Egy kvantummechanikai méréstökéletessége és tökéletlensége...

Tasnádi Tamás

BME, Analízis Tanszék

2011. szeptember 17.

Matematikai Fizika Ünnepi Ülés Matolcsi Tamás 70.születésnapjára, Budapest, KFKI RMKI.

Célkituzés: „tökéletes” mérés konstruálása

Filozófia:• Tiszta állapot: a rendszer objektív állapota.• A kevert állapot: tudásunk hányából fakad.

Tökéletes mérés:• Lehetséges értékei: a rendszer tiszta állapotai.• Megadja, hogy a rendszer mely tiszta állapotban van.• Klasszikusan létezik.• Kvantumosan — ???

Célkituzés: „tökéletes” mérés konstruálása

Filozófia:• Tiszta állapot: a rendszer objektív állapota.• A kevert állapot: tudásunk hányából fakad.

Tökéletes mérés:• Lehetséges értékei: a rendszer tiszta állapotai.• Megadja, hogy a rendszer mely tiszta állapotban van.• Klasszikusan létezik.• Kvantumosan — ???

Projektív (PVM) mérés és POVM mérés

PVM: Projecor Valued MeasurePOVM: Positive Operator Valued MeasureS: a mérés lehetséges kimeneteleinek halmaza.

Projektív mérés POVM mérésP: PVM az S-en Q: POVM az S-en

A esemény valószínusége ρ állapotban:p(A) = Tr

(P(A)ρ

)p(A) = Tr

(Q(A)ρ

)|S| ≤ dimH |S| lehet∞ (dimH 6=∞ esetén is!)

A POVM mérés egy kibovített rendszeren való projektívmérésnek is tekintheto.

Projektív (PVM) mérés és POVM mérés

PVM: Projecor Valued MeasurePOVM: Positive Operator Valued MeasureS: a mérés lehetséges kimeneteleinek halmaza.

Projektív mérés POVM mérésP: PVM az S-en Q: POVM az S-en

A esemény valószínusége ρ állapotban:p(A) = Tr

(P(A)ρ

)p(A) = Tr

(Q(A)ρ

)|S| ≤ dimH |S| lehet∞ (dimH 6=∞ esetén is!)

A POVM mérés egy kibovített rendszeren való projektívmérésnek is tekintheto.

Projektív (PVM) mérés és POVM mérés

PVM: Projecor Valued MeasurePOVM: Positive Operator Valued MeasureS: a mérés lehetséges kimeneteleinek halmaza.

Projektív mérés POVM mérésP: PVM az S-en Q: POVM az S-en

A esemény valószínusége ρ állapotban:p(A) = Tr

(P(A)ρ

)p(A) = Tr

(Q(A)ρ

)|S| ≤ dimH |S| lehet∞ (dimH 6=∞ esetén is!)

A POVM mérés egy kibovített rendszeren való projektívmérésnek is tekintheto.

Qubit: kétállapotú kvantummechanikai rendszer

• Hilbert-tér: C2

• Állapotok (suruségmátrixok):

ρ(r) =12

[1 + z x − iyx + iy 1− z

]r = [x , y , z], |r| ≤ 1

• Bloch-gömb.• Tiszta állapotok:

S = {r : |r| = 1}

Qubit: kétállapotú kvantummechanikai rendszer

• Hilbert-tér: C2

• Állapotok (suruségmátrixok):

ρ(r) =12

[1 + z x − iyx + iy 1− z

]r = [x , y , z], |r| ≤ 1

• Bloch-gömb.• Tiszta állapotok:

S = {r : |r| = 1}

Qubit: kétállapotú kvantummechanikai rendszer

• Hilbert-tér: C2

• Állapotok (suruségmátrixok):

ρ(r) =12

[1 + z x − iyx + iy 1− z

]r = [x , y , z], |r| ≤ 1

• Bloch-gömb.• Tiszta állapotok:

S = {r : |r| = 1}

Px−

Py−

Pz−

Py+

Pz+

x+

P

I /2

Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1

4π sinϑdϑdϕ• POVM:

Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1

Q(E) = 2∫

s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S

• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:

f (s) = limdE→{s}

Tr(ρ0Q(dE)

)ω(dE)

= 1 + r0s

• Q Nem éles mérés!

Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1

4π sinϑdϑdϕ• POVM:

Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1

Q(E) = 2∫

s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S

• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:

f (s) = limdE→{s}

Tr(ρ0Q(dE)

)ω(dE)

= 1 + r0s

• Q Nem éles mérés!

Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1

4π sinϑdϑdϕ• POVM:

Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1

Q(E) = 2∫

s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S

• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:

f (s) = limdE→{s}

Tr(ρ0Q(dE)

)ω(dE)

= 1 + r0s

• Q Nem éles mérés!

Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1

4π sinϑdϑdϕ• POVM:

Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1

Q(E) = 2∫

s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S

• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:

f (s) = limdE→{s}

Tr(ρ0Q(dE)

)ω(dE)

= 1 + r0s

• Q Nem éles mérés!

Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1

4π sinϑdϑdϕ• POVM:

Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1

Q(E) = 2∫

s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S

• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:

f (s) = limdE→{s}

Tr(ρ0Q(dE)

)ω(dE)

= 1 + r0s

• Q Nem éles mérés!

Ekvivariancia

Az U(2) unitér csoport hat• a tiszta állapotok S terén,• és a Q POVM értékkészletén.

A két csoporthatás felcserélheto a Q leképezéssel:

B(S)γ−1

g−−−−→ B(S)

Q

y Q

yB(H) U·U∗

−−−−→ B(H)

UgQ(E)U∗g = Q(γ−1

g (E))

Ez a G.W. Mackey-féle imprimitivitási rendszer fogalmánakáltalánosítása PVM-rol POVM-re.

Ekvivariancia

Az U(2) unitér csoport hat• a tiszta állapotok S terén,• és a Q POVM értékkészletén.

A két csoporthatás felcserélheto a Q leképezéssel:

B(S)γ−1

g−−−−→ B(S)

Q

y Q

yB(H) U·U∗

−−−−→ B(H)

UgQ(E)U∗g = Q(γ−1

g (E))

Ez a G.W. Mackey-féle imprimitivitási rendszer fogalmánakáltalánosítása PVM-rol POVM-re.

Ekvivariancia

Az U(2) unitér csoport hat• a tiszta állapotok S terén,• és a Q POVM értékkészletén.

A két csoporthatás felcserélheto a Q leképezéssel:

B(S)γ−1

g−−−−→ B(S)

Q

y Q

yB(H) U·U∗

−−−−→ B(H)

UgQ(E)U∗g = Q(γ−1

g (E))

Ez a G.W. Mackey-féle imprimitivitási rendszer fogalmánakáltalánosítása PVM-rol POVM-re.

Érdekes észrevételek

¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.

¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.

_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer

folytonos szimmetriáihoz.

arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]

Érdekes észrevételek

¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.

¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.

_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer

folytonos szimmetriáihoz.

arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]

Érdekes észrevételek

¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.

¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.

_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer

folytonos szimmetriáihoz.

arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]

Érdekes észrevételek

¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.

¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.

_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer

folytonos szimmetriáihoz.

arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]

Érdekes észrevételek

¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.

¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.

_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer

folytonos szimmetriáihoz.

arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]