Econometria de Séries Temporais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA (UFJF)UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA (UFJF)FACULDADE DE ECONOMIA (FE)FACULDADE DE ECONOMIA (FE)Econometria 3Econometria 3

Rogério Silva de Mattos, Rogério Silva de Mattos, D.Sc.D.Sc.

O COMEÇO

• Box e Jenkins (1970) – processos estocásticos não-estacionários/integrados (Modelos ARIMA)

• Granger e Newbold (1974) – Econometria clássica não vale se variáveis do modelo são séries temporais não-estacionárias (Regressões Espúrias)

CORRELAÇÃO ESPÚRIA

Venda de azeite de dendê em Salvador

Consumo de Chimarrão em Porto Alegre

Mera Coincidência

Fator Comum

Y

X

N

Causalidade

XY

XY

REGRESSÃO ESPÚRIA

ttt bXaY

ttt uYY 1

ttt wXX 1Independentes !

Experimento de Granger e Newbold (1974)

Se = = 1Yt e Xt NÃO estacionárias

• R2 altos e DW baixos• Alta chance de rejeitar H0: b = 0• Razão t não segue t de Student• Estatística F não segue distrib. F

Quero estimar :

Assumindoque:

MENSAGEM FUNDAMENTAL

Econometria Clássica

Econometria Clássica OKESTACIONARIEDADE

NÃOESTACIONARIEDADE

COMO PROCEDER ?

• Remover tendência (Detrending)?– Pode não resolver !!! Tendência estocática

• Diferenciar até estacionariedade?– Perda de informação de longo prazo (t. econômica) !!!

• O que fazer ?

ECONOMETRIA DE ST

• Teoria da Cointegração

– Verificar Estacionariedade (Testes de Raízes Unitárias)

– Séries Estacionarias, usar econometria clássica– Séries Não estacionárias, verificar Cointegração

• Séries Cointegradas – modelo de correção de erros• Séries Não cointegradas – modelo sem correção de erros

ESTACIONARIEDADEX

NÃO-ESTACIONARIEDADE

DEFINIÇÃO

Processo NÃO Estacionário Yt

)(),()()(

)()(2

tYYCovtYVar

tYE

sstt

t

t

Processo Estacionário Fraco Yt

sstt

t

t

YYCovYVar

YE

),()(

)(2

Alguém depende do tempo(Média e/ou Variância e/ou Autocovariância)

Média, Variância e Autocovariância

constantes

EXEMPLOS

EstacionárioNão Estacionário

Exemplos

MAIS DEFINIÇÕES

• Processo integrado de ordem d ou I(d) – precisa ser diferenciado “d” vezes para ficar estacionário

• Processo estacionário é I(0) ( “Não Integrado”)

)0(~

)1(~IY

IY

t

t

)0(~

)1(~)2(~

2 IY

IYIY

t

t

t

RAÍZES UNITÁRIAS

• Processo I(1)

Yt = (1-B)Yt ~I(0) 1 raiz unitária

• Processo I(2)

2Yt = (1-B)2Yt=(1-B)(1-B)Yt ~I(0) 2 raízes unitárias

• Processo I(d)

dYt = (1-B)dYt=(1-B)(1-B)…(1-B)Yt ~I(0) d raízes unitárias

POR QUE “RAÍZES UNITÁRIAS”?

tqtd

p BYB )()(

)0(~)1(

)(~

IYBY

dIY

td

td

t

dpdp BBB )1)(()(*

Onde:

Polinômio expandido AR para Yt possui:• p raízes fora do círculo unitário (estacionariedade)• d raízes unitárias (não estacionariedade)

Logo:

ARIMA(p,d,q) p/Yt: =

ARMA(p,q) p/dYt:

PROCESSO AR(1)

ttt YY 1

• Se | | < 1, Yt é um processo estacionário

• Se | | ≥ 1 Yt é um processo não estacionário

= 1 Yt é um passeio aleatório

| | > 1 Yt é um processo explosivo

EXEMPLOS DE AR(1)

Estacionário

I(1)

I(0)

Não Estacionário

PROCESSO DE RAIZ UNITÁRIA

)0(~1

IuuYY

t

ttt

)0(~1

IuuYY

t

ttt

SEM CONSTANTE

COM DESLOCAMENTO (DRIFT)

PASSEIO ALEATÓRIO

),0( ...~ 2

1

Ndii

YY

t

ttt

),0( ...~ 2

1

Ndii

YY

t

ttt

PURO

COM DESLOCAMENTO (DRIFT)

Processo MEMÓRIA CURTA: Um choque repercute por pouco tempo sobre a série. Esta tende a voltar para sua média. Choque transiente. Exemplo:

MEMÓRIA(Nelson e Plosser, 1982)

1||1 ttt YY

Processo MEMÓRIA LONGA: Um choque repercute permanentemente sobre a série. Esta não tende a voltar para algum lugar. Choque permante. Exemplo:

ttt YY 1

• Para desenvolver a intuição, brinque com o arquivo AR1.XLS

TIPOS DE TENDÊNCIAS

btTDt DETERMINÍSTICA

ttt uYY 1DETERMINÍSTICA

+ESTOCÁSTICA

t

iit utYY

00

ttt uYY 1ESTOCÁSTICA

TENDÊNCIAS E DIFERENÇAS ESTACIONÁRIAS

TENDÊNCIA ESTACIONÁRIATend. Determinística + processo I(0)

ttt

ttt

uYYuYY

1

1

Obs: Tendência estacionária “puxa” a série. Diferença estacionária c/cte “empurra”.

tt ubtY

DIFERENÇA ESTACIONÁRIA-Sem constante-Com constante

RESUMINDOProcesso Estacionário• Não integrado ou I(0)• Sem raízes unitárias• Sem tendência estocástica• Memória curta• Choque Transiente

Processo Não Estacionário• Integrado ou I(d), d > 0• d raízes unitárias• Tendência estocástica (com

ou sem tendência determinística)

• Memória longa• Choque Permanente

TESTES DE RAÍZES UNITÁRIAS

• Processo AR(1) Estacionário (b=0,||<1) :

• Diferença Estacionária (=b=0,=1) :

• Diferença Estacionária c/cte (b=0,=1) :

• Tendência Estacionária (b0, ||<1): (ou Tendência Estacionária)

• OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte

• OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte

JUNTANDO TUDO

ttt YY 1

ttt YY 1

ttt YY 1

ttt YbtY 1

ttt YbtY 1

• Processo AR(1) Estacionário (b=0,-2<<0) :

• Diferença Estacionária s/cte (=b==0) :

• Diferença Estacionária c/cte (b==0) :

• Tendência Estacionária (b0,-2<<0): • OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte

• OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte

MUDANDO UM POUCOttt uYbtY 1

Onde = - 1

ttt YY 1

ttY

ttY

ttt YbtY 1

TESTE DE DICKEY FULLER

ttt YbtY 1

H0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)H1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)

Regra de Decisão:

ˆ

ˆ

SEstatística de teste Tau:

• Se Valor crítico C Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)• Se < Valor crítico C Rejeita H0 (Yt É estacionário)

Escolha do nível de significância

1)

2)

3)

4)

Equação Geralde Teste

DICKEY FULLERVersão 1

ttt YY 1

• H0: = 0 • isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica

• H1: 0 • isto é: Yt = Yt-1+t; estacionário sem tendência alguma

• Estatística de teste Tau:

Sem intercepto ou termo de tendência na equaçãode teste

ˆˆ S

DICKEY FULLERVersão 2

ttt YY 1

• H0: = 0 (e = 0: ver tabela ADF em Dickey Fuller (1981))• isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica

• H1: 0 (e ≠ 0)• isto é: Yt = +Yt-1+t; estacionário sem tendência alguma • (mas com intercepto)

• Estatística de teste TauU:

Com intercepto apenas na equação de teste

ˆˆ S

• H0: = 0 (e b = 0)• isto é: Yt = + t ; tend. determinística + tend. estocástica

• H1: 0 (b ≠ 0)• isto é: Yt = +bt+Yt-1+t; tendência determinística apenas• (tendência estacionária)

• Estatística de teste TauTau:

DICKEY FULLERVersão 3

ttt YbtY 1

ˆˆ S

Com intercepto e termo de tendência naequação de Teste

Obs: É possível ainda testar H0:b==0 (tendência estocástica apenas) usando a estatística 3 que segue a distribuição F (ver Enders, p. 181)

Extraído de Dickey e Fuller (1981) “Likelihood ratio statistics for autorregressive time series with a unit root. Econometrica 49 (4). pp.1057-1072

Versão 1 (Sem intercepto)

Versão 2 (Com intercepto)

Versão 3 (Com intercepto

e termo de tendência)

H0Tendência Estocástica

Apenas

Tendência Estocástica

Apenas

Tendência Determinística +

Tendência Estocástica

H1 Sem Tendência Alguma

Sem Tendência Alguma

Só Tendência Determinística

RESUMO DO TESTE ADF

TESTE DE DICKEY-FULLERAUMENTADO

• Faz-se o mesmo teste de hipóteses do slide anterior• Valores defasados Yt-s incluídos para eliminar

autocorrelação serial de t (se houver)• Lag máximo p tem de se determinar antes

(minimza-se o critério AIC ou BIC)• Eviews usa valores críticos e valores-p com base

em MacKinon (1996)

t

p

sststt YYbtY

11

VALORES CRÍTICOS DO TESTE ADF

Fonte: Tabela Ade Enders (2004), Baseada em Fuller(1976)

TESTE ADF SAZONAL

t

p

sststttitt YYbtDDDY

11332210

Exemplo para o caso trimestral

outro0

trimestre1 iDit

• Usam-se os mesmos valores críticos do teste ADF• Caso de Sazonalidade Estocástica: ver Enders (2005)

TESTE DE PHILLIPS-PERRON

ttt uYbtY 1

H0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)H1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)

Regra de Decisão:

Estatística de teste Z:

• Se Valor crítico C Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)• Se < Valor crítico C Rejeita H0 (Yt É estacionário)

Escolha do nível de significância

1)

2)

3)

4)

Equação Geralde Teste

sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2)ˆ(

ˆ)( ˆ

22

TESTE PP DIFERENÇAS (1)

ttt uYbtY 1

• ut pode ser ARMA(p,q) heterogeneamente distribuído• Não tem lags defasados de Yt

sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2)ˆ(

ˆ)( ˆ

22

sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2

)ˆ(ˆ

)( ˆ22

Versão 1

Versão 2

Versão 3 sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2

)ˆ(ˆ

)( ˆ22

NAS 3 VERSÕES

•S: erro-padrão do estimador de MQO de •S2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco•2Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído

T

ststt

l

ssl

T

ttTl uuwu

T 111

22 ˆˆ2ˆ1̂

TESTE PP DIFERENÇAS (2)

• Esta fórmula é um estimador consistente de 2

• Chamada Estimador do espectro na frequência 0• Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los:

1. Barttlet2. Parzen3. Newey-West

• l é o parâmetro de largura de banda

TESTE DE PHILLIPS-PERRON

ttt uYbtY 1

H0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)H1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)

Regra de Decisão:

Estatística de teste Z:

• Se Valor crítico C Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)• Se < Valor crítico C Rejeita H0 (Yt É estacionário)

Escolha do nível de significância

1)

2)

3)

4)

Equação Geralde Teste

sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2)ˆ(

ˆ)( ˆ

22

TESTE PP DIFERENÇAS (1)

ttt uYbtY 1

• ut pode ser ARMA(p,q) heterogeneamente distribuído• Não tem lags defasados de Yt

sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2)ˆ(

ˆ)( ˆ

22

sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2

)ˆ(ˆ

)( ˆ22

Versão 1

Versão 2

Versão 3 sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2

)ˆ(ˆ

)( ˆ22

NAS 3 VERSÕES

•S: erro-padrão do estimador de MQO de •S2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco•2Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído

T

ststt

l

ssl

T

ttTl uuwu

T 111

22 ˆˆ2ˆ1̂

TESTE PP DIFERENÇAS (2)

• ût p/(t = 1,...,T) são os resíduos da regressão de teste em qq versão• Esta fórmula é um estimador consistente de 2

• Chamada Estimador do Espectro na Frequência 0• Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los:

1. Barttlet2. Parzen3. Newey-West

• l é o parâmetro de largura de banda

TESTE DF-GLS

ttt YbtY 1

H0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)H1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)

Regra de Decisão:

ˆ

ˆ

SEstatística de teste Tau:

• Se Valor crítico C Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)• Se < Valor crítico C Rejeita H0 (Yt É estacionário)

Escolha do nível de significância

1)

2)

3)

4)

Equação Geralde Teste

Porém computada a partir da estimação da equação de teste por MQG (GLS)

TESTE DF-GLSDIFERENÇAS (1)

ttt uYbtY 1

• Os erros ut seguem um AR(p)• Na versão 1 a estatística-tau é a mesma do teste ADF• Na versão 2 e na versão 3 a estatística-tau é computada

a partir da regressão da equação de teste por GLS• Vantagem do teste DF-GLS vs ADF e PP

• Poder do teste DF-GLS é maior sob erros AR(p)

TESTE DF-GLSDIFERENÇAS (2)

Uso de variável Ytd (livre da constante e/ou da tendência) no

lugar de Yt na equação de teste

tt wY ˆˆ

t

p

j

djt

dt

dt uYYY

1

tt wtbY ˆˆˆ Versão 3: cômputo por GLS de:

Versão 2: cômputo por GLS de:

td

t wY ˆ

Estimação por MQO de:(sem constante e tendência)

Onde (seja na versão 2 ou na versão 3):

COINTEGRAÇÃO

RECAPITULANDO …

• Econometria clássica não é valida quando as séries são NÃO estacionárias

• Em particular, se as séries NÃO estacionárias forem independentes, obtém-se regressões espúrias

• Diferenciar séries até estacionariedade não resolve, perde-se informações de longo-prazo

• O que fazer ? …. Teoria da Cointegração

HISTÓRICO

• Granger (1983) – introduz o conceito de cointegração na literatura

• Granger e Engle (1987) – estabelecem relação entre cointegração e o modelo de correção de erros

• Década de 90 – proliferam trabalhos teóricos e empíricos

• 2003 – Granger e Engle ganham o Prêmio Nobel de Economia !!!

CONCEITOS INICIAIS

)1(~)1(~

IXIY

t

tSejam 2 séries não estacionárias:

Seja a regressão: ttt bXaY

• Yt e Xt serão cointegradas se t ~ I(0)

• Yt e Xt serão NÃO cointegradas se t ~ I(1)

IMPLICAÇÕES• Se Y e X são cointegradas, então:

– tendência estocástica comum– tendências estocásticas se cancelam mutuamente– relação de equilíbrio no longo prazo– relação de curto prazo (?)– Desvios no equilíbrio de longo prazo são transientes– A regressão de Y contra X não é espúria

• Se Y e X NÃO são cointegradas, então:– tendências estocásticas são independentes – Só relação de curto prazo– Desvios não tendem a se corrigir, são persistentes– A regressão de Y contra X é espúria

ILUSTRANDO

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

Tempo

X Y e

ttt

ttt

ttt

uXXvYY

XY

1

1

2

t passeio aleatório ~I(1)t ruído branco ~I(0)

Cointegração Não Cointegração

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

Tempo

X Y e

• Xt ~ I(0) então a+bXt ~ I(0)

• Yt ~ I(0) e Xt ~ I(0) então aYt+bXt ~ I(0)

• Yt ~ I(1) e Xt ~ I(0) então aYt+bXt ~ I(1)

• Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) então (em geral) aYt+bXt ~ I(1)

ALGUMAS PROPRIEDADES

DEFINIÇÃO DE COINTEGRAÇÃO: Se Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) ,e existir uma combinação linear aYt+bXt ~ I(0), então Yt e Xt são cointegradas.

1) Computar a regressão cointegrante

2) Aplicar teste ADF sobre os resíduos

TESTE DE COINTEGRAÇÃO(Engle e Granger, 1987)

ttt XbaY ̂ˆˆ

ttt wt 1ˆˆ

H0: = 0 (Y e X NÃO SÃO cointegradas)H1: < 0 (Y e X SÃO cointegradas)

Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)

OBSERVAÇÕES

• Se X e Y forem cointegradas:

– a regressão cointegrante NÃO é ESPÚRIA !!

– MQO aplicado à regressão cointegrante (para estimar a e b) são superconsistentes

– as razões t são assintoticamente normais

VALORES CRÍTICOS

Fonte: Tabela C de Enders (2004). Baseada em MacKinnon (1991).

MODELO DE CORREÇÃO DE ERROS

k

jtjtj

p

iitit uXYY

110

Onde: ttt XbaY ˆˆˆ

Modelo S/

Correção

deErros

Em caso de NÃO cointegração

Em caso de cointegração

k

jtjtj

p

iititt uXYY

11110 ˆ

Resíduos da equação

cointegrante

Modelo de

Correção

deErros

OBSERVAÇÕES• Se as variáveis forem I(0), elas são não cointegradas e estima-se o

modelo sem diferenciá-las

• Se Y e X forem I(1) e cointegradas, mas só uma possuír também tendência determinística, deve-se incluir a variável t como explicativa na equação cointegrante

• Se Y e X forem I(1) e cointegradas e ambas possuírem tendência determinística, deve-se verificar no teste de cointegração se a série de erros tem tendência determinística também. Se tiver, inclua a variável t como explicativa na equação cointegrante.

k

jtjtj

p

iitit uXYY

110

VÁRIAS VARIÁVEIS• Usaremos exemplo da Demanda de E. Elétrica (NT

292/2008 – SRE/ANEEL)

• C = consumo de energia elétrica• P = tarifa média de energia elétrica• Y = PIB• EL = estoque de equipamentos elétricos• b1, b2 e b3 – elasticidades do consumo

tbt

bt

btt eELYkPC 321

MODELO LOG-LOG

ttttt eELbYbPbkC loglogloglogloglog 321

Passo 1: Verificar estacionariedade de cada série (logC, logP, logY e logEL) usando o teste ADF

Passo 2: (assumindo que todas são I(1)) realizar o teste de cointegração de Engle e Granger

H0: = 0 (logC , logP, logY e logEL NÃO SÃO cointegradas)H1: < 0 (logC , logP, logY e logEL SÃO cointegradas)

Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)

1ˆlogˆlog tt ete

ESTIMAÇÃO DO MODELO

t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

r

lititt wELYPCeC

111110 loglogloglogˆlog

Modelo para Séries Estacionárias ou I(0)

Modelo de Correção de Erros (SOB cointegração)

Modelo Sem Correção de Erros (SEM cointegração)

t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

r

litit wELYPCC

11110 logloglogloglog

t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

r

litit wELYPCC

11110 logloglogloglog

t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

r

litit wELYPCC

11110 logloglogloglog

OBSERVAÇÕES• Se uma série for I(0), não deve ser incluída na equação cointegrante

para o teste de cointegração• Mesmo que todas sejam I(1), a cointegração pode envolver todas as

quatro variáveis ou apenas um subgrupo delas. Procure fazer o teste de cointegração para os subgrupos também, o que permitirá verificar se alguma série não era para estar na equação cointegrante

• Havendo séries I(1), segundo o teste ADF, com tendência determinística e outras também I(1) sem, ponha a variável t na equação cointegrante

• Se todas as séries forem I(1), segundo o teste ADF, com tendencia deterministica, verifique no teste de cointegração se ha tendencia determinística tambem nos erros da equação cointegrante. Se houver, inclua a variável t na mesma.

SAZONALIDADE

tttttttt eELbYbPbDaDaDaaC logloglogloglog 321332211

t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

ttttt

wELYP

eDDDC

111

43322110

logloglog

ˆlog

Equação cointegrante

Modelo de Correção de Erros:

t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

tttt

wELYP

DDDC

111

322110

logloglog

log3

Modelo para Séries Estacionárias ou I(0):