) = ea ln x · a
x = xa · ax = axa−1
Formula di atas berlaku untuk a rasional maupun irasional. Aturanintegral pun berlaku untuk a irasional, yaitu∫
xadx =xa+1
a + 1 + C , a 6= −1
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
67 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
contoh 2.4.3Jika y = x x , x > 0, dapatkan Dx y dengan dua metode yangberbeda.
jawab Metode 1 Pertama, kita tulis
y = x x = ex ln x
Dengan Aturan Rantai dan Aturan Perkalian,
Dx y = ex ln x Dx (x ln x) = x x(
x · 1x + ln x)
= x x (1+ ln x)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
68 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Metode 2 Ingat kembali teknik turunan logaritma pada subbabsebelumnya.
y = x x
ln y = x ln x1y Dx y = x · 1x + ln x
Dx y = y(1+ ln x) = x x (1+ ln x)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
69 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
contoh 2.4.4Jika y = (x2 + 1)π + πsin x , dapatkan dy/dx .
jawab Dengan menggunakan turunan logaritma, kita dapatkan
dydx = π(x2 + 1)π−1(2x) + πsin x lnπ · cos x
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
70 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
contoh 2.4.5Hitung
∫ 11/2
51/x
x2 dx
jawab Misalkan u = 1/x , sehingga du = (−1/x2) dx . u = 2untuk x = 1/2 dan u = 1 untuk x = 1. Dengan demikian,∫ 1
1/2
51/x
x2 dx =
∫ 1
2−5udu
=
∫ 2
15udu
=
[5u
ln 5
]21
=52ln 5 −
5ln 5
=20ln 5
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
71 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Latihan 2.4.nomor 1 Dapatkan nilai x . Hint: loga b = c ⇔ ac = b1. log2 8 = x2. logx 64 = 43. 2 log9 x
3 = 14. log4 1
2x = 35. log2(x + 3)− log2 x = 26. log5(x + 3)− log5 x = 1
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
72 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Latihan 2.4.nomor 2 Dapatkan turunan atau integral dari1. Dx (62x )
2. Dx (32x2−3x )
3. Dx log3 ex
4. Dx log1 0(x3 + 9)5. Dz [3z ln(z + 5)]6.∫
x2x2dx7.∫105x−1dx
8.∫ 41
5√
x√
x dx
9.∫ 10 (10
3x + 10−3x )dx
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
73 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Latihan 2.4.nomor 3 Dapatkan dy/dx1. y = 10(x2) + (x2)10
2. y = sin2 x + 2sin x
3. y = xπ+1 + (π + q)x
4. y = (x2 + 1)ln x
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
74 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum
Latihan 2.4.nomor 3 Dapatkan daerah asal dari setiap fungsi f yangdiberikan, kemudian cari selang naik, turun, cekung atas, dancekung bawah. Identifikasi juga nilai-nilai ekstrim dan titikbeloknya. Selanjutnya sketsakan grafik y = f (x)1. f (x) = 2−x
2. f (x) = log2(x2 + 1)3. f (x) =
∫ x1 2−t2dt
4. f (x) =∫ x0 log10(t2 + 1) dt
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
75 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Pertumbuhan dan PeluruhanEksponen
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
76 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Dalam bentuk limit, kita dapatkan bentuk persamaan diferensial
dydx = ky
Jika k > 0, maka populasi akan naik. Jika k < 0, maka populasiakan turun. Untuk populasi dunia, sejarah mengindikasikan nilai ksekitar 0,0132(dengan mengasumsikan t yang diukur dalam tahun)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
77 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Menyelesaikan Persamaan Diferensial
dyy = k dt∫ dyy =
∫k dt
ln y = kt + C
Syarat y = y0 pada saat t = 0 memberikan C = ln y0. Dengandemikian,
ln y − ln y0 = kt ⇔ yy0
= ekt
atauy = y0ekt (1)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
78 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Saat k > 0, tipe persamaan disebut pertumbuhan eksponensial,dan saat k < 0, disebut sebagai peluruhan eksponensial.Kembali ke permasalahan populasi dunia, kita coba untukmenghitung t sebagai waktu dalam satuan tahun setelah 1 Januari2004, dan y dalam satuan miliar orang. Dengan demikian,y0 = 6, 4 dan kita pilih k = 0, 0132, maka
y = 6, 4e0,0132t
Menjelang tahun 2020, saat t = 16, kita bisa memprediksikanbahwa y akan sekitar
y = 6, 4e0,0132(16) ≈ 7, 9 miliar orang
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
79 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Contoh 2.5.1Berdasarkan asumsi di atas, berapa lama jumlah populasi duniamenjadi dua kali dari jumlah sekarang?
JawabPertanyaan tersebut ekivalen dengan menanyakan "dalamberapa tahun setelah 2004, populasi akan mencapai 12,8 miliar?"Dengan demikian, kita perlu menyelesaikan
12, 8 = 6, 4e0,0132t
2 = e0,0132t
ln 2 = 0, 0132t
t =ln 2
0, 0132 ≈ 53 tahun
Jika populasi dunia akan menjadi dua kali lipat pada 53 tahunpertama setelah 2004
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
80 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Peluruhan RadioakifDalam berbagai kasus, tidak semuanya mengalami pertumbuhan.Namun, ada beberapa yang mengalami penurunan ataupengurangan sehingga jumlahnya menjadi lebih kecil dari jumlahawal. Sebagai contoh, elemen radioktif mengalami peluruhandengan laju yang sebanding dengan jumlah saat ini. Dengandemikian, laju perubahannya juga memenuhi persamaan diferensial
dydx = ky
tetapi dengan nilai k negatif dan y = y0ekt tetap menjadi solusibagi persamaan diferensial tersebut
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
81 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Contoh 2.5.2Carbon 14 bersifat radioaktif dan meluruh pada sebuah laju yangsebanding dengan jumlah awalnya. Waktu paruhnya adalah 5730tahun, yakni, ia membutuhkan 5730 tahun untuk meluruhsetengah dari jumlah aslinya. Jika saat ini terdapat 10 gramCarbon, berapakah massanya setelah 2000 tahun?
JawabKarena waktu paruh Carbon 14 adalah 5730 tahun, makakita dapat menentukan nilai k dari
12 = 1ek(5730)
− ln 2 = 5730k
k =− ln 25730 ≈ 0, 000121
y = 10e0,000121t
Pada t = 2000, kita dapatkany = 10e0,000121(2000) ≈ 7, 85 gram
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
82 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Hukum Pendinginan NewtonHukum Pendinginan Newton menyatakan bahwa laju perubahanpada sebuah benda yang mendingin atau memanas sebandingdengan selisih antara suhu benda tersebut dengan suhulingkungan. Lebih khusus, misalkan sebuah benda yangditempatkan di dalam sebuah ruang bersuhu T memiliki suhu awalT0. Jika T (t) menotasikan suhu benda pada waktu t, makaHukum Pendinginan Newton menyatakan
dTdt k(T − T1)
Persamaan diferensial ini bisa diselesaikan dengan pemisahanvariabel sebagaimana masalah pertumbuhan dan peluruhan padasubbab ini.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
83 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Contoh 2.5.3Sebuah benda diambil dari oven pada suhu 3500F kemudianditinggalkan agar mendingin pada suatu ruang yang bersuhu 700F .Jika suhu benda tersebut turun menjadi 2500F dalam waktu satujam, menjadi berapakah suhunya pada tiga jam berikutnya?
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
84 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Lanjutan Contoh 2.5.3
JawabKita bisa menulis persamaan diferensial sebagai
dTdt = k(T − 70)
dTT − 70 = k dt∫ dTT − 70 =
∫kdt
ln |T − 70| = kt + C
Karena suhu awalnya lebih besar dari 70, maka cukup masuk akaljika benda tersebut akan mendingin hingga suhunya mencapai 70,dengan demikian T − 70 akan bernilai positif dan nilai mutlaknyatidak dibutuhkan. Akibatnya
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
85 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Lanjutan Contoh 2.5.3
Jawab
T − 70 = ekt+C
T = 70+ C1ekt
dengan C1 = eC . Sekarang kita substitusikan nilai T (0) = 350untuk mendapatkan C1:
350 = T (0) = 70+ C1ek·0
280 = C1
Dengan demikian, solusi dari persamaan diferensial adalah
T (t) = 70+ 280ekt
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
86 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Lanjutan Contoh 2.5.3
Jawab Untuk mendapatkan k kita masukkan syarat batas bahwapada waktu t = 1, benda tersebut bersuhu T (1) = 250.
250 = T (1) = 70+ 280ek·1
280ek = 180ek =
180280
k = ln 180280 ≈ −0, 44183
Akibatnya, kita peroleh solusi
T (t) = 70+ 280e−0,44183t
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
87 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Bunga MajemukJika kita menabung di bank Rp 100 juta dengan suku bungamajemuk bulanan 12%, maka tabungan tersebut akan bernilaiRp 100(1, 01) juta pada akhir bulan pertama, Rp 100(1, 01)2 jutapada akhir bulan kedua, dan setelah satu tahun atau pada akhirbulan keduabelas besarnya tabungan adalah Rp 100(1, 01)12 juta.Secara umum, jika kita menabung sebesar A0 rupiah di bankdengan suku bunga majemuk 100r persen selama n tahun, makatabungan tersebut akan bernilai A(t) rupiah pada akhir tahun ke tdengan
A(t) = A0
(1+ r
n
)nt
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
88 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Contoh 2.5.4Misalkan Karina menabung di bank sebesar Rp 500 juta dengansuku bunga majemuk harian 4%. Berapakah uang Karina setelahakhir tahun ketiga?
Jawab Dalam kasus ini, r = 0, 04 dan n = 365, sehingga
A = 500(1+ 0, 04
365
)365(3)≈ Rp 563, 74 juta.
Sekarang, perhatikan apa yang terjadi apabila suku bunganyaterhitung secara kontinu, yakni saat n, banyaknya periode yangterhitung dalam satu tahun, menuju tak hingga. Maka,
A(t) = limn→∞
A0
(1+ r
n
)nt= A0 lim
n→∞
[(1+ r
n
)n/r]rt
= A0
[limh→0
(1+ h)1/h]rt
= A0ert
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
89 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Lanjutan Contoh 2.5.4
Jawab Di sini kita mengganti r/n dengan h dan perhatikan bahwan→∞ bersesuaian dengan h→ 0. Namun, langkah besarnyaadalah memahami bahwa pernyataan yang ada di dalam kurungadalah bilangan e. Hasil ini cukup penting dan karenanya disebutdalam sebuah teorema sebagai berikut
Teorema 2.5.1
limh→0
(1+ h)1/h = e
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
90 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Teorema 2.5.1
Bukti Pertama ingat kembali bahwa jika f (x) = ln x , makaf ′(x) = 1/x dan f ′(1) = 1. Kemudian, berdasarkan definisiturunan dan sifat-sifat dari ln, kita dapatkan
1 = f ′(x) = limh→0
f (1+ h)− f (1)h = lim
h→0
ln(1+ h)− ln 1h
= limh→0
1h ln(1+ h) = lim
h→0ln(1+ h)1/h
Dengan demikian, limh→0 ln(1+ h)1/h = 1, sebuah hasil yang akankita gunankan nanti. Sekarang, g(x) = ex = exp x adalah sebuahfungsi yang kontinu dan oleh karenanya ia dapat mencapai limitpada fungsi eksponensial dalam argumen berikut:
limh→0
(1+ h)1/h = limh→0
exp[ln(1+ h)1/h] = exp[limh→0
ln(1+ h)1/h]
= exp 1 = e�
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
91 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
contoh 2.5.5Misalkan bank pada contoh 2.5.4 memberlakukan suku bungamajemuk kontinu, Berapa banyak uang Karin yang akan diterimasetelah akhir tahun ketiga?
Jawab
A(t) = A0ert = 500.000.000e(0,04)(3) ≈ Rp 563.750.000
�
cara lain untuk menghitung pembayaran suku bunga majemukyang dibayarkan secara kontinu. Misalkan A adalah besarnyamodal pada waktu t dari A0 rupiah yang diinvestasikan dengansuku bunga r , dengan mengatakan bahwa laju perubahan Aterhadap waktu adalah rA, dengan demikian,
dAdt = rA
Persamaan diferensial ini mempunyai solusi A = A0ert .
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
92 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Latihan 2.5Pada soal nomor 1 sampai 4, selesaikan persamaan diferensialdengan syarat batas yang diberikan. Perhatikan bahwa y(a)menotasikan nilai dari y pada saat t = a.
1. dydt = −6y , y(0) = 4
2. dydt = 0, 005y , y(10) = 2
3. dydt = 0, 003y , y(−2) = 3
4. dydt = 6y , y(0) = 1
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
93 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Latihan 2.5
nomor 5a. Populasi awal bakteri sebanyak 10.000 dan setelah
inkubasi selama 10 hari menjadi 20.000. Berapakahbanyaknya bakteri dalam populasi tersebut setelah25 hari?
b. Berapa waktu inkubasi yang dibutuhkan agarpopulasi tersebut menjadi dua kali lipat dan tigakali lipat?
nomor 6Massa sebuah tumor tumbuh dengan laju yang sebanding denganukurannya. Saat pertama kali diukur, massanya 4 gram. Empatbulan kemudian massanya menjadi 6,76 gram. Berapa besar tumortersebut saat enam bulan sebelum pertema kali diukur?
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
94 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Latihan 2.5
nomor 7Cesium 137 dan strontonium 90 merupakan dua bahan kimia yangbesifat radioaktif dan dilepas pada reaktor nuklir Chernobyl padabulan April 1986. Waktu paruh cesium 137 adalah 30,22 tahundan waktu paruh strontonium 90 adalah 28,8 tahun. Pada tahunberapakah masing-masing Cesium dan Strontonium menjadi 1%dari pertama kali dilepaskan?nomor 8Seseorang yang telah meninggal ditemukan pada 10 P.M. Saat itubersuhu 820F . Satu jam berikutnya, suhunya menjadi 760F .Ruangan bersuhu konstan 700F . Apabila tubuh orang tersebutsaat masih hidup bersuhu 98, 60F , perkirakan berapa lama orangtersebut telah meninggal?
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
95 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Latihan 2.5
nomor 9Selesaikan persamaan diferensial Hukum Pendinginan Newtonuntuk sebarang T0,T1, dan k dengan mengasumsikan bahwaT0 > T1. Tunjukan bahwa limt→∞ T (t) = T1nomor 10Jika $375 ditabung di bank hari ini, menjadi berapakah tabungantersebut pada akhir tahun kedua jika suku bunganya 3, 5%dibayarkan:
a. setiap setahun sekalib. setiap sebulan sekalic. setiap harid. kontinu
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
96 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
Latihan 2.5
nomor 11Diberikan persamaan untuk pertumbuhan logistik sebagai berikut:
dydx = ky(L− y).
Tunjukkan bahwa persamaan diferensial ini memiliki solusi
y =Ly0
y0 + (L− y0)e−Lkt
Hint: 1y(L−y) =
1Ly + 1
L(L−y) .
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
97 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Fungsi Invers Trigonometri danTurunannya
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
98 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
kita akan memperkenalkan notasi invers untuk fungsi-fungsitrigonometri dengan cara membatasi domain (restricting domain)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
99 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Invers Sinus dan CosinusGrafik dari invers fungsi sinus dan cosinus didapatkan dengan caramencerminkan terhadap garis y = x . Namun, sebelumnya kitaperlu menentukan domain mana yang berlaku agar masing-masingfungsi sinus dan cosinus memiliki invers. Pada sinus pembatasandomain dilakukan pada [−π2 ,
π2 ] sedangkan pembatasan domain
untuk cosinus dilakukan pada [0, π]
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
100 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Definisi 2.6.1Secara formal, invers dari sinus dan cosinus dituangkan dalamdefinisi berikutBatasan domain dari masing-masing invers fungsi sinus dancosinus adalah [−π/2, π/2] dan [0, π], sedemikian sehingga
x = sin−1 y ⇔ y = sin x ,−π2 ≤ x ≤ π
2x = cos−1 y ⇔ y = cos x , 0 ≤ x ≤ π
Simbol arcsin seringkali digunakan untuk sin−1 dan arccosseringkali digunakan untuk cos−1. x = arcsin y bermakna"besarnya busur atau sudut (arc or angle) x sehingga sinus dari xbernilai y".
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
101 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Contoh 2.6.1Hitung
(a) sin−1(√2/2)
(b) cos−1(− 1
2)
(c) cos(cos−1 0, 6)(d) sin−1(sin 3π/2)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
102 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Contoh 2.6.1
Jawab(a) sin−1(
√2/2) = π
4(b) cos−1
(− 1
2)= 2π
3(c) cos(cos−1 0, 6) = 0, 6(d) Perhatikan bahwa daerah asal (domain) dari sin−1 y
adalah [−π/2, π/2]. Akibatnya,sin−1(sin 3π/2) = sin−1(−1) = −π/2
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
103 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Invers Tangent dan Secant
Definisi 2.6.2Untuk mendapatkan invers untuk tangent dan secant, kita batasidomain untuk invers tangen pada (−π/2, π/2), sedangkanbatasan domain untuk invers secant adalah [0, π/2) ∪ (π/2, π],sedemikian sehingga
x = tan−1 y ⇔ y = tan x ,−π2 ≤ x ≤ π
2x = sec−1 y ⇔ y = sec x , 0 ≤ x ≤ π, x 6= π
2
Untuk memudahkan kita mengingat formula invers secant,perhatikan bahwa sec x = 1/ cos x , sehingga bisa kita dapatkanbahwa
sec−1 y = cos−1(1/y).
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
104 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Beberapa Identitas Trigonometri
Teorema 2.6.1(i) sin(cos−1 x) =
√1− x2
(ii) cos(sin−1 x) =√1− x2
(iii) sec(tan−1 x) =√1+ x2
(iv) tan(sec−1 x) ={ √
x2 − 1, untuk x ≥ 1;−√
x2 − 1, untuk x ≤ −1.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
105 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Contoh 2.6.2Dengan menggunakan formula sudut ganda pada sinus,sin 2θ = 2 sin θ cos θ, kita bisa menghitung sin
[2 cos−1
( 23)]
sebagai berikut:
jawab
sin[2 cos−1
(23
)]= 2 sin
[cos−1
(23
)]cos[cos−1
(23
)]
= 2 ·
√1−
(23
)2· 23 =
4√5
9
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
106 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Turunan Fungsi Invers TrigonometriPada Matematika Dasar I, kita telah belajar turunan dari keenamfungsi trigonometri, yaitu
Dx sin x = cos x Dx cos x = − sin xDx tan x = sec2 x Dx cot x = − csc2 xDx sec x = sec x tan x Dx csc x = − csc x cot x
Sekarang, kita bisa mengkombinasikan dengan aturan rantai.Misalkan u = f (x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka
Dx sin u = cos u · Dx u
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
107 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Berdasarkan Theorema Fungsi Invers, kita dapat menarikkesimpulan bahwa sin−1, cos−1, tan−1, dan sec−1 adalahfungsi-fungsi yang dapat diturunkan. Tujuan kita adalah untukmendapatkan formula untuk turunan fungsi-fungsi tersebut.Turunan dari keempat fungsi invers trigonometri disajikan dalamTeorema berikut.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
108 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Teorema 2.6.2Turunan dari Empat Fungsi Invers Trigonometri
(i) Dx sin−1 x = 1√1−x2
− 1 < x < 1
(ii) Dx cos−1 x = − 1√1−x2
− 1 < x < 1
(iii) Dx tan−1 x = 11+x2
(iv) Dx sec−1 x = 1|x |√
x2−1|x | > 1
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
109 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
contoh 2.6.3Dapatkan Dx sin−1(3x − 1).
jawab Kita gunakan Teorema 2.6.2 dan aturan rantai.
Dx sin−1(3x − 1) =1√
1− (3x − 1)2Dx (3x − 1)
=3√
−9x2 + 6x
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
110 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
lanjutan contoh 2.6.3
Setiap formula turunan akan mengantarkan kita ke sebuah formulaintegral. Secara khusus,1.∫ 1√
1−x2dx = sin−1 x + C
2.∫ 1
1+x2 dx = tan−1 x + C3.∫ 1
x√
x2−1dx = sec−1 |x |+ C
Formula-formula ini bisa diperluas sebagai berikut:1’.∫ 1√
a2−x2dx = sin−1
( xa)+ C
2’.∫ 1
a2+x2 dx = 1a tan
−1 ( xa)+ C
3’.∫ 1
x√
x2−a2dx = 1
a sec−1(|x |a
)+ C
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
111 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
contoh 2.6.4Hitung
∫ 10
ex
4+9e2x dx .
jawab Misalkan a = 2 dan u = 3ex sehingga du = 3ex dx . Untukx = 0, u = 3, sedangkan untuk x = 1, u = 3e. Akibatnya,∫ 1
0
ex
4+ 9e2x dx =13
∫ 3e
3
14+ u2 du
=13 ·
12
[tan−1
(u2
)]3e
3
=16
(tan−1
(3e2
)− tan−1
(32
))
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
112 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
contoh 2.6.5Seseorang berdiri di atas tebing setinggi 200 meter di atas sebuahdanau. Dia melihat sebuah perahu motor yang bergerak menjauhikaki tebing dengan kelajuan 25 meter perdetik. Berapa cepatkahperubahan sudut depresi terhadap penglihatan orang tersebut saatperahu motor tersebut berada di 150 meter dari kaki tebing?
jawab Perhatikan bahwa θ, sudut depresi diberikan oleh
θ = tan−1(200x
)Dengan demikian,
dθdt =
11+ (200/x)2 ·
−200x2 · dx
dt =−200
x2 + 40.000 ·dxdt
Saat x = 150 dan dx/dt = 25, maka kita dapatkandθ/dt = −0, 08 radian perdetik.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
113 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Memanipulasi IntegranSebelum melakukan substitusi untuk menyelesaikan integral, adabaiknya kita ubah terlebih dahulu integran dalam bentuk yangsesuai. Integral fungsi rasional dengan penyebut yang berbentukpolinomial kuadrat biasanya dapt kita ubah dalam bentukmelengkapkan kuadrat sempurna. Ingat kembali, bahwa x2 + bxmenjadi bentuk kuadrat sempurna dengan menambahkan (b/2)2.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
114 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
contoh 2.6.5Hitung
∫ 1x2−6x+13dx
jawab ∫ 1x2 − 6x + 13dx =
∫ 1(x − 3)2 + 4dx
=12 tan−1
(x − 32
)+ C
Dalam hal ini, kita misalkan u = x − 3.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
115 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Latihan 2.61. Dapatkan nilai eksaknya tanpa menggunakan kalkulator
a. arccos(√
22
)b. arcsin
(− 1
2)
c. arctan(√
3)
2. Dapatkan dy/dx dari:a. y = ln(2+ sin x)b. y = etan x
c. y = sin(
1x2+4
)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
116 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Latihan 2.6nomor 3Dapatkan integral dari:
a.∫cos 3x dx
b.∫sin 2x cos 2x dx
c.∫ 10 e2x cos(e2x ) dx
d.∫ ex
1+e2x dxe.∫ 1
2x2+8x+25 dxf.∫ x+1√
4−9x2dx
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
117 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya
Latihan 2.6nomor 4Dengan menggunakan formula sudut ganda
tan(x + y) = (tan x + tan y)/(1− tan x tan y)
tunjukkan bahwa
π
4 = 3 tan−1(14
)+ tan−1
(599
)nomor 5Seorang pengamat mengamati Sebuah pesawat yang terbang padaketinggian yang tetap yaitu 2 mil dan kecepatan tetap 600 milperjam pada sebuah garis lurus. Berapa cepat peningkatan sudutelevasi dari garis penglihatan pengamat saat jarak dari pengamatdan pesawat sejauh 3 mil? Tuliskan hasil Anda dalam radianpermenit
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
118 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
119 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Definisi 2.7.1sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, dan keempat hubunganlainnya didefinisikan sebagai berikut:
sinh x = ex−e−x
2 cosh x = ex+e−x
2tanh x = sinh x
cosh x coth x = cosh xsinh x
sech x = 1cosh x csch x = 1
sinh x
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
120 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Dari definisi fungsi hiperbolik, kita bisa menarik beberapa sifatsebagai berikut (buktikan):1. cosh2 x − sinh2 x = 1;2. Persamaan parametrik x = cosh t dan y = sinh t
mendeskripsikan hyperbola satuan x2 − y2 = 1;3. fungsi sinus hiperbolik adalah fungsi ganjil,
sinh(−x) = − sinh x , sedangkan fungsi cosinus hiperbolikadalah fungsi genap, cosh(−x) = cosh x ;
4. tanh adalah fungsi ganjil, dan sech adalah fungsi genap.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
121 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Teorema 2.7.1Dx sinh x = cosh x Dx cosh x = sinh xDx tanh x = sech2 x Dx coth x = −csch2 xDx sech x = −sech x tanh x Dx csch x = −csch x coth x
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
122 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Contoh 2.7.1Dapatkan Dx tanh(sin x)
Jawab
Dx tanh(sin x) = sech2(sin x)Dx (sin x)= cos x · sech2(sin x)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
123 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Contoh 2.7.2Dapatkan
∫tanh(3x − 1)dx
JawabMisalkan u = cosh(3x − 1), maka du = 3 sinh(3x − 1)dx , sehingga∫
tanh(3x − 1)dx =
∫ sinh(3x − 1)cosh(3x − 1)dx =
13
∫ 1u du
=13 ln |u|+ C =
13 ln | cosh(3x − 1)|+ C
= ln(cosh(3x − 1)) + C .
Kita dapat menghilangkan tanda mutlaknya karenacosh(3x − 1) > 0.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
124 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Invers Fungsi HiperbolikKarena sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik masing-masingmemiliki turunan yang positif, maka mereka adalah fungsi naikdan secara langsung memiliki invers. Untuk mendapatkan inversdari cosinus hiperbolik dan secant hiperbolik, kita perlu membatasidomainnya pada x ≥ 0.
x = sinh−1 y ⇔ y = sinh xx = cosh−1 y ⇔ y = cosh x dan x ≥ 0x = tanh−1 y ⇔ y = tanh xx = sech−1 y ⇔ y = sech x dan x ≥ 0.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
125 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Invers Fungsi HiperbolikKarena fungsi hiperbolik didefinisikan dalam ex dan e−x , makainvers dari fungsi hiperbolik juga dituliskan dalam logaritma alami.Misalkan y = cosh x untuk x ≥ 0. Kita bisa menuliskannya sebagai
y =ex + e−x
2 , x ≥ 0
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
126 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Tujuan kita adalah mendapatkan fungsi bagi x , yang akanmembawa kita pada cosh−1 y . Dengan mengalikan kedua sisi oleh2ex , kita dapatkan 2yex = e2x + 1, atau
(ex )2 − 2yex + 1 = 0, x ≥ 0
Selanjutnya dapat kita tulis,
ex =2y +
√(2y)2 − 42 = y +
√y2 − 1
Akibatnya,x = ln
(y +
√y2 − 1
).
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
127 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Dengan argumen yang tidak jauh berbeda, kita dapatkan inversfungsi hiperbolik sebagai berikut:
sinh−1 x = ln(
x +√
x2 + 1)
cosh−1 x = ln(
x +√
x2 − 1), x ≥ 1
tanh−1 x =12 ln 1+ x
1− x , −1 < x < 1
sech−1 x = ln(1+√1− x2
x
), 0 < x ≤ 1
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
128 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Turunan Invers Fungsi Hiperbolik
Dx sinh−1 x =1√
x2 + 1
Dx cosh−1 x =1√
x2 − 1, x > 1
Dx tanh−1 x =1
1− x2 , −1 < x < 1
Dx sech−1 x =−1
x√1− x2
, 0 < x < 1
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
129 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Contoh 2.7.3Buktikan Dx sinh−1 x dengan dua cara
Jawab Cara 1Misalkan y = sinh(−1)x , maka x = sinh y . Selanjutnya kita cariturunan kedua sisi terhadap x, yaitu
1 = (cosh y)Dx y
Dengan demikian,
Dx y = Dx (sinh−1 x) = 1cosh y =
1√1+ sinh2 y
=1
1+ x2
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
130 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Contoh 2.7.3
Cara 2Menggunakan bentuk logaritma untuk sinh−1 x .
Dx (sinh−1 x) = Dx ln(
x +√
x2 + 1)
=1
x +√
x2 + 1Dx
(x +
√x2 + 1
)=
1x +√
x2 + 1
(1+ x√
x2 + 1
)=
1√x2 + 1
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
131 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Contoh 2.7.4Dapatkan panjang dari kurva y = a cosh(x/a) antara x = −a danx = a.
Jawab Dengan menggunakan rumus mencari panjang kurva, kitadapatkan
∫ a
−a
√1+
(dydx
)2dx =
∫ a
−a
√1+ sinh2
(xa
)dx = 2a sinh 1.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
132 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Latihan 2.7nomor 1Periksa identitas berikut
a. e2x = cosh 2x + sinh 2xb. sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh yc. tanh(x − y) = tanh x+tanh y
1−tanh x tanh ynomor 2Dapatkan Dx y
a. y = 5 sinh2 xb. y = x−2 sinh xc. y = cosh−1(cos x)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
133 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Hiperbolik dan Inversnya
Latihan 2.7nomor 3Dapatkan integral berikut
a.∫sinh(3x + 7)dx
b.∫tanh x ln(cosh x)dx
c.∫
x coth x2 ln(sinh x2)dxnomor 4
a. Dapatkan luas daerah yang dibatasi olehy = cosh 2x , y = 0, x = − ln 5, dan x = ln 5
b. Daerah yang dibatsi oleh y = sinh x , y = 0, x = 0dan x = ln 10 diputar terhadap sumbu−x .Dapatkan volume yang dihasilkan
c. Kurva y = cosh x , 0 ≤ x ≤ 1 diputar terhadapsumbu−x . Dapatkan luas permukaan yangdihasilkan
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
134 Fungsi Hiperbolik danInversnya
Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Transenden
TERIMA KASIH
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
135 Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Transenden
Post Test Materi 2.1., 2.2., 2.3.
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
136 Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Transenden
nomor 1.Carilah turunan fungsi ln berikut dengan mengasumsikan dalamsetiap fungsi bahwa x dibatasi sehingga fungsi ln terdefinisidydx jika y = ln(x +
√x2 + 1)
nomor 2.Tuliskan ekspresi berikut sebagai logaritma besaran tunggalln(x − 2)− ln(x + 2) + 2 ln xnomor 3.Carilah integral berikut∫ x2−x
x+1 dxnomor 4.Carilah dy
dx dengan menggunakan diferensiasi logaritmiky = (x2 + 3x)(x − 2)(x2 + 1)
137
Kalkulus II
Tim Dosen Kalkulus II
Pendahuluan
Fungsi LogaritmaAlami
Fungsi Invers danTurunannya
Fungsi EksponensialAlami
Fungsi Eksponen danLogaritma Umum
Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen
Fungsi InversTrigonometri danTurunannya
Fungsi Hiperbolik danInversnya
137 Post Test I
Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika
ITKBalikpapan
Fungsi Transenden
nomor 5.Carilah rumus untuk f −1(x)f (x) = x−1
x+1nomor 6Batasi daerah asal f , agar f memiliki invers, tetapi tetapmempertahankan daerah hasil seluas mungkin.f (x) = x2 − 3x + 1nomor 7Dapatkan Dx yy = e2x2−x
nomor 8Hitung integral berikut:∫
e3x+1dx