Didaktik der Algebra und Funktionenlehre 3 Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl für Didaktik der...
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Didaktik der Algebra und Funktionenlehre 3
Prof. Dr. Kristina ReissLehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Universität Augsburg
Wintersemester 2004/05
Gleichungen und
Ungleichungen
Problem
„Eine gegebene Strecke ist so zu teilen, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.
Skizze
M
F=M2
m
m
a
F=am
Gleichung
am = M2
a = M+m(M+m)•m = M2
(M/m)2 - M/m - 1 = 0
Lösung
M/m = (1±5)/2
http://www.kmk.org/aktuell/home1.htm
Lehrplan Realschule
Lehrplan Realschule
M 7.3 Terme und Gleichungen
Beim Diskutieren von Abhngigkeiten und Begrnden von Sachverhalten stellen die Schler fest, dass das
Umformen von Termen bzw. das Lsen von Gleichungen ntig ist. Im Sinne kumulativen Lernens ben sie die
grundlegenden Techniken ein, die sie im weiteren Verlauf des Schuljahrs und in den nachfolgenden
Jahrgangsstufen vertiefen.
M 7.3.2 Lsen von Gleichungen (ca. 9 Std.)
Das Mathematisieren von Sachzusammenhngen fhrt hufig zu linearen Gleichungen mit einer Variablen. Die
Schler gewinnen Verstndnis fr das systematische Lsen dieser Gleichungen und lernen, einen
Lsungsalgorithmus sicher anzuwenden. Dabei wird ihnen bewusst, dass sie die durch das Kalkl gewonnene
Lsung kritisch reflektieren mssen.
- Begriff der linearen Gleichung mit einer Variablen
- Aufstellen und Lsen solcher Gleichungen
M 7.6 Vertiefen der Algebra (ca. 12 Std.)
Die Schler mathematisieren erneut Sachzusammenhnge durch Terme oder Gleichungen. Dabei whlen sie die der
jeweiligen Problemstellung angemessene Strategie, erkennen Sinn und Nutzen der bereits erlernten Techniken und
vertiefen diese in vielfltigen Anwendungen. Um f lexibel einsetzbare Grundlagen zu entwickeln, steht vor allem die
Verknpfung der verschiedenen erlernten Kenntnisse und Methoden im Vordergrund. Die Schler verbessern ihre
Fhigkeit, mit Hilfe von Termen bzw. Gleichungen zu argumentieren und Zusammenhnge zu verbalisieren. Dabei
wiederholen und vertiefen sie gezielt den Umgang mit den bisher bekannten Gr§en und deren Einheiten.
Lehrplan für die Klasse 7 (G8)
Lehrplanentwurf für die Klassen 8 und 9 (Gymnasium)
Lehrplanentwurf für die Klasse10 (Gymnasium)
Gleichung
• zentraler Begriff in der Mathematik bis zu
Beginn des 20. Jahrhunderts
• bedeutende Rolle in der Algebra
• Mathematik als Theorie der Gleichungen
Viele bedeutende Sätze in der Mathematik
können dem Lösen bzw. der Gültigkeit von
Gleichungen zugeordnet werden.
Beispiele:
• Satz von Fermat-Wiles
• Chinesischer Restsatz
• Fundamentalsatz der Algebra
Satz von Fermat-Wiles
Die Gleichung xn+yn=zn hat für die ganzen Zahlen x,y,z und eine natürliche Zahl n≥3 nur triviale Lösungen.
Die große Bedeutung von Gleichungen als
Ausdrucksmittel in der Mathematik wird deutlich,
wenn man die Verwendung von Gleichungen in
verschiedenen Teilgebieten betrachtet.
Beispiele sind:
• Zahlen
• Terme
• Funktionen
Zahlen
Für den Bereich der Zahlen gilt, dass grund-
legende Eigenschaften der Zahlbereiche formal
durch Gleichungen beschrieben werden
(Kommutativgesetz, Assoziativgesetz ...).
Auch Beziehungen zwischen Rechenoperationen
werden durch Gleichung ausgedrückt:
a + b = c a = b - c.
Terme
Termumformungen basieren auf Gleichungen. Hier
handelt es sich um allgemeingültige Gleichungen,
bei denen beide Seiten Terme sind.
Terme ergeben sich häufig als Rechenschemata, die
durch Umformungen zu Formeln werden. Formeln
sind wiederum ein anderer Typ von Gleichungen.
Funktionen
Eigenschaften von Funktionen werden ebenfalls
häufig durch Gleichungen ausgedrückt, so z.B. die
Symmetrie zur y-Achse: f(x) = f(-x).
Aber auch die Verwendung von Funktionen liefert
Gleichungen (z.B. bei der Nullstellenberechnung).
Aspekte zum Umgang mit Gleichungen im
Unterricht sind
• Lernen von Algorithmen für Gleichungen,• Umformen von Gleichungen,• Lösen von Sachaufgaben.
Bei den Algorithmen für Gleichungen geht es vor
allem um Algorithmen zum Gleichungslösen.
Ein schnelles und sicheres Lösen von
Gleichungen beruht auf einer algorithmischen
Lösungsstrategie.
Das sichere Beherrschen eines Algorithmus setzt
verschiedene, hierarchisch geordnete Fähigkeiten
voraus. Beim Lösen von linearen Gleichungen
beispielsweise sind dies Kenntnisse über
• globale Vereinfachungsstrategien für lineare Gleichungen,
• Äquivalenzumformungen für Gleichungen,• Termumformungen,• Grundrechenarten.
Das Entwickeln von Algorithmen zur Lösung von
Klassen bestimmter Aufgaben ist eine
mathematisch kreative Leistung. Die Fähigkeit zur
Algorithmisierung ist von großer Bedeutung und ist
Ziel des Mathematikunterrichts.
Demgegenüber ist eine Überbetonung des
algorithmischen Arbeitens zu vermeiden, da
dadurch Problemlösefähigkeiten nicht gefördert
werden. Algorithmisches Arbeiten dient vor allem
dazu, bei Problemlöseaufgaben Teile des Problems
ohne großen Aufwand zu bearbeiten und somit den
Kern des Problems im Auge zu behalten.
Umformen von Gleichungen
• Termumformungen, bei denen beide Seiten der
Gleichung unabhängig voneinander und• Äquivalenzumformungen von Gleichungen, bei
denen beide Seiten abhängig voneinander
umgeformt werden.
Äquivalenzumformung: Waagemodell
Nach dem Waagemodell kann man auf beiden
Seiten der Gleichung das Gleiche tun, so wie
man bei einer (Balken-)Waage im Gleichgewicht
auf beiden Waagschalen gleiche Gewichts-
veränderungen vornehmen kann, ohne dass die
Waage aus dem Gleichgewicht gerät.
Nachteil: z.B. die Multiplikation einer Gleichung
mit negativen Zahlen kann nicht erklärt werden.
Äquivalenzumformung:
Elementarumformungsregeln
Bei Elementarumformungsregeln handelt es
sich um zwei grundlegende Regeln:
additiv: A + B = C A = C - B,
multiplikativ: A · B = C A = C : B (B 0).
Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Real-schulen 7. Frankfurt: Diesterweg.
Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7. Frankfurt: Diesterweg.
Frau Schön ist dreimal so alt wie ihre Tochter Steffi. In 4 Jahren wird sie achtmal so alt sein, wie ihre Tochter vor 7 Jahren war. Wie alt sind beide jetzt?
Mischt man 5 Liter Obstsaft mit 61% Fruchtgehalt mit 9 Litern Obstsaft, der einen anderen Fruchtgehalt hat, so erhält man Obstsaft mit einem Fruchtgehalt von 70%. Welchen Fruchtgehalt hat die zweite Sorte Obstsaft?
Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.
Anwendungsaufgaben
Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.
Lösen von Sachaufgaben
Sachaufgaben/Textaufgaben sind i.a. bei Schülern
besonders unbeliebt. Das Hauptproblem besteht
dabei in der Erfassung der relevanten Informationen
und dem Aufstellen einer Gleichung. Das Lösen der
Gleichung dagegen bereitet dann weniger Probleme.
Viele Sachaufgaben, die im Mathematikunterricht
behandelt werden, sind sog. „eingekleidete
Aufgaben“, deren Inhalt in der Regel keinen Sinn
gibt. Dennoch haben einige dieser Aufgaben einen
Knobelcharakter, der durchaus motivierend wirken
kann.
Beispiel:
Eine fünfköpfige Familie ist zusammen 142 Jahre
alt. Die Tochter ist halb so alt wie die Mutter, die
um vier Jahre jünger ist als der Vater. Der Sohn
ist um vier Jahre jünger als seine Schwester und
um ein Jahr älter als sein Bruder. Wie alt sind die
einzelnen Personen?
Forderungen
Sachaufgaben sollen:
• echte Umweltprobleme der Schüler ansprechen;• einfach und klar in den Formulierungen sein, so
dass Angaben und Problem unmittelbar zu erkennen sind;
• Mathematisierungsprozesse einleiten können, die ohne mathematische Hilfsmittel nicht oder nur schwer lösbar sind.
Notwendige Fähigkeiten zur Bearbeitung von
Textaufgaben:
nach Vollrath, 1994
Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7. Frankfurt: Diesterweg.
Bei den Schülern zeigen sich im wesentlichen
zwei verschiedene Strategien beim Bearbeiten
von Textaufgaben. Dabei liegt der Fokus
- auf der gesuchten Größe,
- auf Beziehungen zwischen Größen.
Fokus auf der gesuchten Größe:
Ein Schüler
- ermittelt und benennt die gesuchte Größe,
- setzt damit Terme zusammen,
- setzt die Terme in Relation.
Beispiel, bei dem sich diese Strategie anbietet:
Zwei Zahlen unterscheiden sich um 2. Vermehrt
man jede der beiden Zahlen um 3, so nimmt ihr
Produkt um 45 zu. Wie heißen die beiden Zahlen?
Fokus auf Beziehungen zwischen Größen:
Ein Schüler
- erkennt eine Relation, die der Aufgabe
zugrunde liegt,
- setzt Terme in Relation zueinander,
- drückt die Relation durch Terme aus.
Beispiel, bei dem sich diese Strategie anbietet:
Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang
von 15 cm. Jeder Schenkel ist doppelt so lang wie
die Grundlinie. Wie lang sind die Seiten?
Zum Teil sind die Aufgabentexte übersetzungs-
freundlich:
Die Zahl der Studenten ist sechsmal so groß wie
die Zahl der Professoren.
Zum Teil sind sie aber auch tückisch:
Auf einen Professor kommen sechs Studenten.
Den Übersetzungsvorgang beschreibt Malle (1993)
in drei Schritten:
1. Vom Text zur konkret-anschaulichen
Wissensstruktur,
2. Von der konkret-anschaulichen Wissensstruktur
zur abstrakt-formalen Wissensstruktur,
3. Von der abstrakt-formalen Wissensstruktur zur
Formel.
Jeder Schritt ist dabei fehleranfällig.
Nach der (mathematischen) Bestimmung einer
Lösung zu einer Textaufgabe, ist es
zweckmäßig eine Probe durchzuführen. Dabei
wird geprüft, ob der Text mit der gefundenen
Größe stimmig ist.
Erweiterungen
(in Anlehnung an die Lehrpläne der
Klassenstufen 7 bis 10)
Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 7. Frankfurt: Diesterweg.
Habler, E. et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.
Griesel, H. & Postel, H. (2000). Mathematik heute 9. Hannover: Schroedel.
Griesel, H. & Postel, H. (2000). Mathematik heute 9. Hannover: Schroedel.
Griesel, H. & Postel, H. (2000). Elemente der Mathematik 10. Hannover: Schroedel.
Konvergente Formulierung Offene Formulierung
Berechne .12,2,6,3 2735
Berechne einige Potenzen, die dirgefallen!
Berechne einige Potenzen mit einemdreistelligen Wert!
Berechne .1712 Bilde Produkte, deren Wert nahe bei 200liegt.
Berechne: ]2:)89[(24
Stelle aus den Zahlen 24, 9, 8 und 5verschiedene Terme auf und berechne
sie.
Gib mit diesen Zahlen drei Terme an, beidenen das Ergebnis zwischen 0 und 10
liegt.
Finde ebenso drei Terme mit einemErgebnis zwischen 100 und 110.
Erfinde Rechenaufgaben mit Klammern.
Ulm, V. (2004). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe für individuelle Lernwege öffnen. Seelze: Kallmeyer.
Ulm, V. (2004). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe für individuelle Lernwege öffnen. Seelze: Kallmeyer.
Lse die Gleichung 7x Š 11 = 24.
Stelle einige Gleichungen mit der Lsungx = 5 auf.
Stelle Exponentialgleichungen mit derLsung x = 5 auf.
Stelle quadratische Gleichungen mit denLsungen 1 und 5 auf. Beschreibe alle
hierzu mglichen quadratischenGleichungen.
Erfinde zur Gleichung 7x Š 11 = 24 eineTextaufgabe.
Lse das Gleichungssystem:1. 4x Š y = 12. x + 2y = 7
Stelle verschiedene lineareGleichungssysteme auf, die mit dem
Additionsverfahren, demGleichsetzungsverfahren bzw. dem
Einsetzungsverfahren besonders gutlsbar sind (und die Lsungsmenge
{(1;3)} haben).
Ein Hase frisst an 10 Tagen 2 kg 500 gFutter. Wie viel frisst er im Schnitt pro
Tag?
Schreibe eine Textaufgabe, in der 2 kg500g und 10 Tage vorkommen. Lse
dann diese Textaufgabe.
Konvergente Formulierung Offene Formulierung
Ulm, V. (2004). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe für individuelle Lernwege öffnen. Seelze: Kallmeyer.
Die Backstreet Boys
Die Backstreet Boys waren 1998 zusammen 107 Jahre alt. Kevin war ein Jahrälter als Brian und Howie. Nick war sechs Jahre jünger und A. J. fünf Jahrejünger als Kevin. Wie alt war jeder?
Max der Ver gessliche
Max will wissen, wie viel sein Kuli gekostet hat, den er zusammen mit einigenanderen Sachen gekauft hat. Doch er weiß nur noch, dass dieser halb so teuerwar wie der Füller. Und der Füller, erinnert er sich, hat 2 DM mehr gekostet alsder Stift. Der Stift, das weiß er noch, war so teuer wie das Heft. Das Heft, dasBuch und die Mappe haben zusammen 20 DM gekostet. Das Buch war um 4DM teurer als das Heft. Die Mappe hat 4 DM gekostet.
Der Weihnachtsmann
Der Weihnachtsmann hat an Weihnachten viel zu tun, also hat er einen Helfer.Weihnachtsmann A ist grad in Finnland und will zurück zum Nordpol. Um 19Uhr startet er seine 1120 km lange Reise mit 25 km/h zum Nordpol.Weihnachtsmann B ist am Nordpol und will in Finnland weiter machen. Erstartet auch um 19 Uhr und fährt mit 35 km/h. Wann treffen sie sich?
Mathegeschichten (Klasse 8)