Econometria de Séries Temporais UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA (UFJF) FACULDADE DE ECONOMIA...

Econometria de Séries Temporais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA (UFJF)UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA (UFJF)FACULDADE DE ECONOMIA (FE)FACULDADE DE ECONOMIA (FE)Econometria 3Econometria 3

Rogério Silva de Mattos, Rogério Silva de Mattos, D.Sc.D.Sc.

O COMEÇO

• Box e Jenkins (1970) – processos estocásticos não-estacionários/integrados (Modelos ARIMA)

• Granger e Newbold (1974) – Econometria clássica não vale se variáveis do modelo são séries temporais não-estacionárias (Regressões Espúrias)

CORRELAÇÃO ESPÚRIA

Venda de azeite de dendê em Salvador

Consumo de Chimarrão em Porto Alegre

Mera Coincidência

Fator Comum

Y

X

N

Causalidade

XY

XY

REGRESSÃO ESPÚRIA

ttt bXaY

ttt uYY 1

ttt wXX 1Independentes !

Experimento de Granger e Newbold (1974)

Se = = 1Yt e Xt NÃO estacionárias

• R2 altos e DW baixos• Alta chance de rejeitar H0: b = 0• Razão t não segue t de Student• Estatística F não segue distrib. F

Quero estimar :

Assumindoque:

MENSAGEM FUNDAMENTAL

Econometria Clássica

Econometria Clássica OKESTACIONARIEDADE

NÃOESTACIONARIEDADE

COMO PROCEDER ?

• Remover tendência (Detrending)?– Pode não resolver !!! Tendência estocática

• Diferenciar até estacionariedade?– Perda de informação de longo prazo (t. econômica) !!!

• O que fazer ?

ECONOMETRIA DE ST

• Teoria da Cointegração

– Verificar Estacionariedade (Testes de Raízes Unitárias)

– Séries Estacionarias, usar econometria clássica– Séries Não estacionárias, verificar Cointegração

• Séries Cointegradas – modelo de correção de erros• Séries Não cointegradas – modelo sem correção de erros

ESTACIONARIEDADEX

NÃO-ESTACIONARIEDADE

DEFINIÇÃO

Processo NÃO Estacionário Yt

)(),()()(

)()(2

tYYCovtYVar

tYE

sstt

t

t

Processo Estacionário Fraco Yt

sstt

t

t

YYCovYVar

YE

),()(

)(2

Alguém depende do tempo(Média e/ou Variância e/ou Autocovariância)

Média, Variância e Autocovariância

constantes

EXEMPLOS

EstacionárioNão Estacionário

Exemplos

MAIS DEFINIÇÕES

• Processo integrado de ordem d ou I(d) – precisa ser diferenciado “d” vezes para ficar estacionário

• Processo estacionário é I(0) ( “Não Integrado”)

)0(~

)1(~IY

IY

t

t

)0(~

)1(~)2(~

2 IY

IYIY

t

t

t

RAÍZES UNITÁRIAS

• Processo I(1)

Yt = (1-B)Yt ~I(0) 1 raiz unitária

• Processo I(2)

2Yt = (1-B)2Yt=(1-B)(1-B)Yt ~I(0) 2 raízes unitárias

• Processo I(d)

dYt = (1-B)dYt=(1-B)(1-B)…(1-B)Yt ~I(0) d raízes unitárias

POR QUE “RAÍZES UNITÁRIAS”?

tqtd

p BYB )()(

)0(~)1(

)(~

IYBY

dIY

td

td

t

dpdp BBB )1)(()(*

Onde:

Polinômio expandido AR para Yt possui:• p raízes fora do círculo unitário (estacionariedade)• d raízes unitárias (não estacionariedade)

Logo:

ARIMA(p,d,q) p/Yt: =

ARMA(p,q) p/dYt:

PROCESSO AR(1)

ttt YY 1

• Se | | < 1, Yt é um processo estacionário

• Se | | ≥ 1 Yt é um processo não estacionário

= 1 Yt é um passeio aleatório

| | > 1 Yt é um processo explosivo

EXEMPLOS DE AR(1)

Estacionário

I(1)

I(0)

Não Estacionário

PROCESSO DE RAIZ UNITÁRIA

)0(~1

IuuYY

t

ttt

)0(~1

IuuYY

t

ttt

SEM CONSTANTE

COM DESLOCAMENTO (DRIFT)

PASSEIO ALEATÓRIO

),0( ...~ 2

1

Ndii

YY

t

ttt

),0( ...~ 2

1

Ndii

YY

t

ttt

PURO

COM DESLOCAMENTO (DRIFT)

Processo MEMÓRIA CURTA: Um choque repercute por pouco tempo sobre a série. Esta tende a voltar para sua média. Choque transiente. Exemplo:

MEMÓRIA(Nelson e Plosser, 1982)

1||1 ttt YY

Processo MEMÓRIA LONGA: Um choque repercute permanentemente sobre a série. Esta não tende a voltar para algum lugar. Choque permante. Exemplo:

ttt YY 1

• Para desenvolver a intuição, brinque com o arquivo AR1.XLS

TIPOS DE TENDÊNCIAS

btTDt DETERMINÍSTICA

ttt uYY 1DETERMINÍSTICA

+ESTOCÁSTICA

t

iit utYY

00

ttt uYY 1ESTOCÁSTICA

TENDÊNCIAS E DIFERENÇAS ESTACIONÁRIAS

TENDÊNCIA ESTACIONÁRIATend. Determinística + processo I(0)

ttt

ttt

uYYuYY

1

1

Obs: Tendência estacionária “puxa” a série. Diferença estacionária c/cte “empurra”.

tt ubtY

DIFERENÇA ESTACIONÁRIA-Sem constante-Com constante

RESUMINDOProcesso Estacionário• Não integrado ou I(0)• Sem raízes unitárias• Sem tendência estocástica• Memória curta• Choque Transiente

Processo Não Estacionário• Integrado ou I(d), d > 0• d raízes unitárias• Tendência estocástica (com

ou sem tendência determinística)

• Memória longa• Choque Permanente

TESTES DE RAÍZES UNITÁRIAS

• Processo AR(1) Estacionário (b=0,||<1) :

• Diferença Estacionária (=b=0,=1) :

• Diferença Estacionária c/cte (b=0,=1) :

• Tendência Estacionária (b0, ||<1): (ou Tendência Estacionária)

• OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte

• OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte

JUNTANDO TUDO

ttt YY 1

ttt YY 1

ttt YY 1

ttt YbtY 1

ttt YbtY 1

• Processo AR(1) Estacionário (b=0,-2<<0) :

• Diferença Estacionária s/cte (=b==0) :

• Diferença Estacionária c/cte (b==0) :

• Tendência Estacionária (b0,-2<<0): • OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte

• OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte

MUDANDO UM POUCOttt uYbtY 1

Onde = - 1

ttt YY 1

ttY

ttY

ttt YbtY 1

TESTE DE DICKEY FULLER

ttt YbtY 1

H0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)H1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)

Regra de Decisão:

ˆ

ˆ

SEstatística de teste Tau:

• Se Valor crítico C Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)• Se < Valor crítico C Rejeita H0 (Yt É estacionário)

Escolha do nível de significância

1)

2)

3)

4)

Equação Geralde Teste

DICKEY FULLERVersão 1

ttt YY 1

• H0: = 0 • isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica

• H1: 0 • isto é: Yt = Yt-1+t; estacionário sem tendência alguma

• Estatística de teste Tau:

Sem intercepto ou termo de tendência na equaçãode teste

ˆˆ S


ttt YY 1

• H0: = 0 (e = 0: ver tabela ADF em Dickey Fuller (1981))• isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica

• H1: 0 (e ≠ 0)• isto é: Yt = +Yt-1+t; estacionário sem tendência alguma • (mas com intercepto)

• Estatística de teste TauU:

Com intercepto apenas na equação de teste

ˆˆ S

• H0: = 0 (e b = 0)• isto é: Yt = + t ; tend. determinística + tend. estocástica

• H1: 0 (b ≠ 0)• isto é: Yt = +bt+Yt-1+t; tendência determinística apenas• (tendência estacionária)

• Estatística de teste TauTau:


ttt YbtY 1

ˆˆ S

Com intercepto e termo de tendência naequação de Teste

Obs: É possível ainda testar H0:b==0 (tendência estocástica apenas) usando a estatística 3 que segue a distribuição F (ver Enders, p. 181)

Extraído de Dickey e Fuller (1981) “Likelihood ratio statistics for autorregressive time series with a unit root. Econometrica 49 (4). pp.1057-1072

Versão 1 (Sem intercepto)

Versão 2 (Com intercepto)

Versão 3 (Com intercepto

e termo de tendência)

H0Tendência Estocástica

Apenas

Tendência Estocástica

Apenas

Tendência Determinística +

Tendência Estocástica

H1 Sem Tendência Alguma

Sem Tendência Alguma

Só Tendência Determinística

RESUMO DO TESTE ADF

TESTE DE DICKEY-FULLERAUMENTADO

• Faz-se o mesmo teste de hipóteses do slide anterior• Valores defasados Yt-s incluídos para eliminar

autocorrelação serial de t (se houver)• Lag máximo p tem de se determinar antes

(minimza-se o critério AIC ou BIC)• Eviews usa valores críticos e valores-p com base

em MacKinon (1996)

t

p

sststt YYbtY

11

VALORES CRÍTICOS DO TESTE ADF

Fonte: Tabela Ade Enders (2004), Baseada em Fuller(1976)

TESTE ADF SAZONAL

t

p

sststttitt YYbtDDDY

11332210

Exemplo para o caso trimestral

outro0

trimestre1 iDit

• Usam-se os mesmos valores críticos do teste ADF• Caso de Sazonalidade Estocástica: ver Enders (2005)

TESTE DE PHILLIPS-PERRON

ttt uYbtY 1


Regra de Decisão:

Estatística de teste Z:



1)

2)

3)

4)


sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2)ˆ(

ˆ)( ˆ

22

TESTE PP DIFERENÇAS (1)

ttt uYbtY 1

• ut pode ser ARMA(p,q) heterogeneamente distribuído• Não tem lags defasados de Yt

sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2)ˆ(

ˆ)( ˆ

22

sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2

)ˆ(ˆ

)( ˆ22

Versão 1

Versão 2

Versão 3 sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2

)ˆ(ˆ

)( ˆ22

NAS 3 VERSÕES

•S: erro-padrão do estimador de MQO de •S2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco•2Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído

T

ststt

l

ssl

T

ttTl uuwu

T 111

22 ˆˆ2ˆ1̂


• Esta fórmula é um estimador consistente de 2

• Chamada Estimador do espectro na frequência 0• Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los:

1. Barttlet2. Parzen3. Newey-West

• l é o parâmetro de largura de banda

TESTE DE PHILLIPS-PERRON

ttt uYbtY 1


Regra de Decisão:

Estatística de teste Z:



1)

2)

3)

4)


sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2)ˆ(

ˆ)( ˆ

22


ttt uYbtY 1

• ut pode ser ARMA(p,q) heterogeneamente distribuído• Não tem lags defasados de Yt

sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2)ˆ(

ˆ)( ˆ

22

sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2

)ˆ(ˆ

)( ˆ22

Versão 1

Versão 2

Versão 3 sssTsZ

Tl

Tl

Tl

ˆ2

)ˆ(ˆ

)( ˆ22

NAS 3 VERSÕES

•S: erro-padrão do estimador de MQO de •S2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco•2Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído

T

ststt

l

ssl

T

ttTl uuwu

T 111

22 ˆˆ2ˆ1̂


• ût p/(t = 1,...,T) são os resíduos da regressão de teste em qq versão• Esta fórmula é um estimador consistente de 2

• Chamada Estimador do Espectro na Frequência 0• Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los:

1. Barttlet2. Parzen3. Newey-West

• l é o parâmetro de largura de banda

TESTE DF-GLS

ttt YbtY 1


Regra de Decisão:

ˆ

ˆ

SEstatística de teste Tau:



1)

2)

3)

4)


Porém computada a partir da estimação da equação de teste por MQG (GLS)

TESTE DF-GLSDIFERENÇAS (1)

ttt uYbtY 1

• Os erros ut seguem um AR(p)• Na versão 1 a estatística-tau é a mesma do teste ADF• Na versão 2 e na versão 3 a estatística-tau é computada

a partir da regressão da equação de teste por GLS• Vantagem do teste DF-GLS vs ADF e PP

• Poder do teste DF-GLS é maior sob erros AR(p)

TESTE DF-GLSDIFERENÇAS (2)

Uso de variável Ytd (livre da constante e/ou da tendência) no

lugar de Yt na equação de teste

tt wY ˆˆ

t

p

j

djt

dt

dt uYYY

1

tt wtbY ˆˆˆ Versão 3: cômputo por GLS de:

Versão 2: cômputo por GLS de:

td

t wY ˆ

Estimação por MQO de:(sem constante e tendência)

Onde (seja na versão 2 ou na versão 3):

COINTEGRAÇÃO

RECAPITULANDO …

• Econometria clássica não é valida quando as séries são NÃO estacionárias

• Em particular, se as séries NÃO estacionárias forem independentes, obtém-se regressões espúrias

• Diferenciar séries até estacionariedade não resolve, perde-se informações de longo-prazo

• O que fazer ? …. Teoria da Cointegração

HISTÓRICO

• Granger (1983) – introduz o conceito de cointegração na literatura

• Granger e Engle (1987) – estabelecem relação entre cointegração e o modelo de correção de erros

• Década de 90 – proliferam trabalhos teóricos e empíricos

• 2003 – Granger e Engle ganham o Prêmio Nobel de Economia !!!

CONCEITOS INICIAIS

)1(~)1(~

IXIY

t

tSejam 2 séries não estacionárias:

Seja a regressão: ttt bXaY

• Yt e Xt serão cointegradas se t ~ I(0)

• Yt e Xt serão NÃO cointegradas se t ~ I(1)

IMPLICAÇÕES• Se Y e X são cointegradas, então:

– tendência estocástica comum– tendências estocásticas se cancelam mutuamente– relação de equilíbrio no longo prazo– relação de curto prazo (?)– Desvios no equilíbrio de longo prazo são transientes– A regressão de Y contra X não é espúria

• Se Y e X NÃO são cointegradas, então:– tendências estocásticas são independentes – Só relação de curto prazo– Desvios não tendem a se corrigir, são persistentes– A regressão de Y contra X é espúria

ILUSTRANDO

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

Tempo

X Y e

ttt

ttt

ttt

uXXvYY

XY

1

1

2

t passeio aleatório ~I(1)t ruído branco ~I(0)

Cointegração Não Cointegração

-4.00

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

Tempo

X Y e

• Xt ~ I(0) então a+bXt ~ I(0)

• Yt ~ I(0) e Xt ~ I(0) então aYt+bXt ~ I(0)

• Yt ~ I(1) e Xt ~ I(0) então aYt+bXt ~ I(1)

• Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) então (em geral) aYt+bXt ~ I(1)

ALGUMAS PROPRIEDADES

DEFINIÇÃO DE COINTEGRAÇÃO: Se Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) ,e existir uma combinação linear aYt+bXt ~ I(0), então Yt e Xt são cointegradas.

1) Computar a regressão cointegrante

2) Aplicar teste ADF sobre os resíduos

TESTE DE COINTEGRAÇÃO(Engle e Granger, 1987)

ttt XbaY ̂ˆˆ

ttt wt 1ˆˆ

H0: = 0 (Y e X NÃO SÃO cointegradas)H1: < 0 (Y e X SÃO cointegradas)

Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)

OBSERVAÇÕES

• Se X e Y forem cointegradas:

– a regressão cointegrante NÃO é ESPÚRIA !!

– MQO aplicado à regressão cointegrante (para estimar a e b) são superconsistentes

– as razões t são assintoticamente normais

VALORES CRÍTICOS

Fonte: Tabela C de Enders (2004). Baseada em MacKinnon (1991).

MODELO DE CORREÇÃO DE ERROS

k

jtjtj

p

iitit uXYY

110

Onde: ttt XbaY ˆˆˆ

Modelo S/

Correção

deErros

Em caso de NÃO cointegração

Em caso de cointegração

k

jtjtj

p

iititt uXYY

11110 ˆ

Resíduos da equação

cointegrante

Modelo de

Correção

deErros

OBSERVAÇÕES• Se as variáveis forem I(0), elas são não cointegradas e estima-se o

modelo sem diferenciá-las

• Se Y e X forem I(1) e cointegradas, mas só uma possuír também tendência determinística, deve-se incluir a variável t como explicativa na equação cointegrante

• Se Y e X forem I(1) e cointegradas e ambas possuírem tendência determinística, deve-se verificar no teste de cointegração se a série de erros tem tendência determinística também. Se tiver, inclua a variável t como explicativa na equação cointegrante.

k

jtjtj

p

iitit uXYY

110

VÁRIAS VARIÁVEIS• Usaremos exemplo da Demanda de E. Elétrica (NT

292/2008 – SRE/ANEEL)

• C = consumo de energia elétrica• P = tarifa média de energia elétrica• Y = PIB• EL = estoque de equipamentos elétricos• b1, b2 e b3 – elasticidades do consumo

tbt

bt

btt eELYkPC 321

MODELO LOG-LOG

ttttt eELbYbPbkC loglogloglogloglog 321

Passo 1: Verificar estacionariedade de cada série (logC, logP, logY e logEL) usando o teste ADF

Passo 2: (assumindo que todas são I(1)) realizar o teste de cointegração de Engle e Granger

H0: = 0 (logC , logP, logY e logEL NÃO SÃO cointegradas)H1: < 0 (logC , logP, logY e logEL SÃO cointegradas)

Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)

1ˆlogˆlog tt ete

ESTIMAÇÃO DO MODELO

t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

r

lititt wELYPCeC

111110 loglogloglogˆlog

Modelo para Séries Estacionárias ou I(0)

Modelo de Correção de Erros (SOB cointegração)

Modelo Sem Correção de Erros (SEM cointegração)

t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

r

litit wELYPCC

11110 logloglogloglog

t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

r

litit wELYPCC


t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

r

litit wELYPCC


OBSERVAÇÕES• Se uma série for I(0), não deve ser incluída na equação cointegrante

para o teste de cointegração• Mesmo que todas sejam I(1), a cointegração pode envolver todas as

quatro variáveis ou apenas um subgrupo delas. Procure fazer o teste de cointegração para os subgrupos também, o que permitirá verificar se alguma série não era para estar na equação cointegrante

• Havendo séries I(1), segundo o teste ADF, com tendência determinística e outras também I(1) sem, ponha a variável t na equação cointegrante

• Se todas as séries forem I(1), segundo o teste ADF, com tendencia deterministica, verifique no teste de cointegração se ha tendencia determinística tambem nos erros da equação cointegrante. Se houver, inclua a variável t na mesma.

SAZONALIDADE

tttttttt eELbYbPbDaDaDaaC logloglogloglog 321332211

t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

ttttt

wELYP

eDDDC

111

43322110

logloglog

ˆlog

Equação cointegrante

Modelo de Correção de Erros:

t

n

ssts

k

jjtj

p

iiti

tttt

wELYP

DDDC

111

322110

logloglog

log3

Modelo para Séries Estacionárias ou I(0):

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