Post on 12-May-2015
Euler of Excel?Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden
door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht
Rekenen door de eeuwen…
• hoofdrekenen… (algoritmen)
• met rekenhulpmiddelen… (abacus, rekenliniaal)
• met tabellen; met logaritmen…
• met mechanische rekenmachines… (Pascal; Leibniz; Babbage)
• met electronische rekenmachines…
• met supercomputers…
• met pc’s… (symbolisch, bewijsverificatie)
Op school kan het ondertussen met gratis
software op pc’s.
Computers en getaltheorie
beroemde voorbeelden
Computers en getaltheorie
1859 3 Riemann
1936 1041 Titchmarsh
1953 1104 Turing
1956 15000 D.H. Lehmer
1986 109 van de Lune, te Riele & Winter
1987 1000 rond 1012 Odlyzko
2004 1013 Gourdon
2010 6 miljoen rond 1028 Hiary
Testen van vermoeden,bijv. Riemann hypothese
Prijzengeld 1M$
Hoe ver moet je gaan om het te geloven?
Riemannhypothese in de klas?
• Jan van de Craats en Roland van der Veen, De Riemannhypothese - een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgeverij
• GC + Sjoerd Andringa, “Werken met wiskunde”, Junior College Utrecht, vwo5
• Bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn met de productformule van Euler
• Priemtelfunctie berekenen en schatten
• Elementaire herformuleringen van de Riemannhypothese, bijv. criterium van Lagarias dat de som van de delers van n kleiner of gelijk is aan
met
voor alle natuurlijke getallen n.
Opstellen van vermoeden,bijv. Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden
• 1960 berekende Peter Swinnerton-Dyer het aantal oplossingen Np van y2=x3+ax+b modulo priemgetallen p≤x en plotte ∏ Np/p.
• (zwak) Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden:
• r is de rang van de vergelijking; “r=0” betekent dat er maar eindig veel oplossingen zijn in rationale getallen.
• Prijzengeld 1M$
Computers en getaltheorie
Plot: ln(∏ p≤x Np/p) vs ln(ln(x)) voor y2=x3-5x
EDSAC
• 1993 stelde bankier Andy Beal volgende vermoeden op: Als A,B,C natuurlijke getallen zijn, en x,y,z natuurlijke getallen, allemaal >2, dan geldt voor iedere oplossing van Ax+By=Cz dat A, B en C een gemeenschappelijke deler hebben.
• Hij checkte het eerst voor alle variabelen <100 op 15 computers.
• Prijzengeld is nu 1M$.
Computers en getaltheorieTesten van vermoeden,bijv.
vermoeden van Beal
Rekenen en getaltheorieEen voorbeeld in detail: de priemgetalstelling
Een beroemd resultaat, “ontdekt” door berekening:
De PriemgetalstellingStelling Als het aantal priemgetallen is kleiner dan dan is
Hoe werd zoiets ontdekt? Zouden leerlingen het zelf kunnen
ontdekken?
Hadamard en de la Vallée-
Poussin (1896)
Bronnen• Anton Felkel (1771): Tafel
aller Einfachen Factoren der durch 2, 3, 5 nicht theilbaren Zahlen von 1 bis 10 000 000; 1. Theil Enthaltend die Factoren von 1 bis 144 000.
• Jurij Vega (1794): Thesaurus Logarithmorum Completus
Formulering• Adrien-Marie Legendre Essai sur la Théorie des
Nombres (1797-8 p. 19; 2nd ed. 1808)
• Carl-Friedrich Gauß Tafel der Frequenz der Primzahlen (1792?), Nachlass, Werke II, Brief aan Encke (1849)
Conclusie
Heel veel getaltheoretische ontdekkingen baseren op (grootschalig) rekenen…
Yerkes Observatory, 1921
Oppassen geblazen…Wat er mis kan gaan door “enkel” rekenen
De Stelling van Littlewood
• Berekeningen suggereren dat
Kotnik (2008) bewees dit voor
• Littlewood bewees in 1914 dat oneindig vaak
• Skewes bewees in 1955 dat dit gebeurt voor
• Zegowitz (2010) bewees dat het gebeurt voor
Aantal atomen in het universum ca. 1080
Het correcte, foute computerprogramma
• Hiernaast een C-programma dat een binair natuurlijk getal omzet in een decimaal getal.Het is fout.
• Het algoritme is correct.
• Op iedere hardware is het fout, want die rekent modulo 264 (bijv.).
• Correctheid is niet te verifiëren door “typische” inputs te testen (>100 jaar?).
Robert P. Kurshan, Program Verification, Notices AMS 47 (5), 2000
Ariane 5 vlucht 501, 4 juni 1996
Het omzetten van een 64-bit vlottende kommagetal naar een 16-bit geheel getal […] veroorzaakte een computer crash omdat de waarde te
groot was.
Euler of Excel?• De kleinste positieve
oplossing van de Pell-vergelijkingis gegeven in de tabel van Leonard Euler uit 1738 De solutione problematum diophanteorum per numeros integros.
• Verifieer dat
Hoe doen leerlingen het?
Controleer het
laatste cijfer…
Philip van Egmond
(JCU)
Computeralgebrafouten• Derive (1996) berekende
• Mathematica 7 gaf twee oplossingen voor
• Sage 5.10 beweesAanleren dat dit kan
gebeuren?
Principiele onmogelijkheid
Er bestaat een diophantische vergelijking afhankelijk van een parameter t, zodat er geen computerprogramma bestaat dat voor iedere waarde van t in eindige tijd kan beslissen of de vergelijking een oplossing in gehele getallen heeft of niet.
Onbeslisbaarheidsresultaten (Stelling van Gödel, Hilbert’s 10e probleem) stellen grenzen aan wat bewijsbaar is.
GC, Diophantische vergelijkingen mogelijkheden en onmogelijkheden wiskunde-D module
• Foute vermoedens opstellen op basis van te weinig informatie
• Foute programma’s/algoritmen gebruiken, met (soms) catastrofale gevolgen
• Rekenprogramma’s gebruiken die fouten maken
• Grenzen aan het mogelijk berekenbare
1986 2014
Filosofisch-onderwijskundig Coda
toolbox wiskundige methoden
• afbeeldingen - meetkundig
• structuren - algebraïsch
• formules - rekentechnisch
• algoritmisch - combinatorisch
• taalkundig - modellerend?
stijlen? denkwijzen?algemene
vaardigheden?
wiskundige vaardigheden
leren door “cijferen”
• In de klas kunnen dankzij de computer berekeningen worden uitgevoerd die vroeger “hogere wiskunde” waren. Dit geeft kansen:
• historische motivatie
• leren “rekenen” als attitude
• Is het mogelijk tegelijkertijd “rekenen” als attitude/(onderzoeks-)methode en een kritische/sceptische houding aan te leren?
Samenvatting
• Rekenen in de getaltheorie: testen en opstellen van vermoedens; bijv. priemtelfunctie
• “Riemannhypothese” in de klas: het kan
• Ook scepsis bij rekenen “aanleren”