EL MÈTODE DE NEWTON-RAPHSON… I SIMPSON: UNA APLICACIÓ D’EINES DE PROGRAMACIÓ PER

ANALITZAR TEXTOS MATEMÀTICS HISTÒRICS

Mònica Blanco

Grup de Recerca en Història de

la Ciència i de la Tècnica

XIII JORNADA SOBRE LA HISTÒRIA DE LA CIÈNCIA I L’ENSENYAMENT

20 i 21 de novembre de 2015. Institut d‟Estudis Catalans, Barcelona

•

CONTINGUTS - Introducció - Activitat proposada - Algunes reflexions finals

3

Introducció

El mètode de Newton, o de Newton-Raphson

Mètode numèric per trobar, de forma aproximada, les arrels reals d‟una funció d‟una variable 𝑓 𝑥 , partint d‟un valor inicial 𝑥0:

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛)

Isaac Newton (1643-1727) i Joseph Raphson (1668-1715) a finals del segle XVII elaboraren sengles mètodes per trobar de forma aproximada les arrels reals d‟equacions polinòmiques.

Els mètodes elaborats per Newton i Raphson no són idèntics, i difereixen del mètode tal com l‟utilitzem actualment.

Thomas Simpson (1710-1761) publicà el mètode en la seva forma actual el 1740.

OBJECTIUS

Presentar una proposta d‟activitat per analitzar a l‟aula el desenvolupament històric de l‟anomenat “mètode de Newton-Raphson” a partir de les fonts originals.

Explorar l‟aplicació d'eines de programació informàtica per analitzar i comparar els mètodes de Newton, Raphson i Simpson, amb el suport de programari escaient, com, per exemple, algun software orientat a la resolució de problemes matemàtics: Maple

Contrastar aspectes com el grau d‟exactitud dels resultats obtinguts, la capacitat iterativa i l‟àmbit d‟aplicació del mètode emprat, a partir de la implementació de rutines que executin els tres mètodes.

Discutir i reflexionar sobre la relació entre àlgebra i càlcul, en un moment en què el càlcul no estava encara completament consolidat.

7

Activitat proposada

Guió de l‟activitat

1. Lectura i anàlisi dels textos referents als tres mètodes.

2. Implementar en Maple els tres mètodes per trobar les solucions reals de 𝑥3 − 2𝑥 − 5 = 0.

3. Discussió i comparació dels tres mètodes: • Capacitat iterativa.

• Àmbit d‟aplicació.

• Expressions diferencials.

• Elecció del punt inicial.

4. Valoració de l‟activitat per part dels estudiants.

Context: assignatura d‟Història de les Matemàtiques del Grau del Matemàtiques (2-3 hores).

1. El mètode de Newton

1671 (

pub. 1736)

>

> > >

Resultat de Newton:

y = 2.09455148 &c

4 iteracions, 8 decimals, 8

decimals exactes

2. El mètode de Raphson

Teorema de Raphson >

>

>

>

>

>

>

>

Resultat de Raphson:

a = 2.0945514815427104141

4 iteracions, 19 decimals, 12

decimals exactes

3. El mètode de Simpson

Primer inspecciona on es troba la solució de l'equació: >

>

>

>

>

Mètode nou per determinar la solució numèrica de l'equació (en x): >

>

>

>

>

>

>

>

20

MÈTODE Iteratiu General Expressions

diferencials Punt inicial

Newton X X X X

Raphson X X X

Simpson

4. Comparació dels tres mètodes

21

Algunes reflexions finals

… amb reinterpretacions matemàtiques.

… amb qui fou el primer que…?

Programació i història de les matemàtiques.

Activitat implementable en assignatures de l‟àrea de matemàtiques, de nivell avançat, d‟altres àmbits.

Moltes gràcies!

23

REFERÈNCIES Bicanic, N. and Johnson, K. H. (1978). Who was „-Raphson‟? International Journal for Numerical Methods in Engineering, 14 (1), 148-152.

Cajori, F. (1911). Historical note on the Newton-Raphson method of approximation. American Mathematical Monthly, 18, 29-32.

Goldstine, H. H. (1977). A History of Numerical Analysis from the 16th through the 19th Century. New York: Springer.

Katz, V. J. and Michalowicz, K. D., eds. (2005). Historical Modules for the Teaching and Learning of Mathematics. Washington: The Mathematical Association of America .

Kollerstrom, N. (1992). Thomas Simpson and „Newton‟s method of approximation‟: an enduring myth. British Journal for the History of Science, 25, 347-354.

Stedall, J. (2011). From Cardano’s great art to Lagrange’s reflections: filling a gap in the history of algebra. Zurich: European Mathematical Society.

Thomas, D. J. and Smith, J. M. (1990). Joseph Raphson, F. R. S. Notes and Records of the Royal Society of London, 44 (2), 151-167.