GEOMETRIA EUCLIDEA

UNITA’ 1

CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

GEOMETRIA

Può essere

INTUITIVA RAZIONALE

INTUITIVA

Si basa su

OSSERVAZIONI

PROVE

TENTATIVI

LA NATURA DELLA GEOMETRIA

• Che cos’è la geometria?

• Qual è l’oggetto di studio della geometria?

• Quali sono le origini della geometria?

• Qual è il metodo della geometria?

“La geometria è l’arte di fare i ragionamenti giusti sulle figure sbagliate.”

Definizione ironica e paradossale, ma profondissima che presenta tutte le componenti essenziali della geometria:

il ragionamento (logico) deduttivo;

i ragionamenti giusti;

l’intuizione concreta;

il riferimento alla realtà;

le figure, che non sono il vero oggetto dello studio della geometria.

“ figure “ … o … “ immagini mentali “

Le figure non sono il vero oggetto dello studio della geometria, ma un appoggio alla formazione di quelle immagini mentali (vero oggetto di studio della geometria) che sono le elaborazioni fantastiche con cui la nostra mente descrive le forme degli oggetti reali.Le figure, cioè i segni, cioè i simboli, NON vanno letti in modo ingenuo e superficiale, MA vanno tradotti nei significati che noi conveniamo di attribuire loro, di cui noi vogliamo caricarli. Tutte le figure, prese come meri segni grafici, sono sempre sbagliate, per definizione; ma se ci serviamo convenzionalmente di esse per rappresentare un particolare concetto astratto, allora possono essere un utile guida per i nostri ragionamenti logico deduttivi.

Le radici della geometria

Non vi sono dubbi che la geometria storicamente sia partita dalla realtà (il nome stesso letteralmente vuol dire ‘misura della terra’), pensiamo alle esigenze di agrimensori, astronomi, architetti, … Ma, come ogni altra branca della matematica, dopo aver risposto ad esigenze più o meno pratiche, sotto la pressione della loro necessità, essa inevitabilmente acquista valore in se stessa e trascende i confini dell’utilità pratica.

Il metodo ipotetico deduttivoSe l’oggetto della geometria non è, come abbiamo già detto, la realtà fisica in sé ma le immagini mentali che ci creiamo per descriverla, allora è altrettanto vero che il metodo d’indagine della geometria dev’essere diverso da quello del ’fisico’, basato sull’osservazione di un fenomeno (e sulla sua riproducibilità in laboratorio).La costruzione del complesso edificio della geometria è basata sul metodo ipotetico-deduttivo: si fissano degli enti primitivi e degli assiomi che descrivono le proprietà di cui godono tali enti, poi, a partire da questi, si deducono nuovi risultati: i teoremi. Questi ultimi assumono valore di verità solo dopo essere stati dimostrati! Tale metodo ebbe origine in matematica ai tempi di Eudosso di Cnido e si consolidò negli “Elementi”di Euclide.

Chi è più lungo fra T ed S? e fra i segmenti AF e BF?

T S

A B

CD

E

F

E adesso che ho ripulito il disegno? Mai fidarsi delle apparenze!

T S

A B

F

GEOMETRIA

RAZIONALE

Parte da

CONCETTI PRIMITIVI

ASSIOMIDefiniti mediante

CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI

NUOVI ENTI NUOVE PROPRIETA’

(TEOREMI)

Da cui si deducono

Mediante definizioni

Mediante dimostrazioni

EUCLIDE … chi?!

• Considerata la fama degli ‘Elementi’ e del loro autore, le notizie che abbiamo sulla vita di Euclide sono sorprendentemente scarse (non si sa neppure dove sia nato). Certo è che, intorno al 300 a.C., insegnò matematica ad Alessandria d’Egitto, nell’accademia nota come il MUSEO. Le leggende lo dipingono come uomo abbastanza anziano e di temperamento gentile. Ma …

… GENTILE, MA … DECISO

• Si narra che Tolomeo I, illuminato monarca che istituì ad Alessandria l’accademia nota come il “Museo” e che chiamò tra gli altri Euclide ad insegnarvi matematica, abbia chiesto una facile introduzione alla geometria allo stesso Euclide, il quale, si dice, abbia fermamente replicato che “non esiste nessuna strada regale che porti alla geometria”

• Evidentemente Euclide non dava molta importanza agli aspetti pratici della sua disciplina: infatti si racconta che quando un allievo gli chiese che utilità avesse lo studio della geometria, Euclide si rivolse al suo schiavo dicendogli di dare una monetina all’allievo ”perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara”

STRUTTURA DEGLI ELEMENTI

DEFINIZIONI ASSIOMI POSTULATI

I-VI LA GEOMETRIA PIANA ELEMENTARE

VII-IX LA TEORIA DEI NUMERI

XI-XIII LA GEOMETRIA SOLIDA

ED IL METODO DI ESAUSTIONEED IL METODO DI ESAUSTIONE

X LA CLASSIFICAZIONE DEGLI INCOMMENSURABILI

XIV-XV ALTRI RISULTATI SUI SOLIDI

DALLA GEOMETRIA INTUITIVA

ALLA GEOMETRIA RAZIONALE

Concetti o enti primitivi

Enti che non definiamo esplicitamente

Assiomi o postulati

Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo

Differenza fra ASSIOMI e POSTULATI secondo Aristotele

• ASSIOMA:

gli assiomi o nozioni comuni devono essere convincenti di per se stessi, sono verità comuni a tutte le scienze

(dal greco axios, degno di credibilità)

• POSTULATO:

i postulati sono meno evidenti e non presuppongono l’assenso dell’allievo, poiché riguardano soltanto la disciplina in questione

(dal latino postulare, richiedere)

I matematici moderni non fanno alcunaI matematici moderni non fanno alcuna differenza essenziale fra un assioma e un postulato differenza essenziale fra un assioma e un postulato

Gli assiomi scelti soddisfano la condizione di :

COMPATIBILITA’

(non devono contraddirsi l’uno con l’altro)

INDIPENDENZA

(dalle proprietà affermate dell’uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dell’altro)

ENTI GEOMETRICI PRIMITIVI

Gli enti primitivi della Geometria sono:

PUNTI

RETTE

PIANI

P

r

ASSIOMI

- Su di una retta esistono infiniti punti

- Due punti distinti determinano una retta ed una sola che li contiene

- I punti della retta sono ordinati secondo due versi o sensi opposti l’uno all’altro. In ciascuno di questi due versi della retta non vi è né primo né ultimo punto; inoltre tra due qualsiasi punti distinti di essa esistono altri punti intermedi

A B

- Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite rette

- La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano

-Tre punti distinti che non appartengono ad una medesima retta determinano un piano ed uno solo che li contiene

GEOMETRIE EUCLIDEE

Le geometrie Euclidee accettano vero il postulato di Euclide:Per un punto P esterno ad una retta r passa una ed una sola retta parallela alla retta data

Pr

Diverse sono state nella storia della matematica le formulazioni del V postulato, citiamo ad esempio la seguente:date due rette parallele tagliate da una trasversale, la somma dei due angoli coniugati interni è pari ad un angolo piatto;Nella tradizione didattica moderna il V postulato è in genere sostituito dall'assioma di Playfair:Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data.

Il postulato delle parallele

ALCUNE DEFINIZIONI

SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto.

Il punto è detto : origine delle semirette

O

SEGMENTO: la parte di retta compresa tra due suoi punti

I punti vengono detti gli estremi del segmento

A B

Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che hanno in comune un estremo e nessun altro punto

Segmenti ADIACENTI : due segmenti che oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta

SEGMENTI PARTICOLARI

AB

CAB

C

SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano

r

ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi l’origine in comune

Angolo convessoAngolo concavo

Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati

Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati

Angolo PIATTO : un lato è il prolungamento dell’altro ( 180 °)

Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360°)

ANGOLI PARTICOLARI

Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in comune il vertice, un lato e nessun altro punto

Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad essere consecutivi hanno i due lati non comuni l’uno il prolungamento dell’altro

Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro

CONFRONTO E SOMMA DI SEGMENTI

Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro

ab

a + b

a

bDati due segmenti se, sovrapponendo il primo segmento al secondo facendo coincidere un estremo, l’altro estremo è interno al secondo segmento allora il primo è minore del secondo; se è esterno è maggiore.

a < b

CONFRONTO E SOMMA DI ANGOLI CONVESSI

Dati due angoli convessi la loro somma è l’angolo che si ottiene disponendoli uno consecutivo all’altro

Angolo ottuso

Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto

Angolo acuto

Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto

Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI

Angoli supplementari: Due angoli si dicono supplementari se: α + β = 180° (es. angoli adiacenti)

Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI

Angoli complementari: Due angoli si dicono complementari se: α + β = 90°

Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI

Gli angoli possono misurarsi in :1) gradi : un grado è la novantesima parte di un angolo retto2) radianti : un radiante è la misura di un angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza pari al raggioRelazione tra misure degli angoli espresse in gradi (α )e radianti ( r )

360° : 2π = α : rda cui r = π α / 180 o α = 180 r /πse α < 90° ( π/2) = angolo acuto se α = 90° ( π/2) = angolo rettose α > 90° ( π/2) = angolo ottuso se α = 180° ( π) = angolo piattose α = 360° (2 π) = angolo giro

MISURA DI ANGOLI

PRINCIPALI PROTAGONISTI DELLA RIFONDAZIONE

• Moritz PASCH (1843-1930) ‘Lezioni sulla nuova geometria’, 1882.

• Giuseppe PEANO (1858-1932) ‘Principii di geometria’, 1889

• Giuseppe VERONESE (1854-1917) ‘Fondamenti di geometria’, 1891

• David HILBERT (1862-1943) ‘Grundlagen der geometrie’, 1899

HILBERT … chi?!

• David Hilbert (1862-1943), matematico tedesco nato a Konigsberg, molti lo considerano il più grande matematico del suo tempo soprattutto per l’importanza da lui data all’idea di struttura.

• I pregi dei Grundlagen • La “curva di Hilbert” • I 23 problemi di Hilbert • Grundlagen der Geometrie

L’ERA DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

• Sebbene fossero state mosse critiche alla struttura logica degli Elementi di Euclide fin dal momento in cui vennero scritti, i difetti erano considerati di scarsa importanza. Fu il lavoro sulle “Geometrie Non Euclidee”(G.N.E.) a rendere consapevoli i matematici della reale importanza delle deficienze della struttura di Euclide, perché nel portare a termine le dimostrazioni dovevano essere particolarmente critici su ciò che stavano accetttando: nelle G.N.E. veniva a mancare quella verità intuitiva (ma a volte fuorviante) dovuta al ricorso al disegno (ad es. il falso teorema sul triangolo). Tutto ciò obbligò i matematici a dedicarsi alla ‘costruzione dei fondamenti’ della geometria euclidea e di altre ‘geometrie’ che potessero godere della stessa dignità di quella euclidea. Tale attività si sviluppò intensamente negli ultimi trent’anni del XIX secolo.

STRUTTURA DEI GRUNDLAGEN

SISTEMA DI ASSIOMI DI HILBERTSISTEMA DI ASSIOMI DI HILBERT

8 ASSIOMI DI 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE

4 ASSIOMI DI 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO

5 ASSIOMI DI 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA

ASSIOMA DELLE ASSIOMA DELLE PARALLELE

2 ASSIOMI DI 2 ASSIOMI DI CONTINUITA’

POLIGONALE

• Una figura formata da più segmenti disposti consecutivamente di definisce poligonale

Poligonale aperta

Poligonale chiusa Poligonale

intrecciata

POLIGONO

• PARTE DI PIANO COMPRESA IN UNA POLIGONALE CHIUSA NON INTRECCIATA

CONGRUENZA

• FIGURE CONGRUENTI SE SONO SOVRAPPONIBILI