Post on 21-Mar-2019
IKA ARFIANI,S.T.
Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa
kurva dapat ditentukan dengan menghitung
integral tertentu.
Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x)
kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva
y = f(x) terletak di atas atau pada kurva
y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi
kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a
Dan x = b adalah sebagai berikut:
X
Y
O
y1 =f(x)
x1 = a x2 = b
Luasnya ?
L =
b
a
dxxgxf )()(
y2 =g(x)
; f(x) > g(x)
Langkah-langkah
Menghitung Luas Daerah :
1. Tentukan daerah yang diminta denganmenggambar daerahnya
2. Perhatikan daerah yang dimaksud untukmenentukan batas-batas integrasinya
3. Tentukan rumus luas yang lebih mudah digunakan(L = ∫ y dx atau L = ∫ x dy )
4. Hitung nilai integral sebagai hasil luas daerah
I. Garis dan sumbu-sumbu koordinat
a. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= 2x + 4, sb.Y dan sb.X
Y= 2x + 4
Sb.Y
Sb.X
Titik pot. dgn. Sb.X (2, 0) Titik pot. dgn. Sb.Y (0, 4)
Daerah yang diminta
2
4
Langkah 1. : Garis Y = 2X + 4,
Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 2. : Gambar garis tersebut yang melalui titik pot.
dan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 3. : Arsir daerah yang ada diantara garisSb.Y dan Sb.X
II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat
b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 5X + 4 dan sb.X
Y= X2 5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Titik pot. dgn. Sb.X (1, 0) & (4,0)
Titik pot. dgn. Sb.Y (0, 4)
Daerah
yang
diminta
4
41
Langkah 1. : Garis Y = X2 5X + 4 ,
Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 2. : Gambar kurva tsb. yang melaluititik potong dan sumbu x
Langkah 3. : Arsir daerah yang adadiantara kurva dan Sb.X
Catatan:
Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, gunakan faktorisasi
Letak daerah ada di bawah sumbu, maka luasnya = nilai integral
0
II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat
c. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 5X + 4, sb.Y dan sb.X
Y= X2 5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Titik pot. dgn. Sb.X (1, 0) & (4,0) Titik pot. dgn. Sb.Y (0, 4)
Daerah
yang
diminta
4
0
41
Langkah 1. : Kurva Y = X2 – 5x + 4,
Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 2. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik potong dan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 3. : Arsir daerah yang adadiantara kurva Sb.Y dan Sb.X
Catatan: Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, gunakan faktorisasi
III. Kurva dan garis
d. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 + 3X 4, dan 2Y+X 4 = 0
Y= X2 5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Titik pot. dgn. Sb.X (1, 0) & (-4,0) Titik pot. dgn. Sb.Y (0, -4)
Daerah
yang
diminta
Langkah 1. : Garis Y = X2 + 3X– 4,
Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat
Langkah 3. : Gambar kurva tsb. yang melaluititik potong dan Garisnya
Langkah 4. : Arsir daerah yang ada diantarakurva Sb.Y dan Sb.X
Catatan:
Batas-batas daerah tersebut adalah kedua titik potong kurva dan garis
4
14
Langkah 2. : Garis 2Y+ X – 4 = 0,
Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbukoordinat
Titik pot. dgn. Sb.X (-4, 0)
Titik Pot. Dgn. Sb.Y (0, -2)2
2Y+ X - 4 = 0
1. Batas-batas integrasi merupakan nilai awal dan akhir pada sumbu
koordinat dari suatu daerah yang akan dihitung.
2. Batas-batas integrasi tergantung pada arah integrasi yang
dilakukan:
b
a
dxxf )( L
d
c
dyyf )( L
a merupakan batas bawah (awal)
b merupakan batas atas (akhir)
a dan b terletak pada sumbu x
c merupakan batas bawah (awal)
d merupakan batas atas (akhir)
c dan d terlat pada sumbu y
I. Garis dan sumbu-sumbu koordinat
a. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= 2x + 4, sb.Y dan sb.X
Y= 2x + 4
Sb.Y
Sb.X
Daerah yang diminta
2
4
(1) 0 sampai 2, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X
2
0
42 L dxx
4
0
2
4 L dy
y
Batas-batas integrasi ada dua, yaitu:
(2) 0 sampai 4, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. Y
1
0
2 45 L dxxx
25
49
492
25
4252
25
2
4
45
yx
xxy
xxy
)()(
(1) 0 sampai 1, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X
Batas-batas integrasi ada dua, yaitu:
(2) 0 sampai 4, jika perhitungan integral
berbasis (ke arah) Sb. Y
II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinat
b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 5X + 4, sb.Y dan sb.X
Y= X2 5X + 4
Sb.Y
Sb.X
Daerah
yang
diminta
4
41
Karena basis yang kita gunakan adalah Sb.y, maka
Persamaan kurva f(x) diubah menjadi f(y).
4
025
49 L dyy
21
21
2
2
2
dan 4
01282
0472
04862
04) 432
xx
xx
xx
xxx
xxx
))((
(
Dengan memperhatikan gambar, maka batas-batas diperoleh
dengan cara mencari titik-titik potong kurva dan garis, yaitu
Y= X2 + 3X 4, disubtitusikan ke 2Y+X 4 = 0
Batas- batas integrasi (berbasis Sb.x)
III. Kurva dan garis
b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 + 3X 4, dan 2Y+X + 4 = 0
Y= X2 3X 4
Sb.Y
Sb.X
Daerah yang
diminta
4
14
2
2Y+ X – 4 = 0
21
4
2
2
443 L dx
xxx )()(
Contoh 1:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi
kurva y = 3x2 + 6x , sumbu X, dan
garis-garis x = 0 dan x = 2
Penyelesaian:Sketsalah terlebih dahulu
grafik y = 3x2 + 6x
Titik potong dengan sumbu X
y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0
x = 0 atau x = -2
sehingga titik potong dengan sumbu X
adalah di (0,0) dan (-2,0)
Sketsa grafik y = 3x2 + 6x
X
Y
O
y = 3x2 + 6x
x =2
L=?
-2
X
Y
O
y = 3x2 + 6x
-2x =2
L=?
L =
2
0
2 )63( dxxx
luassatuan 200)2.32( 23
2
0
23 3 x x
Contoh 2:
Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x3, sumbu Y, garis
y = 8 adalah…
X
Y
O
y = x3
Penyelesaian:
Sketsa grafik fungsi y = x3 dan garis y = 8
y = 8
X
Y
O
y = x3
y = 8
d
c
xdyL 8
0
31
dyy
31
y x
8
034
341
y
8
0
34
4
3y
8
0
31
dyy
8
0
34
4
3y
)08(4
334
34
34
8.4
3 3
4.32.
4
3
16.4
3
412
Jadi, luasnya adalah luassatuan 12
Saturday, May 18, 2013 22
Contoh 3:
Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x2, sumbu Y, dan garis
y = x + 6 adalah…
Penyelesaian:
Sketsa grafik y = x2 dan garis y = x + 6
X
Y
–6
6
y = x2
X
Y
–6
6y = x2
batas atas ditentukan oleh perpotongan
kedua grafik
?
Titik potong antara y = x2 dan y = x + 6
x2 = x + 6
X
Y
–6
6
y = x2
x2 – x – 6 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
X
Y
–6
6
y = x2
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3 y = 9 (3,9)
3
9
x = -2 y = 4 (-2,4)
-2
X
Y
–6
6
y = x2
3
9
Jadi batas-batas pengintegralannya
adalah x1 = 0 dan x2 = 3
-2
X
Y
–6
6
y = x2
3
9
-2
L =
3
0
2 )6( dxxx3
0
3
312
21 )6x( xx
3
312
21 3.3.63. )0.0.60.( 3
312
21
L = 3
312
21 3.3.63. )0.0.60.( 3
312
21
0918421
2113
satuan luas2113
Jadi, luasnya adalah
SELESAI
42 yx
1. Diketahui D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis 2 xy
2. Diketahui R adalah daerah yang dibatasi oleh garis dan parabola 4 xy 22 xy
3. Diketahui Q adalah daerah yang dibatasi olehsumbu X, dan 2xy 2 xy
SOAL PENUGASAN
Dari ketiga soal tersebut, carilah :a. Gambar daerahnyab. Hitung titik potongnya (jika ada)c. Hitung luasnya