II – ELEMENTI DI MATEMATICA Capitolo 2° ELEMENTI DI ... · • 2.4 – Introduzione alla...
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Architettura dei Database Territoriali Pr. R. Laurini
Cap 2°: Elementi di Matematica 1
Capitolo 2°
ELEMENTI DI MATEMATICA
II – ELEMENTI DI MATEMATICA
• 2.1 – Euclide, Cartesio, Eulero, Peano, Mandelbrot
• 2.2 – Tessellazioni regolari e irregolari
• 2.3 – Geometria computazionale
• 2.4 – Introduzione alla geometria frattale
• 2.5 – Conclusioni
2.1 – Euclide, Cartesio, Eulero, Peano, Mandelbrot
• Visioni matematiche dello spazio
• Definizione: modo di vedere la struttura e l’organizzazione degli oggetti nello spazio
• Geometria (etimologicamente): misura dellaterra
Visione euclidea
• Oggetti nel piano o nello spazio• Oggetti perfetti (cerchi, quadrati, ecc.)• Poligoni conosciuti attraverso i loro vertici• Particelle = poligoni• Unità di lunghezza e di superficie• Perimetro, superficie• Studio degli oggetti isolati
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Cap 2°: Elementi di Matematica 2
Oggetti euclidei Visione cartesiana
• Assi 2D et 3D (mosca volante)
• Coordinate (x, y, z)
• Posizione relativa degli oggetti nello spazio
• Necessità di un sistema di riferimento
Y
X
X
Y
Z
2D
3D
O
O
Visione peaniana
• Giuseppe Peano
• Definizione di un punto, di una linea, ecc.
• Esistono punti a 2D, a 3D
• Curve che empiono lo spazio
• Pixel = quadratino, o punto ?
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Cap 2°: Elementi di Matematica 3
Oggeti peaniani Visione frattale
• Creata da Benoît Mandelbrot
• Il modello euclideo è insufficiente per glioggetti naturali (fiume, colline, isole, ecc.)
• Oggetti limitati da piccolissimi segmenti
• Visione ricorsiva e stocastica
Il fiocco di Koch2.2 – Tassellazioni regolari e
irregolari
• Pavimenti, nidi d’ape
• Ripetizioni iterative
• Grammatica di forme iterative
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Cap 2°: Elementi di Matematica 4
Tassellazioni regulari 2.3 – Geometria computazionale
• Operazioni su punti, linee e segmenti
• Appartenenze
• Operazioni sui poligoni
Operazioni su punti, linee e segmenti
• Intersezione di linee e di segmenti
• Generalizzazione di linee
Rappresentazione
• Punto : x, y oppurex, y, z, spesso, x, y, z, t
• Segmenti : insieme di punti localizzati suuna linea limitata da due estremità==> rappresentazione in intensione
equazione parametrica :
x = xa +u× (xb-xa)
y = ya +u× (yb-ya)Con o ≥ u ≥ 1
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Cap 2°: Elementi di Matematica 5
Rappresentazione dei segmenti
x
y
x
y
A
B
u=0
u=1
t>1
u<0
0<u<1
Origine Origine
Rappresentazioneparametrica
Rappresentazionecon le estremità
B(xb,yb)
A(xa,ya)
Generalizzazione di una polilinea
Linea originale Linea generalizzata
Punti di cui distanza è inferiorea una soglia
Appartenenza
• R : y=3x+2• Esatta :
– (x=0, y=2)
• Approssimativa– (x=0, y=1.9999999999999999)
• Problemi dei pixels: si clica nel centro del pixel, ma la retta non passa esattamente nelcentro del pixel
X
Y
Cerchio :Se (x-x0)2 + (y-y0)2 - R2 = 0 allora sul cerchio(impossibile informaticamente)
Se (x-x0)2 + (y-y0)2 - R2 > 0 allora esternoSe (x-x0)2 + (y-y0)2 - R2 < 0 allora interno
0 x0
y0R
Appartenenza di un punto a un cerchio
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Appartenenza di un puntoa un rettangolo
X
Y
xmin xmax
ymin
ymax
Rettangolo :Se (xmin<x<xmax) and (ymin<y<ymax) allora interno
Se (x<xmin) or (x>xmax) or (y<ymin) or (y>ymax) allora esterno
Appartenenza di un punto a un poligono qualsiasi
• Caso semplice– Rettangoli con i lati paralleli agli assi
• Caso comune– Poligono connesso
• Caso generale– Poligono con buchi ed isole– soluzione : teorema della semi-retta di Jordan
Appartenenza di un punto a un poligono: teorema di Jordan
punto candidato
1
21
1 2 3 4 5
1 2
0
1
3
4
2 3 41
semi-retta
numero delle intersezionicon i lati
Un punto è interno se il numero delle intersezioni è dispariUn punto è esterno se il numero delle intersezioni è pari
Operazioni sui poligoni
• Rettangolo minimo (MBR)
• Unione, intersezione, differenza
• Calcolo della superficie
• Rubber-sheeting
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Rettangolo minimo
ymin
ymax
xminxmax
Rettangolo minimodi un poligono
Poligono
X
Y
Unione ed intersezione didue poligoni
Poligono A
Due poligoni A et B Unione di A e B Intersezione di A e B
Poligono B
Taglio di due poligoni in fette parallele
Poligono A
Poligono B
Metodo delle fette per determinarel'unione e l'intersezione di due poligoni
INTER-SEZIONE
UNIONEPOLIGONI FETTATI
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Calcolo della superficie diun triangolo
• Superficie di ogni triangolo con il prodottovettoriale
V2
V1
V3 = V1 ∧ V2
O
)]()()()[(2
101020201 yyxxyyxxST −×−+−×−=
Calcolo della superficie di un poligono qualsiasi
• Taglio in triangoli
S x y x y x y x yi i i i n n
i
i n
= − + −+ +
=
= −
∑12 1 1 1 1
1
2
( ( )) ( )
�
Rubber-sheeting
Mappainiziale
Nuovamappa
Puntidi controlloda muovere
Puntifissi
2.4 – Introduzione alla geometriafrattale
• Presentazione di alcuni oggetti frattali
• Benoît Mandelbrot
• Forme ricorsive (autosimilarità)
• Frattali stocastici
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Cap 2°: Elementi di Matematica 9
Esempio
• Ripetizioni ricorsive
• Iniziatore
• Ripetitore
Curva di Koch : tappe iniziali
Il fiocco di Koch Generatore d’isole
Iniziatore Ripetitore
Punto di partenza Prima tappa Seconda tappa
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Cap 2°: Elementi di Matematica 10
Polvere di Cantor e oggetti derivati
Pettine di Cantor
Collana di Cantor Città di Cantor
Polvere di Cantor
Altri oggetti frattaliCurva di Levy Dragone di Heighway
Tappetto di SierpinskiPolvere di Cantor
Frattali stocastici
• Variazioni aleatorie
• Terreni
• Piante
• ecc.
Spostamento aleatoriodel medio di un segmento
Segmentodi partenza
1a tappa
2a tappa
3a tappa
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Metodo d'interpolazionestocastica dei terreni
A B
C D
E F
G
I
H
Procedura
Prima tappa Seconda tappa
Parecchie fasi
Dan Connellyhttp://www.flash.net/~djconnel/Vue/ Curve di Peano
• Definizione e proprietà elementari
• Curve che empiono lo spazio
• Curve che passano ad ogni punto dellospazio
• Curva di Hilbert, e in N di Peano
• Codifica delle chiavi sulle curve
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Cap 2°: Elementi di Matematica 12
Fasi inizialidella curva di Hilbert
Fasi inizialidella curva in N di Peano
Ottenimento delle chiave diPeano con bit alternati
0 0 1 1 0 0 1 0
0 0 0 0 1 1 1 0
X = Y =
P =
(x = 3) e (y = 2) => p = 14
Cifre dopo la virgola
(x = 1,5) e (y = 1,0) => p = 3,5
0 0 1 1 0 0 1 0
0 0 0 0 1 1 1 0
X = Y =
P =
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Cap 2°: Elementi di Matematica 13
Ordine in N di Peano
0
1
2
3
4
5 7 13 15
6 12 14
119
8 10
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
16
Ordine di Hilbert
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
0 1
23
4
5 6
7 8
9 10
11
1213
14 15
2.5 – Conclusioni
• Importanza delle geometrie euclidea, peanianae frattale
• Uso per gli algoritmi
• Uso per la modellistica dei dati spaziali
• Uso per l'indicizzazione spaziale (ORACLE)