2.1Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Didaktik der AlgebraModul 5

Jürgen Roth

2.2Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Inhalt

Didaktik der Algebra

1 Ziele und Inhalte

2 Terme

3 Funktionen

4 Gleichungen

2.3Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Kapitel 2: TermeDidaktik der Algebra

menti.com ⇒ 18 07 72

2.4Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Inhalt

Kapitel 2: Terme

2.1 Variablenbegriff

2.2 Aspekte des Termbegriffs

2.3 Terme strukturieren

2.4 Lernen der Formelsprache

2.5Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Darstellungen in Beziehung setzen

http://www.juergen-roth.de/dynageo/kreis/kreis_umfang_inhalt.html

2.6Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Darstellungen in Beziehung setzen

Roth (2008). Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. Mathematik lehren 146, S. 17-21

www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/trapezflaeche_funktional.html • https://www.geogebra.org/m/dTuCuDs5

2.7Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

2.1 VariablenbegriffKapitel 2: Terme

2.8Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Variable

Buchstaben

bezeichnen in der Algebra in der Regel Variable.

treten in unterschiedlichen Kontexten auf.

Unbekannte: 2𝑥𝑥 + 1 = 7

Allgemeine Zahl: 𝑥𝑥 � 0 = 0

Veränderliche: 𝑥𝑥 ↦ 2𝑥𝑥 + 1

Platzhalter: 2𝑥𝑥 + 1

sollten einheitlich als „Variable“ bezeichnet werden.

𝑥𝑥𝑥𝑥

2.9Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Klassifizierung von Variablen

Freudenthal (1973) klassifiziert Variable nach der Art ihrer Verwendung:

Unbekannte Die Variable steht für ein Objekt (Zahl bzw. Term), das noch unbekannt ist, prinzipiell aber bestimmt werden kann.

UnbestimmteDie Variable steht für ein nicht bekanntes Objekt, das zu bestimmen nicht näher interessiert. Für die Variable können z.B. beliebige Zahlen eingesetzt werden und jedes Mal ergibt sich eine wahre Aussage (z. B. bei allgemeinen Regeln, Rechengesetzen, der Beschreibung von Beziehungen).

VeränderlicheVariable in funktionalen Zusammenhängen, in denen tatsächlich etwas variiert wird bzw. in denen die Veränderung betrachtet wird.

Freudenthal, Hans (1973): Mathematik als pädagogische Aufgabe, Band 1. Stuttgart: Klett, S. 256ff

𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑥𝑥

2.10Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Grundvorstellungen zu Variablen

Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, S. 45-49

Roth, J. (2008). Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. Mathematik lehren 146, S. 17-21

Ist die Variable ein Gegenstand, mit dem icheinfach umgehe – so etwas wie eine Black Box?

Einsetzungsaspekt

Gegenstandsaspekt

Grundvorstellung Verwendung der Variablen

Kalkülaspekt

Ist die Variable ein Platzhalter oder eine Leerstelle, wo ich etwas einsetze?

Ist die Variable eine Größe, mit der ich rechne wie mit Zahlen?

𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑥𝑥

Malle (1993) benennt Grundvorstellungen zu Variablen, die sich aus der Art ihrer Verwendung ergeben:

2.11Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Stadien des Umgangs mit Variablen

Stadium 0:Idee wird nicht angenommen

Die Idee der Formalisierung wird (noch) nicht angenommen.

Hier nehmen Schüler die Idee, Buchstaben für Zahlen zu setzen, nicht an.

Stadium 1:Symbolisches Beschreiben

Variable und symbolische Aus-drücke werden zur Beschrei-bung erkannter Muster genutzt.

Term und Variablen sind noch eng mit der Aufgabe verbunden. Zum Teil wird dieselbe Variable für verschiedene unbekannte Zahlen genutzt.

Stadium 2:Symbolisches Operieren

Erworbenes Wissen wird reorganisiert.

Schüler verstehen die Variable als verallgemeinerte Zahl und können Terme umformen.

Stadium 3: Formale Sprache als mentales Werkzeug

Formale Sprache wird zum gedanklichen Werkzeug und Instrument des Argumentierens.

Schüler wenden die Symbolsprache in unbekannten Situationen an um eigene Hypothesen zu beweisen.

Berlin (2010): Algebra erwerben und besitzen: Eine binationale empirische Studie in der Jgst. 5. Universität Duisburg-Essen.

http://duepublico.uni-duisburg-essen.de/servlets/DocumentServlet?id=22563

2.12Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Aspekte des Variablenbegriffs

Variable können Zahlen aus einem Bereich auf verschiedene Weisen „repräsentieren”.

Einzelzahlaspekt 𝑥𝑥 – 3 � 4 = 24Variable als beliebige, aber feste Zahl aus dem Bereich. Nur eine Zahl aus dem Bereich wird repräsentiert.

BereichsaspektVariable als beliebige Zahl aus dem Bereich.Jede Zahl des Bereichs wird repräsentiert.Dieser Aspekt tritt in zwei Formen auf:

Simultanaspekt ∀𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 ∈ ℝ 𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏 � 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 � 𝑐𝑐 ± 𝑏𝑏 � 𝑐𝑐Alle Zahlen aus dem Bereichwerden gleichzeitig repräsentiert.

Veränderlichenaspekt 𝑥𝑥 ↦ 𝑥𝑥𝑥 – 1 Änderungsverhalten? Alle Zahlen aus dem Bereich werdenin zeitlicher Aufeinanderfolge repräsentiert.

Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, S. 79-83

2.13Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

VeränderlichenaspektRoth, J. (2006). Terme dynamisch – Mit Tabellen Terme analysieren. Mathematik lehren 137, S. 14-16

http://www.juergen-roth.de/terme

2.14Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

2.2 Aspekte des TermbegriffsKapitel 2: Terme

2.15Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Was ist ein Term?

Terme sind formal Zeichenreihen, die selbst Zahlen darstellen oder durch Einsetzen von Zahlen in Zahlen übergehen.

Jede Zahl ist ein Term.

Jede Variable ist ein Term.

Sind 𝑇𝑇1 und 𝑇𝑇2 Terme, dann sind auch 𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 , 𝑇𝑇1–𝑇𝑇2 , 𝑇𝑇1 · 𝑇𝑇2 , 𝑇𝑇1 ∶ 𝑇𝑇2 , …

Terme.

Sind 𝑇𝑇1 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 , 𝑇𝑇2 und 𝑇𝑇3Terme, dann ist auch𝑇𝑇1 𝑇𝑇2,𝑇𝑇3 ein Term.

Beispiele

𝑇𝑇1 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 Variable

𝑇𝑇2 = 5 Zahl

𝑇𝑇3 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Summe

𝑇𝑇4 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 5 Differenz

𝑇𝑇5 𝑐𝑐 = 10 � 𝑐𝑐 Produkt

𝑇𝑇6 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦3

Quotient

𝑇𝑇3 𝑇𝑇4 𝑥𝑥 ,𝑇𝑇5 𝑐𝑐= 𝑥𝑥 − 5

𝑇𝑇4(𝑥𝑥)+ 10 � 𝑐𝑐

𝑇𝑇5(𝑐𝑐)Summe

2.16Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Grundvorstellungen zu Termen

Term als

Siller, H.-S.; Roth, J. (2016). Herausforderung Heterogenität: Grundvorstellungen als Basis und Bezugsnorm − das Beispiel Terme.Praxis der Mathematik in der Schule, 58(70), S. 2-8

Roth, J. (2008). Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. Mathematik lehren 146, S. 17-21

(𝑝𝑝 � 𝑥𝑥 + 𝐺𝐺) · 1,19

2 · (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 2 · 𝑎𝑎 + 2 · 𝑏𝑏

Vereinfachung von Berechnungen

Zulässige Veränderung des Bauplans

Wertgleichheit Strukturgleichheit

𝐴𝐴𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 =𝑎𝑎 + 𝑐𝑐

2� ℎ

Termum-formung

Beispiel

Rechenschema Bauplan

Gleichheit

2.17Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Term als Rechenschema

Monatliche Stromkosten:monatl. Verbrauch: 𝑥𝑥 kWhVerbrauchspreis: 0,15 €/kWhGrundpreis: 7 €Mehrwertsteuer: 19 %

Rechenschema:(0,15 · 𝑥𝑥 + 7) · 1,19

Mit Variablen:monatl. Verbrauch: 𝑥𝑥Verbrauchspreis: 𝑝𝑝Grundpreis: 𝐺𝐺

allgemeines Rechenschema:(𝑝𝑝 � 𝑥𝑥 + 𝐺𝐺) · 1,19

In der Praxis: Tabellen als BerechnungsschemataVerbrauch

in kWhEinzelpreis in €/kWh

Zwischen-ergebnis Grundpreis Netto Rech-

nungsbetragMehrwert-

steuer 19 %Rechnungs-

betrag

0 0,15 0,00 € 7,00 € 7,00 € 1,33 € 8,33 €1 0,15 0,15 € 7,00 € 7,15 € 1,36 € 8,51 €2 0,15 0,30 € 7,00 € 7,30 € 1,39 € 8,69 €

2.18Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Term als „Bauplan“

·5 c

–a 3

:5

+b2

·3

–

–

[(a – 3) : 5 – 3 · (2 + b)] – 5c

2.19Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Term als „Bauplan“

Der Term ist eine Differenz.Minuend: Differenz

Minuend: QuotientDividend: Differenz

Minuend: aSubtrahend: 3

Divisor: 5Subtrahend: Produkt

1. Faktor: 32. Faktor: Summe

1. Summand:22. Summand:b

Subtrahend: Produkt1. Faktor: 52. Faktor: c

[(a – 3) : 5 – 3 · (2 + b)] – 5c

2.20Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Kalkülvorstellung

Aufgabe 1 (Kalkülvorstellung)Die Strohhalme sollen die Begrenzungen beliebiger ebener Figuren darstellen.Legt verschiedene Figuren und gebt zu jeder Figur den zugehörigen Term zur Berechnung des Flächeninhalts und des Umfangs an (zuerst in ausführlicher und dann in möglichst kurzer Form).Versucht eine entsprechende Regel zu finden.

U = 2 ⋅ 𝑎𝑎 + 2 ⋅ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎= 8 ⋅ 𝑎𝑎

𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎 + 2 ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎= 𝑎𝑎2 + 2 ⋅ 𝑎𝑎2= 3 ⋅ 𝑎𝑎2

Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46

2.21Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Kalkülvorstellung

Aufgabe 1 (Kalkülvorstellung)Typische Lösungsansätze und Fehler

Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46

Grundvorstellung zu Termen?

2.22Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Kalkülvorstellung und Einsetzungsvorstellung

Aufgabe 2 (Kalkülvorstellung)Legt aus 5 Rechtecken eine Figur.Beschreibt den Flächeninhalt auf unterschiedliche Arten.

Aufgabe 3 (Einsetzungsvorstellung)Setzt nacheinander für 𝑥𝑥 die Zahlen −4,−3,−2, … , 2, 3, 4in die folgenden Terme ein.Fertigt eine Tabelle an und be-schreibt eure Beobachtungen.

a) 2 ⋅ 𝑥𝑥 + 3b) 3 ⋅ 𝑥𝑥 + 4c) −2 ⋅ 𝑥𝑥 + 3d) 𝑥𝑥 − 1 ⋅ 𝑥𝑥 − 1

Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46

𝒛𝒛

𝒛𝒛

𝒄𝒄

𝒄𝒄

𝒛𝒛

𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙 𝒛𝒛

𝒂𝒂

Grundvorstellung zu Termen?

2.23Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Einsetzungsvorstellung

Aufgabe 3 (Einsetzungsvorstellung)Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46

𝒙𝒙 −𝟒𝟒 −𝟑𝟑 −𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟒𝟒2 � 𝑥𝑥 + 3 −5 −3 −1 1 3 5 7 9 11

2 2 2 2 2 2 2 2

𝒙𝒙 −𝟒𝟒 −𝟑𝟑 −𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟒𝟒3 ⋅ 𝑥𝑥 + 4 −8 −5 −2 1 4 7 10 13 16

3 3 3 3 3 3 3 3

𝒙𝒙 −𝟒𝟒 −𝟑𝟑 −𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟒𝟒𝑥𝑥 − 1 � 𝑥𝑥 − 1 25 16 9 4 1 0 1 4 9

9 7 5 3 1 −1 −3 −52 2 2 2 2 2 2

𝒙𝒙 −𝟒𝟒 −𝟑𝟑 −𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟒𝟒−2 ⋅ 𝑥𝑥 + 3 11 9 7 5 3 1 −1 −3 −5

−2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2

2.24Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Gegenstandsvorstellung

Aufgabe 4 (Gegenstandsvorstellung)Schaut euch die Reihe aus regelmäßig wachsenden Plättchenmustern genau an und versucht sie fortzusetzen.a) Gebt jeweils die Gesamtzahl

der Plättchen im Muster an.b) Stellt einen allgemeinen

Term auf, mit dem man die Gesamtzahl der Plättchen bestimmen kann (ohne alle Plättchen zu zählen).

Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46

2.25Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Gegenstandsvorstellung

Aufgabe 4 (Gegenstandsvorstellung)Zugänge und Strategien

Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46

2.26Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

2.3 Terme strukturierenKapitel 2: Terme

2.27Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

KlammergebirgeKortenkamp, U. (2006): Terme erklimmen – Klammergebirge als Strukturierungshilfe. Mathematik lehren 136, S. 14-16

https://vimeo.com/11653437

98 − 20 − 4 · 3 ∶ 10 − 1 =𝟖𝟖

𝟗𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎

= 10

Ein Werkzeug zur Strukturierung von Termen (98 −(20 − 4 ⋅ 3))∶(10 − 1)

2.28Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Regeln und Formeln

Regeln sind in zwei Richtungen lesbar!

𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐

Terme einsetzen

(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ⋅ 2𝑢𝑢 + 3𝑣𝑣 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ⋅ 2𝑢𝑢 + (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ⋅ 3𝑣𝑣

Doppelfunktion von Termen in Regeln

Objekt einer Termumformung

Regel fürTermumformungen

2.29Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Regelhierarchie

Regeln

Für Termumformungenmuss man rechnen können! (u. a. mit Brüchen und negativen Zahlen)

Klammern werden (von innen nach außen) zuerst berechnet.

Von Links nach Rechts

Punkt vor Strich

Potenzen!? Beispiel: 15 + 2 � 32

Andreas: 15 + 2 � 32 = 51Bernd: 15 + 2 � 32 = 2601Carolin: 15 + 2 � 32 = 33Welches Ergebnis ist richtig?

Regel zu Potenzen notwendig?

Reihenfolge der Regeln?

2.30Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Sprechen über Termumformungen

Frage nach dem „Warum?“:

Zielangabe„Ich möchte in 2 � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦die Klammer auflösen.“

Wegangabe„Ich multipliziere jeden Summanden mit 2.“

Begründung„Nach dem Distributivgesetz gilt: 𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 � 𝑐𝑐“

Warum?Weg?

2.31Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

2.4 Lernen der FormelspracheKapitel 2: Terme

2.32Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Lernen der Formelsprache

2.33Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Lernen der Formelsprache

1. Intuitiv GebrauchenVerankerung der Sprache im Umgang mit Zahlen und Größen. Nicht über Sprachelemente reden, sondern sie verwenden.

2. ReflektierenSprachelemente, ihre Verwendung und Erfahrungen mit ihnen reflektieren. Über Variable, Terme und den Umgang mit ihnen sprechen.Geeignete Bezeichnungen einführen.

3. Erkunden und AneignenAusdrucksmöglichkeiten erkundenRegeln entdecken und anwenden. Handlungsmuster bei Termumformungen einprägen. Sicherheit im Umgang mit der Sprache erwerben.

4. NutzenNeue Einsichten in mathemati-sche Sachverhalte gewinnen.Kenntnisse vertiefen.

5. ErweiternBruch-, Wurzel-, Potenzrechnung, ⇒ neue Terme Trigonometrie

2.34Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheIntuitiv Gebrauchen

2.35Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheReflektieren

2.36Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErkunden und Aneignen

2.37Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErkunden und Aneignen

2.38Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErkunden und Aneignen

Sind diese Terme äquivalent?

𝑇𝑇1 𝑥𝑥 =32𝑥𝑥

𝑇𝑇1 0 = 0

𝑇𝑇1 1 =32

𝑇𝑇1 2 = 3

𝑇𝑇1 3 =92

𝑇𝑇1 4 = 6

𝑇𝑇2 𝑥𝑥 =14𝑥𝑥4 −

32𝑥𝑥3 +

114𝑥𝑥2

𝑇𝑇2 0 = 0

𝑇𝑇2 1 =32

𝑇𝑇2 2 = 3

𝑇𝑇2 3 =92

𝑇𝑇2 4 = 12

2.39Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErkunden und Aneignen

http://www.juergen-roth.de/dynageo/termaequivalenz/

2.40Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErkunden und Aneignen

Mateos (2011): Enaktive Zugänge zu Termen mit Streichhölzern und Wendeplättchen in Klasse 8. MNU 64(7), S. 397-401

2 ⋅ 𝑛𝑛 + 2 ⋅ 𝑛𝑛 − 2 4 ⋅ 𝑛𝑛 − 14 · 𝑛𝑛 − 4

𝑛𝑛2 − (𝑛𝑛 − 2)24 · 𝑛𝑛 − 2 + 4

Aus wie vielen Punkten besteht das Quadratmuster, wenn eine Seite des Quadrates aus n Punkten besteht?

2.41Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErkunden und Aneignen

Aus wie vielen kleinen Würfeln bestehtein 𝑛𝑛-Würfel der längs einer Kante aus 𝑛𝑛kleinen Würfeln zusammengesetzt ist?

Stellen Sie möglichst viele verschiedeneZählterme auf, und zeigen Sie dieÄquivalenz dieser Terme.

Was spricht dafür, im Unterricht mehrereLösungswege für eine Aufgabe zuerarbeiten?

Wie viele Kanten der kleinen Würfel sindbeim 𝑛𝑛-Würfel sichtbar?Hinweis: Kanten, an denen zwei oder mehrWürfel zusammenstoßen, werden nur einmalgezählt.

96𝑛𝑛 − 144

12𝑛𝑛 − 16

2.42Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErkunden und Aneignen

Sinn von TermumformungenGedächtnis entlasten

numerisch Berechnungen vereinfachen

Formeln vereinfachen oder auf eine bestimmte Gestalt bringen

Größen können wegfallen ⇒Nicht-Abhängigkeiten

können erkannt werden

aus einer Formel verschiedene Zusammenhänge bzw. Interpretationen herauslesen

Hilfsmittel zum Gleichungslösen

2.43Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErkunden und Aneignen

Zuweisungszeichen (Handlungszeichen)

Vergleichszeichen (Beziehungszeichen)

Lernziel:Ergänzen um

Grundvorstellungen zum Gleichheitszeichens

Aufgabe → Ergebnis Vergleich

2.44Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErkunden und Aneignen

Erarbeitung der Termumformungen

1. Schritt: Ordnen

2. Schritt: Zusammenfassen

3. Schritt: Klammern auflösen

5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦 − 2𝑥𝑥= 5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥= 5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥= 5 + 6 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4 − 2 𝑥𝑥= 11𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥= 𝑥𝑥 � 11𝑦𝑦 + 2

5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦 − 2𝑥𝑥= 5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥= 11𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥= 𝑥𝑥 � 11𝑦𝑦 + 2

Zunächst Später

2.45Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErkunden und Aneignen

EinstiegDie Seitenlänge 𝒂𝒂 eines Quadrats wird um 𝒃𝒃 vergrößert. Wie ändert sich der Flächeninhalt des Quadrates?𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 2

Erarbeitung𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2

= 𝑎𝑎2

Sicherung𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 2 = 𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 heißt

1. binomische Formel (Plusformel).

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2, 𝑥𝑥 + 3 2, 5 + 𝑧𝑧 2, 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 2, 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦3 2, 𝑐𝑐2 + 2𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑐𝑐2, …

VertiefungVerwandle (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)𝑥 in eine Summe.Lässt sich diese Aussage geometrisch deuten? …

http://www.juergen-roth.de/dynageo/binomische_Formeln/binomische_Formeln.html

𝒂𝒂𝑥

𝒃𝒃𝑥𝒃𝒃

𝒃𝒃

𝒂𝒂

𝒂𝒂

𝒂𝒂𝒃𝒃

𝒂𝒂𝒃𝒃

Probleme(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑥 = 𝑎𝑎𝑥 + 𝑏𝑏𝑥

(2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑣𝑣𝑣𝑣)𝑥

= 𝒂𝒂2 + 𝒃𝒃2+ 2𝒂𝒂𝒃𝒃

= 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)

+ 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2

2.46Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheNutzen

Algebraischer Beweis zum Satz des Pythagoras von J.A. Garfield (1881 Präsident der U.S.A.)(1) 𝐴𝐴Trapez = 𝐴𝐴∆1 + 𝐴𝐴∆2 + 𝐴𝐴∆3

= 12𝒂𝒂𝒃𝒃 + 1

2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 1

2𝒄𝒄2

= 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 12𝒄𝒄2

(2) 𝐴𝐴Trapez = 𝑎𝑎+𝑐𝑐2⋅ ℎ = 𝒂𝒂+𝒃𝒃

2⋅ (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)

= 12𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 2

= 12𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2

Gleichsetzen der Terme aus (1) und (2) liefert:12𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 = 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 1

2𝒄𝒄2

𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 = 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒄𝒄2

𝒂𝒂2 + 𝒃𝒃2 = 𝒄𝒄2

| ⋅ 2

| − 2𝑎𝑎𝑏𝑏

∎

𝐴𝐴Trapez: Flächeninhaltdes Trapezes

𝚫𝚫𝟏𝟏

𝒂𝒂

𝒂𝒂𝒃𝒃

𝒃𝒃𝒄𝒄

𝒄𝒄

𝚫𝚫𝟐𝟐

𝚫𝚫𝟑𝟑

2.47Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheNutzen

Entdecken von SachverhaltenInduktiv, deduktiv o. Hypothesen widerlegenBeispiel: „Quadrieren vergrößert.“

Formulieren der Sachverhalteals mathematische Aussagen

Begründen der AussagenLogische Struktur (Voraussetzung, Behauptung) herausarbeitenZiele des Begründens

Wahrheit einer Aussage sichernEinsicht in den Sachverhalt vermitteln

Verstehen der Sachverhalte

Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, die zu (neuen) mathematischen Erkenntnissen führen

Fallunter-scheidung

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5

0 5

0,5

1

1,5

2

2,5

3

x

y

22 = 4 > 232 = 9 > 342 = 16 > 4

𝑎𝑎2 > 𝑎𝑎⇔ 𝑎𝑎 ∈ ℝ\[0; 1]

2.48Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErweitern

PermanenzprinzipErweiterungen so, dass die bisherigenGesetze & Rechenregeln gültig bleiben!Bei Erweiterungen jeweils überprüfen!

Potenzen mit Exponenten aus ℕ:Beispiel: 25 = 2 � 2 � 2 � 2 � 2

5 Faktoren

Definition: Für 𝑎𝑎 ∈ ℝ und 𝑛𝑛 ∈ ℕ mit 𝑛𝑛 ≥ 2 gilt: 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≔ 𝑎𝑎 � 𝑎𝑎 � … � 𝑎𝑎 � 𝑎𝑎𝑛𝑛 Faktoren

Bezeichnungen:

Beispiel: Potenzen

𝑎𝑎𝑛𝑛Exponent

BasisPotenz

2.49Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErweitern

Rechengesetze: 𝑚𝑚,𝑛𝑛 ∈ ℕ\{1} und 𝑎𝑎 ∈ ℝ

𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚 ∶ 𝑎𝑎𝑛𝑛

= 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚 Faktoren

⋅ 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛 Faktoren

𝑚𝑚+𝑛𝑛 Faktoren

Def. = 𝑎𝑎𝑚𝑚+𝑛𝑛Def.

=𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚 Faktoren

𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛 Faktoren

Def. =

𝑎𝑎𝑚𝑚−𝑛𝑛 für 𝑚𝑚 > 𝑛𝑛1 für 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛

1𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑚𝑚

für 𝑚𝑚 < 𝑛𝑛

Kürzen!

2.50Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErweitern

Rechengesetze: 𝑚𝑚,𝑛𝑛 ∈ ℕ\{1} und 𝑎𝑎 ∈ ℝ

𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛 Faktoren

Def.

= 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚 Faktoren

⋅ … ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚 Faktoren

𝑛𝑛 Klammern

= 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚⋅𝑛𝑛 Faktoren

= 𝑎𝑎𝑚𝑚⋅𝑛𝑛Def.

Def.

2.51Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErweitern

Rechengesetze: 𝑚𝑚,𝑛𝑛 ∈ ℕ\{1} und 𝑎𝑎 ∈ ℝ

𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎1

𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎

Da die Gleichung 𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑚𝑚+1 eindeutig lösbar bleiben sollen, muss festgelegt werden: 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝒂𝒂

𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎0

𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 1

Da die Gleichungen 𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑚𝑚 eindeutig lösbar bleiben sollen, muss festgelegt werden: 𝒂𝒂𝟎𝟎 = 𝟏𝟏

= 𝑎𝑎𝑚𝑚+1Def.= 𝑎𝑎𝑚𝑚+1

= 𝑎𝑎𝑚𝑚+0 = 𝑎𝑎𝑚𝑚

= 𝑎𝑎𝑚𝑚 1 ist neutrales Elementder Multiplikation.

2.52Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErweitern

Rechengesetze: 𝑛𝑛 ∈ ℕ und 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ

𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ 𝑏𝑏𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑛𝑛 ∶ 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛

= 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛 Faktoren

⋅ 𝑏𝑏 ⋅ … ⋅ 𝑏𝑏𝑛𝑛 Faktoren

Def.

= 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏𝑛𝑛 Faktoren

= 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 𝑛𝑛Def.Kommutativgesetz

Assoziativgesetz

=𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛 Faktoren

𝑏𝑏 ⋅ … ⋅ 𝑏𝑏𝑛𝑛 Faktoren

Def.=

𝑎𝑎𝑏𝑏⋅ … ⋅

𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑛𝑛 Faktoren

=𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑛𝑛Def.

𝑏𝑏 ≠ 0

2.53Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErweitern

Potenzen mit Exponenten aus ℤ: 𝑛𝑛 ∈ ℕ0 und 𝑎𝑎 ∈ ℝ\{0}

𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ 𝑎𝑎−𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ 1𝑎𝑎𝑛𝑛

Da die Gleichung 𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ 𝑥𝑥 = 1 eindeutig lösbar bleiben soll, muss festgelegt werden:

𝒂𝒂−𝒏𝒏 =𝟏𝟏𝒂𝒂𝒏𝒏

Damit vereinfacht sich der Quotient zweier Potenzen mit gleicher Basis zu:

𝒂𝒂𝒎𝒎

𝒂𝒂𝒏𝒏= 𝒂𝒂𝒎𝒎−𝒏𝒏

= 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 = 1

= 𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑛𝑛= 1

2.54Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FormelspracheErweitern

Potenzen mit Exponenten aus ℚ: 𝑛𝑛 ∈ ℕ und 𝑎𝑎 ∈ ℝ+

Die bisherigen Rechengesetze sollen unverändert erhalten bleiben (Permanenzprinzip):

𝑎𝑎1𝑛𝑛

𝑛𝑛

D. h. 𝑎𝑎1𝑛𝑛 sollte als reelle Lösung der Gleichung 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 definiert

werden. Da man aber die einzige reelle Lösung dieser Gleichung, nämlich 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎 bereits kennt, muss man definieren:

𝒂𝒂𝟏𝟏𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 𝒂𝒂

Potenzen mit Exponenten aus ℝ:Potenzen mit irrationalen Exponenten lassensich über Intervallschachtellungen definieren.

= 𝑎𝑎1𝑛𝑛⋅𝑛𝑛 = 𝑎𝑎

𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1= 𝑎𝑎

2.55Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Kontrolle bei Termumformungen

𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 2 + 1𝑥𝑥 + 3 + 3

8 + 4𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥𝑥𝑥

𝑥𝑥3

= 𝑥𝑥2

Semantische KontrolleEinzelbeispiele

Numerische KontrolleWertetabellen

Graphische KontrolleVergleich der Graphen

Automatische Umformungvollständigschrittweise

Spiegel, H. (1995). Ist 1 ∶ 0 = 1? Ein Brief – und eine Antwort. Grundschule 27(5), S. 8

Warum darf man eigentlich nicht durch Null teilen?

? ?

2.56Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Interessante Fragen

Was bedeutet 𝟎𝟎𝟎𝟎?

Vgl. Penßel, Penßel, Roth (1990). Was ist 00? In: Basis Mathematik, 10 Algebra. München: BSV

Ist folgendes richtig?

𝑎𝑎𝑛𝑛�𝑟𝑟𝑛𝑛�𝑠𝑠 = 𝑎𝑎

𝑟𝑟𝑠𝑠 = 𝑎𝑎

1𝑠𝑠𝑇𝑇

= 𝑎𝑎𝑇𝑇1𝑠𝑠

Ja, falls 𝑎𝑎 > 0!

Beispiel−2 2 = 4ist definiert.

−242 = −2

12

4

ist nicht definiert!

−242 = −2 4

12 = 16

12 = 4

ist definiert!