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Ingeniería de ControlIngeniería de Control M.C. Adrián García MederezM.C. Adrián García Mederez
Capítulo 2
Sesión 4
#1
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2
MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
INGENIERÍA DE CONTROLINGENIERÍA DE CONTROL
Sesión 4Sesión 4Objetivo:Objetivo: El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de los conocimientos y de las habilidades necesarias para la los conocimientos y de las habilidades necesarias para la representación matemática del comportamiento de representación matemática del comportamiento de componentes de sistemas de control analógico lineal y sistemas componentes de sistemas de control analógico lineal y sistemas completos, para que completos, para que adquiera la CompetenciaCompetencia de Modelación de Modelación Matemática y algunas representaciones gráficas.Matemática y algunas representaciones gráficas.
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Capítulo 2
Sesión 4
#2
EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA ENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓNENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓN
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R(s)R(s) C(s)C(s)1G 2G
4G
1H
2H
+
+
- -
+ +-
3G
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#3
EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA ENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓNENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓN
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R(s)R(s) C(s)C(s)1G 2G
4G
1H
2H
+
+
- -
+ +-
Aplicando la Regla 7Aplicando la Regla 7
3G
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#4
EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA ENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓNENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓN
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R(s)R(s) C(s)C(s)1G 2G 3G
4G
1H
2H
+
+
- -
+ +-
3
1G
Aplicando la Regla 2Aplicando la Regla 2La Regla 7 dice que al desplazar un Punto de Toma después de un bloque, se agrega a la Toma el inverso del bloque desplazado.
Nota: Para los Puntos de Toma no existe Teorema, se colocan como mejor convenga .
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#5
EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA ENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓNENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓN
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R(s)R(s) C(s)C(s)1G 32GG
4G
2H
+
+
- -
+ +-
3
1
GH
Nota: El Punto de Suma de 3 entradas se puede substituir por 2 Puntos de Suma de 2 entradas a como mejor convenga.
Nota: Esta retro se puede separar, porque entra a 2 puntos de suma..
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#6
EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA ENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓNENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓN
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R(s)R(s) C(s)C(s)1G 32GG
4G
2H
+
+
- -
+ +-
3
1
GH
+
3
1
GH
Aplicando la Regla 8Aplicando la Regla 8
Nota: Para los Puntos de Toma no existe Regla, se colocan como mejor convenga .
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#7
EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA ENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓNENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓN
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R(s)R(s) C(s)C(s)1G
4G
2H
+
+
-
+ +-
3
1
GH
12
32
1 HG
GG
Aplicando la Regla 8Aplicando la Regla 8
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#8
EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA ENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓNENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓN
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R(s)R(s) C(s)C(s)1G
4G
+
+
-
+
3
1
GH
23212
32
1 HGGHG
GG
Aplicando la Regla 2Aplicando la Regla 2
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#9
EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA ENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓNENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓN
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R(s)R(s) C(s)C(s)
4G
+
+
-
+
3
1
GH
23212
321
1 HGGHG
GGG
Aplicando la Regla 8Aplicando la Regla 8
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#10
EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA ENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓNENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓN
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R(s)R(s) C(s)C(s)
4G
+
+12123212
321
1 HGGHGGHG
GGG
Aplicando la Regla 3Aplicando la Regla 3
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#11
EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA EJEMPLO DE REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE DE UNA ENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓNENTRADA CON UNA SALIDA A SU MÍNIMA EXPRESIÓN
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R(s)R(s) C(s)C(s)4
12123212
321
1G
HGGHGGHG
GGG
Forma canónica Forma canónica o mínima o mínima expresiónexpresión
F.T.F.T.
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#12
DIAGRAMAS DE BLOQUE CON ENTRADAS Y SALIDAS DIAGRAMAS DE BLOQUE CON ENTRADAS Y SALIDAS MULTIPLESMULTIPLES
En los Diagramas de Bloque de sistemas con entradas y salidas múltiples lineales debe de existir una función de transferencia para la contribución de cada entrada a cada salida, o sea habrá tantas funciones de transferencia como número de entradas multiplicada por el numero de salidas. Para facilitar el manejo de las funciones de transferencia de sistemas con entradas y salidas múltiples se usará la notación matricial como se muestra en la Ecuación 1 para tres entradas una salida y en la Ecuación 2 para dos entradas y dos salidas.
)(3
)(2
)(1
)(3
)(
)(3
)(
)(1
)()(3
)(3
)()(2
)(2
)()(1
)(1
)()(
s
s
s
s
s
s
s
s
ss
s
ss
s
ss
s
ss
R
R
R
RC
RC
RC
RRC
RRC
RRC
C
)(2
)(1
)(2
)(2
)(1
)(2
)(2
)(1
)(1
)(1
)(2
)(1
)(2)(2
)(2)(1
)(1
)(2)(2
)(2)(2
)(1)(1
)(1
)(1)(1
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
ss
ss
s
ss
ss
ss
s
ss
R
R
RC
RC
RC
RC
C
C
RRC
RRC
C
RRC
RRC
C
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Ec. 1
Ec. 2
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#13
EJEMPLO DE UN DIAGRAMA DE BLOQUE CONEJEMPLO DE UN DIAGRAMA DE BLOQUE CONTRES ENTRADAS Y UNA SALIDATRES ENTRADAS Y UNA SALIDA
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
GG11GG22
HH11 HH22
R(s)R(s) C(s)C(s)
__
UU11(s)(s)
UU22(s)(s)
++ ++
++
++
++
FIME
UANL
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Capítulo 2
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#14
1ª. Configuración: C(s)/R(s)=? , U1(s)=0 y U2(s)=0
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
GG11GG22
HH11 HH22
R(s) C(s)
__
U1(s)=0
U2(s)=0
++ ++
++
++
++
se eliminan
FIME
UANL
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Capítulo 2
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#15
1ª. Configuración: C(s)/R(s)=? , U1(s)=0 y U2(s)=0
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
GG11GG22
HH11 HH22
R(s) C(s)
__++
Aplicando la Regla 2Aplicando la Regla 2
FIME
UANL
FIME
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Capítulo 2
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#16
1ª. Configuración: C(s)/R(s)=? , U1(s)=0 y U2(s)=0
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
GG11GG22
HH11HH22
R(s) C(s)
__++
Aplicando la Regla 8Aplicando la Regla 8
2121
21
2121
21
)(
)(
1))((1 HHGGGG
HHGGGG
RC
s
s
FIME
UANL
FIME
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Capítulo 2
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#17
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
GG11GG22
HH11 HH22
R(s)=0 C(s)
__
U1(s)
U2(s)=0
++ ++
++
++
++
2ª. Configuración: C(s)/U1(s)=? , R(s)=0 y U2(s)=0
se eliminan, pero se
respeta el signo
negativo
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
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#18
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
GG11
GG22
- H- H11 HH22
U1(s) C(s)++
++
2ª. Configuración: C(s)/U1(s)=? , R(s)=0 y U2(s)=0
Aplicando la Regla 2Aplicando la Regla 2
FIME
UANL
FIME
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Capítulo 2
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#19
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
GG22
- G- G11HH11HH22
U1(s) C(s)++
++
2ª. Configuración: C(s)/U1(s)=? , R(s)=0 y U2(s)=0
Aplicando la Regla 8Aplicando la Regla 8
2121
2
2112
2
)(1
)(
1))((1 HHGGG
HHGGG
UC
s
s
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
Sesión 4
#20
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
GG11GG22
HH11 HH22
R(s)=0 C(s)
__
U1(s)=0
U2(s)
++ ++
++
++
++
3ª. Configuración: C(s)/U2(s)=? , R(s)=0 y U1(s)=0
se eliminan, pero se respeta el signo negativo
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
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#21
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
GG11 GG22- H- H11
HH22
U2(s) C(s)
++
++
3ª. Configuración: C(s)/U2(s)=? , R(s)=0 y U1(s)=0
Aplicando la Regla 2Aplicando la Regla 2
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
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#22
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
- G- G11GG22 H H11
HH22
U2(s) C(s)
++
++
3ª. Configuración: C(s)/U2(s)=? , R(s)=0 y U1(s)=0
Aplicando la Regla 8Aplicando la Regla 8
2121
121
2121
121
)(2
)(
1))((1 HHGGHGG
HHGGHGG
UC
s
s
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
Sesión 4
#23
)(22121
121)(1
2121
2)(
2121
21)(
1
11ssss U
HHGGHGG
UHHGG
GR
HHGGGG
C
)(2
)(1
)(
1212212121
)( 1
1
s
s
s
s
U
U
R
HGGGGGHHGG
C
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Forma Matricial, Tipo Ec. 1
Resultado.-
FIME
UANL
FIME
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#24
EJEMPLO DE UN DIAGRAMA DE BLOQUE CON EJEMPLO DE UN DIAGRAMA DE BLOQUE CON DOS ENTRADAS Y DOS SALIDASDOS ENTRADAS Y DOS SALIDAS
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R1(s)G1
G4
G2
G3
C1(s)
_
R2(s) C2(s)
+
+_
FIME
UANL
FIME
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#25
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
R1(s)GG11
GG44
GG22
GG33
C1(s)
__
R2(s)=0 C2(s)=0
++
++__
se elimnan, se respeta el
signo (-)
1ª. Configuración: C1(s)/R1(s)=? , R2(s)=0 y C2(s)=0
FIME
UANL
FIME
UANL
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#26
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
1ª. Configuración: C1(s)/R1(s)=? , R2(s)=0 y C2(s)=0
GG33
GG11
GG44 - G- G22
R1(s) C1(s)++__
Aplicando la Regla 2Aplicando la Regla 2
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
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#27
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
1ª. Configuración: C1(s)/R1(s)=? , R2(s)=0 y C2(s)=0
GG11
- G- G22GG33GG44
R1(s) C1(s)++__
4321
1
4321
1
)(1
)(1
1))((1 GGGGG
GGGGG
RC
s
s
Aplicando la Regla 8Aplicando la Regla 8
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
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#28
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
2ª. Configuración: C2(s)/R1(s)=? , R2(s)=0 y C1(s)=0
R1(s)GG11
GG44
GG22
GG33
C1(s)=0
__
R2(s)=0 C2(s)
++
++__
se elimina
se elimina y se respeta el signo (-)
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
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#29
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
2ª. Configuración: C2(s)/R1(s)=? , R2(s)=0 y C1(s)=0
Aplicando la Regla 2Aplicando la Regla 2
GG22 GG44- G- G11
GG33
R1(s) C2(s)
__++
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
Sesión 4
#30
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
2ª. Configuración: C2(s)/R1(s)=? , R2(s)=0 y C1(s)=0
- G- G11GG22GG44
GG33
R1(s) C2(s)++
Aplicando la Regla 8Aplicando la Regla 8
__
4321
421
3421
421
)(1
)(2
1))((1 GGGGGGG
GGGGGGG
RC
s
s
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
Sesión 4
#31
4321
431
)(2
)(1
1 GGGGGGG
RC
s
s
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
3ª. Configuración: C1(s)/R2(s)=? , R1(s)=0 y C2(s)=0
R1(s)=0GG11
GG44
GG22
GG33
C1(s))
__
R2(s) C2(s)=0
++
++__
se elimina y se respeta el
signo (-)
se elimina
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
Sesión 4
#32
4321
4
)(2
)(2
1 GGGGG
RC
s
s
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
4ª. Configuración: C2(s)/R2(s)=? , R1(s)=0 y C1(s)=0
R1(s)=0GG11
GG44
GG22
GG33
C1(s)=0
__
R2(s) C2(s)
++
++__
se eliminan, se respeta el signo (-)
FIME
UANL
FIME
UANL
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Capítulo 2
Sesión 4
#33
)(2
)(1
4321
4
4321
421
4321
421
4321
1
)(2
)(1
)(24321
4)(1
4321
421)(2
)(24321
421)(1
4321
1)(1
11
11
11
11
s
s
s
s
sss
sss
R
R
GGGGG
GGGGGGG
GGGGGGG
GGGGG
C
C
RGGGG
GR
GGGGGGG
C
RGGGG
GGGR
GGGGG
C
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Forma Matricial, Tipo Ec. 2