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Ecuaciones en Derivadas Parciales 1 / 58
Ecuaciones en Derivadas Parciales
Rafael Ramírez Ros
20 de diciembre de 2019
Ecuaciones en Derivadas Parciales 2 / 58
Tres ecuaciones importantes
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Tres ecuaciones importantes
Abreviaturas
EDP = Ecuación en derivadas parcialesCI = condición inicialCF = condiciones de fronteraPVI = Problema de valor inicialPVF = Problema de valor en la fronteraSEV = Subespacio vectorialVAP = Valor propioFUP = Función propia1er/1a/1o = Primer/primera/primero2a/2o = Segunda/segundo
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Tres ecuaciones importantes
Ecuación de ondas 1D (cuerda vibrante)
La ecuación de la cuerda vibrante de longitud L es
utt − c2uxx = F (x , t), x ∈ (0,L), t ∈ R,
donde:t ∈ R es el tiempo;x ∈ (0,L) es el punto de la cuerda;La función incógnita u = u(x , t) es el desplazamientovertical respecto la posición de equilibrio;c2 > 0 es un parámetro que será interpretado como lavelocidad a la que viajan las ondas; yF (x , t) es la fuerza externa por unidad de masa.
utt es la segunda derivada parcial respecto t .uxx es la segunda derivada parcial respecto x .Esta ecuación es homogénea cuando F (x , t) ≡ 0.También consideramos cuerdas de longitud infinita: x ∈ R.
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Tres ecuaciones importantes
Ecuación del calor 1D
La ecuación del calor 1D asociada a la “pared infinita” deespesor L es
ut − k2uxx = F (x , t), x ∈ (0,L), t > 0,
donde:t ≥ 0 es el tiempo (no negativo, pues la evolución detemperatura es un fenómeno no reversible);x ∈ (0,L) denota un “plano infinito” de la pared;La función incógnita u = u(x , t) es la temperatura;k2 > 0 es un parámetro que depende del material; yF (x , t) representa los focos/sumideros de calor.
ut es la primera derivada parcial respecto t .uxx es la segunda derivada parcial respecto x .Esta ecuación es homogénea cuando F (x , t) ≡ 0.También consideramos espesor infinito: x ∈ R.
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Tres ecuaciones importantes
Estados estacionarios 1D (“1D steady states”)
Un estado estacionario es una solución que no dependedel tiempo:
u(x , t) = v(x).
Dada u(x , t) = v(x), vemos que
utt = c2uxx ⇔ ut = k2uxx
⇔ v ′′(x) = 0⇔ v(x) = mx + n, para algunos m,n ∈ R.
Es decir, los únicos estados estacionarios de una cuerdavibrante no sometida a fuerzas externas y de una “paredinfinita” sin focos ni sumideros de calor internos son losestados (desplazamiento o temperatura) lineales.
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Tres ecuaciones importantes
Ecuación de Laplace/Poisson
El Laplaciano de una función u = u(x , t), donde t ∈ R yx = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, es
∆u = ux1x1 + · · ·+ uxnxn .
Dado un conjunto D ⊂ Rn y una función G : D → R, lacorrespondiente ecuación de Poisson es
∆u = G(x), u = u(x), x = (x1, . . . , xn) ∈ D.
Esta ecuación es homogénea y se denomina ecuación deLaplace cuando G(x) ≡ 0.Nos centraremos en el caso 2D:
uxx + uyy = G(x , y), (x , y) ∈ D ⊂ R2,
donde G : D → R está definida en un dominio D ⊂ R2.
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Tres ecuaciones importantes
Ondas y calor multidimensionales
La ecuación del ondas asociada a un cuerpo elásticoD ⊂ Rn es
utt − c2∆u = F (x , t), x = (x1, . . . , xn) ∈ D, t ∈ R,
donde c2 > 0 es un parámetro que depende del material.La ecuación del calor asociada a un cuerpo D ⊂ Rn es
ut − k2∆u = F (x , t), x = (x1, . . . , xn) ∈ D, t > 0,
donde k2 > 0 es un parámetro que depende del material.Estas ecuaciones son homogéneas cuando F (x , t) ≡ 0.Si F = F (x) no depende de t , los estados estacionariosu = u(x) son las soluciones de la ecuación de Poisson:
∆u = −F (x)/c2 en la ecuación de ondas; y∆u = −F (x)/k2 en la ecuación del calor.
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Condiciones iniciales y de frontera
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Condiciones iniciales y de frontera
Condiciones iniciales
Consisten en fijar el estado del problema en el instanteinicial t = 0.Ondas: Fijamos el desplazamiento y la velocidad iniciales.Calor: Fijamos la temperatura inicial.Laplace/Poisson: No fijamos nada, pues son problemasestáticos.
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Condiciones iniciales y de frontera
Condiciones de frontera
Consisten en fijar la interacción del objeto (cuerda, pared,etcétera) con el medio que lo rodea.En el caso 1D con x ∈ [0,L], hay cinco tipos:
Dirichlet: u(0, t) = a(t) y u(L, t) = b(t).Neumann: ux (0, t) = α(t) y ux (L, t) = β(t).Mixtas 1: u(0, t) = a(t) y ux (L, t) = β(t).Mixtas 2: ux (0, t) = α(t) y u(L, t) = b(t).Periódicas: u(0, t) = u(L, t) y ux (0, t) = ux (L, t).
Comentarios sobre las funciones a(t), b(t), α(t) y β(t):Son datos del problema.Suelen ser funciones constantes.Diremos que las condiciones de frontera son homogéneascuando sean idénticamente cero.Ondas: Cuerda de guitarra⇒ a(t),b(t) ≡ 0.Calor: α(t), β(t) ≡ 0⇔ aislamiento térmico perfecto.
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Condiciones iniciales y de frontera
Ejemplos de problemas
1 Ondas 1D homogénea con condiciones de Dirichletconstantes:
[EDP] utt = c2uxx x ∈ (0,L) t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = a t ∈ R[2a CF] u(L, t) = b t ∈ R
2 Calor 1D homogéneo con condiciones de Dirichletconstantes:
[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = a t > 0[2a CF] u(L, t) = b t > 0
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Condiciones iniciales y de frontera
Más ejemplos de problemas
3 Calor 1D homogéneo con condiciones de Neumann:[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] ux (0, t) = α(t) t > 0[2a CF] ux (L, t) = β(t) t > 0
4 Poisson 2D en un cuadrado de lado 2L con condiciones deDirichlet homogéneas:
[EDP] uxx + uyy = xy x ∈ (−L,L) y ∈ (−L,L)[1a CF] u(−L, y) = 0 y ∈ (−L,L)[2a CF] u(L, y) = 0 y ∈ (−L,L)[3a CF] u(x ,−L) = 0 x ∈ (−L,L)[4a CF] u(x ,L) = 0 x ∈ (−L,L)
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Condiciones iniciales y de frontera
Flujo de calor
Dada u(x , t) una solución del problema 3, sea
u(t) =1L
∫ L
0u(x , t)dx
la temperatura promedio en el instante t .La derivada de esta función es
u′(t) =1L
∫ L
0ut (x , t)dx =
k2
L
∫ L
0uxx (x , t)dx
=k2
L[ux (x , t)
]x=Lx=0 =
k2
L(β(t)− α(t)
),
luego la diferencia β(t)− α(t) cuantifica la tasa devariación de la temperatura promedio u(t).Consecuencia: α(t) = β(t)⇒ u′(t) ≡ 0⇒ u(t) ≡ u(0).
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La cuerda vibrante infinita
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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La cuerda vibrante infinita
Fórmula de D’Alembert
Consideramos el PVI de la cuerda vibrante infinita[EDP] utt = c2uxx x ∈ R t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ R[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ R
donde el desplazamiento inicial f (x) y la velocidad inicialg(x) son datos conocidos.Este PVI tiene una única solución que viene dada por
u(x , t) =12(f (x + ct) + f (x − ct)
)+
12c
∫ x+ct
x−ctg(s)ds.
La aceleración inicial es utt (x ,0) = c2uxx (x ,0) = c2f ′′(x).
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VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
Definiciones
Consideramos los PVFs lineales homogéneos de 2o orden[EDO] y ′′ + p1(λ)y ′ + p0(λ)y = 0[1a CF] α0y(a) + α1y ′(a) = 0[2a CF] β0y(b) + β1y ′(b) = 0
donde:x ∈ [a,b] es la variable independiente;y = y(x) es la función incógnita;Los puntos a y b son la frontera del intervalo [a,b];los coeficientes αi , βi y pi (λ) son datos; yλ ∈ R es un parámetro.
La función trivial y(x) ≡ 0 siempre es solución.Los VAPs son los valores de λ ∈ R para los cuales existensoluciones no triviales, las cuales se denominan FUPs.Un VAP es simple (o doble) cuando dim{FUPs} = 1 (o 2).
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VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
Una EDOLH de 2o orden a CC
La solución general de la EDOLH de 2o orden a CC
y ′′ = λy , λ ∈ R,
es:
yh(x) =
c1 cosµx + c2 sinµx , si λ = −µ2 < 0,c1 + c2x , si λ = 0,c1 coshµx + c2 sinhµx , si λ = µ2 > 0,
donde c1, c2 ∈ R son constantes libres.yh(0) = 0⇔ c1 = 0.y ′h(0) = 0⇔ c2 = 0.En el caso λ = µ2 > 0, también se puede usar que
yh(x) = c1e−µx + c2eµx , c1, c2 ∈ R.
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VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
Cinco PVFs importantes
1 PVF Dirichlet: y ′′ = λy , y(0) = y(L) = 0.VAPs: λn = −(nπ/L)2
FUPs: yn(x) = sin(nπx/L)
}con n ≥ 1.
2 PVF Neumann: y ′′ = λy , y ′(0) = y ′(L) = 0.VAPs: λn = −(nπ/L)2
FUPs: yn(x) = cos(nπx/L)
}con n ≥ 0.
3 PVF mixto 1: y ′′ = λy , y(0) = y ′(L) = 0.VAPs: λn = −(n + 1/2)2π2/L2
FUPs: yn(x) = sin((n + 1/2)πx/L
) }con n ≥ 0.
4 PVF mixto 2: y ′′ = λy , y ′(0) = y(L) = 0.VAPs: λn = −(n + 1/2)2π2/L2
FUPs: yn(x) = cos((n + 1/2)πx/L
) }con n ≥ 0.
5 PVF periódico: y ′′ = λy , y(−L) = y(L), y ′(−L) = y ′(L).VAPs: λn = −(nπ/L)2 (doble)FUPs: cn(x) = cos(nπx/L), sn(x) = sin(nπx/L)
}n ≥ 1
y además λ0 = 0 es un VAP simple de FUP c0(x) ≡ 1.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 21 / 58
Separación de variables
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
Ecuaciones en Derivadas Parciales 22 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
Ecuaciones en Derivadas Parciales 23 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Descripción del PVI
Consideramos el PVI de la cuerda vibrante[EDP] utt = c2uxx x ∈ (0,L) t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = 0 t ∈ R[2a CF] u(L, t) = 0 t ∈ R
donde:L > 0 es la longitud de la cuerda;c2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) = 4 sin(πx/L)− sin(3πx/L) es la posición inicial;g(x) ≡ 0 es la velocidad inicial (partimos del reposo);Fijamos u = 0 en ambos extremos (como en una guitarra);La única ecuación no homogénea está en rojo.
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Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Separación de variables
Buscamos soluciones no triviales de la forma
u(x , t) = X (x)T (t)
de la parte homogénea del PVI anterior.Es decir, imponemos que la función u(x , t) = X (x)T (t) 6≡ 0cumpla las cuatro ecuaciones que están en negro:
EDP: X (x)T ′′(t) = utt = c2uxx = c2X ′′(x)T (t), luego
X ′′(x)
X (x)=
T ′′(t)c2T (t)
= λ ∈ R.
[Es mejor poner el factor c2 en la segunda fracción.]2a CI: ut (x ,0) = 0 para todo x ∈ (0,L)⇒ T ′(0) = 0.1a CF: u(0, t) = 0 para todo t ∈ R⇒ X (0) = 0.2a CF: u(L, t) = 0 para todo t ∈ R⇒ X (L) = 0.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 25 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Modos normales
Al separar las cinco ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable x y un 2o problema en la variable t .PVF Dirichlet: X ′′(x) = λX (x), X (0) = X (L) = 0.
VAPs: λn = −(nπ/L)2
FUPs: Xn(x) = sin(nπx/L)
}con n ≥ 1.
2o problema: T ′′(t) = λc2T (t) = −(ncπL )2T (t), T ′(0) = 0.
Soluciones: Tn(t) = cos(ncπt/L), con n ≥ 1.Modos normales:
un(x , t) = Xn(x)Tn(t) = sin(nπx
L
)cos
(ncπt
L
), n ≥ 1.
El modo normal un(x , t) es una onda estacionaria conn + 1 nodos (puntos que no se mueven) cuya amplitudvaría periódicamente con periodo τn = 2L/nc y frecuencia$n = 1/τn = nc/2L.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 26 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Ondas estacionarias (“Standing waves”)
Ondas estacionarias para n = 4,3,2,1.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 27 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Fourier (por inspección directa)
La superposición de los infinitos modos normales
u(x , t) =∞∑
n=1
bnun(x , t) =∞∑
n=1
bn sin(nπx
L
)cos
(ncπt
L
)es solución de la parte homogénea del PVI original, dondelos infinitos coeficientes bn están libres.Al imponer la condición no homogénea
∞∑n=1
bn sin(nπx/L) = u(x ,0) = f (x)
= 4 sin(1πx/L) + (−1) sin(3πx/L)
determinamos los valores de bn por inspección directa:
b1 = 4, b3 = −1, bn = 0 para n 6= 1,3.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 28 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Solución & interpretaciones
Por tanto, la solución del PVI original es
u(x , t) = 4u1(x , t)− u3(x , t)
= 4 sin(πx
L
)cos
(cπtL
)− sin
(3πx
L
)cos
(3cπt
L
).
Interpretaciones:1 Con el actual desplazamiento inicial, la solución obtenida
es la superposición de solo dos modos normales: u1(x , t) yu3(x , t), luego solo oiríamos las frecuencias $1 y $3.
2 Con un desplazamiento inicial más general, pero aúnpartiendo del reposo, la solución sería la superposición deinfinitos modos normales cuyas infinitas frecuencias sonlos múltiplos de la “frecuencia natural” $ = c/2L, pues
$n = n$.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 29 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Otra interpretación
La fórmula 2 sinα cosβ = sin(α + β) + sin(α− β) implica
un(x , t) = sin(nπx
L
)cos
(ncπt
L
)= pn(x +ct) +qn(x−ct),
donde pn(x) = qn(x) = sin(nπx/L)/2.Escribimos la superposición de modos normales como
u(x , t) =∞∑
n=1
bnun(x , t) = p(x + ct) + q(x − ct)
donde p(x) = 12∑∞
n=1 bnpn(x) = 12∑∞
n=1 bnqn(x) = q(x).Interpretación: Toda solución es la superposición de dosondas del mismo perfil viajando en sentidos opuestos avelocidad c. La onda de perfil p(x) (respectivamente, q(x))se desplaza hacia la izquierda (respectivamente, derecha).
Ecuaciones en Derivadas Parciales 30 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
Ecuaciones en Derivadas Parciales 31 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Descripción del PVI
Consideramos el PVI de calor 1D[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = a t > 0[2a CF] u(L, t) = b t > 0
donde:L > 0 es el espesor de la “pared infinita”;k2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) es una temperatura inicial arbitraria;Fijamos temperaturas constantes en ambos extremos;Las tres ecuaciones no homogéneas están en rojo.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 32 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Homogeneización
Sea v(x) = a + (b − a)x/L el único estado estacionarioque cumple las dos CFs.El cambio de variables
w(x , t) = u(x , t)−v(x) = “distancia” al estado estacionario
transforma el PVI original en el PVI homogeneizado[EDP] wt = k2wxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] w(x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] w(0, t) = 0 t > 0[2a CF] w(L, t) = 0 t > 0
donde g(x) = f (x)− v(x).Importante: El PVI transformado tiene una única ecuaciónno homogénea, marcada en rojo.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 33 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Separación de variables
Buscamos soluciones no triviales de la forma
w(x , t) = X (x)T (t)
de la parte homogénea del PVI transformado.O sea, imponemos que la función w(x , t) = X (x)T (t) 6≡ 0cumpla las tres ecuaciones que están en negro:
EDP: X (x)T ′(t) = wt = k2wxx = k2X ′′(x)T (t), luego
X ′′(x)
X (x)=
T ′(t)k2T (t)
= λ ∈ R.
[Es mejor poner el factor k2 en la segunda fracción.]1a CF: w(0, t) = 0 para todo t > 0⇒ X (0) = 0.2a CF: w(L, t) = 0 para todo t > 0⇒ X (L) = 0.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 34 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Modos normales
Al separar las cuatro ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable x y un 2o problema en la variable t .PVF Dirichlet: X ′′(x) = λX (x), X (0) = X (L) = 0.
VAPs: λn = −(nπ/L)2
FUPs: Xn(x) = sin(nπx/L)
}con n ≥ 1.
2o problema: T ′(t) = λk2T (t) = −(nkπL )2T (t).
Soluciones: Tn(t) = exp(−n2k2π2t/L2), con n ≥ 1.Modos normales:
wn(x , t) = Xn(x)Tn(t) = e−n2k2π2t/L2sin(nπx
L
), n ≥ 1.
El modo normal wn(x , t) es una onda con n + 1 nodoscuya amplitud tiende a cero cuando t → +∞.Los modos altos tienden más rápidamente a cero.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 35 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Fourier (para una temperatura arbitraria)
La superposición de los infinitos modos normales
w(x , t) =∞∑
n=1
bnwn(x , t) =∞∑
n=1
bne−n2k2π2t/L2sin(nπx
L
)es solución de la parte homogénea del PVI transformado,donde los infinitos coeficientes bn están libres.Al imponer la condición no homogénea
∞∑n=1
bn sin(nπx
L
)= w(x ,0) = g(x), x ∈ [0,L],
vemos que bn son los coeficientes del desarrollo deFourier en senos de g(x) en el intervalo [0,L], luego
bn =2L
∫ L
0g(x) sin
(nπxL
)dx , n ≥ 1.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 36 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Solución & interpretaciones
Por tanto, la solución del PVI original es
u(x , t) = v(x) + w(x , t) = v(x) +∑∞
n=1 bnwn(x , t)
= a +b − a
Lx +
∞∑n=1
bne−n2k2π2t/L2sin(nπx
L
).
Como limt→+∞wn(x , t) = 0 para todo n ≥ 1, vemos que
limt→+∞
u(x , t) = v(x) = a + (b − a)x/L.
Interpretaciones:1 La temperatura siempre tiende al único estado estacionario
que cumple las dos CFs constantes.2 La pared tiende al estado estacionario más rápido cuando
es más delgada (L pequeña) o más conductiva (k2 grande).
Ecuaciones en Derivadas Parciales 37 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Fourier (para una temperatura concreta)
Si la temperatura inicial es f (x) = x/L + v(x), entonces
g(x) = f (x)− v(x) = x/L.
Integrando por partes obtenemos los anteriorescoeficientes de Fourier
bn =2L2
∫ L
0x sin
(nπxL
)dx =
2(−1)n+1
nπ, n ≥ 1.
Por tanto, la solución final es
u(x , t) = a+b − a
Lx+
2π
∞∑n=1
(−1)n+1
ne−n2k2π2t/L2
sin(nπx
L
).
La serie es absolutamente convergente ∀x ∈ [0,L], ∀t > 0.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 38 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
Ecuaciones en Derivadas Parciales 39 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Descripción del PVI
Consideramos el PVI de calor 1D[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] ux (0, t) = 0 t > 0[2a CF] ux (L, t) = 0 t > 0
donde:L > 0 es el espesor de la “pared infinita”;k2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) es una temperatura inicial arbitraria;Aislamos térmicamente la pared del medio por completo;La única ecuación no homogénea está en rojo.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 40 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Separación de variables
Buscamos soluciones no triviales de la forma
u(x , t) = X (x)T (t)
de la parte homogénea del PVI original.O sea, imponemos que la función u(x , t) = X (x)T (t) 6≡ 0cumpla las tres ecuaciones que están en negro:
EDP: X (x)T ′(t) = ut = k2uxx = k2X ′′(x)T (t), luego
X ′′(x)
X (x)=
T ′(t)k2T (t)
= λ ∈ R.
[Es mejor poner el factor k2 en la segunda fracción.]1a CF: ux (0, t) = 0 para todo t > 0⇒ X ′(0) = 0.2a CF: ux (L, t) = 0 para todo t > 0⇒ X ′(L) = 0.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 41 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Modos normales
Al separar las cuatro ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable x y un 2o problema en la variable t .PVF Neumann: X ′′(x) = λX (x), X ′(0) = X ′(L) = 0.
VAPs: λn = −(nπ/L)2
FUPs: Xn(x) = cos(nπx/L)
}con n ≥ 0.
2o problema: T ′(t) = λk2T (t) = −(nkπL )2T (t).
Soluciones: Tn(t) = exp(−n2k2π2t/L2), con n ≥ 1.Modos normales:
un(x , t) = Xn(x)Tn(t) = e−n2k2π2t/L2cos(nπx/L), n ≥ 0.
El modo normal u0(x , t) ≡ 1 es constante.El modo normal un(x , t), n ≥ 1, es una onda con n nodoscuya amplitud tiende a cero cuando t → +∞.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 42 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Fourier (para una temperatura arbitraria)
La superposición de los infinitos modos normales
u(x , t) = a0u0(x , t)/2 +∑∞
n=1 anun(x , t)
= a0/2 +∑∞
n=1 ane−n2k2π2t/L2cos
(nπxL
)es solución de la parte homogénea del PVI transformado,donde los infinitos coeficientes an están libres.Al imponer la condición no homogénea
a0/2 +∑∞
n=1 an cos(nπx
L
)= u(x ,0) = f (x), x ∈ [0,L],
vemos que an son los coeficientes del desarrollo deFourier en cosenos de f (x) en el intervalo [0,L], luego
an =2L
∫ L
0f (x) cos
(nπxL
)dx , n ≥ 0.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 43 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Solución & interpretaciones
Por tanto, la solución del PVI original es
u(x , t) =a0
2+∞∑
n=1
ane−n2k2π2t/L2cos
(nπxL
).
Como limt→+∞ un(x , t) = 0 para todo n ≥ 1, vemos que
limt→+∞
u(x , t) =a0
2=
1L
∫ L
0f (x)dx = f .
Interpretaciones:1 La temperatura siempre tiende al promedio f de la
temperatura inicial f (x).2 La pared tiende al promedio más rápido cuando es más
delgada (L pequeña) o más conductiva (k2 grande).
Ecuaciones en Derivadas Parciales 44 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Un “flashback”
Calculamos el promedio en [0,L] de los modos normales:
u0(t) :=1L
∫ L
0u0(x , t)dx =
1L
∫ L
0dx = 1,
un(t) :=1L
∫ L
0un(x , t)dx =
e−n2k2π2t/L2
L
∫ L
0cos
(nπxL
)dx = 0.
El promedio de u(x , t) = a02 u0(x , t) +
∑∞n≥1 un(x , t) es:
u(t) =1L
∫ L
0u(x , t)dx =
a0
2u0(t) +
∞∑n≥1
anun(t) =a0
2= f .
Por tanto, u(t) ≡ f se mantiene constante, como ya vimosal estudiar el flujo de calor en la página 14, pues nuestrasdos CFs cumplen ux (0, t) = ux (L, t).
Ecuaciones en Derivadas Parciales 45 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Fourier (por inspección directa)
Supongamos que la temperatura inicial es
f (x) = 5 cos2(2πx/L) =52
+52
cos(4πx/L).
Al imponer la condición no homogénea
a0
2+∞∑
n=1
an cos(nπx/L) = u(x ,0) = f (x) =52
+52
cos(4πx/L)
determinamos los valores de an por inspección directa:
a0 = 5, a4 = 5/2, an = 0 para n 6= 0,4.
Por tanto, la solución del PVI original es
u(x , t) =52
+52
e−16k2π2t/L2cos
(4πx
L
).
Ecuaciones en Derivadas Parciales 46 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Fourier (para una temperatura concreta)
Advertencia: Si la temperatura inicial es f (x) = sin(πx/L),no vemos los coeficientes an del desarrollo de Fourier encosenos por inspección directa.La fórmula 2 sinα cosβ = sin(α + β) + sin(α− β) implica
an =2L
∫ L
0sin(πx
L
)cos
(nπxL
)dx =
{0, n impar,−4
(n2−1)π , n par.
Por tanto, la solución final es
u(x , t) =2π− 4π
∞∑j=1
14j2 − 1
e−4j2k2π2t/L2cos
(2jπx
L
).
La serie es absolutamente convergente ∀x ∈ [0,L], ∀t > 0.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 47 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
Ecuaciones en Derivadas Parciales 48 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Descripción del PVI
Consideramos la ecuación de Poisson en un rectángulo:[EDP] uxx + uyy = 2y x ∈ (0, π) y ∈ (0,2π)[1a CF] u(x ,0) = 0 x ∈ (0, π)[2a CF] u(x ,2π) = 2πx2 x ∈ (0, π)[3a CF] u(0, y) = 0 y ∈ (0,2π)[4a CF] u(π, y) = f (y) y ∈ (0,2π)
donde:R = [0, π]× [0,2π] es el rectángulo;Fijamos el valor de la función incógnita u(x , y) en loscuatro lados de R, luego tenemos cuatro CFs de tipoDirichlet.f (y) es una CF arbitraria.Las tres ecuaciones no homogéneas están en rojo.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 49 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Homogeneización
La función de variables separadas v(x , y) = x2y cumple la[EDP], [1a CF], [2a CF] y [3a CF].El cambio de variables
w(x , y) = u(x , y)− v(x , y)
transforma el PVI original en el PVI homogeneizado[EDP] wxx + wyy = 0 x ∈ (0, π) y ∈ (0,2π)[1a CF] w(x ,0) = 0 x ∈ (0, π)[2a CF] w(x ,2π) = 0 x ∈ (0, π)[3a CF] w(0, y) = 0 y ∈ (0,2π)[4a CF] w(π, y) = g(y) y ∈ (0,2π)
donde g(y) = f (y)− v(π, y) = f (y)− π2y .Importante: El PVI transformado tiene una única ecuaciónno homogénea, marcada en rojo.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 50 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Separación de variables
Buscamos soluciones no triviales de la forma
w(x , y) = X (x)Y (y)
de la parte homogénea del PVI transformado.O sea, imponemos que la función w(x , y) = X (x)Y (y) 6≡ 0cumpla las cuatro ecuaciones que están en negro:
EDP: X ′′(x)Y (y) + X (x)Y ′′(y) = wxx + wyy = 0, luego
−X ′′(x)
X (x)=
Y ′′(t)Y (t)
= λ ∈ R.
[Es mejor poner el signo menos en la primera fracción.]1a CF: w(x ,0) = 0 para todo x ∈ (0, π)⇒ Y (0) = 0.2a CF: w(x ,2π) = 0 para todo x ∈ (0, π)⇒ Y (2π) = 0.3a CF: w(0, y) = 0 para todo y ∈ (0,2π)⇒ X (0) = 0.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 51 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Modos normales
Al separar las cinco ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable y y un 2o problema en la variable x .PVF Dirichlet: Y ′′(y) = λY (y), Y (0) = Y (2π) = 0.
VAPs: λn = −n2/4FUPs: Yn(y) = sin(ny/2)
}con n ≥ 1.
2o problema: X ′′(x)− n2
4 X (y) = X ′′(x) + λX (x) = 0, juntoa la condición X (0) = 0.Soluciones: Xn(x) = sinh(nx/2), con n ≥ 1.[También podría ser Xn(x) = enx/2 − e−nx/2, con n ≥ 1.]Modos normales:
wn(x , y) = Xn(x)Yn(y) = sinh(nx/2) sin(ny/2), n ≥ 1.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 52 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Fourier (para una CF arbitraria)
La superposición de los infinitos modos normales
w(x , y) =∞∑
n=1
βnwn(x , y) =∞∑
n=1
βn sinh(nx/2) sin(ny/2)
es solución de la parte homogénea del PVI transformado,donde los infinitos coeficientes βn están libres.Al imponer la condición no homogénea∞∑
n=1
βn sinh(nπ/2) sin(ny/2) = w(π, y) = g(y), y ∈ [0,2π],
vemos que bn = βn sinh(nπ/2) son los coeficientes deldesarrollo de Fourier en senos de g(y) en [0,2π], luego
βn sinh(nπ/2) = bn =1π
∫ 2π
0g(y) sin(ny/2)dy , n ≥ 1.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 53 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Fourier (por inspección directa)
Si f (y) = π2y − 5 sin(3y), entonces
g(y) = f (y)− π2y = −5 sin(3y).
Al imponer la condición no homogénea∞∑
n=1
βn sinh(nπ/2) sin(ny/2) = w(π, y) = g(y) = −5 sin(3y)
determinamos los valores de βn por inspección directa:
β6 =−5
sinh(3π), βn = 0 para n 6= 6.
Por tanto, la solución del PVI original es
u(x , y) = x2y − 5sinh(3π)
sinh(3x) sin(3y).
Ecuaciones en Derivadas Parciales 54 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Fourier (para una CF concreta)
Advertencia: Si f (y) = 1, entonces g(y) = 1− π2y y novemos los coeficientes bn del desarrollo de Fourier ensenos por inspección directa.Integrando por partes obtenemos que
bn =1π
∫ 2π
0(1−π2y) sin
(ny2
)dy = 4π2 (−1)n
n+
2π
1− (−1)n
n.
Por tanto, la solución final es
u(x , y) = x2y +∞∑
n=1
bn
sinh(nπ/2)sinh(nx/2) sin(ny/2).
Nota: La serie es convergente ∀(x , y) ∈ R, pero no esabsolutamente convergente cuando x = π.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 55 / 58
Separación de variables
Otros problemas propuestos
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
Ecuaciones en Derivadas Parciales 56 / 58
Separación de variables
Otros problemas propuestos
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Consideramos el PVI de la cuerda vibrante[EDP] utt = c2uxx x ∈ (0,L) t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = 0 t ∈ R[2a CF] u(L, t) = 0 t ∈ R
donde:L > 0 es la longitud de la cuerda;c2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) ≡ 0 es el desplazamiento inicial (cuerda en equilibrio);g(x) es una velocidad inicial arbitraria;Fijamos u = 0 en ambos extremos (como en una guitarra);La única ecuación no homogénea está en rojo.
Ecuaciones en Derivadas Parciales 57 / 58
Desarrollos de Fourier
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
Ecuaciones en Derivadas Parciales 58 / 58
Desarrollos de Fourier
Fourier completo: El desarrollo de f : [−L,L]→ R es
f (x) ∼ a0
2+∞∑
n=1
an cos(nπx
L
)+ bn sin
(nπxL
),
an =1L
∫ L
−Lf (x) cos
(nπxL
)dx , bn =
1L
∫ L
−Lf (x) sin
(nπxL
)dx .
Fourier en cosenos: El desarrollo de f : [0,L]→ R es
f (x) ∼ a0
2+∞∑
n=1
an cos(nπx
L
), an =
2L
∫ L
0f (x) cos
(nπxL
)dx .
Fourier en senos: El desarrollo de f : [0,L]→ R es
f (x) ∼∞∑
n=1
bn sin(nπx
L
), bn =
2L
∫ L
0f (x) sin
(nπxL
)dx .
En los dos primeros casos, a0/2 = f = promedio de f .