Post on 30-Aug-2020
Elementos notables de las cuadricas afines:centros, planos principales, ejes y vertices.
Sonia L. Rueda
ETS Arquitectura. UPM
Geometrıa afın y proyectiva, 2015
Geometrıa afın y proyectiva
1. Algebra lineal
2. Geometrıa afın y euclıdea
3. Conicas y cuadricas
Conicas y cuadricas
3.1 Introduccion al espacio proyectivo.
3.2 Clasificacion y determinacion de conicas.
3.3 Clasificacion de cuadricas y elementos notables.
Elipsoide Hiperboloide hiperbolico Hiperboloide elıpticox2
a2+ y2
b2+ z2
c2= 1 x2
a2+ y2
b2− z2
c2= 1 x2
a2− y2
b2− z2
c2= 1
Paraboloide elıptico Paraboloide hiperbolico Conox2
a2+ y2
b2= z x2
a2− y2
b2= z x2
a2+ y2
b2= z2
Cilindro elıptico Cilindro hiperbolico Cilindro parabolicox2
a2+ y2
b2= 1 x2
a2− y2
b2= 1 y2 = 2px
No se han representado los casos que degeneran en un par deplanos, una recta o un punto, ni los casos imaginarios.
Cuadricas en Arquitectura
Interior de La Sagrada Familia. A. Gaudı
Cuadricas en Arquitectura
Maquetas de hiperboloide reglado de la Sagrada Familia
Cuadricas en Arquitectura
Shukhov (1853-1939) Los Manantiales, Candela (1990-1997)
Contenidos
Cuadrica afınUn polinomio de grado dos en R[x , y , z]
p(x , y , z) = a11x2 + a22y
2 + a33z2+
+ a12xy + a13xz + a23yz + a01x + a02y + a03z + a00
es la ecuacion de una superficie en R3. Llamaremos cuadrica afınal conjunto (de puntos del espacio afın euclıdeo E3 = R3)
C = {(x , y , z) ∈ R3 | p(x , y , z) = 0}.
Mediante la matriz A de la cuadrica podemos expresar su ecuacionde la forma
p(x , y , z) =(
1 x y z)
a00 a01/2 a02/2 a03/2a01/2 a11 a12/2 a13/2a02/2 a12/2 a22 a23/2a03/2 a13/2 a23/2 a33
1xyz
.
Cuadrica proyectiva
El polinomio homogeneo de grado dos en R[x0, x1, x2, x3]
a00x20 + a11x
21 + a22x
22 + a33x
23+
+ a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a01x0x1 + a02x0x2 + a03x0x3
define una forma cuadratica ω : R4 → R que tiene como matrizasociada la matriz A de la cuadrica
ω(X ) = XAX t
siendo X = (x0, x1, x2, x3) ∈ P3. Llamamos cuadrica proyectiva alconjunto de puntos de P3
C = {X ∈ P3 | ω(X ) = 0}.
Centro de una cuadrica proyectiva
Definicion Llamamos centro de una cuadrica proyectiva C a unpunto cuyo plano polar es el plano del infinito, x0 = 0, o para elque el plano polar no esta definido. Es decir, los centros son polosdel plano del infinito o puntos singulares de C.
Proposicion Los centros de C satisfacen AX t = µ(1, 0, 0, 0)t .
Proposicion La conica del infinito de C tiene matriz A00:
• Si det(A00) 6= 0, el centro es unico propio. Llamemosle Z .
• Si det(A00) = 0 y det(A) 6= 0, el centro es unico e impropio.Llamemosle Z∞.
• Si det(A00) = 0 y det(A) = 0 la cuadrica tiene infinitoscentros.
Centro de una cuadrica afın
Definicion Llamamos centro la cuadrica afın C a un centro propiode la cuadrica proyectiva.
Centro unico: Elipsoides, hiperboloides y conos.Sin centro: Paraboloides y cilindros parabolicos.Una recta de centros: Cilindros elıpticos e hiperbolicos.
Proposicion Un centro de C es centro de simetrıa, las rectas quepasan por el centro intersecan a la cuadrica afın en puntos queequidistan del centro.
Elipsoide Hiperboloide hiperbolico Hiperboloide elıpticox2
a2+ y2
b2+ z2
c2= 1 x2
a2+ y2
b2− z2
c2= 1 x2
a2− y2
b2− z2
c2= 1
Paraboloide elıptico Paraboloide hiperbolico Conox2
a2+ y2
b2= z x2
a2− y2
b2= z x2
a2+ y2
b2= z2
Cilindro elıptico Cilindro hiperbolico Cilindro parabolicox2
a2+ y2
b2= 1 x2
a2− y2
b2= 1 y2 = 2px
Planos diametrales y diametros
Si un punto del infinito Q (no singular) es centro de C, su polar esel plano del infinito x0 = 0.Definicion Si Q ∈ Π∞ no es un centro (y no es singular) entoncesΠ ≡ f (Q,X ) = 0 es un plano propio, decimos que el plano afın Πes el plano diametral polar de Q.
Π ≡ QAX t = 0, Q = (0, a, b, c) ∈ P3.
Un plano diametral de C contiene a los centros de C.
Llamamos diametro de C, a una recta afın interseccion de planosdiametrales ΠQ1 y ΠQ2 . Los diametros contienen a los centros deC. Un diametro es conjugado con la recta del infinito que contienea Q1 y a Q2.
Definicion A un plano diametral polar ΠQ de un punto Q ∈ Π∞que pertenece a la cuadrica C se llama plano asintotico (tangente aC en Q). Un diametro tangente a la cuadrica en un puntoimpropio se llama asıntota.
Proposicion
• Dado un plano diametral ΠQ , que no sea plano asintotico, lasrectas que pasan por un punto R ∈ ΠQ , que no pertenece a C,y que tienen punto del infinito Q, intersecan a C en dospuntos simetricos con respecto a R.
• Sea d un diametro de C que no sea una asıntota. Las rectasque pasan por un punto R ∈ d , no contenido en C, y quetienen punto del infinito Q en la recta conjugada de d ,intersecan a C en dos puntos simetricos con respecto a R.
Planos principales y ejes
Definicion A un plano diametral ΠQ de C, con Q = (0, a, b, c), sellama plano principal si es perpendicular a su direccion conjugadav = (a, b, c).Un diametro perpendicular a su plano conjugado se llama eje.
Son planos y ejes de simetrıa ortogonal de la cuadrica C
Definicion Se llama vertice a la interseccion de un eje con lacuadrica afın C.
Calculo de planos principales y ejes
ΠQ plano principal, Q = (0, a, b, c) ⇒ v = (a, b, c) vector propiode A00.
La matriz A00 es simetrica y por tanto ortogonalmentediagonalizable, sea {v1, v2, v3} una base ortonormal de vectorespropios de A00 con valores propios λ1, λ2, λ3.
Cada vi determina un punto del infinito Qi . Si Qi no es un puntosingular ni un centro, determina un plano diametral polar Πi , quees ortogonal a vi .
Proposicion Planos principales determinados por vectores propiosasociados a valores propios distintos son conjugados y ortogonales.
f (Qi ,Qj) = QiAQtj = ViA00V
tj = ViλjV
tj = λjViV
tj = 0.
Cuadricas afines con centro unico
Si C tiene un unico centro Z (det(A00) 6= 0).
Planos principales de C, planos diametrales ortogonales entre si,Π1, Π2 y Π3.Ejes de C, diametros interseccion de dos planos principales,Ei ≡ Z + 〈vi 〉 (ortogonal a Πi ).
Planos de simetrıade un
hiperboloide elıpticoo reglado.
Elipsoides, hiperboloides y conos
det(A00) 6= 0 Centro unico Z :
1. Si λ1, λ2, λ3 distintos (dos a dos), la cuadrica afın C tieneexactamente tres ejes de simetrıa
E1 = Z + 〈v1〉, E2 = Z + 〈v2〉, E3 = Z + 〈v3〉,
y tres planos de simetrıa
Π1 = Z + 〈v2, v3〉, Π2 = Z + 〈v1, v3〉, Π3 = Z + 〈v1, v2〉.
2. Si λ1 = λ2 6= λ3, el plano principal Π3 = Z + 〈v1, v2〉 es unplano de ejes, ortogonal al eje E3 = Z + 〈v3〉. La cuadrica Ces de revolucion con eje de revolucion E3.
3. Si λ1 = λ2 = λ3 todos los diametros son ejes de simetrıa, C esuna esfera.
x2
25 + y2
4 + z2
9 = 1 x2
9 + y2
4 + z2
4 = 1 x2
4 + y2
4 + z2
4 = 1↓ ↓ ↓
Elipsoide de revolucion Esfera
Elipsoides, hiperboloides y conos
Elipsode Hip. hiperbolico Hip. elıptico Conox2
a2+ y2
b2+ z2
c2= 1 x2
a2+ y2
b2− z2
c2= 1 x2
a2− y2
b2− z2
c2= 1 x2
a2+ y2
b2= z2
Paraboloides
det(A00) = 0, det(A) 6= 0 Centro impropio unico Z∞ de C:A00 tiene dos valores propios λ1 6= 0 6= λ2 y λ3 = 0. Observamosque Q3 = Z∞ y que todos los diametros son paralelos, tienenvector director v3.
1. Si λ1 6= λ2, la cuadrica afın C tiene exactamente dos planosdiametrales de simetrıa Π1 y Π2, los planos principales.Dichos planos intersecan en un diametro E , que es eje desimetrıa. El unico vertice V es el punto de interseccion del ejecon la cuadrica C.
2. Si λ1 = λ2 (el subespacio propio asociado a λ1 tienedimension 2), la cuadrica afın C tiene infinitos planosdiametrales de simetrıa y todos intersecan en un diametro E ,el eje de simetrıa y de revolucion de la cuadrica.
Paraboloides
Elıptico Hiperbolicox2
a2+ y2
b2= z x2
a2− y2
b2= z z = xy
Cilindros
det(A00) = 0, rango(A) = 3 La cuadrica proyectiva C tiene unpunto singular impropio Q3, determinado por un vector propioasociado al valor propio λ3 = 0.Ademas C tiene una recta de centros r que contiene a Q3.
1. Cilindros elıpticos e hiperbolicos La recta de centros es propia.La cuadrica afın tiene al menos dos planos de simetrıa, losplanos diametrales polares Π1 y Π2, que intersecan en un ejede simetrıa E . Si λ1 = λ2 6= 0 tenemos infinitos planos desimetrıa y el eje es de revolucion.
2. Cilindro parabolico La recta de centros es impropia (ladireccion es el subespacio propio de λ2 = λ3 = 0). Lacuadrica afın tiene un plano de simetrıa, el plano diametralΠ1, que contiene a la recta impropia de centros e interseca aC en una recta.
Cilindros
Cilindro elıptico Cilindro hiperbolico Cilindro parabolicox2
a2+ y2
b2= 1 x2
a2− y2
b2= 1 y2 = 2px
Ecuacion reducida
Sean R = {O,B = {e1, e2, e2}} y R′ = {O ′,B′ = {v1, v2, v3}}sistemas de referencia ortonormales del espacio afın euclıdeoE3 = R3.
Sea N = M(R′,R) matriz de cambio de referencia de R′ a R:
X tR = NX t
R′ ⇒ XR = XR′Nt .
Si A era la matriz de la cuadrica en la referencia R, la matriz de lacuadrica en la referencia R′ es
A′ = NtAN, N =
(1 0b M
)siendo M = M(B′,B) la matriz ortogonal de cambio de base.
Invariantes
Los invariantes de las cuadricas (por cambios de sistema dereferencia) son det(A), det(A00), tr(A00) y
tr2(A00) =
∣∣∣∣ a11 a12/2a12/2 a22
∣∣∣∣+∣∣∣∣ a11 a13/2a13/2 a33
∣∣∣∣+∣∣∣∣ a22 a23/2a23/2 a33
∣∣∣∣ ,que escribimos en funcion de los valores propios de A00.
Sea B′ = {v1, v2, v3} una base ortonormal de vectores propios deA00 con valores propios λi tal que A00vi = λivi .
• Centro unico Z : Elipsoides, hiperboloides y conos La ecuacionde la cuadrica en la referencia R′ = {Z ,B′} es
λ1x2 + λ2y
2 + λ3z2 =− det(A)
det(A00).
Elipsode Hip. hiperbolico Hip. elıptico Conox2
a2+ y2
b2+ z2
c2= 1 x2
a2+ y2
b2− z2
c2= 1 x2
a2− y2
b2− z2
c2= 1 x2
a2+ y2
b2= z2
• Unico vertice V : Paraboloides La ecuacion de la cuadrica enla referencia R′ = {V ,B′} es
λ1x2 + λ2y
2 +
√−4 det(A)
λ1λ2z = 0,
con tr2(A00) = λ1λ2.
Paraboloide elıptico Paraboloide hiperbolicox2
a2+ y2
b2= z x2
a2− y2
b2= z
• Recta de centros propia: Cilindros elıpticos e hiperbolicosTomando un centro propio Z0, la ecuacion de la cuadrica en lareferencia R′ = {Z0,B′} es
λ1x2 + λ2y
2 + b00 = 0.
• Recta de centros impropia: Cilindro parabolico Tomando unpunto propio de la recta de vertices V0, la ecuacion de lacuadrica en la referencia R′ = {V0,B′} es
λ1x2 + b03z = 0.
Cilindro elıptico Cilindro hiperbolico Cilindro parabolicox2
a2+ y2
b2= 1 x2
a2− y2
b2= 1 y2 = 2px
Clasificacion de las cuadricas afines
det(A00) 6= 0
rango(A) = 4No degenerada
sig(A00) = 3
Elipsoide
{det(A) > 0 imaginario
det(A) < 0 real
sig(A00) = 1Hiperboloide
{det(A) > 0 elıptico
det(A) < 0 hiperbolico
rango(A) = 3Cono
{sig(A00) = 3 (imaginario con) un punto real
sig(A00) = 1 real
Hiperboloides
det(A) > 0 det(A) < 0
A =
−5 0 0 00 −4 0 00 0 9 00 0 0 16
A =
3 0 0 00 −2 0 00 0 2 00 0 0 2
detA00 = 0
rango(A) = 4Paraboloide
{tr2(A) > 0 elıptico
tr2(A) < 0 hiperbolico
rango(A) = 3Cilindro
tr2(A) > 0 elıptico (real o imaginario)
tr2(A) < 0 hiperbolico
tr2(A) = 0 parabolico
rango(A) = 2Par de planos
tr2(A) > 0 (imaginarios que se cortan en) recta
tr2(A) < 0 secantes
tr2(A) = 0 paralelos
{imaginarios
reales
rango(A) = 1 plano doble