Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és...
22
Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége... Tasnádi Tamás BME, Analízis Tanszék 2011. szeptember 17. Matematikai Fizika Ünnepi Ülés Matolcsi Tamás 70. születésnapjára, Budapest, KFKI RMKI.
Transcript of Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és...
Egy kvantummechanikai méréstökéletessége és tökéletlensége...
Tasnádi Tamás
BME, Analízis Tanszék
2011. szeptember 17.
Matematikai Fizika Ünnepi Ülés Matolcsi Tamás 70.születésnapjára, Budapest, KFKI RMKI.
Célkituzés: „tökéletes” mérés konstruálása
Filozófia:• Tiszta állapot: a rendszer objektív állapota.• A kevert állapot: tudásunk hányából fakad.
Tökéletes mérés:• Lehetséges értékei: a rendszer tiszta állapotai.• Megadja, hogy a rendszer mely tiszta állapotban van.• Klasszikusan létezik.• Kvantumosan — ???
Célkituzés: „tökéletes” mérés konstruálása
Filozófia:• Tiszta állapot: a rendszer objektív állapota.• A kevert állapot: tudásunk hányából fakad.
Tökéletes mérés:• Lehetséges értékei: a rendszer tiszta állapotai.• Megadja, hogy a rendszer mely tiszta állapotban van.• Klasszikusan létezik.• Kvantumosan — ???
Projektív (PVM) mérés és POVM mérés
PVM: Projecor Valued MeasurePOVM: Positive Operator Valued MeasureS: a mérés lehetséges kimeneteleinek halmaza.
Projektív mérés POVM mérésP: PVM az S-en Q: POVM az S-en
A esemény valószínusége ρ állapotban:p(A) = Tr
(P(A)ρ
)p(A) = Tr
(Q(A)ρ
)|S| ≤ dimH |S| lehet∞ (dimH 6=∞ esetén is!)
A POVM mérés egy kibovített rendszeren való projektívmérésnek is tekintheto.
Projektív (PVM) mérés és POVM mérés
PVM: Projecor Valued MeasurePOVM: Positive Operator Valued MeasureS: a mérés lehetséges kimeneteleinek halmaza.
Projektív mérés POVM mérésP: PVM az S-en Q: POVM az S-en
A esemény valószínusége ρ állapotban:p(A) = Tr
(P(A)ρ
)p(A) = Tr
(Q(A)ρ
)|S| ≤ dimH |S| lehet∞ (dimH 6=∞ esetén is!)
A POVM mérés egy kibovített rendszeren való projektívmérésnek is tekintheto.
Projektív (PVM) mérés és POVM mérés
PVM: Projecor Valued MeasurePOVM: Positive Operator Valued MeasureS: a mérés lehetséges kimeneteleinek halmaza.
Projektív mérés POVM mérésP: PVM az S-en Q: POVM az S-en
A esemény valószínusége ρ állapotban:p(A) = Tr
(P(A)ρ
)p(A) = Tr
(Q(A)ρ
)|S| ≤ dimH |S| lehet∞ (dimH 6=∞ esetén is!)
A POVM mérés egy kibovített rendszeren való projektívmérésnek is tekintheto.
Qubit: kétállapotú kvantummechanikai rendszer
• Hilbert-tér: C2
• Állapotok (suruségmátrixok):
ρ(r) =12
[1 + z x − iyx + iy 1− z
]r = [x , y , z], |r| ≤ 1
• Bloch-gömb.• Tiszta állapotok:
S = {r : |r| = 1}
Qubit: kétállapotú kvantummechanikai rendszer
• Hilbert-tér: C2
• Állapotok (suruségmátrixok):
ρ(r) =12
[1 + z x − iyx + iy 1− z
]r = [x , y , z], |r| ≤ 1
• Bloch-gömb.• Tiszta állapotok:
S = {r : |r| = 1}
Qubit: kétállapotú kvantummechanikai rendszer
• Hilbert-tér: C2
• Állapotok (suruségmátrixok):
ρ(r) =12
[1 + z x − iyx + iy 1− z
]r = [x , y , z], |r| ≤ 1
• Bloch-gömb.• Tiszta állapotok:
S = {r : |r| = 1}
Px−
Py−
Pz−
Py+
Pz+
x+
P
I /2
Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1
4π sinϑdϑdϕ• POVM:
Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1
Q(E) = 2∫
s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S
• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:
f (s) = limdE→{s}
Tr(ρ0Q(dE)
)ω(dE)
= 1 + r0s
• Q Nem éles mérés!
Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1
4π sinϑdϑdϕ• POVM:
Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1
Q(E) = 2∫
s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S
• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:
f (s) = limdE→{s}
Tr(ρ0Q(dE)
)ω(dE)
= 1 + r0s
• Q Nem éles mérés!
Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1
4π sinϑdϑdϕ• POVM:
Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1
Q(E) = 2∫
s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S
• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:
f (s) = limdE→{s}
Tr(ρ0Q(dE)
)ω(dE)
= 1 + r0s
• Q Nem éles mérés!
Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1
4π sinϑdϑdϕ• POVM:
Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1
Q(E) = 2∫
s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S
• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:
f (s) = limdE→{s}
Tr(ρ0Q(dE)
)ω(dE)
= 1 + r0s
• Q Nem éles mérés!
Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1
4π sinϑdϑdϕ• POVM:
Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1
Q(E) = 2∫
s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S
• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:
f (s) = limdE→{s}
Tr(ρ0Q(dE)
)ω(dE)
= 1 + r0s
• Q Nem éles mérés!
Ekvivariancia
Az U(2) unitér csoport hat• a tiszta állapotok S terén,• és a Q POVM értékkészletén.
A két csoporthatás felcserélheto a Q leképezéssel:
B(S)γ−1
g−−−−→ B(S)
Q
y Q
yB(H) U·U∗
−−−−→ B(H)
UgQ(E)U∗g = Q(γ−1
g (E))
Ez a G.W. Mackey-féle imprimitivitási rendszer fogalmánakáltalánosítása PVM-rol POVM-re.
Ekvivariancia
Az U(2) unitér csoport hat• a tiszta állapotok S terén,• és a Q POVM értékkészletén.
A két csoporthatás felcserélheto a Q leképezéssel:
B(S)γ−1
g−−−−→ B(S)
Q
y Q
yB(H) U·U∗
−−−−→ B(H)
UgQ(E)U∗g = Q(γ−1
g (E))
Ez a G.W. Mackey-féle imprimitivitási rendszer fogalmánakáltalánosítása PVM-rol POVM-re.
Ekvivariancia
Az U(2) unitér csoport hat• a tiszta állapotok S terén,• és a Q POVM értékkészletén.
A két csoporthatás felcserélheto a Q leképezéssel:
B(S)γ−1
g−−−−→ B(S)
Q
y Q
yB(H) U·U∗
−−−−→ B(H)
UgQ(E)U∗g = Q(γ−1
g (E))
Ez a G.W. Mackey-féle imprimitivitási rendszer fogalmánakáltalánosítása PVM-rol POVM-re.
Érdekes észrevételek
¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.
¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.
_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer
folytonos szimmetriáihoz.
arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]
Érdekes észrevételek
¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.
¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.
_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer
folytonos szimmetriáihoz.
arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]
Érdekes észrevételek
¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.
¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.
_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer
folytonos szimmetriáihoz.
arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]
Érdekes észrevételek
¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.
¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.
_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer
folytonos szimmetriáihoz.
arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]
Érdekes észrevételek
¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.
¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.
_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer
folytonos szimmetriáihoz.
arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]
