Fisica II – secondo modulo Lezione II C.C.L. Matematica, a.a.2017/18

Giulia Mancagiulia.manca@cern.chhttp://people.unica.it/giuliamancahttp://webca.ca.infn.it/gmanca/public/

Calendario Lezioni

G.Manca2Fisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18

Fine lezioni di teoria

Inizio laboratorio

2° parziale ?

Lun-Mer-Gio-Ven : 9-11 (teoria), Mar 15-17 (esercizi); meta` Maggio : inizio Lab !

Induzione elettromagnetica

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Le equazioni di Maxwell per campi stazionari

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• Per campi stazionari, le derivate rispetto al tempo sono nulle• In questo caso, due equazioni contengono solo il campo elettricoe le altre due il solo campo magnetico

∇ ⋅ # =ρ

ε'

∇×# = 0

∇ ⋅ * = 0

1

ε'µ'∇×* =

.⃗

ε'

Per campi stazionari:

• Il campo elettrico statico è conservativo <= cariche elettriche fisse• Si può definire un potenziale scalare # = −∇ϕ

• Il campo magnetico statico NON è conservative <= cariche elettrichein moto stazionario

Equazioni di Maxwell nel vuoto • In realta` le cose cambiano quando consideriamo variazioni dei campi rispetto al tempo

E,B costanti nel tempo locali globali

• Forza di Lorentz (forza esercitata su una carica) "⃗ = $ % + '⃗×)• Carica conservata ∇ ⋅ ,⃗ = − ./

.0Fisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18

G.Manca 5

∇ ⋅ % = ρε3

∇×% = −4)45∇ ⋅ ) = 0

1ε3µ3 ∇×) =

,⃗ε3 +

4%45

9:% ⋅ ;<Σ = $IN

ε3

9@% ⋅ <A⃗ = − 4

45 9:) ⋅ ;<Σ

9:) ⋅ ;<Σ = 0

9@) ⋅ <A⃗ = µ3B + µ3ε3 445 9:

% ⋅ ;<Σ

∇ ⋅ % = ρε3

∇×% = 0

∇ ⋅ ) = 0

∇×) = µ3,⃗

Variazioni dei campi nel tempo• Il campo magnetico ed elettrico compenetrati => campo elettromagnetico

• Correnti elettriche → Campi magnetici

• Campi magnetici → Correnti elettriche

• Se disponiamo due fili paralleli e facciamo circolare una corrente elettrica stazionaria suuno dei due, possiamo chiederci se osserveremo una corrente nell'altro => La risposta ènegativa

• Faraday nel 1840 scoprì che gli effettielettrici esistono solo se “qualcosa” cambia. ➠Se la corrente è variabile, si osservano effetti➠Se un magnete viene spostato, si osservano

degli effetti

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i

Induzione Elettromagnetica: osservazioni• Esperimento 1: Muoviamo un magnete dentro e fuori da una spira

➠ Si genera corrente nella spira se il magnete e la spira sono in moto relativo

➠ Più veloce è il movimento, più intensa è la corrente➠ Se allontaniamo un polo del magnete anzichè avvicinarlo, la corrente

circola in senso opposto.➠ Se avviciniamo il polo N del magnete, la corrente circolerà in un

senso. Viceversa, se avviciniamo il polo S, la corrente circolerà in sensoopposto

• Esperimento 2: Consideriamo il sistema di due spire uguali, unapercorsa da corrente ed un no➠ Se chiudiamo l'interruttore S, nella spira a destra si produce una

corrente indotta di breve durata➠ Se apriamo l'interruttore S, nella spira a destra si produce una

corrente indotta in verso opposto rispetto alla precedente

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Induzione Elettromagnetica• L'aspetto importante negli esperimenti considerati e in quello

riportato a fianco, consiste nella variazione del flusso del campo

magnetico attraverso la spira (memo: ϕ" = ∮%& ⋅ ()Σ)

• Ciò causa nella spira una corrente indotta

• Si dice che la corrente indotta è fatta circolare da una forza

elettromotrice indotta (memo: ℰ = ∮, ⋅ ).⃗ )

• Più è rapida la variazione, maggiore è la corrente (e la f.e.m.) indotta

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Legge di induzione di Faraday• La forza elettromotrice indotta nel circuito è:

ε = −$φ&$'

• dove fB è il flusso del campo magnetico concatenato col circuito, ovvero, attraverso unaqualunque superficie (S) avente per contorno il circuito S ϕ& = ∮*+ ⋅ -$Σ = 0

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Michael Faraday (1791, 1867)

Flusso concatenato• Dato un cammino chiuso, possiamo considerare infinite superfici aventi

il cammino come contorno

• Ricordiamo che il campo magnetico è solenoidale

!"# ⋅ %&Σ = 0

➠questo implica che possiamo considerare una linea chiusa (G)come la lineadi demarcazione tra due superfici che, unite, formano una superficiechiusa

• Indipendentemente da come prendo S, il flusso attraverso di essa(concatenato con G)deve essere lo stesso, in modo da elidere quelloattraverso S’

• Memo: Unita di misura flusso magnetico= weber (Wb) = 1 V s , variazione di flusso che in un secondo genera fem di 1 V.

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Legge di induzione di Faraday• La forza elettromotrice indotta nel circuito è:

ε = −$φ&$'• dove fB è il flusso del campo magnetico concatenato col circuito, ovvero, attraverso una

qualunque superficie (S) avente per contorno il circuito S: ϕ& = ∮*+ ⋅ -$Σ = 0,

ε = −$φ&$' = − $$' φ& = − $

$' 0*+ ⋅ -$Σ

• Ma ℰ = ∮2 ⋅ $4⃗ , quindi

052 ⋅ $4⃗ = − $

$' 0*+ ⋅ -$Σ

• Nel caso di una bobina formata da N spire, e se trascuriamo le piccole variazioni nellaposizione delle spire, abbiamo

ε = −6 $φ&$' = −$ 6φ&$' = ⋯

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Michael Faraday (1791, 1867)

Legge di Lenz• Qual è il verso in cui circola la corrente?

• La legge di Lenz riflette il principio di conservazione dell'energia

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Heinrich Lenz (1804,1865)

LA CORRENTE INDOTTA HA UN VERSO TALE DA OPPORSI

ALLA VARIAZIONE CHE L'HA INDOTTA

Induzione• Due modi in cui si puo` variare il flusso di B

1. Conduttore in moto in campo B costante => i.e. in S.R. dove cariche in quiete (a meno di moto traslatorio in campo B uniforme)ü e.g. circuito deformato, circuito rotanteü origine = FL ;

2. Variazione di B nel tempo in un S.R. dove conduttore in quieteü e.g. spostamento sorgente di B, varia i

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F

F

i

i

S.R. = sistema di riferimento

Caso 1. Conduttore in moto

• "⃗ = $ % + '⃗×) => %+ =,⃗

-.= '⃗×)

•/0 = /ε+ = '⃗×) 2 /3… = /56) dovuto alla traslazione della spira)•Poiche` B solenoidale,

/5) = − 51− 52 = −/5,

da cui segue

ε = −/φ</6

N.B. se moto uniforme 51 = 52

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Caso 1: deformazione del circuito• Considero il caso in cui la variazione di flusso (e fem) è data dalla variazione della geometria

del sistema

• Tiro verso destra con velocità v un ramo mobile di una spira in campo magnetico dispostoperpendicolarmente alla spira (e a v)

• !" =%⃗

&= '⃗×) (campo elettromotore)

• ε" ≡ ΔV./ = ∫./'⃗ ×) ⋅ 23⃗ = −')5

• ε" = −67869

= −)56:

69= −)5'

• Secondo la legge di Lenz i deve circolare in senso orario, per opporsi alla variazione di fBFisica II@Math, 2o mod. a.a.2017-18 G.Manca 16

;<=

;<=

;<=

;>R

Nota: l'orientazione

di MN è

determinatadal verso di B

secondo la regola della

vite

R

Caso 1: Deformazione circuito

• Dunque, quando un elemento di conduttore si muove in un campo magnetico fisso, la ddp generata è dovuta alla forza di Lorentz => In questi casi l'induzione può essere ricondotta alla forza di Lorentz

• Qual è l'origine della corrente elettrica?

• La ddp esiste comunque anche se il circuito è aperto?

➠Calcolare l'intensità di corrente e la potenza dissipata

• Usi: attrito elettromagnetico=> generatori (potenza meccanica=>elettrica)

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Caso 2: Campi magnetici variabili nel tempo• Il flusso può essere cambiato anche facendo variare il campo magnetico neltempo

• In una spira posta in una regione sede di campo magnetico non stazionariocomparirà una f.e.m. (e una corrente) indotta

• Diversamente dal caso precedente, non possiamo ricondurre l'effetto allaforza di Lorentz

"⃗ = $%⃗×' = 0

• Poichè ℰ = ∮+ ⋅ -.⃗ dobbiamo supporre che in una regione in

cui B=B(t) venga indotto un campo elettrico E

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Campi magnetici variabili neltempo producono campi elettrici

Campi magnetici variabili nel tempo

ℰ" = $%" ⋅ ')⃗ = − ++, -.

/ ⋅ 01'Σ = −-.

+/+, ⋅ 01'Σ

Dal teorema di Stokes:

∮4%" ⋅ ')⃗ = ∫.∇×% ⋅ 01'Σ (S è qualunque superficie avente per contorno G)

Dunque:

∇×% = − 898: questa è una delle quattro eq. di Maxwell

• Nota: poichè / = ∇×;⃗ allora in assenza di cariche fisse % = − 8<⃗8:

• Più in generale, se sono presenti delle cariche fisse che generano un potenzialeper esempio φ

% = − 8<⃗8: − ∇φ => nota : ∇×∇φ = 0

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possibile perche` circuito fisso

Problema• Consideriamo una spira circolare posta in B uniforme perpendicolare alla spira crescente nel tempo

(p.es. dato da un elettromagnete in cui aumentiamo i) R=10 cm, !"!# = 0.1 T/s.

Calcolare E per r<R e per r>R.

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φ" = & ⋅ π)*

+, ⋅ -/⃗ = −-φ"-1 = −-&-1 ⋅ π)*

Per simmetria, E è tangente alla circonferenza ed ha lo stesso modulo in tutti i suoi punti

, ⋅ 2π) = −-&-1 ⋅ π)* , = −12-&-1 )

Per r<R, E cresce linearmente con r

1) r<R

2) r>R

, ⋅ 2π) = −-&-1 ⋅ π4* , = −12-&-14*)

Campo elettrico indotto e conservatività• Nota: in condizioni stazionarie, il campo elettrico E è conservativo

!" ⋅ $&⃗ = 0• le linee di campo NON sono linee chiuse, ma hanno origine nelle cariche positive e

terminano nelle cariche negative

• Un campo magnetico variabile nel tempo induce un campo elettrico

• Le linee del campo elettrico indotto sono chiuse

!" ⋅ $&⃗ = −$φ+$, ≠ 0• Dunque, mentre i campi elettrici associati a cariche stazionarie sono conservativi,

quelli associati con campi magnetici variabili nel tempo non sono conservativi!

• Il potenziale elettrico non può essere definito per campi elettrici indotti

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Legge di Faraday e relatività• Abbiamo un circuito e una sorgente di B in moto relativo

• Nel SR in cui il circuito si muove con velocità v e la sorgente di B è fissa l'effetto è attribuitoalla forza di Lorentz

"⃗ = $%⃗×'

• nel SR in cui il circuito è fisso e la sorgente di B si muove con velocità -v, l'effetto è attribuitoal campo elettrico generato dalla variazione nel tempo di campo magnetico

"⃗ = $( con ∇×( = −.'

./

• L'effetto misurabile è lo stesso → i due casi non sono distinguibili

➠È impossibile stabilire uno stato di moto assoluto• Inoltre, dalla sola misura della fem non possiamo stabilire se la variazione di B rispetto al circuito è

dovuta a una sorgente di B costante in moto o a una sorgente fissa di B variabile

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Applicazioni della legge di Faraday• Al momento in cui Faraday rese pubblica la sua scoperta, una domandache gli venne fatta fu: “A che serve?”

• La sua risposta fu: “A che serve un bambino?”

• Vediamo come è cresciuto questo bambino...

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Generatore• Faccio girare la spira (stavolta non collegata ad alcun generatore di f.e.m.) tra le espansioni di un magnete, compiendo un lavoro meccanico (p.es. uso una turbinaazionata dal vapore, o l'acqua che proviene da una diga...)

• Nella spira circolerà una corrente elettrica → Ho un generatore di correntealternata

• Posso trasportare la corrente elettrica e poi riconvertire l'energia in lavoromeccanico mediante un motore elettrico

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Conversione onde sonore ⟷ impulsi elettrici• Lo stesso dispositivo può essere usato per convertire ondesonore in impulsi elettrici o impulsi elettrici in onde sonore

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Trasmettitore o ricevitore telefonico

Conversione onde sonore ⟷ impulsi elettrici

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Trasformatori• B, generato dalla corrente alternata nella bobina (a), è variabile

• La variazione di flusso di B induce in (b) unacorrente, anch'essa alternata con la stessafrequenza di quella del generatore

• La f.e.m. in (b) può essere più o meno grande a seconda del numero di spire nella bobina

➠Approfondiremo nel seguito questo argomento

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Forze e correnti indotte: il cannone elettromagnetico• Il cannone e.m. del museo di Fisica di Cagliari presso il dipartimento di Fisica

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Condensatori da 1000 µF vengono caricati fino a 900 V e scaricati su una bobina piatta ben adattata allecaretteristiche del sistema. Un disco di alluminioinizialmente appoggiato sulla bobina viene proiettato con estrema violenza verso l'alto

http://w

ww.pegna.com/page009.htm

Immagine ripresa con flash

elettronico: tempo di posa circa

1/1000 s. Notare la traccia del

disco in moto.

Nel disco vengono indotte delle correnti che si

oppongono alla variazione del flusso di B dato dalla

bobina: è come se ci fossero un magnete col polo N

diretto verso l'alto e uno col polo N verso il basso

Levitazione magnetica• Poniamo un conduttore sopra un polo di un magnete e lasciamolo cadere

• Quando il conduttore si avvicina cambia FB, e dunque al suo interno si manifesterannodelle correnti indotte

• Per la legge di Lenz, queste correnti creeranno un campo magnetico che si oppone allavariazione di FB. Come nel caso precedente, il campo magnetico si opporrà a quello del magnete e i due si respingeranno, rallentando la caduta del conduttore

• Dopo un po', l'energia elettrica saràdissipata per effetto Joule e ilconduttore continuerà la sua discesa

• Che cosa succede se il grave è un superconduttore?

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Correnti di Foucault• Campo B variabile in un conduttore metallico => genera E

• Le linee di E sono ortogonali a quelle di B e le concatenano

• In un conduttore, E darà luogo a delle correntiparassite, dette di Foucault

• Resistività piccola → correnti intense

• Riscaldamento del conduttore➠ Forni ad induzione → metalli fusi se sottoposti a campi B

variabili alta frequenza

• L'effetto può essere ridotto applicando dei tagli nellalamina➠ Freno e.m. → quando un elettromagnete posto sotto un

vagone (vicino alle rotaie) viene azionato le correnti di Foucault causano il frenamento

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…•Al momento della scoperta di Faraday, era difficile prevedere quale impatto l'induzione avrebbe avuto nella vita delle persone

•Oggi è chiaro che quel bambino, crescendo, ha fatto parecchia strada...

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