Post on 16-Oct-2021
KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA BERBENTUK
OPTIMASI GRAPH
SKRIPSI
GLORIA CYNTHIA SIMANJUNTAK
130823007
PROGRAM STUDI MATEMATIKA EKSTENSI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA BERBENTUK
OPTIMASI GRAPH
SKRIPSI
Diajukan Untuk Melengkapi Tugas Dan Memenuhi Syarat Mencapai Gelar
Sarjana Sains
GLORIA CYNTHIA SIMANJUNTAK
130823007
PROGRAM STUDI MATEMATIKA EKSTENSI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2017
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA
BERBENTUK OPTIMASI GRAPH
Kategori : SKRIPSI
Nama : GLORIA CYNTHIA SIMANJUNTAK
Nomor Induk Mahasiswa : 130823007
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Medan, Desember 2017
Komisi Pembimbing
Pebimbing
Dr. Mardiningsih, M. Si
NIP. 19630405 198811 2 001
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Dr. Suyanto, M. Kom
NIP 19590813 198601 1 002
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERNYATAAN
KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA BERBENTUK OPTIMASI GRAPH
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Desember 2017
GLORIA CYNTHIA SIMANJUNTAK
130823007
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis hanturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa Atas rahmat dan
karuniaNya sehingga dengan kemampuan yang terbatas penulis dapat menyelesaikan
penulisan tugas akhir ini.
Tugas akhir ini dibuat dan diajukan sebagai salah satu syarat untuk menempuh
ujian sarjana matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara.
Penulis menyadari sepenuhnya keterbatasan ilmu pengetahuan dan kemampuan
penulis, sehingga tugas akhir ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu, segala saran dan
kritik dari pembaca tugas akhir ini sangat penulis harapkan demi kesempurnaan tugas
akhir ini.
Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis telah banyak dibantu oleh berbagai
pihak dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Ketua
dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU
2. Ibu Dr. Mardiningsih, M. Si, selaku dosen pembimbing yang telah menyediakan
tenaga, pikiran dan waktunya untuk mengarahkan penulis dalam penyusunan
skripsi ini.
3. Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M. Si dan Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M. Si
selaku dosen penguji saya.
4. Rekan-rekan mahasiswa jurusan Matematika khususnya angkatan 2013 yang telah
memberi banyak masukan bagi penulis terkhusus untuk Siska dan Fadhlina.
5. Teman teman SMA Ruth Stephani dan Theresia Sihiteyang banyak memberi
semangat dan dorongan bagi penulis selama pengerjaan tulisan ini.
6. Ayahanda G Simanjuntak dan ibunda B. Simamora yang memberi segala bantuan,
dorongan dan semangat kepada saya.
Kiranya Tuhan Yang Maha Kuasa melimpahkan rahmat dan kasihnya atas segala jerih
payah, bantuan serta pengorbanan yang telah diberikan oleh semua pihak dalam
membantu penulisan selama ini.
Medan, Desember 2017
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Penulis
GLORIA CYNTHIA
SIMANJUNTAK
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ABSTRAK
Graph secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yang memuat informasi
tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Teori graph sudah dapat diselesaikan
menggunakan beberapa algoritma, seperti masalah Spanning Tree dapat diselesaikan
menggunakan algoritma Kruskal dan Prim. Penyelesaikan masalah pada teori graph
bisa menggunakan model matematika, khususnya model optimasi seperti program
linier, non linier, integer. Untuk model spanning tree bentuk pemogramannya Linier
Biner, Pewarnaan Graph bentuk pemogramannya Non Linier Biner, Bilangan Stabil
pada Graph bentuk pemogramannya Non Liner Biner, Hub bentuk pemogramannya
Linier Integer.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ABSTRACT
Graph can be roughly interpreted as a diagram that contains certain information if
interpreted appropriately. Graph theory can be solved using several algorithms, such as
Spanning Tree problem can be solved using Kruskal and Prim algorithm. Problem
solving on graph theory can use mathematical model, especially optimization model
like linear program, non linear, integer. For model spanning tree form pemogramming
Linear Biner, Graph Colouring form pemogramming Non Linear Biner, Stable Number
on Graph form pemogramming Non Liner Biner, Hub form pemogramming linear
Integer.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN ...........................................................................................................
i
PERNYATAAN ............................................................................................................
ii
PENGHARGAAN ........................................................................................................
iii
ABSTRAK .....................................................................................................................
iv
ABSTRACT ...................................................................................................................
v
DAFTAR ISI ..................................................................................................................
vi
DAFTAR GAMBAR ....................................................................................................
viii
BAB 1. . PENDAHULUAN ..........................................................................................
1
1.1. Latar Belakang .......................................................................................
1
1.2. Perumusan Masalah ................................................................................
2
1.3. Batasam Masalah .....................................................................................
2
1.4. Tujuan Penelitian .....................................................................................
2
1.5. Manfaat Penelitian .................................................................................
2
1.6. Metodologi Penelitian .............................................................................
3
BAB 2. LANDASAN TEORI ....................................................................................
4
2.1. Konsep Dasar Graph ..............................................................................
4
2.2. Tree .........................................................................................................
12
2.3. Degree Costrained Minimum Spanning Tree .........................................
17
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
2.4. Pewarnaan Graph ...................................................................................
20
2.5. Bilangan Stabil Pada Graph ...................................................................
21
2.6. Hub .........................................................................................................
22
2.7. Optimasi .................................................................................................
27
BAB 3. PEMBAHASAN ............................................................................................
34
3.1. Model Matematika Dari Masalah Minimal Spanning Tree Berbentuk
Pemograman Linier Biner ......................................................................
34
3.2. Model Matematika Masalah Pewarnaan Graph .....................................
37
3.3. Model Matematika Masalah Bilangan Stanil Pada Graph .....................
38
3.4. Model Matematika Masalah Hub ...........................................................
39
BAB 4. KESIMPULAN DAN SARAN .....................................................................
43
4.1. Kesimpulan .............................................................................................
43
4.2. Saran .......................................................................................................
43
BAB 5. DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................
44
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Graph .........................................................................................................
4
Gambar 2.2. Graph Berbobot .........................................................................................
5
Gambar 2.3. (a) Graph Lengkap dan (b) Graph Sederhana ............................................
5
Gambar 1. Verteks Ujung dan Verteks Terisolasi ..........................................................
6
Gambar 2.5 (5,8) Graph .................................................................................................
8
Gambar 2.6 (G) Graph dan (T) Subgraph ......................................................................
9
Gambar 2.7. Graph Terhubung dan (b) Graph Tak Berhubung .....................................
10
Gambar 2.8 Bridge .........................................................................................................
11
Gambar 2.9 Tree .............................................................................................................
12
Gambar 2 Spanning Tree dari G .....................................................................................
15
Gambar 3.1. Graf Berbobot dan Pohon Perentang Minimum ........................................
35
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 1
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Graph secara kasar dapat diartikan sebagai suatu diagram yang memuat informasi
tertentu jika di interpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari – hari graph
digunakan untuk menggambar berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya
adalah sebagai visualisasi objek – objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa
contoh graph yang dijumpai dalam kehidupan nyata, antara lain struktur organisasi,
bagan alur pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik, dll.
Dalam berbagai situasi kehidupan kita, banyak diantaranya yang dapat kita
presentasikan secara grafik yang terdiri atas titik-titik dan garis-garis yang menghu-
bungkan titik-titik tersebut. Misalnya, titik-titik tersebut mewakili kota, dengan
garis-garis mewakili jalan yang menghubungkan kota tersebut dengan kota lainnya
atau bisa juga titik-titik itu mewakili manusia dengan garis mewakili hubungan
manusia tersebut dengan manusia yang lainnya. Pada matematika, hubungan titik
dan garis yang demikian diamati oleh suatu objek yang disebut dengan graph.
Teori graph dimulai pada tahun 1736 ketika seorang matematikawan Swiss,
Leonhard Euler mempublikasikan tulisan yang berisi solusi untuk menyelesaikan
masalah jembatan Konigsberg di Prussia (sekarang Kaliningrad di Russia)
(Susanna, 2010). Sejak itu, penelitian terhadap graph terus mengalami
perkembangan seiring dengan semakin bervariasinya masalah yang dihadapi. Salah
satu diantaranya adalah permasalahan minimal Spanning Tree, masalah pewarnaan
graf, masalah bilangan stabil pada graf dan masalah hub.
Optimisasi adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di bawah
keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah
meminimumkan effort (usaha) atau memaksimalkan manfaat yang diinginkan.
Karena usaha yang di perlukan atau manfaat yang diiinginkan dapat dinyatakan
sebagai fungsi dari variable keputusan, optimasi dapat di definisikan sebagai proses
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai minimum atau maksimum dari
sebuah fungsi.
Permasalahan pada teori graph dapat disajikan dalam bentuk optimasi yang
selanjutnya pada tulisan ini disebut optimasi Graph. Berdasarkan titik tolak di atas,
maka penulis ingin membuat tulisan dengan judul “KAJIAN PEMODELAN
MATEMATIKA BERBENTUK OPTIMASI GRAPH”.
B. PERUMUSAN MASALAH
Beberapa masalah teori graph sudah dapat diselesaikan menggunakan beberapa
algoritma, seperti masalah Spanning Tree dapat diselesaikan menggunakan
algoritma Kruskal dan Prim, sehingga permasalahannya adalah Bagaimana
menyelesaikan masalah pada teori graph menggunakan model matematika,
khususnya model optimasi seperti program linier, non linier, integer, sehingga perlu
dikaji bagaimana merepresentasikan masalah graph tersebut ke dalam model
optimasi.
C. BATASAN MASALAH
Dalam tugas akhir ini masalah yang dibahas terbatas pada graph tak berarah,
Spanning Tree, Pewarnaan Graph, Bilangan Stabil pada Graph dan Hub.
D. TUJUAN PENELITIAN
Tujuan dari penelitian dalam tugas akhir ini ialah untuk mengkaji beberapa
pemodelan model matematika yang berbentuk optimasi graf.
E. MANFAAT PENELITIAN
Kontribusi yang diharapkan dari penelitian ini adalah:
1. Model yang diperoleh dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
yang dibutuhkan pada kasus yang sesuai.
2. Dapat menambah referensi dalam menyelesaikan berbagai masalah yang
berhubungan dengan masalah graph.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
F. METODE PENELITIAN
Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka
dengan langkah – langkah sebagai berikut:
1. Mengkaji masalah teori umum graph
2. Mengkaji masalah Spanning Tree, Pewarnaan Graph, Bilangan Stabil pada
Graph dan Hub
3. Mengkaji masalah optimasi secara umum
4. Mengkaji masalah kriteria dari optimasi
5. Mengkaji pemodelan matematika khususnya menyajikan masalah graph ke
dalam optimasi
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bab ini Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan
teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan
mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya. Konsep dasar
tersebut berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam penelitian ini, yakni: konsep
dasar graph, tree, dan degree constrained tree minimum spanning tree.
2.1. Konsep Dasar Graph
Istilah baku graph diadopsi dari Vasudev, 2006. Suatu graph G = (V,E)
merupakan himpunan objek V = {v1, v2, v3, ...} disebut verteks (disebut juga
point atau node) dan himpunan E = {e1, e2, ...} yang elemennya disebut edge
(disebut juga line atau arc), sehingga untuk setiap edge em dikenal sebagai
penghubung pasangan verteks (vi, vj). Verteks vi, vj yang dihubungkan oleh edge
em disebut verteks ujung dari em. Suatu graph dapat direpresentasikan secara
grafis dengan cara setiap verteks direpresentasikan sebagai titik dan setiap edge
vi, vj sebagai garis dari titik vi ke titik vj.
Contoh 2.1.a. berikut diberikan representasi dari graph
Gambar 2.1. Graph
Dari gambar 2.1.a dapat diketahui bahwa V(G) = {v1, v2, v3, v4} dan E(G) =
{v1v1, v1v2, v1v3, v1v4, v2v3, v2v4, v3v3, v3v4}
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Berdasarkan definisi, edge merupakan penghubung pasangan verteks vj, vk.
Untuk suatu edge yang memiliki kedua verteks ujung yang sama disebut loop.
Dari gambar 2.1a dapat dilihat bahwa edge v1 dan v3 merupakan loop. Jika
untuk setiap edge pada graph G diberi suatu nilai atau bobot W = {w1 ,w2 , ...,
wm }, maka graph tersebut dikatakan graph berbobot.
Gambar 2.2. Graph Berbobot
Graph yang tidak memiliki loop maupun edge ganda disebut graph sederhana.
Graph sederhana, dimana setiap vertex dihubungkan tepat satu edge ke verteks
lainnya disebut graph lengkap.
Contoh 2.1.c. Berikut diberikan representasi dari graph sederhana dan graph
lengkap.
Gambar 2.3. (a) Graph Lengkap dan (b) Graph Sederhana
2.1.1. Incident dan Degree
Ketika verteks Vi merupakan verteks ujung dari beberapa edge ej , Vi
dan ej dikatakan incident satu sama lain. Dua edge nonparalel dikatakan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
adjacent jika mereka incident pada verteks yang sama. Dengan cara
yang sama, dua verteks dikatakan adjacent jika mereka merupakan
verteks ujung dari edge yang sama. Sebagai contoh pada gambar 1 dapat
dilihat bahwa V1V2, V1V3,V1V4 merupakan incident pada V1 . Adjacent
untuk V1 adalah V2V3 V4. Sedangkan, V1 dan V3 adjacent untuk diri
mereka sendiri.
Jumlah edge incident dari suatu verteks Vi, dengan edge yang
merupakan loop dihitung 2 disebut degree dari verteks tersebut. Degree
dari suatu verteks dinotasikan dengan degG (Vi) atau degVi atau d(Vi)
atau d(V). Verteks yang tidak memiliki edge incident disebut verteks
terisolasi. Sedangkan verteks yang berdegree satu disebut verteks
pendent atau verteks ujung.
Contoh2.1.1. Berikut diberikan representasi dari verteks ujung
dan verteks terisolasi
Gambar 1. Verteks ujung dan Verteks terisolasi
Adapun degree dari setiap verteks pada gambar 2.3, d(Vi) = 1,
disebut pendant verteks, dan d(V2) = 3, d(V3) = 2, d(V4) = 3, dan d(V5)
= 0 karena tidak memiliki edge incident V5 disebut verteks terisolasi
Teorema 1: Untuk sebarang graph jumlah degree dari seluruh
verteks G sama dengan dua kali jumlah edge di G
Bukti: Diberikan Graph G dengan n verteks v1, v2, …, vn dan e
edge. Karena setiap edge memiliki tepat dua verteks vi dan vj (untuk
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
loop, i = j), maka edge memberikan konstribusi 2 degree, yakni 1 degree
untuk verteks vi dan 1 degree untuk verteks vj. Hal ini mengakibatkan
perjumlahan degree dari seluruh verteks di G adalah dua kali dari edge
di G, yaitu
evdn
ii 2
1
Teorema 2.2. banyak verteks berdegree ganjil pada suatu graph
selalu genap.
Bukti teorema 2.1. diketahui bahwa
evdn
ii 2
1
Jika verteks yang berdegree ganjil dan berdegree genap dipisahkan,
maka persamaan di atas dapat dibentuk menjadi
odd
keven
j
n
ii vdvdvd
1
Karena
n
i ivd1
adalah genap dan even jvd juga genap,
maka odd kvd juga suatu bilangan genap. d(vk) adalah ganjil, maka
syarat agar jumlah seluruh d(vk) genap, banyaknya vk haruslah genap.
Hal ini membuktikan bahwa banyak verteks berdegree ganjil pada suatu
graph selalu genap.
2.1.2. Walk, Path and Cycle
Diberikan graph G dengan verteks v dan w. Sebuah walk dengan
panjang m dari v ke w didefinisikan sebagai barisan edge dan dituliskan
sebagai berikut:
(v0v1), (v1v2), …, (vm – 1vm)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Untuk m > 0, v0 = v dan vm = w. sebuah walk biasa dinotasikan dengan v
→ ww dan panjangnya dinotasikan dengan l(w)
Sebuah trail dari v ke w adalah walk dari v ke w tanpa perulangan edge.
Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah trail tanpa perulangan verteks.
Path tertutup adalah path yang dimulai dan diakhiri dengan verteks yang
sama. Sebuah cycle merupakan sebuah path tertutup, dan sebuah loop
merupakan sebuah cycle dengan panjang 1.
Contoh 2.1.2: Sebagai contoh masing-masing untuk walk, trail, path,
cycle, dan loop dapat dilihat pada gambar berikut:
Gambar 2.5 (5,8) Graph
a. v1 → v3 → v5 → v3 → v2 → v4 disebut walk
b. v1 → v2 → v3 → v5 → v2 → v4 disebut trail, walk tanpa pengulangan
edge
c. v1 → v2 → v4 → v5 disebut path, walk tanpa pengulangan edge dan
verteks
d. v1 → v2 → v4 → v5 → v3 → v1 disebut cycle, karena adanya
pengulangna pada verteks awal dan akhir disebut juga path tertutup
e. v1 → v1 dan v3 → v3 disebut loop, cycle dengan panjang 1
2.1.3. Subgraph
Suatu subgraph dari G adalah graph yang memiliki verteks dan edge
yang ada di G. Jika G dan T merupakan dua graph dengan himpunan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
verteks V (T), V(G) dan himpunan edge E(T) dan E(G) sehingga V(T)
V(G) dan E(T) E(G), maka T disebut sugraph G atau G disebut
supergraph T.
Contoh 2.1.3 berikut diberikan representasi dari subgraph G
Gambar 2.6: (G) Graph dan (T) Subhraph
Berdasarkan definisi, dapat dikatakan bahwa:
1. Setiap graph merupakan subgraph itu sendiri.
2. Sebuah subgraph dari subgraph G merupakan subgraph G
3. Sebuah verteks tunggal di G merupakan subgraph G.
4. Sebuah edge tunggal di G, bersama dengan verteks ujungnya, juga
merupakan subgraph G.
2.1.4. Graph Terhubung, Graph Tidak Terhubung dan Komponen
Diberikan graph G dengan v dan w merupakan dua verteks di G. Graph
G dikatakan terhubung jika dan hanya jika diberikan sebarang dua
verteks v dan w di G sedemikian hingga terdapat paling sedikit satu path
dari v ke w. Selebihnya, G dikatakan tidak terhubung.
Pada gambar 2.6 menunjukkan bahwa (a) adalah graph
terhubung karena terdapat path dari satu verteks ke verteks yang
lainnya, dan (b) adalah graph tak berhubung karena tidak terdapat path
dari v ke v . Dari gambar 2.3 dapat kita lihat bahwa graph tersebut terdiri
dari dua bagian. Bagian pertama adalah verteks v1, v2 dengan edge v1v2,
sedangkan bagian kedua adalah verteks v3, v4 dan v5 dengan edge v3v4,
v3v5 dan v4v5 masing – masing bagian ini disebut komponen.
Contoh 2.1.4 berikut diberikan representasi dari 2 buah graph
terhubung dan tidak terhubung
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Gambar 2.7. (a) Graph Terhubung dan (b) Graph Tak Berhubung
Teorema 2.3. Suatu graph G dikatakan tidak terhubung jika dan
hanya jika verteks himpunan V dapat dibagi ke dalam dua komponen tak
kosong, himpunan bagian V1 dan V2 terpisah, sehingga tidak ada edge di
G yang memiliki satu verteks ujung di dalam himpunan bagian V1 begitu
juga di himpunan bagian V2.
Bukti:
Andaikan komponen ada. Anggap dua sembarang verteks a dan b di G,
sehingga a ∈ V1 dan b ∈ V2 . Tidak ada path yang bisa diantara verteks a
dan b; sebaliknya terdapat paling sedikit satu edge dimiliki verteks
ujung V1 dan lainnya di V2. Akibatnya jika komponen ada, G tidak
terhubung.
Dan sebaliknya, andaikan G menjadi graph tidak terhubung. Anggap
sebuah verteks a di G. Andaikan V1 menjadi himpunan seluruh verteks
yang dihubungkan oleh path ke a. Karena G tidak terhubung, maka V1
tidak memasukkan semua verteks G. Selebihnya verteks akan
berbentuk(tak kosong) himpunan V2 . Tidak ada verteks di V1 yang
dihubungkan ke sebarang V2 dengan sebuah edge. Hal ini berakibat
adanya komponen.
Teorema 2.4 Jika suatu graph memiliki tepat dua verteks berdegree
ganjil, pasti terdapat path yang menyertai dua verteks tersebut.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Bukti: Andaikan G sebuah graph dengan seluruh verteksnya berdegree
genap ke- cuali verteks v1 dan v2 , yang berdegree ganjil. Berdasarkan
teorema 2.2, hal ini berlaku untuk seluruh graph, oleh karenanya untuk
setiap komponen graph tak terhubung, tak ada graph yang bisa memiliki
jumlah ganjil dari verteks ganjil. Karenanya, di graph G v1 dan v2 harus
berada pada komponen yang sama, akibatnya pasti ada path diantara
mereka.
2.1.5. Bridge
Suatu edge vivj pada graph G terhubung dikatakan bridge jika
penghapusan edge vivj mengakibatkan G menjadi tidak terhubung.
Contoh 1.1.5: Berikut diberikan representasi dari bridge.
Gambar 2.8. Bridge
v3v5 merupakan bridge karena penghapusan edge v3v5 akan
menyebabkan graph menjadi tak terhubung.
2.2. Tree
Suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle. Untuk graph tak
terhubung dan tanpa cycle disebut forest. Suatu verteks tunggal juga termasuk
tree yang disebut trivial tree.
Gambar 2.2.a. berikut diberikan representasi dari tree
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Gambar 2.9 Tree
Teorema 2.5. hanya ada satu path antara setiap pasangan verteks di
tree T
Bukti Karena T terhubung, maka terdapat paling sedikit satu path diantara
semua pasangan verteks di T. Sekarang anggap bahwa diantara dua verteks a
dan b di T terdapat path yang berbeda. Penggabungan dari dua path yang
berbeda akan menghasilkan cycle, karenanya T bukanlah tree. Sebaliknya
Teorema 2.6 Jika pada graph G hanya ada satu path diantara setiap
pasangan verteks, maka G merupakan tree.
Bukti: Adanya path diantara setiap pasangan verteks menjamin bahwa G
terhubung. Suatu cycle di G (dengan dua atau lebih verteks) secara tidak
langsung menyatakan bahwa terdapat paling sedikit satu pasangan verteks a, b
sehingga terdapat dua path yang berbeda antara a dan b. Karena G hanya
memiliki satu path diantara setiap pasangan verteks, maka G tidak bisa
memiliki cycle. Oleh karena itu, G merupakan tree.
Teorema 2.7 Suatu tree dengan n verteks memiliki n − 1 edge.
Bukti: Hasilnya akan diperlihatkan dengan induksi. Andaikan e menjadi edge di
T dengan verteks ujung vi dan vj , berdasarkan teorema 2.3. tidak ada path lain
diantara vi dan vj, kecuali ek . Oleh karenanya jika e dihapus, maka T menjadi
graph tak terhubung. Selanjutnya, T − ek akan membentuk dua komponen, dan k
karena tidak ada cycle di T, maka masing-masing komponen tersebut
merupakan tree. Kedua tree t1 dan t2 , masing – masing memiliki lebih sedikit
dari n verteks, oleh karenanya dengan induksi, masing – masing memiliki edge
lebih sedikit dari jumlah verteks di dalamnya. Dengan demikian T − ek
mengandung n − 2 edge. Hal ini berakibat T memiliki tepat n − 1 edge.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Teorema 2.8 Untuk sebarang graph terhubung dengan n verteks dan n −
1 edge merupakan tree.
Bukti: Berdasarkan definisi graph terhubung, terdapat paling sedikit satu path di
G, berdasarkan teorema 2.3 tidak ada path lain diantara vi dan vj, kecuali ek
berdasarkan definisi suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle.
karenanya berdasarkan teorema 2.5, suatu tree dengan n verteks memiliki n − 1
edge. Hal ini berakibat graph terhubung dengan n verteks dan n − 1 edge
merupakan tree.
Teorema 2.9 Suatu graph merupakan tree jika dan hanya jika
terhubung.
Bukti: Andaikan graph G merupakan tree, berdasarkan definisi suatu tree
merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle. Andaikan G tidak terhubung,
maka berdasarkan teorema 2.1 graph bukanlah tree. Hal ini berakibat bahwa
untuk graph yang merupakan tree, haruslah graph terhubung.
Teorema 2.10 Suatu graph G dengan n verteks, n − 1 edge, dan tanpa
cycle adalah terhubung
Bukti: Andaikan bahwa ada sedikit cycle graph G dengan n verteks dan n − 1
edge yang tak terhubung. Pada kasus ini, G akan mengandung dua atau lebih
sedikit komponen cycle. Tanpa kehilangan sifat umumnya, andaikan G
memiliki komponen g1 dan g2 . Lalu tambahkan sebuah edge e dintara suatu
verteks v1 di g1, dan v2 di g2 . Karena tidak ada path diantara v1 dan v2 di G,
tambahkan e tanpa membentuk cycle. Dengan demikian G e memiliki cycle
sedikit, graph terhubung dari n verteks dan n edge, yang tidak mungkin terjadi.
Hal ini berakibat graph G dengan n verteks, n − 1 edge, dan tanpa cycle adalah
terhubung.
Berdasarkan teorema – teorema diatas, dapat disimpulkan bahwa suatu
graph G dengan n verteks disebut tree, jika:
1. G terhubung dan tanpa cycle, atau
2. G terhubung dan memiliki n − 1 edge, atau
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
3. G tanpa cycle dan memiliki n − 1 edge, atau
4. Tepat terdapat satu path diantara setiap pasangan verteks di G, atau
5. G paling tidak merupakan graph terhubung.
2.2.1. Verteks Ujung Dalam Tree
Verteks ujung merupakan verteks dengan jumlah degree adalah 1.
Teorema 2.11 Pada sebarang tree (dengan dua atau lebih
verteks), terdapat paling sedikit dua verteks ujung.
Bukti: Karena tree yang memiliki n verteks dan n − 1 edge, maka 2(n −
1) degree terbagi diantara n verteks. Karenanya tidak akan bisa ada
verteks yang tidak memiliki degree, paling tidak harus memiliki dua
verteks yang berdegree 1 dalam degree. Tentu saja ini hanya berlaku
jika n ≥ 2
2.2.2. Spanning Tree
Suatu tree T dikatakan spanning tree dari graph G terhubung, jika T
adalah suatu subgraph G dan T mengandung seluruh verteks G. Dengan
kata lain, T dikatakan spanning tree jika T terhubung, mengandung n
verteks G dan n − 1 edge.
Contoh 2: Berikut diberikan representasi dari spanning tree.
Gambar 2 Spanning Tree dari G
Dari gambar 2.9, untuk (6,7) graph menghasilkan spanning tree dengan
6 verteks dan 5 edge. Untuk menemukan spanning tree dari graph G
terhubung dapat dilakukan dengan cara yang sederhana. Jika G tidak
memiliki cycle, maka G merupakan spanning tree itu sendiri. Jika G
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
memiliki cycle maka hapus semua edge yang membentuk cycle, dengan
G masih terhubung.
Proposisi 2.12
Setiap graph terhubung memiliki paling sedikit satu spanning tree.
Bukti: Andaikan G adalah suatu graph terhubung. Jika G bebas cycle,
maka G itu sendiri merupakan spanning tree. Jika tidak, G memiliki
paling sedikit satu cycle C1 . Dengan teorema 1.8 subgraph G tetap
terhubung meski satu edge C1 dihapus. Jika subgraph bebas cycle, maka
subgraph tersebut merupakan spanning tree. Jika tidak, maka paling
sedikit ada satu cycle di C2 dan seperti sebelumnya, hapus edge di C2
untuk memperoleh spanning tree. Jika tidak, lakukan seperti
sebelummya hingga diperoleh subgraph T dari G yang terhubung dan
bebas cycle. T juga mengandung seluruh verteks G karena tidak ada
verteks di G yang dihapus. Oleh karenanya T merupakan spanning tree
untuk G.
Pohon perentang minimum dapat dimodelkan dengan pemograman
linier . untuk itu kita definisikan
Persoalan kita menjadi
Min i
m
ii eew
1
Agar sisi – sisi terpilih membentuk sebuah pohon dua persyaratan harus
dipenuhi. Yakni pertama harus terpilih tepat n – 1 sisi dan kedua sisi –
sisi terpilih tidak membentuk lingkaran.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Kendala sisi – sisi terpilih tidak membentuk sebuah lingkaran dapat
dimodelkan dengan cara sebagai berikut. Andaikan S V(G), jadi
untuk setiap S V(G) dengan |S| 3 harus dijamin bahwa (S) tidak
membentuk lingkaran. Kendala ini dapat dinyatakan dengan
Se
i
i
Se ,1 3, SGVS
Sehingga permodelan pemograman linier biner untuk persoalan pohon
perentang minimum adalah sebagai berikut:
Min i
m
ii eew
1
Kendala
m
ii ne
1
1
,1 Se
i
i
Se 3),( SGVS
Ket:
w(ei) = bobot pada sisi ei
n = banyaknya vertek
ei = sisi
GVS
S tidak memiliki lingkaran
2.3. Degree Constrained Minimum Spanning Tree
Andaikan G merupakan graph terhubung, T merupakan subgraph dari iT vdG,
merupakan degree dari verteks vi yang ada di T, dan bi merupakan batasan
degree di T. Degree constrained spanning tree T adalah menemukan spanning
tree T di G, sehingga iiT bvd , untuk setiap verteks vi di T.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Berikut diberikan graph G dimana T merupakan DCST dari G
Gambar 2.11. DCST dari G
Andaikan G = (V,E) adalah suatu graph berbobot terhubung tak berarah
dimana V = {v1 ,v2 , ..., vn } adalah himpunan verteks dan E = {e1, e2, ..., em }
himpunan edge di G. Andaikan W = {w1 ,w2 , ...,wm } mewakili bobot dari
setiap edge, dimana bobot merupakan bilangan real nonnegatif. Subgraph dari G
bisa dideskripsikan menggunakan vektor X = {x1, x2, ..., xm }, dimana setiap
element xi didefinisikan oleh:
Andaikan T menjadi subgraph G, T dikatakan spanning tree dari G jika
T terhubung, mengandung seluruh verteks G, dan tidak cycle. Kemudian anggap
d(vi) degree dari verteks vi di G dan K(vi) himpunan degree pada G serta bi
merupakan batasan degree iT vd di T, permasalahan degree constrained
minimum spanning tree dapat diformulasikan ke dalam program integer sebagai
berikut:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Fungsi Tujuan:
Min
m
iii xwxz
1
Kendala:
11
Vxm
ii
(1)
11
Nxm
ii 3, NVN (2)
,ivKx
i bxii
niVbi ,...,2,1,11 (3)
,1,0ix
Exi (4)
Dari formulasi diatas, kendala pertama menyatakan bahwa hanya ada n
− 1 edge yang terpilih, karenanya kendala kedua menjamin bahwa edge yang
diperoleh akan menghubungkan seluruh verteks tanpa terjadi cycle, sedangkan
kendala ketiga merupakan batas degree yang dikehendaki.
Untuk menyelesaikan DCMST yang diformulasikan diatas, maka untuk
graph lengkap akan ada 2n − 1 −
2
n kendala. Bagaimanapun, untuk n = 30,
cara ini sangat tidak praktis. Misalnya untuk graph lengkap dengan 30 verteks
akan ada 930 1007,12
3012
kendala. Jika untuk setiap kendala yang ada
dapat ditemukan dalam sepersepuluh detik, maka paling tidak akan dibutuhkan
waktu 3,4 tahun untuk dapat menuliskan seluruh kendala sebelum perhitungan
dilakukan.
Pada dasarnya persoalan DCMST merupakan perkembangan dari
permasalahan minimum spanning tree dengan syarat memenuhi batasan degree
yang diberikan. Karenanya algoritma yang biasa digunakan untuk
menyelesaikan minimum spanning tree dapat pula digunakan untuk
menyelesaikan permasalahan DCMST. Salah satunya adalah algoritma Kruskal.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Ning, Ma, dan Xiong (2008) menggunakan algoritma Kruskal untuk
menyelesaikan permasalahan DCMST dengan terlebih dahulu menggunakan
teknik reduksi untuk mengurangi ukuran graph dengan cara menghilangkan
edge yang dianggap tidak perlu.
Algoritma Kruskal pertama kali diperkenalkan pada tahun 1956 oleh
Joseph Kruskal untuk menyelesaikan minimum spanning tree. Algoritma
Kruskal ditulis kembali pada tahun 1957 oleh Loberman dan Weinberger,
namun pencantuman nama mereka ditolak (Erickson, 2011).
Pada algoritma Kruskal, awalnya seluruh edge diurutkan mulai bobot
terkecil hingga terbesar. Lalu pemilihan edge dimulai dari bobot yang terkecil
tersebut. Seluruh verteks vi yang ada di G dimasukkan ke T tanpa memasukkan
edge, dengan kata lain pada awalnya tidak ada edge di T. Karena pemilihan
edge berdasarkan nilai dari bobot setiap edge, maka pada prosesnya akan
dihasilkan beberapa tree (forest). Untuk setiap edge (vj, vk) yang telah terurut
dilakukan hal berikut, jika verteks vj dan vk berada pada dua tree yang berbeda,
maka tambahkan (vj, vk) ke forest, kombinasikan dua tree ke dalam tree tunggal.
Proses dihentikan jika edge (vj, vk) tepat berjumlah |V|−1.
2.4. Pewarnaan Graph
Pewarnaan graf adalah kasus khusus dari pelabelan graf. Pelabelan disini
maksudnya, yaitu memberikan warna pada titik-titik pada batas tertentu.
Ada tiga macam pewarnaan graf.
Pertama, pewarnaan titik (vertex coloring) yaitu memeberikan warna
berbeda pada setiap titik yang bertetangga sehingga tidak ada dua titik yang
bertengga dengan warna yang sama.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Kedua, pewarnna sisi (edge coloring), yaitu memberikan warna berbeda
pada sisi yang bertetangga sehingga tidak ada dua sisi yang bertetangga
mempunyai warna yang sama.
Ketiga, pewarnaan bidang, yaitu memberikan warna pada bidang
sehingga tidak ada bidang yang bertetangga mempunyai warna yang sama.
Definisi 1. Pewarnaan simpul (Vertex coloring), singkatnya pewarnaan
(coloring), suatu Graf adalah pemberian warna terhadap simpul sedemikian
sehingga dua simpul yang berdampingan mempunyai warna yang berlainan.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Definisi 2. Kita katakan G berwarna n, bila terdapat pewarnaan dengan
menggunakan n warna.
Definisi 3. Jumlah minimum warna yang dibutuhkan disebut bilangan
khromatis dari G, ditulis K(G). Dalam memecahkan problem pewarnaan, kita
selalu berusaha mewarnai simpul menggunakan banyak warna minimal.
2.5. Bilangan Stabil Pada graph
Suatu Graph G’ = (X’, E’) dikatakan subgraph dari graph G, jika setiap titik dan
ruas dari G’ berada di dalam G. jika himpunan ruas dari Graph G’ berada di
dalam G yang tidak memuat E – E’, sedangkan himpunan titik kedua graph
tersebut adalah sama (X’ = X) maka graph G’ dikatakan Graph Parsial (partial
graph) dari graph G.
Salah satu kejadian adanya keterkaitan atau tidaknya titik – titik dalam
graph G adalah terbentuknya himpunan stabil (Stable set), yaitu tidak
ditemukannya dua titik yang berbeda dalam himpunan tersebut yang adjacent.
Untuk himpunan stabil yang jumlah anggotanya terbesar (maximum) dapat
didefinisikan sebagai bilangan stabilitas (stability number), dinotasikan α (G)
yang artinya bilangan stabilitas dari graph G.
Dalam penulisan bilangan stabilitas pada graph kritis terdapat hubungan
erat antara graph dan graph parsialnya yang berkaitan dengan bilangan stabilitas
kedua graph tersebut. Dalam suatu graph G dengan semua graph parsialnya
dapat terlihat bahwa tidak semua graph parsialnya mempunyai bilangan
stabilitas yang sama dengan bilangan stabilitas yang dimiliki graph G, misalnya
graph sederhana. Namun ada beberapa graph G yang mempunyai bilangan
stabilitas yang berbeda dengan semua bilangan stabilitas pada graph parsialnya,
misalnya graph lengkap.
2.6. Hub
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Aplikasi jaringan hub digunakan pada sistem komunikasi, transportasi, dan
sistem pengiriman pos. Layanan tidak langsung diberikan dari setiap simpul
awal ke pasangan tujuan, Hub berfungsi sebagai titik transit atau titik pemilihan
untuk aliran antara simpul nonhub. Arus keberangkatan dari tempat tujuan
dikumpulkan pada suatu hub, dikirimkanan antar hub jika perlu, dan akhirnya
didistribusikan ke titik tujuan dengan kombinasi dari titik asal yang berbeda
tetapi titik tujuannya sama. Fasilitas hub menggabungkan lintasan dengan
maksud untuk memperoleh keuntungan ekonomi dalam transportasi antar hub.
Masalah lokasi hub berhubungan dengan pengalokasian fasilitas hub dan
penugasan dari titik nonhub kepada titik hub untuk menentukan lalu lintas rute
antara pasangan titik asal dan tujuan. Setiap nonhub dapat dialokasikan ke
sebuah hub (alokasi tunggal) atau lebih (multi alokasi). Jika jumlah hub
sebelumnya ditentukan sebanyak p, maka hal ini disebut masalah alokasi p-hub
(WANG dan TING, 2009)
Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif
linier, dengan subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan
pertidaksamaan. Program linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik
(contoh: memaksimalkan laba, mengurangi biaya dan lain – lain) dengan
memberikan beberapa daftar kendala menggunakan model matematika linier.
Program linear bilangan bulat campuran diperkenalkan untuk desain
berkelanjutan dari jaringan dan penyebaran armada dari sebuah penyedia
layanan kapal antar samudera untuk pengiriman laut. Permintaan dianggap
elastis pada penyedia jasa layanan yang dapat menerima fraksi permintaan dari
asal ke tujuan serta menggunakan metode dekomposisi primal untuk
menyelesaikan masalah optimalitas (Shahih Geraleh dan David Pissinger,
2010).
Program integer adalah bentuk dari program linier dimana asumsi
divisibilitasnya melemah atau hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
dalam kenyataannya tidak semua variable keputusan dapat berupa bilangan
pecahan. Asumsi divisibilitas melemah artinya sebagian dari nilai variable
keputusan harus berupa bilangan bulat (integer) dan sebagian lainnya boleh
berupa bilangan pecahan. Persoalan program integer disebut sebagai persoalan
Mixed Integer Programming. Tetapi jika seluruh variable keputusan dari suatu
persoalan program linier harus berharga integer, maka persoalan tersebut
disebut sebagai Pure Integer Programming.
Masalah program bilangan bulat campuran dalam pemilihan lokasi hub
telah digunakan di pantai timur Amerika Selatan, diantara sekumpulan dari
sebelas pelabuhan yang ada yang melayani permintaan regional untuk
transportasi kontainer. Pelabuhan di Brasil, Argentina, Uruguay
dipertimbangkan bersama dengan beberapa simpul pelabuhan asal-tujuan di
dunia. Model program bilangan bulat campuran ini digunakan untuk
meminimalkan biaya total sistem dari kedua biaya di pelabuhan (biaya terminal)
dan biaya pengiriman (bahan bakar dan transportasi) (Aversa et al. 2005).
Salah satu yang penting dalam masalah lokasi hub disebut dengan
masalah p- hub median. Dalam masalah ini tujuannya ialah untuk
mengalokasikan p hub dalam sebuah jaringan dan mengalokasikan simpul
nonhub kepada simpul hub sehingga jumlah dari biaya transportasi antara
pasangan simpul asal dan simpul tujuan di dalam jaringan menjadi minimal
(Dongdong et al. 2007).
Shahin Gelareh, 2010, menjelaskan dalam masalah klasik p-hub median,
perlu mengalokasikan p simpul hub dari himpunan n simpul dalam sebuah graf,
menetapkan subgraph lengkap dari simpul hub, mengalokasikan setiap simpul
nonhub ke simpul hub dan arah aliran antara pasangan simpul asal-tujuan
melalui jaringan hub. Biaya transportasi pada garis dari tingkat kentungan
jaringan hub dari sebuah potongan oleh sebuah faktor (0 < < 1) sebagai hasil
dari skala ekonomi berdasarkan gabungan dari aliran transportasi. Pertama
sekali akan didefinisikan beberapa parameter, kemudian akan diperkenalkan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
variabel keputusan dalam model. Diberikan sebuah jaringan yang terdiri dari n
buah simpul permintaan, misalkan:
N = himpunan simpul – simpul dalam jaringannya, N = {1, 2, …, n}
p = banyaknya hub
Wiji = total aliran dari lokasi i ke lokasi j
Cijkl = biaya aliran per unit dari sampul asal i ke simpul tujuan j melalui hub
k dan l dengan urutan tersebut
dij = jarak antara simpul i dan j
Xijkl = fraksi dari aliran asal simpul i ke simpul tujuan j yang melalui hub k
dan l dalam urutan tersebut
Hk = variable biner yang bernilai 1 jika k adalah hub, 0 yang lain
Untuk variable Xijkl dan parameter Cijkl, indeks k digunakan untuk inisial
hub dan indeks l digunakan untuk terminal hub dengan menganggap aliran
berasal dari simpul i dengan tujuan j . jika k = m maka lalu lintas rute melalui
hub yang sama.
Biaya transportasi aliran per unit dapat dihitung dengan:
Cijkl = ljklik ddd
Secara implisit diasumsikan bahwa semua fasilitas hub memiliki
karakteristik yang sama dan hampir selalu diasumsikan memiliki memiliki
diskon faktor yang sama ke semua link.
Biaya Cijkl digambarkan seperti gambar di bawah ini:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Sohn dan Park (1996) mempertimbangkan masalah lokasi dua hub.
Kedua hub dipilih dari sebuah himpunan simpul-simpul. Simpul yang tersisa
dihubungkan kepada salah satu dari dua hub yang ada sebagai tindakan
pemilihan simpul untuk aliran antar modal. Sebuah susunan yang
meminimumkan total aliran biaya yang ingin diketahui. Masalah ini dapat
diselesaikan dalam bentuk polynomial ketika lokasi hub ditetapkan.
Sohn dan Park (1998) mempertimbangkan masalah lokasi p-hub tanpa
batasan kapasitas dengan mempertimbangkan kasus dengan alokasi tunggal dan
ganda dan juga dalam mereduksi ukuran formulasi serta formulasi program
bilangan bulat hub campuran untuk model dengan lokasi yang tetap, di mana
juga mempertimbangkan biaya tetap untuk link yang terbuka.
Lampiran A Campbell (1994a) mendefinisikan median p – hub pada
neetwork. Analog ke p – median (Hakimi 1965). Definisi singkat ini diulang
disini. Perhatikan grafik G dengan n nodes (lokasi permintaan atau asal / tujuan)
dilambangkan vi, i = 1, 2, ..., n. Aliran dari simpul i ke simpul j adalah Wij dan
biaya transportasi minimum dari titik i ke titik j adalah cij dimana cii = 0 dan αcij
adalah biaya transportasi diskon jika kedua i dan j adalah hub jika xk dan xm
adalah dua titik pada G Yang menunjukkan lokasi hub, lalu
d( vi, vj, xk, xm) = cik + cmj + αckm ,i
Apakah biaya per unit transportasi dari i ke j melalui hub k dan m, dalam
urutan itu. Jika k = m, tidak ada transportasi interhub. Misalkan Xp menjadi
himpunan p titik x1, x2, ..., xp pada G dan misalkan
D (vi, vj, Xp) = min [d(vi, vj, x1, xi), d(vi, vj, x1, x2) , . . ., d(vi, vj, xp, xp)]
Jadilah biaya transportasi minimum dari i ke j untuk rangkaian hub Xp
yang diberikan. Himpunan titik Xp adalah median p-hub G jika untuk setiap Xp
pada G
i i j
pjiijj
pjiij XvvdWXvvdW ,,,, *
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Goldman (1969) memperluas hasil optimalitas node Hakimi (Hakimi
1964, 1965) dan menunjukkan bahwa median p – hub akan terjadi pada simpul G
(Istilah "center", bukan "hub median" digunakan oleh Goldman). Menariknya,
Goldman mungkin yang pertama menangani masalah lokasi hub. Goldman
dengan jelas menyadari bahwa pergerakan interhub akan memiliki biaya
transportasi unit yang lebih rendah daripada gerakan asal – ke – hub dan hub –
ke – tujuan. Goldman juga mempresentasikan tujuannya sebagai penjumlahan
biaya transportasi untuk semua pasang o – d ; Sehingga memungkinkan setiap
pasangan o – d disalurkan secara berbeda dan karenanya memungkinkan banyak
alokasi untuk setiap asal dan tujuan.
2.7. Optimasi
Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di
bawah keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut
adalah meminimumkan usaha (effort) atau memaksimumkan manfaat (benefit)
yang diinginkan. Karena usaha yang diperlukan atau manfaat yang diinginkan
dapat dinyatakan sebagai fungsi dari variabel keputusan, maka optimasi dapat
didefinisikan sebagai proses untuk menemukan kondisi yang memberikan nilai
minimum atau maksimum dari sebuah fungsi. Optimasi dapat diartikan sebagai
aktivitas untuk mendapatkan nilai minimum suatu fungsi karena untuk
mendapatkan nilai maksimum suatu fungsi dapat dilakukan dengan mencari
minimum dari negatif fungsi yang sama.
Tidak ada metode tunggal yang dapat dipakai untuk menyelesaikan
semua masalah optimasi. Banyak metode optimasi telah dikembangkan untuk
menyelesaikan tipe optimasi yang berbeda – beda seperti metode Lagrange.
Dalam optimasi diselidiki masalah penentuan suatu titik minimum suatu
fungsi pada subset ruang bilangan riil tak kosong. Untuk lebih spesifik
dirumuskan sebagai berikut: Misalkan R ruang bilangan riil dan S subset tak
kosong dari R, dan misalkan f: S → R sebuah fungsi yang diberikan. Kita akan
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
mencari titik minimum f pada S. sebuah elemen Sx dikatakan titik minimum
f pada S jika:
xfxf untuk semua Sx
Himpunan S dinamakan himpunan pembatas (constraint set) dan fungsi f
dinamakan fungsi objektif.
Metode pencari titik optimum juga dikenal sebagai teknik pemrograman
matematikal dan menjadi bagian dari penelitian operasional (operations
research). Penelitian operasional adalah suatu cabang matematika yang
menekankan kepada aplikasi teknik dan metode saintifik untuk masalah-
masalah pengambilan keputusan dan pencarian solusi terbaik atau optimal.
Teknik pemrograman matematikal sangat berguna dalam pencarian
minimum suatu fungsi beberapa variabel di bawa kendala yang ada. Teknik
proses stokastik dapat digunakan untuk menganalisis masalah yang
didiskripsikan dengan sekumpulan variabel acak dimana distribusi
probabilitasnya diketahui. Metode statistikal dapat digunakan untuk
menganalisis data eksperimen dan untuk membangun model secara empirik
untuk memperoleh representasi yang lebih akurat mengenai situasi fiskal.
2.7.1. Perumusan Masalah Optimasi
Optimasi atau masalah pemrograman matematika dapat dinyatakan
sebagai berikut:
a. Optimasi Tanpa Kendala
Masalah optimasi yang tidak melibatkan sebarang kendala
dinamakan optimasi tanpa kendala dan dinyatakan sebagai:
Minimumkan xff
b. Optimasi Dengan Kendala
Masalah optimasi yang melibatkan sebarang kendala dinamakan
optimasi terkendala dan dinyatakan sebagai:
Minimumkan xff
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
TnxxxX ,...,, 21
Dengan kendala:
0xgi i = 1, 2, …, m
0Xl j j = 1, 2, …, p
2.7.2. Klasifikasi Masalah Optimasi
Masalah optimasi dapat diklasifikasikan dalam 6 (enam) cara, seperti
diuraikan berikut:
a. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Keberadaan Kendala
Seperti dinyatakan sebelumnya, sebarang masalah optimasi
dapat diklasifikasikan sebagai masalah optimasi terkendala,
tergantung kepada ada tidaknya kendala dalam masalah optimasi
b. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Bentuk Persamaan Fungsi
yang Terlibat
Masalah optimasi dapat juga diklasifikasikan berdasarkan kepada
bentuk fungsi obyektif dan fungsi kendala. Menurut klasifikasi ini,
masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah
pemrograman linier, nonlinier, geometrik, dan kuadratik.
Masalah Pemrograman Linier
Jika fungsi obyektif dan semua kendala adalah fungsi linier dari
variabel keputusan, maka masalah pemrograman matematika
tersebut dinamakan pemrograman linier (LP). Masalah
pemrograman linier dapat dinyatakan dalam bentuk standar
berikut:
Minimumkan
n
i ii xcXf1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
nx
x
x
x...
2
1
Dengan kendala:
n
ijiij bxa
1
j = 1, 2, …, m
0ix i = 1, 2, …, n
Dimana ci, aij dan bj adalah konstanta (yang selanjutnya
dinamakan sebagai parameter)
Masalah Pemrograman NonLinier
Jika terdapat fungsi nonlinier di antara fungsi obyektif dan
fungsi – fungsi kendala, maka masalah tersebut dinamakan
masalah pemrograman nonlinier (nonlinier programming).
Masalah Pemrograman Geometrik
Sebuah fungsi h(X) dinamakan posynomial n suku jika h
dapat dituliskan sebagai
nmnnn a
n
aa
n
a
n
aa xxxcxxxcXh ........., 2111211
21211
Dimana ci dan aij adalah konstanta dengan ci > 0 dan xi > 0
Suatu masalah pemrograman geometric (GMP) adalah
masalah pemrograman nonlinier dimana fungsi obyektif dan
fungsi kendala dinyatakan sebagai posynomial dalam
variabel keputusan. Jadi masalah GMP dapat dituliskan
sebagai:
Minimumkan ,0
1 1
N
i
n
j
p
jiijxcxf ci > 0, xi > 0
nx
x
x
x...
2
1
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Dengan kendala:
01 1
k
ijk
N
i
n
i
a
jikk xaxg aik > 0, xi > 0
Dimana N0 dan Nk berturut – turut menyatakan banyaknya
suku posynomial dari fungsi obyektif dan fungsi kendala ke
– k.
c. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Variabel Keputusan
Yang Diperbolehkan
Berdasarkan kepada nilai variabel keputusan yang diperbolehkan,
masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah
pemrograman bilangan bulat (integer) dan pemrograman bilangan
riil.
Masalah Pemrograman Bilangan Bulat (Integer)
Jika beberapa atau semua variabel keputusan xi = (i = 1, 2, …, n)
dari suatu masalah optimasi dibatasi hanya bernilai bilangan
bulat (integer) atau diskrit, masalah optimasi tersebut dinamakan
pemrograman bilangan bulat.
Masalah Pemrograman Bilangan Riil
Jika semua variabel keputusan bernilai bilangan riil maka
masalah optimasi dinamakan masalah pemrograman riil.
d. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Nilai Parameter yang
Diperbolehkan
Berdasarkan kepada nilai parameter yang diperbolehkan, masalah
optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah pemrograman
stokastik dan masalah pemrograman deterministik.
Masalah Pemrograman Stokastik
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Suatu masalah pemrograman stokastik adalah masalah optimasi
dimana beberapa atau semua parameter dalam optimasi bersifat
probabilistik (non deterministik atau stokastik)
Masalah Pemrograman Deterministik
Jika semua parameter dalam optimasi bersifat deterministik,
masalah optimasi tersebut dinamakan masalah pemrograman
deterministik.
e. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Separabilitas Fungsi
Masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah
pemrograman separabel atau nonseparabel berdasarkan kepada
separabilitas fungsi obyektif dan fungsi kendala.
Masalah Pemrograman Separabel
Suatu fungsi (𝑋) dikatakan separabel jika dapat dituliskan
sebagai jumlah dari 𝑛 fungsi tunggal 𝑓1 (𝑥1 ), … , 𝑓𝑛 (𝑥𝑛 ) yaitu
n
iii xfxf
1
Masalah pemrograman separabel adalah masalah optimasi
dimana fungsi obyektif dan fungsi kendala adalah separabel
dan dapat dituliskan dalam bentuk standar:
Minimumkan
n
i ii xfxf1
Tnxxxx ),...,,( 21
Dengan kendala:
j
n
iiiji bxgxg
1
j = 1, 2, …, m
Dengan bj konstanta.
Masalah Pemrograman Nonseparabel
Jika fungsi obyektif atau fungsi kendala dari masalah optimasi
non separabel, masalah tersebut dinamakan masalah
pemrograman nonseparabel.
f. Klasifikasi Berdasarkan Kepada Banyaknya Fungsi Obyektif
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Bergantung kepada banyaknya fungsi obyektif yang diminimumkan,
masalah optimasi dapat diklasifikasikan sebagai masalah
pemrograman obyektif-tunggal dan multi obyektif.
Masalah Pemrograman Obyektif – Tunggal
Masalah optimasi yang hanya melibatkan sebuah fungsi obyektif
dinamakan pemrograman obyektif-tunggal. Pemrograman linier
merupakan salah satu contoh dari masalah pemrograman
obyektif-tunggal.
Masalah Pemrograman Multi Obyektif
Suatu masalah pemrograman multi obyektif dapat dinyatakan
sebagai berikut:
Minimumkan:
xfxfxf k,...,21
Tnxxxx ),...,,( 21
Dengan kendala:
𝑔𝑗 (x) ≤ 0, 𝑗 = 1,2, … , m
dimana 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑘 adalah fungsi – fungsi obyektif yang
diminimumkan secara simultan.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 3
PEMBAHASAN
Kajian pemodelan matematika berbentuk optimasi graf
Pada bab ini akan dikaji 4 model matematika yang berbetuk optimasi yaitu
a. Model matematika dari masalah minimal spanning Tree berbentuk Pemograman
Linear Biner
b. Model matematika masalah pewarnaan graf
c. Model matematika masalah bilangan stabil pada graf
d. Model matematika masalah hub
3.1. Model Matematika Dari Masalah Minimal Spanning
Sekelompok mahasiswa sedang melaksanakan kuliah kerja nyata di sebuah
daerah terpencil. Masalah yang dihadapi oleh masyarakat adalah ketiadaan
prasarana listrik. Untuk itu mahasiswa bermaksud membuat proposal untuk
membangun jaringan listrik yang menghubungkan beberapa desa terpencil.
Persoalan yang mereka hadapi adalah pada ruas jalan mana kabel harus
dibentangkan agar setiap desa dapat aliran listrik dan biaya pengadaan kabel
seminimal mungkin?
Persoalan mahasiswa ini dapat dimodelkan dengan menggunakan graf.
Masing – masing desa direpresentasikan sebagai sebuah titik dan ruas jalan
yang menghubungkan dua desa direpresentasikan sebagai sebuah sisi, dimana
setiap sisi mempunyai bobot yang berbanding lurus dengan panjang ruas jalan.
Graf yang demikian disebut sebagai sebuahΓgraf berbobot, yakni sebuah graf G
(V,E) bersama dengan fungsi bernilai nyata w : E → R. Untuk setiap sisi {u, v}
di E(G) nilai dari w ({u, v} – disebut sebagai bobot dari sisi {u, v}. Agar setiap
desa mendapat aliran listrik, maka ruas jalan harus dipilih sehingga ruas-ruas
jalan terpilih membentuk sebuah pohon perentang dengan total panjang ruas
jalan seminimal mungkin. Jadi persoalan berubah menjadi persoalan
menentukan pohon perentang dengan total bobot sisi yang minimum. Persoalan
ini dikenal sebagai persoalan pohon perentang minimum. Pada gambar berikut
diberikan sebuah graf terhubung berbobot beserta dengan sebuah pohon
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
perentang minimum.
Gambar 3.1. Graf berbobot dan pohon perentang minimum
Pohon perentang minimum dapat dimodelkan dengan pemograman linier .
untuk itu kita definisikan
Persoalan kita menjadi
Min i
m
ii eew
1
Agar sisi – sisi terpilih membentuk sebuah pohon dua persyaratan harus
dipenuhi. Yakni pertama harus terpilih tepat n – 1 sisi dan kedua sisi – sisi
terpilih tidak membentuk lingkaran.
Kendala sisi – sisi terpilih tidak membentuk sebuah lingkaran dapat dimodelkan
dengan cara sebagai berikut. Andaikan S V(G), jadi untuk setiap S V(G)
dengan |S| 3 harus dijamin bahwa (S) tidak membentuk lingkaran. Kendala ini
dapat dinyatakan dengan
Se
i
i
Se ,1 3, SGVS
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Sehingga permodelan pemograman linier biner untuk persoalan pohon
perentang minimum adalah sebagai berikut:
Min i
m
ii eew
1
Kendala
m
ii ne
1
1
,1 Se
i
i
Se 3),( SGVS
Ket:
w(ei) = bobot pada sisi ei
n = banyaknya vertek
ei = sisi
GVS
S tidak memiliki lingkaran
Contoh
Bila e1 = {v1,v2}, e2= {v2,v3}, e3 = {v3,v4}, e4 = {v4,v1}, e5 = {v1,v3}, maka model
pemograman linier biner dari persoalan pohon perentang minimum pada graf
pada gambar di atas adalah sebagai berikut:
min
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
min 2e1 + 2e2 + 2e3 + e4 + e5
Kendala
e1 + e2 + e3 + e4 + e5 = 3
Untuk {v1,v2,v3}
e1 + e2 + e5 ≤ 2
Untuk { v1,v2,v4}
e1 + e4 ≤ 2
Untuk { v1,v3,v3}
e3 + e4 + e5 ≤ 2
Untuk { v2,v3,v4}
e2 + e3 ≤ 2
5,4,3,2,1,1,0 iei
Satu hal perlu dicatat bahwa pemodelan persoalan pohon perentang minimum
dengan pemograman linier memerlukan kendala yang cukup besar. Untuk graf
dengan n titik, terdapat
2
03
2i
nn
i i
n
i
n
2
4
1
4
0
424
64116
16 – 11
5 Kendala
3.2. Model Matematika Masalah Pewarnaan Graph
Definisi: k-colorabel pada suatu graph G(V,E) adalah banyaknya minimum k-
warna yang diberikan untuk setiap edge atau verteks pada G(V,E) sehingga
tidak ada dua edge atau verteks yang adjasen mempunyai warna yang sama.
Berikut ini adalah polinomial kombinatorik dari k-colorable suatu graph
G(V,E)
Fungsi Tujuan:
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Minimumkan
n
ii kx
1
Kendala:
1 0k
ix , untuk setiap vertex ( )i V G
1 2 1... 0k k k
i i j jx x x x ,untuk setiap edge { , } ( )i j E G
3.3. Model Matematika Masalah Bilangan Stabil Pada Graph
Definisi: Himpunan Stabil pada suatu graph G(V,E) adalah subset dari vertex –
vertex di V pada G(V,E) sehingga tidak ada dua vertex disubset tersebut yang
adjasen. Ukuran maksimal dari himpunan stabil tersebut disebut bilangan stabil.
Untuk membuat model kombinatorial dari bilangan stabil k suatu graph
G(V,H), dimisalkan variable ix yang menyatakan vertex ( )i V G dan vertex i
hanya dipilih atau tidak mempuai nilai 1 atau 0.Oleh karena itu bentuk
aljabarnya adalah 2 0,i ix x untuk setiap ( )i V G . Dan karena setiap vertex
yang beradjasent tidak boleh dalam satu himpunan maka jika ix sudah diberi
nilai 1, maka jx harus bernilai 0 untuk setiap i dan j beradjasen. Jadi untuk
setiap edge { , } ( )i j E G , bentuk persamaannya 0,i jx x selanjutnya dicari
total nilai ix dan misalkan total nilainya adalah k .Sehingga sistem persamaan
polynomial yang dperoleh adalah:
Fungsi Tujuan:
Maksimumkan
n
iix
1
Kendala:
2 0,i ix x untuk setiap vertex ( )i V G
0,i jx x untuk setiap edge { , } ( )i j E G
Merupakan sistem persamaan polinomial.
3.4. Model matematika masalah hub
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Untuk sisa makalah ini, kami mempertimbangkan masalah median p – hub
diskrit dimana n titik permintaan (asal / tujuan) adalah simpul grafik lengkap
dan biaya transportasi di antara titik permintaan i dan j sebanding dengan
Euclidean. Jarak dari i ke j.
Masalah median p – hub (HMP) dapat dirumuskan sebagai berikut:
Fungsi Tujuan:
Minimumkan
i j k mijkmijkmij CXWZ
Kendala:
k m
ijkmX 1untuk semua i, j (1)
k
k pY (2)
kijkm YX 0 untuk semua i, j, k, m (3)
mijkm YX 0 untuk semua i, j, k, m (4)
10 kY bilangan bulat untuk semua k, dimana (5)
Dimana;
ijkmX = pecahan arus dari asal i ke tujuan j yang diarahkan melalui hub di lokasi
k dan m dalam urutan itu
kY = 1 jika lokasi k adalah hub, jika 0 sebaliknya
ijW = arus dari lokasi i ke lokasi j
ijkmC = kmmjik CCC
dan
ijC = Biaya transportasi standar per unit dari lokasi i sampai j
Fungsi obyektif meringkas biaya transportasi untuk semua pasangan o-d.
Kendala (1) memastikan bahwa aliran untuk setiap pasangan o-d diarahkan
melalui beberapa pasangan hub dan consistraint (2) menetapkan p hub yang
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
tepat. Kendala (3) dan (4) memastikan bahwa arus diarahkan melalui lokasi
yang merupakan hub. Kendala (3) dan (4) dapat dinyatakan secara bergantian.
i j m
kijkm YpnnX 1 untuk semua k
i j m
mijkm YpnnX 1 untuk semua m
Solusi optimal akan memiliki semua Xijkm sama dengan nol atau satu,
karena total arus untuk setiap pasang o-d harus diarahkan melalui pasangan hub
biaya paling rendah. Perumusan HMP analog dengan rumusan masalah p –
median, kecuali bahwa masing-masing variabel nolnja nol dapat memaksakan
dua hub untuk terbuka. Masalah p – median dapat dirumuskan sebagai
Minimum
i kikiki cZWZ
Subject to k
ikZ 1untuk semua i (6)
k
k pY (7)
kik YZ 0 untuk semua i, k (8)
10 kY untuk semua bilangan bulat k, dimana (9)
ikZ = bilangan pecahan permintaan di lokasi i dipenuhi dari fasilitas di lokasi k
kY = 1 jika lokasi k adalah facility dan 0 jika sebaliknya
iW = permintaan di lokasi i
ikc = biaya transportasi dari lokasi i ke k
Kendala (6) dan (7) sama dengan batasan (1) dan (2), batasan (8) sama
dengan batasan (3) dan (4) dan batasan (9) sama dengan batasan (5). Ini juga
bisa diformulasikan dengan variabel nol – satu Zik, karena solusi optimalnya
adalah dengan semua Zik sama dengan nol atau satu.
Dalam banyak hal, dan pasangan dalam masalah median hub analog
dengan titik permintaan (simpul) dalam masalah p – median. Dalam masalah p
– median ada transportasi dari setiap titik permintaan ke fasilitas dan setiap titik
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
permintaan dialokasikan untuk meminimalkan biaya transportasi. Dalam
masalah median hub ada transportasi untuk masing-masing pasangan o-d, dan
masing-masing pasangan o-d dialokasikan. Atau diarahkan, untuk
meminimalkan biaya transportasi.
Perumusan O'Kelly tentang masalah lokasi hub (1987) membatasi setiap
node untuk dialokasikan ke satu hub dari antara p pilihan. Pemrograman integer
kuadrat ini untuk mulasi masalah medik p – hub alokasi tunggal (HMP-S)
adalah
Minimumkan i j k m
kmjmikjmjmikikij cZZcZcZWZ
Subject to k
ikZ 1untuk semua i (10)
k
k pY (11)
kik YZ 0 untuk semua i, k (12)
10 kY untuk semua bilangan bulat k, dimana (13)
10 ikZ untuk semua bilangan bulat i, k dimana (14)
ikZ = bilangan pecahan permintaan di lokasi i dipenuhi dari fasilitas di lokasi k
kY = 1 jika lokasi k adalah hub dan 0 jika sebaliknya
ijW = arus dari lokasi i ke j
ijc = biaya transportasi dari lokasi i ke j
Formulasi O’Kelly sebenarnya menggunakan bentuk kendala (12)
i
kik YpnZ 1 untuk semua k
Definisi variabel ikZ (kendala 14) ialah membatasi setiap titik permintaan
yang akan dialokasikan ke satu hub. Kendala (10) – (13) adalah analog dengan kendala
(6) – (9) pada masalah p – median. Memaksa alokasi atau variabel arus ikZ menjadi
nol satu menciptakan istilah kuadrat dalam fungsi objektif. Masalah median p – hub
alokasi tunggal telah disebut masalah loation p – hub dalam konteks lain.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Masalah HMP-S adalah masalah yang sangat sulit dipecahkan karena tujuan
kuadrat dan variabel nol-satu. (HMP, HMP-S, and masalah p – median adalah NP-
Sulit)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari pembahasan kajian ini ialah model optimasi graph
a. Untuk model spanning tree bentuk pemogramannya Linier Biner
b. Untuk Pewarnaan Graph bentuk pemogramannya Non Linier Biner
c. Untuk Bilangan Stabil pada Graph bentuk pemogramannya Non Liner Biner
d. Untuk Hub bentuk pemogramannya Linier Integer
4.2. Saran
Berdasarkan proses dan hasil penelitian, penulis menyampaikan beberapa saran
sebagai berikut:
1. Peneliti selanjutnya diharapkan meneliti masalah permodelan matematika
menggunakan lebih dari tiga fungsi tujuan.
2. Peneliti selanjutnya dapat menggunakan alat bantu atau software yang lebih
canggih, karena software LINGO 13.0 yang penulis pergunakan masih
terbatas.
3. Peneliti selanjutnya diharapkan mengkaji pemodelan matematika yang
mengombinasikan seluruh fungsi tujuan ke dalam satu fungsi tujuan untuk
menyelesaikan program tujuan ganda, sebagai perbandingan dengan metode
preferensi.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
DAFTAR PUSTAKA
Campbell, James F. 6 December 1996. Hub Location and the p-Hub Median Problem.
Diambil dari: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=2778175
Isnanto, Rizal. 1998. Pewarnaan Graf. Diambil dari:
http://eprints.undip.ac.id/32304/4/M98_Isnanto_chapter_I.pdf
Moengin, Parwadi. Februari 2009. Optimasi Teori, Metode dan Aplikasi. Universitas
Trisakti. Jakarta.
Syamsy, Saka. 5 November 2013. Pewarnaan Graf (Graph Clouring). Diambil dari:
http://dhukhasyamsy.blogspot.co.id/2013/05/pewarnaan-graf-graph-
coloring.html
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA