Elementos notables de las cuádricas afines:...

Elementos notables de las cuadricas afines:centros, planos principales, ejes y vertices.

Sonia L. Rueda

ETS Arquitectura. UPM

Geometrıa afın y proyectiva, 2015

Geometrıa afın y proyectiva

1. Algebra lineal

2. Geometrıa afın y euclıdea

3. Conicas y cuadricas

Conicas y cuadricas

3.1 Introduccion al espacio proyectivo.

3.2 Clasificacion y determinacion de conicas.

3.3 Clasificacion de cuadricas y elementos notables.

Elipsoide Hiperboloide hiperbolico Hiperboloide elıpticox2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1 x2

a2+ y2

b2− z2

c2= 1 x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1

Paraboloide elıptico Paraboloide hiperbolico Conox2

a2+ y2

b2= z x2

a2− y2

b2= z x2

a2+ y2

b2= z2

Cilindro elıptico Cilindro hiperbolico Cilindro parabolicox2

a2+ y2

b2= 1 x2

a2− y2

b2= 1 y2 = 2px

No se han representado los casos que degeneran en un par deplanos, una recta o un punto, ni los casos imaginarios.

Cuadricas en Arquitectura

Interior de La Sagrada Familia. A. Gaudı


Maquetas de hiperboloide reglado de la Sagrada Familia


Shukhov (1853-1939) Los Manantiales, Candela (1990-1997)

Contenidos

Cuadrica afınUn polinomio de grado dos en R[x , y , z]

p(x , y , z) = a11x2 + a22y

2 + a33z2+

+ a12xy + a13xz + a23yz + a01x + a02y + a03z + a00

es la ecuacion de una superficie en R3. Llamaremos cuadrica afınal conjunto (de puntos del espacio afın euclıdeo E3 = R3)

C = {(x , y , z) ∈ R3 | p(x , y , z) = 0}.

Mediante la matriz A de la cuadrica podemos expresar su ecuacionde la forma

p(x , y , z) =(

1 x y z)

a00 a01/2 a02/2 a03/2a01/2 a11 a12/2 a13/2a02/2 a12/2 a22 a23/2a03/2 a13/2 a23/2 a33

1xyz

.

Cuadrica proyectiva

El polinomio homogeneo de grado dos en R[x0, x1, x2, x3]

a00x20 + a11x

21 + a22x

22 + a33x

23+

+ a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3 + a01x0x1 + a02x0x2 + a03x0x3

define una forma cuadratica ω : R4 → R que tiene como matrizasociada la matriz A de la cuadrica

ω(X ) = XAX t

siendo X = (x0, x1, x2, x3) ∈ P3. Llamamos cuadrica proyectiva alconjunto de puntos de P3

C = {X ∈ P3 | ω(X ) = 0}.

Centro de una cuadrica proyectiva

Definicion Llamamos centro de una cuadrica proyectiva C a unpunto cuyo plano polar es el plano del infinito, x0 = 0, o para elque el plano polar no esta definido. Es decir, los centros son polosdel plano del infinito o puntos singulares de C.

Proposicion Los centros de C satisfacen AX t = µ(1, 0, 0, 0)t .

Proposicion La conica del infinito de C tiene matriz A00:

• Si det(A00) 6= 0, el centro es unico propio. Llamemosle Z .

• Si det(A00) = 0 y det(A) 6= 0, el centro es unico e impropio.Llamemosle Z∞.

• Si det(A00) = 0 y det(A) = 0 la cuadrica tiene infinitoscentros.

Centro de una cuadrica afın

Definicion Llamamos centro la cuadrica afın C a un centro propiode la cuadrica proyectiva.

Centro unico: Elipsoides, hiperboloides y conos.Sin centro: Paraboloides y cilindros parabolicos.Una recta de centros: Cilindros elıpticos e hiperbolicos.

Proposicion Un centro de C es centro de simetrıa, las rectas quepasan por el centro intersecan a la cuadrica afın en puntos queequidistan del centro.

Elipsoide Hiperboloide hiperbolico Hiperboloide elıpticox2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1 x2

a2+ y2

b2− z2

c2= 1 x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1

Paraboloide elıptico Paraboloide hiperbolico Conox2

a2+ y2

b2= z x2

a2− y2

b2= z x2

a2+ y2

b2= z2


a2+ y2

b2= 1 x2

a2− y2

b2= 1 y2 = 2px

Planos diametrales y diametros

Si un punto del infinito Q (no singular) es centro de C, su polar esel plano del infinito x0 = 0.Definicion Si Q ∈ Π∞ no es un centro (y no es singular) entoncesΠ ≡ f (Q,X ) = 0 es un plano propio, decimos que el plano afın Πes el plano diametral polar de Q.

Π ≡ QAX t = 0, Q = (0, a, b, c) ∈ P3.

Un plano diametral de C contiene a los centros de C.

Llamamos diametro de C, a una recta afın interseccion de planosdiametrales ΠQ1 y ΠQ2 . Los diametros contienen a los centros deC. Un diametro es conjugado con la recta del infinito que contienea Q1 y a Q2.

Definicion A un plano diametral polar ΠQ de un punto Q ∈ Π∞que pertenece a la cuadrica C se llama plano asintotico (tangente aC en Q). Un diametro tangente a la cuadrica en un puntoimpropio se llama asıntota.

Proposicion

• Dado un plano diametral ΠQ , que no sea plano asintotico, lasrectas que pasan por un punto R ∈ ΠQ , que no pertenece a C,y que tienen punto del infinito Q, intersecan a C en dospuntos simetricos con respecto a R.

• Sea d un diametro de C que no sea una asıntota. Las rectasque pasan por un punto R ∈ d , no contenido en C, y quetienen punto del infinito Q en la recta conjugada de d ,intersecan a C en dos puntos simetricos con respecto a R.

Planos principales y ejes

Definicion A un plano diametral ΠQ de C, con Q = (0, a, b, c), sellama plano principal si es perpendicular a su direccion conjugadav = (a, b, c).Un diametro perpendicular a su plano conjugado se llama eje.

Son planos y ejes de simetrıa ortogonal de la cuadrica C

Definicion Se llama vertice a la interseccion de un eje con lacuadrica afın C.

Calculo de planos principales y ejes

ΠQ plano principal, Q = (0, a, b, c) ⇒ v = (a, b, c) vector propiode A00.

La matriz A00 es simetrica y por tanto ortogonalmentediagonalizable, sea {v1, v2, v3} una base ortonormal de vectorespropios de A00 con valores propios λ1, λ2, λ3.

Cada vi determina un punto del infinito Qi . Si Qi no es un puntosingular ni un centro, determina un plano diametral polar Πi , quees ortogonal a vi .

Proposicion Planos principales determinados por vectores propiosasociados a valores propios distintos son conjugados y ortogonales.

f (Qi ,Qj) = QiAQtj = ViA00V

tj = ViλjV

tj = λjViV

tj = 0.

Cuadricas afines con centro unico

Si C tiene un unico centro Z (det(A00) 6= 0).

Planos principales de C, planos diametrales ortogonales entre si,Π1, Π2 y Π3.Ejes de C, diametros interseccion de dos planos principales,Ei ≡ Z + 〈vi 〉 (ortogonal a Πi ).

Planos de simetrıade un

hiperboloide elıpticoo reglado.

Elipsoides, hiperboloides y conos

det(A00) 6= 0 Centro unico Z :

1. Si λ1, λ2, λ3 distintos (dos a dos), la cuadrica afın C tieneexactamente tres ejes de simetrıa

E1 = Z + 〈v1〉, E2 = Z + 〈v2〉, E3 = Z + 〈v3〉,

y tres planos de simetrıa

Π1 = Z + 〈v2, v3〉, Π2 = Z + 〈v1, v3〉, Π3 = Z + 〈v1, v2〉.

2. Si λ1 = λ2 6= λ3, el plano principal Π3 = Z + 〈v1, v2〉 es unplano de ejes, ortogonal al eje E3 = Z + 〈v3〉. La cuadrica Ces de revolucion con eje de revolucion E3.

3. Si λ1 = λ2 = λ3 todos los diametros son ejes de simetrıa, C esuna esfera.

x2

25 + y2

4 + z2

9 = 1 x2

9 + y2

4 + z2

4 = 1 x2

4 + y2

4 + z2

4 = 1↓ ↓ ↓

Elipsoide de revolucion Esfera

Elipsoides, hiperboloides y conos

Elipsode Hip. hiperbolico Hip. elıptico Conox2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1 x2

a2+ y2

b2− z2

c2= 1 x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1 x2

a2+ y2

b2= z2

Paraboloides

det(A00) = 0, det(A) 6= 0 Centro impropio unico Z∞ de C:A00 tiene dos valores propios λ1 6= 0 6= λ2 y λ3 = 0. Observamosque Q3 = Z∞ y que todos los diametros son paralelos, tienenvector director v3.

1. Si λ1 6= λ2, la cuadrica afın C tiene exactamente dos planosdiametrales de simetrıa Π1 y Π2, los planos principales.Dichos planos intersecan en un diametro E , que es eje desimetrıa. El unico vertice V es el punto de interseccion del ejecon la cuadrica C.

2. Si λ1 = λ2 (el subespacio propio asociado a λ1 tienedimension 2), la cuadrica afın C tiene infinitos planosdiametrales de simetrıa y todos intersecan en un diametro E ,el eje de simetrıa y de revolucion de la cuadrica.

Paraboloides

Elıptico Hiperbolicox2

a2+ y2

b2= z x2

a2− y2

b2= z z = xy

Cilindros

det(A00) = 0, rango(A) = 3 La cuadrica proyectiva C tiene unpunto singular impropio Q3, determinado por un vector propioasociado al valor propio λ3 = 0.Ademas C tiene una recta de centros r que contiene a Q3.

1. Cilindros elıpticos e hiperbolicos La recta de centros es propia.La cuadrica afın tiene al menos dos planos de simetrıa, losplanos diametrales polares Π1 y Π2, que intersecan en un ejede simetrıa E . Si λ1 = λ2 6= 0 tenemos infinitos planos desimetrıa y el eje es de revolucion.

2. Cilindro parabolico La recta de centros es impropia (ladireccion es el subespacio propio de λ2 = λ3 = 0). Lacuadrica afın tiene un plano de simetrıa, el plano diametralΠ1, que contiene a la recta impropia de centros e interseca aC en una recta.

Cilindros


a2+ y2

b2= 1 x2

a2− y2

b2= 1 y2 = 2px

Ecuacion reducida

Sean R = {O,B = {e1, e2, e2}} y R′ = {O ′,B′ = {v1, v2, v3}}sistemas de referencia ortonormales del espacio afın euclıdeoE3 = R3.

Sea N = M(R′,R) matriz de cambio de referencia de R′ a R:

X tR = NX t

R′ ⇒ XR = XR′Nt .

Si A era la matriz de la cuadrica en la referencia R, la matriz de lacuadrica en la referencia R′ es

A′ = NtAN, N =

(1 0b M

)siendo M = M(B′,B) la matriz ortogonal de cambio de base.

Invariantes

Los invariantes de las cuadricas (por cambios de sistema dereferencia) son det(A), det(A00), tr(A00) y

tr2(A00) =

∣∣∣∣ a11 a12/2a12/2 a22

∣∣∣∣+∣∣∣∣ a11 a13/2a13/2 a33

∣∣∣∣+∣∣∣∣ a22 a23/2a23/2 a33

∣∣∣∣ ,que escribimos en funcion de los valores propios de A00.

Sea B′ = {v1, v2, v3} una base ortonormal de vectores propios deA00 con valores propios λi tal que A00vi = λivi .

• Centro unico Z : Elipsoides, hiperboloides y conos La ecuacionde la cuadrica en la referencia R′ = {Z ,B′} es

λ1x2 + λ2y

2 + λ3z2 =− det(A)

det(A00).

Elipsode Hip. hiperbolico Hip. elıptico Conox2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1 x2

a2+ y2

b2− z2

c2= 1 x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1 x2

a2+ y2

b2= z2

• Unico vertice V : Paraboloides La ecuacion de la cuadrica enla referencia R′ = {V ,B′} es

λ1x2 + λ2y

2 +

√−4 det(A)

λ1λ2z = 0,

con tr2(A00) = λ1λ2.

Paraboloide elıptico Paraboloide hiperbolicox2

a2+ y2

b2= z x2

a2− y2

b2= z

• Recta de centros propia: Cilindros elıpticos e hiperbolicosTomando un centro propio Z0, la ecuacion de la cuadrica en lareferencia R′ = {Z0,B′} es

λ1x2 + λ2y

2 + b00 = 0.

• Recta de centros impropia: Cilindro parabolico Tomando unpunto propio de la recta de vertices V0, la ecuacion de lacuadrica en la referencia R′ = {V0,B′} es

λ1x2 + b03z = 0.


a2+ y2

b2= 1 x2

a2− y2

b2= 1 y2 = 2px

Clasificacion de las cuadricas afines

det(A00) 6= 0

rango(A) = 4No degenerada

sig(A00) = 3

Elipsoide

{det(A) > 0 imaginario

det(A) < 0 real

sig(A00) = 1Hiperboloide

{det(A) > 0 elıptico

det(A) < 0 hiperbolico

rango(A) = 3Cono

{sig(A00) = 3 (imaginario con) un punto real

sig(A00) = 1 real

Hiperboloides

det(A) > 0 det(A) < 0

A =

−5 0 0 00 −4 0 00 0 9 00 0 0 16

A =

3 0 0 00 −2 0 00 0 2 00 0 0 2

detA00 = 0

rango(A) = 4Paraboloide

{tr2(A) > 0 elıptico

tr2(A) < 0 hiperbolico

rango(A) = 3Cilindro

tr2(A) > 0 elıptico (real o imaginario)

tr2(A) < 0 hiperbolico

tr2(A) = 0 parabolico

rango(A) = 2Par de planos

tr2(A) > 0 (imaginarios que se cortan en) recta

tr2(A) < 0 secantes

tr2(A) = 0 paralelos

{imaginarios

reales

rango(A) = 1 plano doble

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